1_型不定式极限求法的探讨
函数不定式极限的洛必达法则
函数不定式极限的洛必达法则需要熟记的几个重要极限：需要知道的极限四则运算法则：设则（1）（2）（3）（4）注：上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
另外，它对数列极限也实用。
需要知道的定理:1.若函数在点连续，2.若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续。
用极限来表述就是如下：注：若复合函数的内函数当时极限为，而或在点处无定义（即为的可去间断点），又有外函数在点连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有上式不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
比方说：3.若函数函数当时的极限存在，假设为，即，那么把换成正整数所得到的数列的极限也为，即.注：这个定理为我们求数列的极限提供了一条很好的途径，它告诉我们在求数列的极限时，可以先求出该数列所对应的函数当时的极限。
比方说：，那么目的：能用洛必达法则求“”、“”型不定式极限。
当（或）时，函数和都趋于零或都趋于无穷大，此时极限存在（或无穷大）称为不定式极限对于不定式的极限，不能直接用极限运算法则求得时，可用求导的方法解决。
下面介绍的洛必达法则，是求此类极限的有效方法。
一、洛必达法则1．“”型不定式当，时极限称为“” 型不定式定理1.若(1，；(2与在点的附近（点可除外）可导，且；(3存在(或无穷大则=注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
例1. 求解：由洛必达法则知原式=例2. 求解：原式=例3. 求解：原式=例4. 求解：原式 ===．例5. 求解：原式=例6. 求解:原式==12．“”型不定式当，时极限称为“” 型不定式(1，；(2与在点的附近可导，且；(3存在（若无穷大），则＝注：上述定理不仅对这种类型的极限成立，它对于，，，，这些类型的极限也都成立。
例7．求解：原式＝＝＝＝１例8．求解：原式＝＝０例9．求（为正整数）解：原式＝＝＝…＝＝＝03．其它型不定式除了型和型以外，还有其它类型的不定式，它们可先化为、型然后再用洛必达法则求之。
七种不定型极限求法
七种不定型极限求法引言：在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述函数在某个点或无穷远处的趋势。
而不定型极限求法则是计算极限的一种常用方法。
本文将介绍七种常见的不定型极限求法，并通过实例进行说明。
一、零除以零型（0/0）：当计算极限时，遇到被零除的情况，我们无法直接计算，此时可以尝试使用洛必达法则。
例如，计算lim(x→0)(sinx)/x，通过洛必达法则，我们可以将其转化为lim(x→0)cosx/1，得到结果为1。
二、无穷大除以无穷大型（∞/∞）：当计算极限时，遇到无穷大除以无穷大的情况，可以尝试使用洛必达法则。
例如，计算lim(x→∞)(x^2+3x)/(2x^2+5x)，通过洛必达法则，我们可以将其转化为lim(x→∞)(2x+3)/(4x+5)，得到结果为1/2。
三、零乘以无穷大型（0×∞）：当计算极限时，遇到零乘以无穷大的情况，可以尝试使用洛必达法则。
例如，计算lim(x→0)(x*sin(1/x))，通过洛必达法则，我们可以将其转化为lim(x→0)(sin(1/x)-cos(1/x)/x^2)，得到结果为0。
四、无穷大减无穷大型（∞-∞）：当计算极限时，遇到无穷大减无穷大的情况，可以尝试使用洛必达法则。
例如，计算lim(x→∞)(x-sin(x))，通过洛必达法则，我们可以将其转化为lim(x→∞)(1-cos(x))/1，得到结果为1。
五、零的幂型（0^0）：当计算极限时，遇到零的幂的情况，我们无法直接计算，此时可以尝试使用洛必达法则。
例如，计算lim(x→0)(x^x)，通过洛必达法则，我们可以将其转化为lim(x→0)(e^(xlnx))，得到结果为1。
六、一的无穷型（1^∞）：当计算极限时，遇到一的无穷的情况，可以尝试使用自然对数的性质。
例如，计算lim(x→∞)(1+1/x)^x，可以将其转化为lim(x→∞)e^(xln(1+1/x))，得到结果为e。
七、指数为无穷型（a^∞）：当计算极限时，遇到指数为无穷的情况，可以尝试使用自然对数的性质。
“1∞”型不定式的极限
“1∞”型不定式的极限作者：李巍等来源：《价值工程》2015年第07期摘要：学生确定“1∞”不定式的极限之所以困难，首先在于构造“1”有困难，其次不易根据题目类型和结构想到结合函数的连续性等知识来确定这类极限。
文中主要介绍了利用第二个重要极限、构造“1”后利用第二个重要极限、利用连续性与等价无穷小、利用连续性与洛必达法则这几种方法确定“1∞”不定式的极限。
Abstract： The difficulty of the determinationof limit of "1∞" infinitive lies in the construction of "1"in first and the determination of the limit with the continuity of functionsaccording to the topic types and structures. This paper describes the methodsof the determination of limit of "1∞" infinitive， such as， using thesecond important limit， structuring "1" and then using the secondimportant limit， using the continuity with the equivalent infinitesimal， using continuityand L'Hospital's rule and so on.关键词：不定式；极限；结构Key words： infinitive；limit；structure中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）07-0302-010 引言“1∞”不定式的极限有多种不同的求法，但学生往往仅限于考虑到用第二个重要极限来进行求解，经常会出现求解困难的情况。
考研高数不定式求极限解题方法
考研高数不定式求极限解题方法考研高数不定式求极限解题方法高数不定式求极限是考研中出现的最多的，也是经常考的，把出题点的做题方法多研究研究，对考研还是有很大的帮助的，今天小编给大家整理了一些考研高数不定式求极限解题方法知识，希望对大家有所帮助。
不定式求极限问题的方法2018考研数学高数里要牢记的知识点1.函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
3.一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
4.向量代数与空间解析几何(数一)主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5.多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6.多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7.无穷级数(数一、数三)重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
不定式极限的求解方法
不定式极限的求解方法
摘要：不定式极限求解方法是高中数学教学中的重要内容，熟练掌握未定式极限不同的求解方法对于学习不定式极限具有重要的作用。
本文对不定式求解方法归纳为利用初等变换、两个重要极限和罗比达方法进行求解。
关键词：不定式;极限求解;方法分析
求未定式极限的方法较多，在中学阶段只要求掌握利用初等变换和两个重要极限两种方法。
不过，利用罗必达法则求未定式极限在不少情况下很简便。
只要掌握了求导的方法，就能掌握罗必达法则。
所以，我们在这里着重介绍利甩初等变换，利用两个重要极限和利用罗必达法则求未定式权限的方法。
由于数列的极限和函数的极限，从运算规则和运算方法上是相通的，因此在这里不再加以区分。
一、利用初等变换求未定式极限
对于中学生来说，首先应掌握利用初等变换求未定式极限的方法。
所谓初等变换，就是对未定式的表示式进行适当的初等运算，使之化为能够运用极限运算规则的形式.因而具体采用哪―种变换，当然要取决于表示式的具体形式.掌握对于常见形式的表示式相应采用的变换方法，也就掌握了基本的规律。
参考文献：
[1]赵小敏.浅谈不定式极限的求法[J].吕梁教育学院学报，2014（9）.
[2]曾亮，林秋红.几类不定式极限的求法与技巧[J].中国西部科技，2008（12）.。
浅谈极限的求解方法毕业论文
共17页第1页浅谈函数极限求解方法学生:陈智年指导老师：赵守江三峡大学理学院摘要:极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述,都可以用极限来描述。
如函数在某点处导数的定义，定积分的定义,偏导数的定义，二重积分的定义，三重积分的定义，无穷级数的定义都是用极限来定义的。
极限是研究数学分析的基本工具。
极限是贯穿数学分析的一条主线。
学好极限要从以下两个方面着手：1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限。
本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述。
对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是可行的，但是对于一个比较复杂的极限的计算，例如的值时则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的，然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续．传统的极限的计算方法不下十几种，但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法，很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算Abstract：Limit is the basis of mathematical analysis ，the basic concepts of mathematical analysis of expression ，can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point ，the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals ，triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible，but for a more complicated limit calculations，such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however，Taylor shows the calculation is much simpler ，which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen，but when calculating the limits specific to different characteristics ，whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics ，and thus simplify the calculation 关键词：极限；极限的定义；极限的性质；罗必达法则；泰勒公式;单调有限法则；积分中值定理；拉格朗日中值定理共17页第2页Keywords :Limit；ultimate limits of nature；Luo's Rule; Taylor formula；monotonous limited law；integral mean value theorem; Lagrange mean value theorem与一切科学方法一样，极限法也是社会实践的产物。
几类不定式极限的求法与技巧
解由于ｌｉｌＩｌ！．ｔａｎＪ：ｌｉｍ兰：ｌ，故原式＝１。
４—ｗ ｚ
ｏ—．‘ｌ工
解由于ｌ岘（｛）２．ｔａｎｚ…ｌｉｒａ 例９［文献３Ｐ１４６８８年卷２考研题］求！ｉｒａ（；）一。 ‘一Ｖｚ ｌａｎｘ ｌｉｍ三＝Ｉ ，故原式＝ｌ。
ｔＭ’√ｘ
１Ⅲ’ｘ ＪⅫ‘Ｊ
＝ｅｘｐ｛ＢＩｎＡ｝＝Ａ。。
．据此，对于ｌ。型不定式极限，有如下重要结论。
数，且约定厮：，（ｚ）一，下同。） 命题３假设，（Ｊ）斗ｏ＋，则ｌｉｍ，（ｘ）目ｍ，＝１（ｍ，ｎ为正整
证ｌｉｒａ，（ｘ）厕：ｌｉｍｅｘｐＯｎ，（ｘ）师Ｆ｝：ｅｘｐ｛ｌｉｍ打ｉＦＩｎ似）Ｊ
：ｅｘｐ｛ｌｉｍ丛掣｝＿ｅｘｐ｛ｌｉｍ—埤｝
例１２［文献６ Ｐ２２５．１（１５）］求ｌ觋（ｃｏｔｘ）爵。
解赋： ：
－唾 ： 坚兰匕
。“＋一ｇｌｎ…Ｉ＂ｌｉｍｉＣｏｓｘ）ｇ’ｌ“ｉｍ‘（ｓｉｎｘｌ毒 ，
又ｓｉｎｘ～ｘ（ｘ－－’Ｏ＋），且姆（ｓｉｎ∥２Ⅲｌｉｍ。０５Ｘ２１，故由命
题７得：！ｉｒａ（ｓｉｎｚ）ｉ＝ｅ，则原式：￡：。一－。
３ 结语
通过对各例题的应用，说明对于求ｌ。、００、∞０型不定 式极限，本文给出的命题是有效的，计算是简洁的．并经过 对各命题的分析可知，应用命题２基本上能解决任何ｌ。型不 定式极限的求解，应用命题５、命题６和命题７在求００、０００型不 定式极限时虽然具有一定的局限性，但仍能解决大部分该 类型的极限，不失为好方法，好技巧，关键在于灵活运 用．
＝ｅｘｐ｛！ｉ士ｍ．且—，＃，）（ｘ＝）ｅｘｐ｛ｌｈａ｝＝４ ｏ ｚｌｎａ
２ 具体应用
例１［文献１ Ｐ７７·２（４）］求ｌ，ｉ。ｒａＡ卜＋ｘｘ）ｉ。
考研 高等数学 不定式极限
网络高等数学
中值定理和导数的应用
证 定义辅助函数
⎧ f ( x ), f1 ( x ) = ⎨ ⎩ 0, x≠a , x=a ⎧ F ( x ), F1 ( x ) = ⎨ ⎩ 0, x≠a , x=a
在 U 0 (a , δ ) 内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
1 1 = − lim =− , 2 3/ 2 x →0 6(1 − x ) 6
回到原式，故原式
1 x − arcsin x ⎛ x ⎞ = lim ⋅ lim⎜ ⎟ =− . 3 x →0 x →0 sin x 6 x ⎝ ⎠
3
网络高等数学
中值定理和导数的应用
⎛ 1 − cot 2 x ⎞. 例2 lim⎜ 2 ⎟ x →0 ⎝x ⎠
tan x 0 ,( ) 例如, lim x→ 0 x 0 ln sin ax ∞ lim ,( ) x→ 0 ln sin bx ∞
网络高等数学
中值定理和导数的应用
定理 设(1) 当 x → 0时,函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零; ( 2) 在 a 点的某领域内(点 a 本身可以除外 ), f ′( x )
0 ∞ 0
中值定理和导数的应用
二、 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ ,0 ,1 , ∞ 型未定式解法 0
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ∞ ) .
0
∞
1. 0 ⋅ ∞ 型
1 1 步骤: 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞ , 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅ . ∞ 0 求 lim x − 2e x . ( 0⋅∞ ) 例7
1 1− x
各类未定式求极限处理方法(主要针对考研数学)
各类未定式求极限处理方法（主要针对考研数学）在求极限的过程中，经常会遇到各种各样的未定式形式，如0/0、∞/∞、0*∞、∞-∞等。
对于这些不定式，我们可以通过一些方法进行处理，从而求出极限的值。
在考研数学中，熟练掌握这些处理方法是非常重要的。
下面，我将介绍一些常见的处理方法。
1. 0/0型：当求极限的时候，遇到0/0型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则进行处理。
设f(x)和g(x)都在其中一点a的一些去心邻域内有定义且可导，且满足f(a)=g(a)=0。
如果极限lim（x→a）f'(x)/g'(x)存在，那么极限lim（x→a）f(x)/g(x)也存在，且两者相等。
这就是洛必达法则。
通过多次应用洛必达法则，可以将0/0型的未定式化简为一个更容易求解的形式。
2. ∞/∞型：当求极限的时候，遇到∞/∞型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则的推广形式来处理。
对于同为正无穷或负无穷的函数f(x)和g(x)，如果f(x)/g(x)的极限存在，那么有lim（x→∞）f(x)/g(x) = lim（x→∞）f'(x)/g'(x)。
3.0*∞型：当求极限的时候，遇到0*∞型的未定式，我们可以考虑对函数进行变形。
将0*∞型的表达式转化为一个更有利于求解的形式。
例如，可以将其中的一个因子进行分解或者将整个表达式转化为一个以∞为变量的函数来求极限。
4.∞-∞型：当求极限的时候，遇到∞-∞型的未定式，我们需要使用一些特殊的方法进行处理。
一种常用的方法是通过换元来变换函数，将其化简为一个可以应用洛必达法则的形式。
另一种方法是将该极限转化为一个函数极限求解问题。
例如，可以使用多项式乘法公式对∞-∞型的未定式进行展开化简等。
5.1^∞型：当求极限的时候，遇到1^∞型的未定式，我们可以考虑使用对数函数或指数函数来进行处理。
将1^∞型的表达式转化为一个更容易处理的形式。
对于1^∞型的未定式，可以将其化为0^∞型或∞^0型，进而应用对数和指数的性质进行化简。
几类不定式极限的求法与技巧
不定式极限 （１ ０ ｏ ）是极限教学 中的重要 内 、 。、 型 容，教学难点之一，也是研究 生入学考试的考点．一些通用 教材中关于这些极限 的解法大致相同，具有普遍适用性 ，但 使用起来不太方便 ．本文将利用两个重 要极 限、洛必达法 则
和 等价 无 穷 小 等 知 识 ，分 别 给 出 了 这三 类 极 限 的简 便 、快 捷
据此，对于 １ 型不定式 极限，有如下重要结论 。 命题２假谢 （ 一ｌ （ 一ｏ ，并设 ｌ ［（）１ （ ＝ ｘ 且ｇｘ ｏ ） ） ｉ ／ 一】 Ａ。 ｍ ｘ ｇ）
若 （ ）Ａ 常 数 ， 则 ｌ ／ ） ＝ｅ ： （ ）Ａ ＋ ｏ 则 １ 为 ｉ （ ａ ｒ ２ ＝ ｏ ，
些 解 法具 极 ｐ ； 两个 重要 极 ｐ ；洛必达 法则 ；等价 无 穷小 ｉ ｔ ｉ ｔ
Ｓ ｌ ｉ ｓａ ｋ ｓｏｆ ｖ ｒ ｌ ｎｄ ｆＩ ｅ ｅ ｍ ｉ ａ ｅ Ｌｉ ｉｓ ｏ ｕｔ ｏｎ ｎｄ Ｓ 珊 Ｓｅ ｅ ａ Ｋｉ ｓｏ ｎｄ ｔ ｒ ｎ ｔ ｍ ｔ
维普资讯
曾 亮
林 秋 红
（ 肇庆科技 职业技 术学 院 数控 系，广 东 肇 庆 ５ ６ ２ ） ２ ０ ０
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(x)g(x)称为 1∞ 型不定式极限（本文中 lim 指某个极限过程，具体
的在同一问题中指代相同的极限过程）。一般教材中对于这类
极限常用的求解方法是：先将幂指函数取自然对数 ln，使 f(x)g(x)
变成
g(x)lnf(x)，接着将
limg(x)lnf(x)转化成
0 0
型不定式或 ∞ ∞
型不定式，运用洛必达法则求得极限值，再依据复合函数求极
式转化成第二类重要极限的形式。因为 limu(x)=0，所以由第二
1
类重要极限，有 lim(1+u(x)) u(x) =e，具体思路如下：limf(x)g(x)=lim
(1+u(x))
1 u(x)
u(x)g(x)
=lim[1+u(x))
1 u(x)
]u(x)g(x)=eM。下面通过两个例题来
1
理解一下这个思路。例
x→0
x→0
x→0
x→0
综上所述，1∞ 型不定式极限的求解方法是有固定的模式可
循的，可以运用取对数的一般方法求解，也可以用本文所介绍
的两种方法求解，而且本文的两种方法更好。
参考文献 [1]黄立宏主编．高等数学[M]．上海：复旦大学出版社，2010 [2]同济大学应用数学系编．高等数学[M]．北京：高等教育出版社， 2007 [3]华东师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社， 2001 [4]华中师范大学数学系编．数学分析[M]．武汉：华中师范大学出版 社，2001
1，lim
x
(e +x)
x
=lim
x
(1+e +x-1)
x→0
x→0
x
1 e +x-1
x
e +x-1
→ → x
e +x-1
x
1
=lim
x→0
x
（1+e
x
+x-1）e
+x-1
x
2
=e
。例
2，lim
(sin
1
x→∞
x
sin 1 +cos 1 -1
1
x
x
+cos 1
x
)
=lim
(1+sin
1
+cos 1
sin 1
职业教育
1∞ 型不定式极限求法的探讨
周琳
（武昌工学院，湖北 武汉 430065）
【摘 要】幂指函数是一类特殊的函数，有关幂指函数的问题往往具有复杂性。不定式极限中有很大一部分是关于幂指函数的 极限，本文专门介绍一下 1∞ 型幂指函数的不定式极限的求解方法。
【关键词】1∞ 型不定式；幂指函数；极限
已知幂指函数 f(x)g(x)，当 limf(x)=1，limg(x)=∞ 时，极限 limf
企业导报 2012 年第 19 期 241
限的方法把极限值取以为底的指数，这样就得到了最终结果。
这种方法具有一般性，大部分此类问题都可以用此法求解出
来，但是这种方法的思维不够连贯，表述稍显冗长，而且不够精
炼，下面给出两种相对巧妙的求法：
首先构造一个函数 u(x)，使得 f(x)=1+u(x)，因为 limf(x)=1，
所以显然有 limu(x)=0。当 limu(x)g(x)=M（常数）时，（1）将不定
+cos 1
x
)
=lim
xln(sin
e
1 x
+cos 1 )
x=
x→∞
x
x
x→∞
（sin 1 +cos 1 -1）
x
x
1
xln(1+sin 1 +cos 1 -1)
x(sin 1 +cos 1 -1)
x
lim e
x x =lim e x x =lim e
=e。以上分
x→∞
x→∞
x→∞
别运用这两种方法求解了两个例题，大致可以反映出两种方法
的思维过程，这两种方法逻辑清晰，表述清楚简单，其他此类型
的问题都可以按照这个步骤来解答。当然，如果 M 不是常数，
而是无穷大的时候，也可以运用上面的方法，在最后一步的时
候直接由下面两个结论得出结果：当 limu(x)g(x)=M=+∞ 时，
limf(x)g(x)=+∞；当 limu(x)g(x)=M=-∞ 时，limf(x)g(x)=0。下面举两
-1） x
+cos 1 -1 x
x
x→∞
x
x
1
x =lim
x→∞
sin 1 +cos 1 -1
x
x
1
→ → 1
x
(1+sin 1
+cos 1
sin 1 +cos 1
-1) x x
-1
x
x
=e。（2）将不定式转
化成指数函数极限形式，再利用等价无穷小量替换简化。因为
limu(x)=0，由等价无穷小量的替换，有 ln(1+u(x))～u(x)，具体思
路如下：limf(x)g(x)=limeg(x)lnf(x)=limeg(x)ln(1+u(x))=limeg(x)u(x)=eM。下面运
用这个方法求解上面的两个例题。
x
例
1，lim
1
x
(e
+x)
x
=lim
1
ex
x
ln(1+e +x-1)
=lim
e
e
+x-1 x
=e2。
x→0
x→0
x→0
例 2，lim (sin 1
个例子来理解这两个结论。
2
→ → 例 3，lim ( x+2 x→∞ x
3
x
)
=lim
(1+
2
x→∞
x
x
2
x
) 2 =lim
x→∞
(1+
2 x
x
)2
x
=+∞，
2
1
ln(cos2x)
ln(1-2sin x)
-2
4
4
4
2
例 4，lim (cos2x) x =lim e x =lim e x =lim e x =0。。