傅里叶变换
傅里叶全部公式
傅里叶全部公式
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域的数学工具。
它通过将时域函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。
傅里叶变换和逆变换的公式如下：
傅里叶变换公式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^−jωt dt
逆傅里叶变换公式：f(t) = (1 / 2π) ∫[−∞,+∞] F(ω) e^jωt dω
其中，f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数，e是自然常数，j 是虚数单位√(-1)，ω是频率，t是时间。
此外，傅里叶级数展开公式也是傅里叶变换的一种形式，它用来将周期函数分解成一系列振幅和相位不同的正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开公式：f(t) = a0/2 + ∑[n=1,∞] (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
其中，a0、an、bn是常数系数，表示不同频率分量的振幅，ω是基本频率。
这些公式是傅里叶变换和级数展开的基础公式，用于将函数在时域和频域之间进行转换，并在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛应用。
需要注意的是，傅里叶变换和级数展开还有一些特定的性质和变体公式，这些公式可以根据具体的应用场景进行扩展和变换。
常见的傅里叶变换
常见的傅里叶变换
傅里叶变换（FourierTransformation）是在数学术语中指任何将时域信号转换成频域信号（包括反向转换）的一种算法。
它可以将任何时域函数转换为复杂的频率函数，并使用它来衡量信号的性质。
这种变换的另一种表达形式是“Fourier分析”，它可以用于分析和解释复杂的信号，以及从中提取有关信号频率和振幅的信息。
傅里叶变换的主要用途是将复杂的时域信号转换为频域信号，以便快速获取信号的性质。
它也被广泛用于信号处理，数字信号处理，图像处理，科学可视化，生物信号处理，信号检测，滤波器设计等领域。
它可以提取有关信号的重要特征，包括频率，振幅，相位等，这些特征在信号分析，处理和重构方面非常重要。
在数学中，傅里叶变换可以用来进行积分及其反向变换，以及用于传输函数系统的稳定性分析。
此外，它也可以用于语音处理，设计滤波器，图像处理等方面。
常见的傅里叶变换有：
1. 傅里叶变换（Fourier Transform）：这是最基本的傅里叶变换，它用于将时域函数转换为频域函数。
2. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）：它是基于傅里叶变换的优化算法，可以将复杂信号的傅里叶变换运算时间减少到计算机可承受的最低水平。
3. 非负傅里叶变换（Non-negative Fourier Transform）：它是一种特殊的傅里叶变换，它只用非负数来表示傅里叶变换的系数，这
样可以更加精确地表示一个原始信号的复杂结构。
4. 小波变换（Wavelet Transform）：它是一种相对傅里叶变换而言的更加复杂的算法，它可以更精确地描述复杂信号，更有效地提取信号特征。
傅里叶变换和逆变换
傅里叶变换和逆变换傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学工具，用于将一个函数（或信号）从时域（时间域）转换到频域（频率域）表示。
它将一个函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦波的和。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域中有广泛应用。
傅里叶变换的数学表达式如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-2πikx)] dx其中，F(k)是频域表示的函数，f(x)是时域的函数，e是自然对数的底，i是虚数单位，k是频率。
逆傅里叶变换（Inverse Fourier Transform）则是将频域表示的函数转换回时域表示的过程。
它可以通过傅里叶变换的逆运算来实现，将频域函数重新合成为原始的时域函数。
逆傅里叶变换的数学表达式如下：f(x) = (1/N) * Σ[F(k) * e^(2πikx)]其中，f(x)是逆变换后得到的时域函数，F(k)是频域函数，N是函数的长度或采样点数。
傅里叶变换和逆傅里叶变换是一对互为逆运算的数学变换。
傅里叶变换将时域函数转换为频域函数，可以提供信号的频谱信息；逆傅里叶变换则将频域函数转换回时域函数，恢复原始信号的信息。
这对变换在信号处理中广泛应用，帮助我们理解信号的频率特性和进行频域处理。
当我们应用傅里叶变换时，我们通常使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和离散逆傅里叶变换（Inverse Discrete Fourier Transform，IDFT）。
离散傅里叶变换将离散的时域序列转换为离散的频域序列，而离散逆傅里叶变换则将离散的频域序列转换回离散的时域序列。
离散傅里叶变换（DFT）的数学表达式如下：X(k) = Σ[x(n) * e^(-2πikn/N)]其中，X(k)是频域表示的序列，x(n)是时域的序列，e是自然对数的底，i是虚数单位，k是频率，N是序列的长度。
离散逆傅里叶变换（IDFT）的数学表达式如下：x(n) = (1/N) * Σ[X(k) * e^(2πikn/N)]其中，x(n)是逆变换后得到的时域序列，X(k)是频域序列，N是序列的长度。
常用的傅里叶变换
常用的傅里叶变换
傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
常用的傅里叶变换包括：
离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）：用于对离散信号进行频域分析，将时域信号转换为频域信号。
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）：是计算离散傅里叶变换的一种高效算法，能够快速地计算离散信号的频谱。
傅里叶级数（Fourier Series）：用于将周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的和，常用于分析周期性信号的频谱成分。
傅里叶变换（Fourier Transform）：用于对连续信号进行频域分析，将连续时域信号转换为连续频域信号，包括傅里叶正变换和傅里叶逆变换。
这些傅里叶变换在实际应用中起着重要作用，能够帮助我们理解信号的频域特性，进行滤波、压缩、频谱分析等操作。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，用于分析信号的频谱成分。
在信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频谱分析、滤波、解调和压缩等方面。
1. 正弦信号的傅里叶变换正弦信号是最简单的周期信号之一，它可以表示为一个频率和幅度确定的正弦函数。
对于一个正弦信号，它的傅里叶变换是一个由两个峰值组成的频谱图。
其中一个峰值位于正弦信号的频率上，另一个峰值位于负频率上，其幅度与正弦信号的幅度相等。
2. 方波信号的傅里叶变换方波信号是一种以方波函数为基础的周期信号。
方波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个由多个峰值组成的频谱图。
频谱图上的峰值对应于方波信号中各个频率的成分。
3. 矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号是一种在有限时间内突然变化的信号。
它在时域上表现为一个宽度有限的矩形脉冲，其傅里叶变换是一个以脉冲宽度为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值表示了矩形脉冲信号中各个频率的成分。
4. 高斯信号的傅里叶变换高斯信号是一种以高斯函数为基础的连续非周期信号。
高斯信号在时域上呈钟形分布，其傅里叶变换是一个以高斯函数为形状的频谱图。
频谱图上的峰值表示了高斯信号中各个频率的成分。
5. 三角波信号的傅里叶变换三角波信号是一种以三角函数为基础的周期信号。
三角波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个以基频为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值对应于三角波信号中各个频率的成分。
6. 音频信号的傅里叶变换音频信号是一种连续时间的信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
音频信号的傅里叶变换可以得到音频信号的频谱图，从而可以对音频信号进行频谱分析、滤波和合成等操作。
7. 语音信号的傅里叶变换语音信号是一种声音信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
语音信号的傅里叶变换可以得到语音信号的频谱图，从而可以对语音信号进行声音分析、语音识别和语音合成等操作。
傅里叶变换(fft)
傅里叶变换(fft)
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学工具。
它是一种将信号分解成不同频率成分的方法，可以用来分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像、雷达信号等。
傅里叶变换的基本思想是，任何信号都可以看作是不同频率正弦波的叠加。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号分解成不同频率成分的正弦波，并计算它们在信号中的相对强度。
这些频率成分可以用幅度和相位来描述，它们可以用来分析信号的频谱特性，如频率分布、谐波含量、峰值位置等。
傅里叶变换有多种形式，其中最常见的是快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。
FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法，它通过分治法将傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(N log N)，其中N是信号的长度。
FFT广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理、通信系统等领域。
除了FFT之外，还有其他的傅里叶变换算法，如离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT）、离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）等。
这些算法在不同的应用场景中有不同的优缺点，需要根据具体的需求进行选择。
傅里叶变换基本公式
傅立叶变换是一种数学工具，用于将函数分解为其组成频率。
它是信号处理中的一个基本概念，具有广泛的应用，包括图像处理、数据压缩和通信系统。
傅里叶变换的基本公式由下式给出：
F(w) = ∫f(t)e^(-iwt)dt
在这个公式中，F(w) 是函数f(t) 的傅里叶变换，w 是频率。
符号∫表示积分，符号e^(-iwt)是复指数函数。
用于从其频率分量重建原始函数的逆傅里叶变换由下式给出：
f(t) = (1/2π) ∫F(w)e^(iwt)dw
式中，f(t)为原函数，F(w)为函数的傅里叶变换。
符号∫表示积分，符号e^(iwt)是复指数函数。
傅立叶变换具有许多重要的性质，例如线性、移位不变性和卷积定理，这使其成为分析和处理信号的强大工具。
它是许多领域广泛使用的技术，包括工程、物理和数学。
常用傅里叶变换公式大全
常用傅里叶变换公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地理解信号的特性。
下面就是常用的傅里叶变换公式大全：1、傅里叶变换：$$F(u)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi iux}dx$$2、傅里叶反变换：$$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iux}du$$3、离散傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)e^{-2\pi iun}$$4、离散傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=-\infty}^{\infty}F(u)e^{2\pi iun}$$5、快速傅里叶变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)W_N^{nu}$$6、快速傅里叶反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)W_N^{-nu}$$7、离散余弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$8、离散余弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\cos\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$9、离散正弦变换：$$F(u)=\sum_{n=0}^{N-1}f(n)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$10、离散正弦反变换：$$f(n)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^{N-1}F(u)\sin\frac{(2n+1)u\pi}{2N}$$以上就是常用的傅里叶变换公式大全，它们可以帮助我们更好地理解信号的特性，并且可以用来解决许多实际问题。
因此，傅里叶变换在科学研究和工程应用中都有着重要的作用。
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尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需 根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v)得到 f(x,y) 只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全 确定 同样的结论对f(x,y)在空域也成立
傅里叶变换
5.
周期性和共轭对称性
如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有 共轭对称性
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换
单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅 里叶变换F(u)定义为
1 F (u ) = M
M −1
∑
x =0
f (x )e − j 2πux / M
u=0,1,2,…,M-1
给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
M −1
f ( x) =
1 f ( x, y ) = MN
∑∑ f (x, y )
傅里叶变换
7.
平均值 所以
−
f ( x, y ) = F (0,0 )
上式说明：如果f(x,y)是一幅图像，在 原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度 级
傅里叶变换
8.
卷积理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散 卷积 1 M −1 N −1 f ( x, y ) ∗ h ( x, y ) = ∑∑ f (m, n )h(x − m, y − n )
F (u , v ) = F (− u,−v )
傅里叶变换的频率谱是对称的
F (u, v ) = F (− u,−v )
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质 快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
二维傅里叶变换的性质
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
半周期的傅里叶频谱 全周期的傅里叶频谱
一幅二维图像的傅里叶频谱
中心化的傅里叶频谱
傅里叶变换
6.
分离性
1 M −1 − j 2πux / M 1 N −1 − j 2πvy / N ( ) ( ) F u, v = e f x, y e ∑ ∑ M x =0 N y =0 1 M −1 − j 2πux / M = e F ( x, v ) ∑ M x =0
相角或相位谱为
I (u ) φ (u ) = arctan ( ) R u
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
功率谱为
P(u ) = F (u ) = R(u ) + I (u )
2 2 2
f(x)的离散表示
f ( x ) ≅ f ( x0 + x∆x )
x = 0,1,2,..., M − 1
F(u)的离散表示
F (u ) ≅ F (u∆u )
u = 0,1,2,..., M − 1
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
1 F (u , v ) = MN
M −1 N −1
∑∑
x =0 y =0
f ( x, y )e − j 2π (ux / M + vy / N )
傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
功率谱为
P(u, v ) = F (u, v ) = R(u, v ) + I (u, v )
2 2 2
F(u,v)的原点变换
ℑ f ( x, y )(− 1)
[
x+ y
] = F (u − M / 2, v − N / 2)
用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心
∑ f ( x )( cos(2π ux / M ) − j sin(2π ux / M ) )
x =0
M −1
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
F (u ) = F (u ) e − jφ (u )
幅度或频率谱为
F (u ) = R(u ) + I (u )
2
[
1 2 2
]
R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
u=0,1,2,…,M-1,
M −1 N −1 u =0 v =0
v=0,1,2,…,N-1
给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),
f ( x, y ) =
∑ ∑ F (u, v )e
j 2π (ux / M + vy / N )
x=0,1,2,…,M-1,
y=0,1,2,…,N-1
注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量
研究生课程
数字图像处理 Digital Image Processing
彭宇新 北京大学计算机科学技术研究所 E_mail:pengyuxin@
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换及其反变换 傅里叶变换的性质 快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
为什么要在频率域研究图像增强
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义
F (u ) =
为
∫
∞
−∞
f ( x )e − j 2πux dx
其中， j =
−1
给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f ( x) =
∫
∞
−∞
F (u )e j 2πux du
傅里叶变换
二维连续傅里叶变换及反变换
上述公式表明：傅里叶变换对加法满足分配 律，但对乘法则不满足
傅里叶变换
3.
尺度变换（缩放）
给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列 2个公式成立
af ( x, y ) ⇔ aF (u , v )
1 f (ax, by ) ⇔ F (u / a, v / b ) ab
傅里叶变换
4.
旋转性
引入极坐标 x = r cos θ , y = r sin θ , u = ω cos ϕ , v = ω sin ϕ 将f(x,y)和F(u,v)转换为 (r ,θ ) 和 F (ω , ϕ )。将它 们带入傅里叶变换对得到
MN
m =0 n =0
f*表示f的复共轭。对于实函数， f*＝f 相关定理
f (x, y ) h(x, y ) ⇔ F * (u, v )H (u, v )
f * (x, y )h(x, y ) ⇔ F (u, v ) H (u, v )
傅里叶变换
自相关理论
f (x, y ) f (x, y ) ⇔ F (u, v ) = R(u, v ) + I (u, v )
F (u , v ) = F (− u ,−v )
∗
F (u , v ) = F (− u ,−v )
其中，F*(u,v)为F(u,v)的复共轭。
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个 复数叫做互为共轭复数.
周期性和共轭对称性举例
对于一维变换F(u)，周期性是指F(u)的周期长 度为M，对称性是指频谱关于原点对称
当u0=M/2且v0=N/2,
j 2π ( u 0 x / M + v0 y / N )
e
=e
jπ ( x + y )
= (− 1)
x+ y
带入（1）和（2），得到
f (x, y )(− 1)
x+ y
⇔ F (u − M / 2, v − N / 2)
u +v
f (x − M / 2, y − N / 2) ⇔ F (u, v )(− 1)
u=0,1,2,…,M-1,
v=0,1,2,…,N-1
傅里叶变换
F(0,0)表示
1 F (0,0 ) = MN
M −1 N −1 x =0 y =0
∑∑ f (x, y )
这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅 里叶变换等于图像的平均灰度级
傅里叶变换 如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是 对称的，即
f (r , θ + θ 0 ) ⇔ F (ω , ϕ + θ 0 )
f(x,y)旋转角度 θ 0 ，F(u,v)也将转过相同 的角度 F(u,v)旋转角度 θ 0 ，f(x,y)也将转过相同 的角度
傅里叶变换
5.
周期性和共轭对称性
F (u , v ) = F (u + M , v ) = F (u , v + N ) = F (u + M , v + N ) f ( x, y ) = f ( x + M , y ) = f ( x, y + N ) = f ( x + M , y + N ) 上述公式表明
2 2 2
f (x, y ) ⇔ F (u, v ) F (u, v )
(1) (2)
公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的频域中心移动到新的位置 公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的空域中心移动到新的位置 公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换 的幅值
傅里叶变换
1.
傅里叶变换对的平移性质（续）
二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定 义为