2019年上海市普陀区高考数学一模试卷
2019年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的定义城为．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝．4．（4分）若直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝（结果用数值表示）8．（5分）设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，则sin8x+cos8x＝．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2019年的年薪为万元（结果精确到0.1）11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝．12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+log a（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．焦点坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．顶点坐标为（±6，0）14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c 16．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cos C＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i （i＝1，2，3，4）．1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？20．设数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{a n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．2019年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的定义城为（﹣∞，0）∪（0，1]．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】根据偶次根式中被开方非负，分母不为0列式解得．【解答】解：由解得：x≤1且x≠0，故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法．属基础题．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：∵sinα＝，∴cos（）＝﹣sin．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝﹣2．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可以看出，只有α＝﹣2时，f（x）为偶函数，从而得出α＝﹣2．【解答】解：f（x）＝x﹣2是偶函数；∴α＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的特点．4．（4分）若直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线y2＝4x的焦点，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），方向向量为＝（1，1）的直线l的斜率为1，故直线l的方程是y﹣0＝1•（x﹣1），即y＝x﹣1，故答案为：x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方乘，抛物线的简单性质，确定斜率是解题的关键．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为4．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设球的半径为R，根据题意列方程可得．【解答】解：设球的半径为R，则πR3＝R，∴πR2＝1，球的表面积为：4πR2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了球的体积和表面积，属中档题．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，由此能求出至少有一个红球的概率．【解答】解：在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，∴至少有一个红球的概率为P＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝0（结果用数值表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】把（x+1）5按照二项式定理展开，可得a3的值．【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）5＝（x﹣1）（x5+5x4+10x3+10x2+5x+1）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝10﹣10＝0，故答案为：0．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．（5分）设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，则sin8x+cos8x＝1．【考点】4H：对数的运算性质；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和对数的应用求出结果．【解答】解：设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，所以：sin x﹣cos x＝a0＝1，所以：sin x•cos x＝0，则：sin x﹣cos x＝1，则：sin8x+cos8x＝（sin4x﹣cos4x）2+2sin4x•cos4x，＝[（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）]2+2sin4x•cos4x，＝[（sin x+cos x）（sin x﹣cos x）]2﹣0，＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为32．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，设DD1＝h，又AB＝BC＝4，则A（4，0，0），E（2，4，），B（4，4，0），F（2，2，h），∴，，∵AE⊥BF，∴4﹣8+＝0，即h＝．∴此棱柱的体积为．故答案为：．【点评】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2019年的年薪为10.4万元（结果精确到0.1）【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，即可求出2019年的每月的工资，即可求出年薪【解答】解：由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，则此人2019年每月的基础工资为2100+210（10﹣1）＝3990元，每月的绩效工资为2000×1.19≈4715.90元，则此人2019年的年薪为12（3990+4715.90）≈10.4万元，故答案为：10.4．【点评】本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝3．【考点】9E：向量数乘和线性运算；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由割线定理可得，|AB||AC|＝|AD||AE|＝1×3＝3【解答】解：由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由圆的割线定理可得，|AB||AC|＝|AD||AE|，∴•＝||||cos0＝|AB||AC|＝|AD||AE|＝1×3＝3故答案为：3【点评】本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属中档题12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+log a（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝a2．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求出反函数，然后求出f﹣1（x）+f﹣1（1﹣x）＝a，所以等于a个a．【解答】解：由f（x）＝+log a，得f﹣1（x）＝，∴f﹣1（1﹣x）＝＝，∴f﹣1（x）+f﹣1（1﹣x）＝+＝a，∴原式＝a•a＝a2，故答案为：a2【点评】本题考查了反函数，属基础题．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．焦点坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．顶点坐标为（±6，0）【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】关于双曲线Γ：＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝9，即可得答案．【解答】解：关于双曲线Γ：＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝9，则渐近线方程为x±y＝0；焦点为（±3，0）；实轴2a＝2，顶点坐标为（±，0）．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程、几何性质，属于基础题．14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称【考点】H7：余弦函数的图象；HB：余弦函数的对称性．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用余弦函数的性质求出结果．【解答】解：对于选项：A，当x＝0时y＝，故错误．对于选项C：当x＝0时，y＝，故错误．对于选项D：当x＝时，y＝﹣，故错误．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交、平行或异面；在C 中，a⊥β，b⊥β，则a∥b，反之a∥b，不一定得到a⊥β，b⊥β；在D中，a与b相交或异面．【解答】解：由a、b、c表示直线，α、β表示平面，在A中，a⊥b，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a⊥β，b⊥β，则a∥b，反之a∥b，不一定得到a⊥β，b⊥β，故C正确；在D中，a∥c，b⊥c，则a与b相交或异面，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题成立的一个充分非必要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】13：作图题；51：函数的性质及应用．【分析】分别作出y＝f（x）与直线y＝a（1＜a≤）的图象，观察交点个数即可【解答】解：由图可知：直线y＝a（0）与y＝f（x）在区间[﹣4，5]上的交点有8个，故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想及作图能力．三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cos C＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin C，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．（2）由余弦定理，基本不等式可求a+b的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求a+b＞c＝2，即可得解a+b的取值范围．【解答】解：（1）∵cos C＝，∴sin C＝＝，∴2cos2+2sin2C＝1+cos（A+B）+2sin2C＝1﹣cos C+4sin C cos C＝1﹣+4×＝．…（6分）（2）∵c＝2，cos C＝，∴由余弦定理可得：4＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab，∵a2+b2≥2ab，可得：ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，∴可得：（a+b）2＝4+ab≤，可得：a+b≤，当且仅当a＝b时等号成立，∵a+b＞c＝2，∴a+b的取值范围为：（2，]．…（12分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；4C：分类法；4I：配方法；5C：向量与圆锥曲线．【分析】（1）由已知椭圆方程求出A，B的坐标，设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），由斜率公式及点P在椭圆上即可证明k1•k2是定值；（2）设C（m，0）（﹣4＜m＜4），写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合＝λ（λ＞0），求得λ的值．【解答】（1）证明：由椭圆方程可得A（﹣4，0），B（4，0），设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），则，，∴k1•k2＝＝为定值；（2）解：设C（m，0）（﹣4＜m＜4），则＝＝．若m≥0，则＝7，解得m＝3．此时，，，由＝λ，得λ＝7；同理，若m＜0，可得m＝﹣3，此时求得．故λ的值为7或．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i （i＝1，2，3，4）．1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）组成该种钉的条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，由此能求出OA1与平面A1A2A3所成角的大小．（2）推导出＝3，A1A2＝a，从而a＝cm，由此能求出要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料的长度．【解答】解：（1）根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则A1B是OA1在平面A1A2A3上的射影，∴∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，设A1A4＝l，则A1B＝，在Rt△A4A1B中，＝，即，∴l＝a，∴，cos∠OA1B＝＝（其中0＜），∴∠OA1B＝，∴OA1与平面A1A2A3所成角的大小为arccos．（2）＝3，根据（1）可得A1A2＝a，∴a＝cm，∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料：＝2（米）．∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料2米．【点评】本题考查线面角的求法，考查需要材料数量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20．设数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{a n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用关系式求出结果．（2）利用定义证明数列{﹣1}是等比数列，并求出极限值．（3）首先求出数列的关系式，进一步利用数列的单调性求出函数的存在问题的条件，进一步确定k的值．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．所以：，，（2）由于数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．所以：（常数），所以：：{﹣1}是以为首项，为公比的等比数列．所以：，所以：，故：，＝，＝2．（3）由于：，所以，，，所以：a n+1﹣a n＝＜0，所以：数列{a n}为递减数列，则：当n≥2时，k≤S2＝，所以：k＝1．所以：存在k＝1，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立．【点评】1本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k 的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x）≤6，即为22x﹣2x﹣6≤0，即为（2x+2）（2x﹣3）≤0，可得解集；（2）根据g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1，利用换元法，求解最值，即可求解k的取值范围；（3）根据h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），x∈[0，1]，均有|h（k）|，建立关系即可求解a，b的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x）≤6，即为22x﹣2x﹣6≤0，即为（2x+2）（2x﹣3）≤0，即有2x≤3，解得x≤log23，即解集为（﹣∞，log23]；（2）存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，即为1+2﹣2＝k（2﹣2）2，设t＝2﹣2，在（1，2]递增，可得＜t≤，（2+2）2＝2+2+2＝t2+4，即有1+＝kt2，则k＝+，设m＝，m∈[，），即有y＝m+，在m∈[，）递增，可得y∈（，]，即有k∈（，]，（3）h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b＝22x+2+a•2x+b＝4（2x）2+a•2x+b，令v＝2x，∵x∈[0，1]，∴v∈[1，2]，∴h（x）＝φ（v）＝4v2+av+b．若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（x）|，即对任意v∈[1，2]，|φ（v）|＝|4v2+av+b|．∴，解得：a＝﹣12，b＝13.5．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．。
上海市2019年七校联考高考数学一模试卷(理科)含答案解析
上海市2019年七校联考高考数学一模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是．（用数字作答）4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．318．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．2019年上海市七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．方程4x=2x+1﹣1的解是x=0．【分析】由已知得（2x）2﹣2×2x+1=0，由此能求出原方程的解．【解答】解：∵4x=2x+1﹣1，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，解得2x=1，∴x=0．故答案为：x=0．【点评】本题考查方程的解的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质的合理运用．2．增广矩阵对应方程组的系数行列式中，元素3的代数余子式的值为5．【分析】根据余子式的定义可知，M21=﹣，计算即可得解．【解答】解：由题意得：M21=﹣=5，故答案为：5．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．3．在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是15．（用数字作答）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数【解答】解：（1+）6展开式的通项为T r+1=C6r（）r=C6r，令r=4得含x2的项的系数是C64=15，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15【点评】本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．4．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．5．若，则它的反函数是f﹣1（x）=．【分析】由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=（x≤0），解得：x=﹣，把x与y互换可得：y=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．设抛物线x2=py的焦点与双曲线的上焦点重合，则p的值为8．【分析】利用双曲线和抛物线的简单性质直接求解．【解答】解：∵双曲线，∴c==2，∴双曲线的两个焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），∵抛物线x2=py的焦点F（，0）与双曲线的上焦点重合，∴==2，∴p=8．故答案为：8．【点评】本题考查抛物线中参数的求法，是基础题，解题时要注意双曲线和抛物线的简单性质的合理运用．7．已知数列，则a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=5000．【分析】由已知条件可得数列的奇数项是以0为首项，以2为公差的等差数列、偶数项以2为首项，2为公差的等差数列，分别代入等差数列的前n项和公式计算．【解答】解：a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=（0+2+4+...+98）+（2+4+ (100)=49×50+51×50=5000故答案为5000．【点评】本题主要考查等差数列的求和公式，分组求和的方法，考查学生的运算能力．8．已知函数f（x）=则使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x ≤1，或x=2} ．【分析】结合函数的图象可得，若f[f（x）]=2，则f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求．【解答】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示：故函数的值域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）．由f[f（x）]=2 可得f（x）=2 或0≤f（x）≤1．若f（x）=2，由函数f（x）的图象可得0≤x≤1，或x=2．若0≤f（x）≤1，则由f（x）的图象可得x∈∅．综上可得，使f[f（x）]=2成立的实数x的集合为{x|0≤x≤1，或x=2}，故答案为{x|0≤x≤1，或x=2}．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=4．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．当n=2时，当n=3时，，此时n+1=4．故答案为：4【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．曲线y=Asin2ωx+k（A＞0，k＞0）在区间上截直线y=4与y=﹣2所得的弦长相等且不为0，则A+k的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据曲线的方程可求得函数的周期，进而根据被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，推断出k==1，A＞=3．答案可得．【解答】解：曲线y=Asin（2ωx+ϕ）+k（A＞0，k＞0）的周期为T==，被直线y=4和y=﹣2所截的弦长相等且不为0，结合图形可得k==1，A＞=3．则A+k＞4，故答案为：（4，+∞）．【点评】本题主要考查了三角函数图象和性质，对y=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0），周期为T=，平衡位置为y=B，y max=A+B，y min=﹣A+B，属于中档题．11．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为18+12．【分析】求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将表示成θ的三角函数，求出最．大值【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴=﹣18cosθ+6sinθ+18=12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．12．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=．【分析】从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，由此能求出数学期望Eξ．【解答】解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）==，若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）==，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=，∴随机变量ξ的数学期望E（ξ）=1×+×=．故答案为：．【点评】本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．13．设数列{a n}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），f n（x）=b总有两个不同的根，则{a n}的通项公式为．【分析】根据条件确定a n+1﹣a n=nπ，利用叠加可求得{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1=0，当n=1时，f1（x）=|sin（x﹣a1）|=|sinx|，x∈[0，a2]，又∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a2=π∴f1（x）=sinx，x∈[0，π]，a2=π又f2（x）=|sin（x﹣a2）|=|sin（x﹣π）|=|cos|，x∈[π，a3]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a3=3π…（5分）又f3（x）=|sin（x﹣a3）|=|sin（x﹣3π）|=|sinπ|，x∈[3π，a4]∵对任意的b∈[0，1），f1（x）=b总有两个不同的根，∴a4=6π…（6分）由此可得a n+1﹣a n=nπ，∴a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n）=0+π+…+（n﹣1）π=﹣1∴故答案为：【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题．14．如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，则A，P两点间的球面距离为．【分析】由题意求出AP的距离，然后求出∠AOP，即可求解A、P两点间的球面距离．【解答】解：半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，所以CD⊥平面AOB，因为∠BOP=60°，所以△OPB为正三角形，P到BO的距离为PE=R，E为BO的中点，AE==R，AP==R，AP2=OP2+OA2﹣2OPOAcos∠AOP，∴（R）2=R2+R2﹣2RRcos∠AOP，∴cos∠AOP=，∠AOP=arccos，∴A、P两点间的球面距离为．故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．设a、b均为非零实数，则“”是“”的什么条件？（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】分别求出不等式成立的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当b=﹣1，a=1时，满足，但不成立．若，则，∴，∴成立．∴“”是“”成立的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．16．已知a是实数，则函数f（x）=acosax的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性排除不满足题意的选项，根据函数的表达式确定函数的最值与周期的关系，推出正确结果．【解答】解：函数f（x）=acosax，因为函数f（﹣x）=acos（﹣ax）=acosax=f（x），所以函数是偶函数，所以A、D错误；结合选项B、C，可知函数的周期为：π，所以a=2，所以B不正确，C正确．故选C【点评】本题是基础题，考查视图能力，发现问题解决问题的能力，排除方法的应用，函数的周期与最值的关系是解题的关键，好题．17．数列{a n}满足，，则的整数部分是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1）从而得到，通过累加得：m=+…+=﹣=2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，可得：a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分．【解答】解：由题意可知，a n+1﹣1=a n（a n﹣1），，∴m=+…+=﹣═2﹣，a n+1﹣a n=≥0，a n+1≥a n，∴a2019≥a2019≥a3≥2，，1＜m＜2，故可求得m的整数部分1．故答案选：B．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用数列的递推式．18．在直角坐标系中，如果不同的两点A（a，b），B（﹣a，﹣b）都在函数y=f（x）的图象上，那么称[A，B]为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（[A，B]与[B，A]看作同一组），函数g（x）=，关于原点的中心对称点的组数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用定义，只要求出g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数h（x）=sin，x＞0，观察h（x）与g（x）=log2（x+1），x＞0的交点个数，即为中心对称点的组数．【解答】解：由题意可知g（x）=sin，x≤0，则函数g（x）=sin，x≤0，关于原点对称的函数为h（x）=sin，x＞0，则坐标系中分别作出函数h（x）=sin，x＞0，g（x）=log2（x+1），x＞0的图象如图，由图象可知，两个图象的交点个数有1个，所以函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为1组．故选：B【点评】本题主要考查函数的交点问题，利用定义先求出函数关于原点对称的函数，是解决本题的关键．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（1）利用同角三角函数关系求得cosα的值，分别代入函数解析式即可求得f（α）的值．（2）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间．【解答】解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．20．设在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F依次为C1C，BC 的中点．（1）求异面直线A1B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离．【分析】（1）连接C1B，因为C1B∥EF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等．（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离．【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）（1），，∴（6分）（2）设平面AEF的一个法向量为，∵，由得令a=1可得（10分）∵，∴（13分）∴点B1到平面AEF的距离为．（14分）【点评】此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点B（0，1）．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P，Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．【分析】（1）由题意可得a=2b，b=1，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l的方程和椭圆方程，运用韦达定理，可得Q的坐标，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即有，运用数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意知，a=2b，b=1，解得a=2，可得椭圆的标准方程为：；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0，（*）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0 ①，由（*）式，②，得y1+y2=k（x1+x2）+4k③，由①②③，可得，由点B在以PQ为直径圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．．即，整理得20k2﹣4k﹣3＜0，解得．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查实数的取值范围，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查点在圆内的条件：点与直径的端点的张角为钝角或平角，运用数量积小于0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．已知函数f（x）=a（x+）﹣|x﹣|（x＞0）a∈R．（1）若a=，求y=f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4，求实数a，t应满足的条件；（3）在（2）条件下，若x1，x2，x3，x4成等比数列，求t用a表示．【分析】（1）将a=代入，结合正比例函数和反比例函数的图象和性质，可得函数的单调区间；（2）利用导数法，分类讨论，不同情况下y=f（x）的单调性，进而求出满足条件的实数a，t的范围；（3）韦达定理可得x1，x2，x3，x4两两互为倒数，结合等比数列的性质，结合韦达定理，可用a表示t．【解答】解：（1）当a=时，函数f（x）=（x+）﹣|x﹣|=．故y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；（2）f（x）=a（x+）﹣|x﹣|=，f′（x）=，当a≤1时，y=f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞），不合题意．当a＞1时，f（x）在（0，]上单调递减，在[，1]上单调递增，在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，又由f（）=f（）=，f（1）=2a，∴方程f（x）=t有四个不同的解x1，x2，x3，x4时，a，t应满足的条件为：＜t＜2a，a＞1；（3）f（x）=t即，或，即（a+1）x2﹣tx+a﹣1=0，或（a﹣1）x2﹣tx+a+1=0，由韦达定理可得两方程的根分别互为倒数，设四个解从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x2x3=1，x1x4=1，∴x1x2x3x4=1，若x1，x2，x3，x4成等比数列，则x1=x23，∴x1x2=x24=，x1+x2=，∴x2=，∴+（）3=，解得：t=+（a＞1）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，根的存在性及判断，函数的单调性，与函数的极值，数列的性质，综合性强，转化困难，属于难题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）计算a1，a2，a3，并归纳出数列{a n}的通项公式；（2）将数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21）…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n}，求b5+b100的值；（3）设A n为数列的前n项积，若不等式A n＜f（a）﹣对一切n∈N*都成立，求a的取值范围．【分析】（1）由已知可得，即．分别令n=1，n=2，n=3，代入可求a1，a2，a3，进而猜想a n（2）由a n=2n可得数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数，所有第2个数、所有第3个数、所有第4个所有第4个数分别组成都是等差数列，公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．代入可求（3）因为，，若成立设，则只需即可利用g（n）的单调性可求其最大值，从而可求a的范围【解答】解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以．令n=1，得，所以a1=2；令n=2，得，所以a2=4；令n=3，得，所以a3=6．由此猜想：a n=2n．（2）因为a n=2n（n∈N*），所以数列{a n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20．同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80．注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010（3）因为，故，所以．又，故对一切n∈N*都成立，就是对一切n∈N*都成立．设，则只需即可．由于=，所以g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a的取值范围是．【点评】本题综合考查了利用函数的解析式求解数列的递推公式进而求解数列的项，等差数列的求和公式的应用，及利用数列的单调性求解数列的最大（小）项问题的求解，属于函数与数列知识的综合应用的考查。
2019年上海市民办普陀前进高级中学 (高中部)高考数学选择题专项训练(一模)
2019年上海市民办普陀前进高级中学 (高中部)高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：内蒙古乌兰察布市2015_2016学年高二数学下学期期末考试试题理下列四组函数中,表示同一函数的是（）A． B．C． D．【答案】A第 2 题：来源：安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学下学期期中试题（普通班）文下列说法中正确的是( )．A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C第 3 题：来源：山东省济南市2017_2018学年高二数学上学期开学考试试题试卷及答案已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )A．9 B．18 C．9 D．18【答案】C第 4 题：来源： 2016-2017学年云南省云天化中学高二数学上学期期末考试试题试卷及答案理高二某班共有学生56人，座号分别为1,2,3,…,56,现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C第 5 题：来源：江西省南昌市2018届高三数学上学期第一次晚练试题理试卷及答案已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(┐q)；④(┐p)∨q中，真命题是( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C解析当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而┐p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而┐q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(┐q)为真命题；④(┐p)∨q为假命题．故选C.第 6 题：来源：四川省新津县2018届高三数学10月月考试题理试卷及答案一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）.A．B．C．D．【答案】B第 7 题：来源：河南省开封市、商丘市九校2018_2019学年高一数学下学期期中联考试题( )A． B． C． D．【答案】A第 8 题：来源：陕西省黄陵县2018届高三数学上学期期中试题（普通班）理试卷及答案已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为 ( ) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0【答案】C第 9 题：来源：青海省西宁市2017_2018学年高一数学12月月考试题试卷及答案方程的解的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B第 10 题：来源：山东省德州市2017届高考第一次模拟考试数学试题(理科)含答案设集合，，则（）A．B．C ．D ．【答案】B第 11 题：来源：广东省深圳市普通高中2017_2018学年高二数学下学期4月月考试题1201805241393已知函数的定义域为，部分对应值如下表，-10 2 341 2 0 2 0的导函数的图象如右图所示。
2019年上海市普陀区高考数学一模试卷
2019年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的定义城为．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝．4．（4分）若直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝（结果用数值表示）8．（5分）设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，则sin8x+cos8x＝．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2019年的年薪为万元（结果精确到0.1）11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝．12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+log a（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．焦点坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．顶点坐标为（±6，0）14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c 16．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cos C＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i （i＝1，2，3，4）．1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？20．设数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{a n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．2019年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1．（4分）函数f（x）＝的定义城为（﹣∞，0）∪（0，1]．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】根据偶次根式中被开方非负，分母不为0列式解得．【解答】解：由解得：x≤1且x≠0，故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]【点评】本题考查了函数的定义域及其求法．属基础题．2．（4分）若sinα＝，则cos（）＝．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：∵sinα＝，∴cos（）＝﹣sin．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3．（4分）设α∈{，﹣1，﹣2，3}，若f（x）＝xα为偶函数，则α＝﹣2．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可以看出，只有α＝﹣2时，f（x）为偶函数，从而得出α＝﹣2．【解答】解：f（x）＝x﹣2是偶函数；∴α＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的特点．4．（4分）若直线l经过抛物线C：y2＝4x的焦点且其一个方向向量为＝（1，1），则直线l的方程为x﹣y﹣1＝0．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；4G：演绎法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线y2＝4x的焦点，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为（1，0），方向向量为＝（1，1）的直线l的斜率为1，故直线l的方程是y﹣0＝1•（x﹣1），即y＝x﹣1，故答案为：x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方乘，抛物线的简单性质，确定斜率是解题的关键．5．（4分）若一个球的体积是其半径的倍，则该球的表面积为4．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设球的半径为R，根据题意列方程可得．【解答】解：设球的半径为R，则πR3＝R，∴πR2＝1，球的表面积为：4πR2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了球的体积和表面积，属中档题．6．（4分）在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为．（结果用最简分数表示）【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，由此能求出至少有一个红球的概率．【解答】解：在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，从袋中随机取出两个球，基本事件总数n＝＝36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，∴至少有一个红球的概率为P＝1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）设（x﹣1）（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝0（结果用数值表示）【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】把（x+1）5按照二项式定理展开，可得a3的值．【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）5＝（x﹣1）（x5+5x4+10x3+10x2+5x+1）＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6，则a3＝10﹣10＝0，故答案为：0．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．（5分）设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，则sin8x+cos8x＝1．【考点】4H：对数的运算性质；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和对数的应用求出结果．【解答】解：设a＞0且a≠1，若log a（sin x﹣cos x）＝0，所以：sin x﹣cos x＝a0＝1，所以：sin x•cos x＝0，则：sin x﹣cos x＝1，则：sin8x+cos8x＝（sin4x﹣cos4x）2+2sin4x•cos4x，＝[（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）]2+2sin4x•cos4x，＝[（sin x+cos x）（sin x﹣cos x）]2﹣0，＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．（5分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为4，记A1C1∩B1D1＝F，BC1∩B1C＝E，若AE⊥BF，则此棱柱的体积为32．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．【分析】建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h，求出的坐标，由数量积为0求得h，则棱柱的体积可求．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，设DD1＝h，又AB＝BC＝4，则A（4，0，0），E（2，4，），B（4，4，0），F（2，2，h），∴，，∵AE⊥BF，∴4﹣8+＝0，即h＝．∴此棱柱的体积为．故答案为：．【点评】本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．10．（5分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%．照此推算，此人2019年的年薪为10.4万元（结果精确到0.1）【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，即可求出2019年的每月的工资，即可求出年薪【解答】解：由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，则此人2019年每月的基础工资为2100+210（10﹣1）＝3990元，每月的绩效工资为2000×1.19≈4715.90元，则此人2019年的年薪为12（3990+4715.90）≈10.4万元，故答案为：10.4．【点评】本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．11．（5分）已知点A（﹣2，0），设B、C是圆O：x2+y2＝1上的两个不同的动点，且向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），则＝3．【考点】9E：向量数乘和线性运算；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由割线定理可得，|AB||AC|＝|AD||AE|＝1×3＝3【解答】解：由向量＝t+（1﹣t）（其中t为实数），可得：A，B，C三点共线，且，同向，设圆O与x轴正半轴交于点E，与x轴负半轴交于点D，由圆的割线定理可得，|AB||AC|＝|AD||AE|，∴•＝||||cos0＝|AB||AC|＝|AD||AE|＝1×3＝3故答案为：3【点评】本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属中档题12．（5分）设a为常数记函数f（x）＝+log a（a＞0且a≠1，0＜x＜a）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（）+f﹣1（）+f﹣1（）+……+f﹣1（）＝a2．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求出反函数，然后求出f﹣1（x）+f﹣1（1﹣x）＝a，所以等于a个a．【解答】解：由f（x）＝+log a，得f﹣1（x）＝，∴f﹣1（1﹣x）＝＝，∴f﹣1（x）+f﹣1（1﹣x）＝+＝a，∴原式＝a•a＝a2，故答案为：a2【点评】本题考查了反函数，属基础题．二、选择题（本大题共有4题满分20分.每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）下列关于双曲线Γ：＝1的判断，正确的是（）A．渐近线方程为x±2y＝0B．焦点坐标为（±3，0）C．实轴长为12D．顶点坐标为（±6，0）【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】关于双曲线Γ：＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝9，即可得答案．【解答】解：关于双曲线Γ：＝1，a2＝6，b2＝3，c2＝9，则渐近线方程为x±y＝0；焦点为（±3，0）；实轴2a＝2，顶点坐标为（±，0）．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程、几何性质，属于基础题．14．（5分）函数y＝2cos（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣）C．关于y轴对称D．关于直线x＝轴对称【考点】H7：余弦函数的图象；HB：余弦函数的对称性．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】直接利用余弦函数的性质求出结果．【解答】解：对于选项：A，当x＝0时y＝，故错误．对于选项C：当x＝0时，y＝，故错误．对于选项D：当x＝时，y＝﹣，故错误．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．（5分）若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a∥b”成立的一个充分非必要条件是（）A．a⊥b，b⊥c B．a∥α，b∥αC．a⊥β，b⊥βD．a∥c，b⊥c【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交、平行或异面；在C 中，a⊥β，b⊥β，则a∥b，反之a∥b，不一定得到a⊥β，b⊥β；在D中，a与b相交或异面．【解答】解：由a、b、c表示直线，α、β表示平面，在A中，a⊥b，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a⊥β，b⊥β，则a∥b，反之a∥b，不一定得到a⊥β，b⊥β，故C正确；在D中，a∥c，b⊥c，则a与b相交或异面，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题成立的一个充分非必要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为4的函数，且f（x）＝，记g（x）＝f（x）﹣a，若0＜a≤则函数g（x）在区间[﹣4，5]上零点的个数是（）A．5B．6C．7D．8【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】13：作图题；51：函数的性质及应用．【分析】分别作出y＝f（x）与直线y＝a（1＜a≤）的图象，观察交点个数即可【解答】解：由图可知：直线y＝a（0）与y＝f（x）在区间[﹣4，5]上的交点有8个，故选：D．【点评】本题考查了数形结合的思想及作图能力．三、解答题17．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cos C＝．（1）求2cos2+2sin2C的值；（2）设c＝2，求a+b的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin C，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．（2）由余弦定理，基本不等式可求a+b的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求a+b＞c＝2，即可得解a+b的取值范围．【解答】解：（1）∵cos C＝，∴sin C＝＝，∴2cos2+2sin2C＝1+cos（A+B）+2sin2C＝1﹣cos C+4sin C cos C＝1﹣+4×＝．…（6分）（2）∵c＝2，cos C＝，∴由余弦定理可得：4＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab，∵a2+b2≥2ab，可得：ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，∴可得：（a+b）2＝4+ab≤，可得：a+b≤，当且仅当a＝b时等号成立，∵a+b＞c＝2，∴a+b的取值范围为：（2，]．…（12分）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知曲线Γ：＝1的左、右顶点分别为A，B，设P是曲线Γ上的任意一点．（1）当P异于A，B时，记直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2是定值；（2）设点C满足＝λ（λ＞0），且|PC|的最大值为7，求λ的值．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；4C：分类法；4I：配方法；5C：向量与圆锥曲线．【分析】（1）由已知椭圆方程求出A，B的坐标，设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），由斜率公式及点P在椭圆上即可证明k1•k2是定值；（2）设C（m，0）（﹣4＜m＜4），写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合＝λ（λ＞0），求得λ的值．【解答】（1）证明：由椭圆方程可得A（﹣4，0），B（4，0），设P（x0，y0）（﹣4≤x0≤4），则，，∴k1•k2＝＝为定值；（2）解：设C（m，0）（﹣4＜m＜4），则＝＝．若m≥0，则＝7，解得m＝3．此时，，，由＝λ，得λ＝7；同理，若m＜0，可得m＝﹣3，此时求得．故λ的值为7或．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．19．如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为A i （i＝1，2，3，4）．1）设OA1＝a（a＞0），当A1，A2，A3在同一水平面内时，求OA1与平面A1A2A3所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3cm2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少米？【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）组成该种钉的条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，由此能求出OA1与平面A1A2A3所成角的大小．（2）推导出＝3，A1A2＝a，从而a＝cm，由此能求出要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料的长度．【解答】解：（1）根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后得到的四面体A1A2A3A4为正四面体，延长A4O交平面A1A2A3于B，则A4B⊥平面A1A2A3，连结A1B，则A1B是OA1在平面A1A2A3上的射影，∴∠OA1B就是OA1与平面A1A2A3所成角，设A1A4＝l，则A1B＝，在Rt△A4A1B中，＝，即，∴l＝a，∴，cos∠OA1B＝＝（其中0＜），∴∠OA1B＝，∴OA1与平面A1A2A3所成角的大小为arccos．（2）＝3，根据（1）可得A1A2＝a，∴a＝cm，∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料：＝2（米）．∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料2米．【点评】本题考查线面角的求法，考查需要材料数量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20．设数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．（1）求a2，a3的值；（2）求证：{﹣1}是等比数列，并求（﹣n）的值；（3）记{a n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立？若存在，求出k的值：若不存在，说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接利用关系式求出结果．（2）利用定义证明数列{﹣1}是等比数列，并求出极限值．（3）首先求出数列的关系式，进一步利用数列的单调性求出函数的存在问题的条件，进一步确定k的值．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．所以：，，（2）由于数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*）．所以：（常数），所以：：{﹣1}是以为首项，为公比的等比数列．所以：，所以：，故：，＝，＝2．（3）由于：，所以，，，所以：a n+1﹣a n＝＜0，所以：数列{a n}为递减数列，则：当n≥2时，k≤S2＝，所以：k＝1．所以：存在k＝1，使得对于任意的n（n∈N*且n≥2）均有S n≥k成立．【点评】1本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21．已知函数f（x）＝2x（x∈R），记g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）．（1）解不等式：f（2x）﹣f（x）≤6；（2）设k为实数，若存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，求k 的取值范围；（3）记h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（k）|，求a，b的值．【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x）≤6，即为22x﹣2x﹣6≤0，即为（2x+2）（2x﹣3）≤0，可得解集；（2）根据g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1，利用换元法，求解最值，即可求解k的取值范围；（3）根据h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b（其中a，b均为实数），x∈[0，1]，均有|h（k）|，建立关系即可求解a，b的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2x，f（2x）﹣f（x）≤6，即为22x﹣2x﹣6≤0，即为（2x+2）（2x﹣3）≤0，即有2x≤3，解得x≤log23，即解集为（﹣∞，log23]；（2）存在实数x0∈（1，2]，使得g（2x0）＝k•g2（x0）﹣1成立，即为1+2﹣2＝k（2﹣2）2，设t＝2﹣2，在（1，2]递增，可得＜t≤，（2+2）2＝2+2+2＝t2+4，即有1+＝kt2，则k＝+，设m＝，m∈[，），即有y＝m+，在m∈[，）递增，可得y∈（，]，即有k∈（，]，（3）h（x）＝f（2x+2）+a•f（x）+b＝22x+2+a•2x+b＝4（2x）2+a•2x+b，令v＝2x，∵x∈[0，1]，∴v∈[1，2]，∴h（x）＝φ（v）＝4v2+av+b．若对于任意的x∈[0，1]，均有|h（x）|，即对任意v∈[1，2]，|φ（v）|＝|4v2+av+b|．∴，解得：a＝﹣12，b＝13.5．【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．。
上海市2019年高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k ＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n 的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n 又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：6【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵ ++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+ =（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：8【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx min＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）=3；min当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3．所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．由于g′（t）=1﹣＜0，所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以a≤3；②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；综合①②③，﹣3≤a≤3．故选：D．【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f （y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．三、解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）（2017•上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，则V A﹣BCD====．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．18．（14分）（2017•上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b 和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos （B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．19．（14分）（2017•上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D 重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了阅读理解能力，是综合性题目．20．（16分）（2017•上海一模）已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h （a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a ≤3时，当a＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．【点评】本题主要考查二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，是中档题．21．（18分）（2017•上海一模）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r ∈N；（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证明a n+2﹣a n为定值．（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、数列的周期性性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析
上海市普陀区教育学院附属中学2019年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．参考答案：A略2. 设全集为实数集，，，则图1中阴影部分所表示的集合是A． B．C． D．参考答案：D，由集合运算得结果知阴影部分为,所以，选D.3. 若关于的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为A. B. C. D.参考答案：C4. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为 ( )参考答案：B5. 已知x、y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，则下列各式中正确的是( )A．x－y >0 B．x＋y<0C．x＋y >0 D．x－y<0参考答案：C略6. 命题“使得”的否定是A．均有B．均有C．使得D．均有参考答案：B7. 函数的单调递增区间是 ( )参考答案：A略8. 已知函数一个周期内的图象如图所示，，为图象上的最高点，则的值为（）A． B． C.D．参考答案：B9. 在中,所对的边分别为,边上的高,则的最小值为（A）（B）（C）（D）参考答案：D10. 给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．【解答】解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知非空集合，则的取值范围是____________参考答案：12. 已知命题. 若命题p是假命题，则实数的取值范围是 .参考答案：因为命题为假命题，所以。
上海市普陀区高考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数f(x)=√1−x+2x的定义城为______．【答案】(−∞,0)∪(0,1]【解析】解：由{x≠01−x≥0解得：x≤1且x≠0，故答案为：(−∞,0)∪(0,1]根据偶次根式中被开方非负，分母不为0列式解得．本题考查了函数的定义域及其求法.属基础题．2.若sinα=13，则cos(π2+α)=______．【答案】−13【解析】解：∵sinα=13，∴cos(π2+α)=−sinα=−13．故答案为：−13．由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．3.设α∈{13,12,−1,−2,3}，若f(x)=xα为偶函数，则α=______．【答案】−2【解析】解：f(x)=x−2是偶函数；∴α=−2．故答案为：−2．可以看出，只有α=−2时，f(x)为偶函数，从而得出α=−2．考查偶函数的定义，偶函数图象的特点．4.若直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点且其一个方向向量为d⃗=(1,1)，则直线l的方程为______．【答案】x−y−1=0【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，方向向量为d⃗=(1,1)的直线l的斜率为1，故直线l的方程是y−0=1⋅(x−1)，即y=x−1，故答案为：x−y−1=0．求出抛物线y2=4x的焦点，求出直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．本题考查用点斜式求直线方程的方乘，抛物线的简单性质，确定斜率是解题的关键．5.若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为______．【答案】4【解析】解：设球的半径为R，则43πR3=43R，∴πR2=1，球的表面积为：4πR2=4，故答案为：4．设球的半径为R，根据题意列方程可得．本题考查了球的体积和表面积，属中档题．6.在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为______.(结果用最简分数表示)【答案】712【解析】解：在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，从袋中随机取出两个球，基本事件总数n=C92=36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，∴至少有一个红球的概率为P=1−C6236=712．故答案为：712．从袋中随机取出两个球，基本事件总数n=C92=36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，由此能求出至少有一个红球的概率．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.设(x−1)(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a6x6，则a3=______(结果用数值表示)【答案】0【解析】解：∵(x−1)(x+1)5=(x−1)(x5+5x4+10x3+10x2+5x+1)=a0+ a1x+a2x2+a3x3+⋯+a6x6，则a3=10−10=0，故答案为：0．把(x+1)5按照二项式定理展开，可得a3的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8.设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，则sin8x+cos8x=______．【答案】1【解析】解：设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，所以：sinx−cosx=a0=1，所以：sinx⋅cosx=0，则：sinx−cosx=1，则：sin8x+cos8x=(sin4x−cos4x)2+2sin4x⋅cos4x，=[(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)]2+2sin4x⋅cos4x，=[(sinx+cosx)(sinx−cosx)]2−0，=1，故答案为：1．直接利用三角函数关系式的恒等变变换和对数的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9. 如图，正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为4，记A 1C 1∩B 1D 1=F ，BC 1∩B 1C =E ，若AE ⊥BF ，则此棱柱的体积为______． 【答案】32√2【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系，设DD 1=ℎ，又AB =BC =4，则A(4,0，0)，E(2,4，ℎ2)，B(4,4，0)，F(2,2，ℎ)， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4,ℎ2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,ℎ)， ∵AE ⊥BF ，∴4−8+ℎ22=0，即ℎ=2√2．∴此棱柱的体积为4×4×2√2=32√2． 故答案为：32√2． 建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高h ，求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积为0求得h ，则棱柱的体积可求．本题考查棱柱体积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题．10. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的110%.照此推算，此人2019年的年薪为______万元(结果精确到0.1) 【答案】10.4【解析】解：由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，则此人2019年每月的基础工资为2100+210(10−1)=3990元，每月的绩效工资为2000×1.19≈4715.90元，则此人2019年的年薪为12(3990+4715.90)≈10.4万元， 故答案为：10.4．由题意可得，基础工资是以2100元为首项，以210元公差的等差数列，绩效工资以为2000元首项，以公比为1.1的等比数列，即可求出2019年的每月的工资，即可求出年薪本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题．11. 已知点A(−2,0)，设B 、C 是圆O ：x 2+y 2=1上的两个不同的动点，且向量OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中t 为实数)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 【答案】3【解析】解：由向量OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中t 为实数)， 可得：A ，B ，C 三点共线，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 同向， 设圆O 与x 轴正半轴交于点E ，由圆的割线定理可得，|AB||AC|=|AO||AE|，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos0=|AB||AC|=|AO||AE|=1×3=3 故答案为：3由向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中t 为实数)，可得：A ，B ，C 三点共线，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 同向，设圆O 与x 轴正半轴交于点E ，由割线定理可得，|AB||AC|=|AO||AE|=1×3=3 本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属中档题12. 设a 为常数记函数f(x)=12+log a xa−x (a >0且a ≠1，0<x <a)的反函数为f −1(x)，则f −1(12a+1)+f −1(22a+1)+f −1(32a+1)+⋯…+f −1(2a2a+1)=______． 【答案】a 2【解析】解：由f(x)=12+log a xa−x ，得f −1(x)=ax+12a x−12+1，∴f −1(1−x)=a1−x+12a1−x−12+1=a1+a x−12，∴f −1(x)+f −1(1−x)=ax+12a x−12+1+a1+a x−12=a ，∴原式=a ⋅a =a 2， 故答案为：a 2先求出反函数，然后求出f −1(x)+f −1(1−x)=a ，所以等于a 个a ． 本题考查了反函数，属基础题．二、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 下列关于双曲线Γ：x 26−y 23=1的判断，正确的是( )A. 渐近线方程为x ±2y =0B. 焦点坐标为(±3,0)C. 实轴长为12D. 顶点坐标为(±6,0)【答案】B【解析】解：关于双曲线Γ：x 26−y 23=1，a 2=6，b 2=3，c 2=9，则渐近线方程为x ±√2y =0；焦点为(±3,0)；实轴2a =2√6，顶点坐标为(±√6,0)． 故选：B ． 关于双曲线Γ：x 26−y 23=1，a 2=6，b 2=3，c 2=9，即可得答案．本题考查双曲线的方程、几何性质，属于基础题．14.函数y=2cos(2x+π4)的图象()A. 关于原点对称B. 关于点(−3π8,0)C. 关于y轴对称D. 关于直线x=π4轴对称【答案】B【解析】解：对于选项：A，当x=0时y=√2，故错误．对于选项C：当x=0时，y=√2≠2，故错误．对于选项D：当x=π4时，y=−√2≠±2，故错误．故选：B．直接利用余弦函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.若a、b、c表示直线，α、β表示平面，则“a//b”成立的一个充分非必要条件是()A. a⊥b，b⊥cB. a//α，b//αC. a⊥β，b⊥βD. a//c，b⊥c 【答案】C【解析】解：由a、b、c表示直线，α、β表示平面，在A中，a⊥b，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，a//α，b//α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a⊥β，b⊥β，则a//b，反之a//b，不一定得到a⊥β，b⊥β，故C正确；在D中，a//c，b⊥c，则a与b相交或异面，故D错误．故选：C．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交、平行或异面；在C中，a⊥β，b⊥β，则a//b，反之a//b，不一定得到a⊥β，b⊥β；在D中，a与b相交或异面．本题考查命题成立的一个充分非必要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.设f(x)是定义在R上的周期为4的函数，且f(x)={2log2x,1<x<4sin2πx,0≤x≤1，记g(x)=f(x)−a，若0<a≤12则函数g(x)在区间[−4,5]上零点的个数是()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】解：由图可知：直线y=a(0<a≤12)与y=f(x)在区间[−4,5]上的交点有8个，故选：D．分别作出y=f(x)与直线y=a(1<a≤12)的图象，观察交点个数即可本题考查了数形结合的思想及作图能力．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且cosC=14．(1)求2cos2A+B2+2sin2C的值；(2)设c=2，求a+b的取值范围．【答案】解：(1)∵cosC=14，∴sinC=√1−cos2C=√154，∴2cos2A+B2+2sin2C=1+cos(A+B)+2sin2C=1−cosC+4sinCcosC=1−14+4×14×√154=3+√154.…(6分)(2)∵c=2，cosC=14，∴由余弦定理可得：4=a2+b2−12ab=(a+b)2−52ab，∵a2+b2≥2ab，可得：ab≤83，当且仅当a=b时等号成立，∴可得：(a+b)2=4+52ab≤323，可得：a+b≤4√63，当且仅当a=b时等号成立，∵a+b>c=2，∴a+b的取值范围为：(2,4√63].…(12分)【解析】(1)利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解．(2)由余弦定理，基本不等式可求a+b的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求a+b>c=2，即可得解a+b的取值范围．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18. 已知曲线Γ：x 216+y 212=1的左、右顶点分别为A ，B ，设P 是曲线Γ上的任意一点．(1)当P 异于A ，B 时，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1⋅k 2是定值；(2)设点C 满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，且|PC|的最大值为7，求λ的值．【答案】(1)证明：由椭圆方程可得A(−4,0)，B(4,0)， 设P(x 0,y 0)(−4≤x 0≤4)，则k 1=y 0x 0+4，k 2=yx 0−4，∴k 1⋅k 2=y 02x 02−16=12(1−x 0216)x 02−16=−1216=−34为定值；(2)解：设C(m,0)(−4<m <4)，则|PC|=√(x 0−m)2+y 02=√x 02−2mx 0+m 2+12(1−x 0216)=√14(x 0−4m)2+12−3m 2．若m ≥0，则|PC|max =√14(−4−4m)2+12−3m 2=7，解得m =3．此时AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,0)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =7CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得λ=7； 同理，若m <0，可得m =−3，此时求得λ=17． 故λ的值为7或17．【解析】(1)由已知椭圆方程求出A ，B 的坐标，设P(x 0,y 0)(−4≤x 0≤4)，由斜率公式及点P 在椭圆上即可证明k 1⋅k 2是定值；(2)设C(m,0)(−4<m <4)，写出两点间的距离公式，分类利用配方法求最值，可得m值，结合AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，求得λ的值． 本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题．19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为A i (i =1,2，3，4)．(1)设OA 1=a(a >0)，当A 1，A 2，A 3在同一水平面内时，求OA 1与平面A 1A 2A 3所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．(2)若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为3√2cm 2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料多少米？【答案】解：(1)根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A 1，A 2，A 3，A 4两两连结后得到的四面体A 1A 2A 3A 4为正四面体，延长A 4O 交平面A 1A 2A 3于B ，则A 4B ⊥平面A 1A 2A 3，连结A 1B ， 则A 1B 是OA 1在平面A 1A 2A 3上的射影， ∴∠OA 1B 就是OA 1与平面A 1A 2A 3所成角， 设A 1A 4=l ，则A 1B =√33l ，在Rt △A 4A 1B 中，A 1A 42=A 1B 2+A 4B 2，即l 2=(√33l)2+((√33l)a)2，∴l =2√63a ，∴A 1B =√33×2√63a =2√23a ， cos∠OA 1B =A 1BOA 1=2√23(其中0<∠OA 1B <π2)，∴∠OA 1B =2√23，∴OA 1与平面A 1A 2A 3所成角的大小为arccos 2√23． (2)12A 1A 22⋅√32=3√2，根据(1)可得A 1A 2=2√63a ，∴a =4272cm ，∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料： 1100⋅100⋅(4a)=4a =2√2164(米)． ∴要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料2√2164米. 【解析】(1)组成该种钉的条线段长必相等，且两两所成的角相等，A 1，A 2，A 3，A 4两两连结后得到的四面体A 1A 2A 3A 4为正四面体，延长A 4O 交平面A 1A 2A 3于B ，则A 4B ⊥平面A 1A 2A 3，连结A 1B ，则∠OA 1B 就是OA 1与平面A 1A 2A 3所成角，由此能求出OA 1与平面A 1A 2A 3所成角的大小．(2)推导出12A 1A 22⋅√32=3√2，A 1A 2=2√63a ，从而a =4272cm ，由此能求出要用某种线型材料复制100枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料的长度．本题考查线面角的求法，考查需要材料数量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．20. 设数列{a n }满足a 1=35，a n+1=3a nan +2(n ∈N ∗)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：{1a n−1}是等比数列，并求n →∞lim(1a 1+1a 2+⋯+1an−n)的值；(3)记{a n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n(n ∈N ∗且n ≥2)均有S n ≥k 成立？若存在，求出k 的值：若不存在，说明理由． 【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1=35，a n+1=3a na n +2(n ∈N ∗)．所以：a 2=3a 1a1+2=95135=913，a 3=3a 2a2+2=2735， (2)由于数列{a n }满足a 1=35，a n+1=3a nan +2(n ∈N ∗)．所以：1a n+1−11a n−1=13a n a n +2−11a n−1=23(常数)，所以：：{1a n−1}是以23为首项，23为公比的等比数列．所以：1a n−1=23⋅(23)n−1=(23)n ，所以：1a n=(23)n +1，故：n →∞lim(1a 1+1a 2+⋯+1a n−n)，=n →∞lim23[1−(23)n ]1−23，=2．(3)由于：1a n=(23)n +1，所以，a n =1(23)n +1，a n+1=1(23)n+1+1，所以：a n+1−a n =1(23)n+1+1−1(23)n +1<0，所以：数列{a n }为递减数列，则：当n ≥2时，k ≤S 2=a 1+a 2=35+913=8465，所以：k =1．所以：存在k =1，使得对于任意的n(n ∈N ∗且n ≥2)均有S n ≥k 成立． 【解析】(1)直接利用关系式求出结果．(2)利用定义证明数列{1a n−1}是等比数列，并求出极限值．(3)首先求出数列的关系式，进一步利用数列的单调性求出函数的存在问题的条件，进一步确定k 的值．1本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．21. 已知函数f(x)=2x (x ∈R)，记g(x)=f(x)−f(−x)．(1)解不等式：f(2x)−f(x)≤6；(2)设k 为实数，若存在实数x 0∈(1,2]，使得g(2x 0)=k ⋅g 2(x 0)−1成立，求k 的取值范围；(3)记ℎ(x)=f(2x +2)+a ⋅f(x)+b(其中a ，b 均为实数)，若对于任意的x ∈[0,1]，均有|ℎ(k)|≤12，求a ，b 的值．【答案】解：(1)函数f(x)=2x ，f(2x)−f(x)≤6，即为22x −2x −6≤0，即为(2x +2)(2x −3)≤0， 即有2x ≤3，解得x ≤log 23， 即解集为(−∞,log 23]；(2)存在实数x 0∈(1,2]，使得g(2x 0)=k ⋅g 2(x 0)−1成立， 即为1+22x 0−2−2x 0=k(2x 0−2−x 0)2， 设t =2x 0−2−x 0，在(1,2]递增，可得32<t ≤154，(2x 0+2−x 0)2=22x 0+2−2x 0+2=t 2+4， 即有1+√4+t 2=kt 2， 则k =1t 2+√4t4+1t 2，设m =1t 2，m ∈[16225,49)，即有y =m +√m +4m 2，在m ∈[16225,49)递增， 可得y ∈(2125,273289]， 即有k ∈(2125,273289]，(3)ℎ(x)=f(2x +2)+a ⋅f(x)+b=22x+2+a ⋅2x +b =4(2x )2+a ⋅2x +b ， 令v =2x ，∵x ∈[0,1]，∴v ∈[1,2]， ∴ℎ(x)=φ(v)=4v 2+av +b ． 若对于任意的x ∈[0,1]，均有|ℎ(x)|≤12， 即对任意v ∈[1,2]，|φ(v)|=|4v 2+av +b|≤12．∴{ |4+a +b|≤12①|16+2a +b|≤12②|16b−a 216|≤12③， 解得：a =−12，b =13.5．【解析】(1)函数f(x)=2x ，f(2x)−f(x)≤6，即为22x −2x −6≤0，即为(2x +2)(2x −3)≤0，可得解集；(2)根据g(2x 0)=k ⋅g 2(x 0)−1，利用换元法，求解最值，即可求解k 的取值范围； (3)根据ℎ(x)=f(2x +2)+a ⋅f(x)+b(其中a ，b 均为实数)，x ∈[0,1]，均有|ℎ(k)|≤12，建立关系即可求解a ，b 的值．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．。
上海普陀区2019高考一模--数学(文科)
上海普陀区2019高考一模--数学（文科）考生注意：2018.11.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，总分值150分.考试时间120分钟.一.填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1.不等式1|2|≤-x 的解为.2.函数x x y 2cos 2sin +=的最小正周期=T .3.假设集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,,2,}3，那么A B =. 4.【文科】正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线C B 1与D C 1所成的角的大小为.5.【文科】假设函数x x f 3log 1)(-=，那么=--)8(1f.6.假设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，那么数列}{n a 的通项公式为.7.在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，假设从袋中任意 取两个，那么编号的和是奇数的概率为〔结果用最简分数表示〕. 8.在210(2x 的二项展开式中，常数项等于. 9.假设函数)2sin()(ϕ+=x A x f 〔0>A ,22πϕπ<<-图，那么=)0(f .10.在ABC △中，假设2AB AC ⋅=,7-=⋅BC AB .11.【文科】假设函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，那么=)10(f _. 12.【文科】假设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右两个焦点，M 是椭圆上的动点，那么（第13题图）S B ACE HGFA BCD1A 1B 1C 1D （第4题图）2111MF MF +的最小值为.13.三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 的中点，那么截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分的体积之比为. 14.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥，假设)()(b f a f =，那么)(a f b ⋅的取值范围是.二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分. 15.函数=y )(x f (R x ∈)，那么“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”的…………………………………………………………………………………………〔〕 〔A 〕充分非必要条件.〔B 〕必要非充分条件. 〔C 〕充要条件.〔D 〕非充分非必要条件. 16.【文科】双曲线17922=-+-λλy x 〔97<<λ〕的焦点坐标为…………………………〔〕〔A 〕)0,4(±.〔B 〕)0,2(±. 〔C 〕)4,0(±.〔D 〕)2,0(±.17.0>a ,0>b ,假设11lim 5n n n n n a b a b++→∞-=-，那么b a +的值不可能．．．是…………………〔〕 〔A 〕7.〔B 〕8.〔C 〕9.〔D 〕10.18.如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.假设动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，以下判断正确的选项是．．．．．．…………………………………………………………………………………〔〕〔A 〕满足λμ+2=的点P 必为BC 的中点. 〔B 〕满足1λμ+=的点P 有且只有一个.P（第18题图）〔C 〕λμ+的最大值为3. 〔D 〕λμ+的最小值不存在.三、解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.〔此题总分值12分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.球的直径是6cm ，圆柱筒长2cm .〔1〕这种“浮球”的体积是多少3cm 〔结果精确到0.1〕？ 〔2〕要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题总分值6动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 的距离相等. （1）求动点A 的轨迹方程； （2）记点)0,2(-K ，假设AFAK 2=，求△AFK 的面积.21.〔此题总分值14分〕本大题共有2小题，第1小题6分，第2a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠的对边,34=a ,6=b ，31cos -=A 、 〔1〕求c ； 〔2〕求)42cos(π-B 的值、22.〔此题总分值16分〕本大题共有3小题，第1小题总分值5分，第2小题总分值5分，第3小题总分值6分.【文科】)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数,对于任意的x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.〔1〕假设函数b ax x f +=)(，n mx x g +=)(，)(x f 与)(x g 互为“H 函数”,证明：)()(b g n f =.〔2〕假设集合]2,2[-=M ，函数2)(x x f =，x x g cos )(=，判断函数)(x f 与)(x g 在M上是否互为“H 函数”，并说明理由.（第20题图） 6cm〔3〕函数x a x f =)((0a a >≠且1)，1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”,求a 的取值范围及集合M .23.〔此题总分值18分〕本大题共有3小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分. 【文科】在平面直角坐标系xOy 中，点nA 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=OB ，且)0,)32(3(1n n n B B ⋅=+，其中*n N ∈、〔1〕求2OA 的坐标，并证明．．点nA 在直线1y x =+上； 〔2〕记四边形11n n n n AB B A ++的面积为n a ，求na 的表达式；〔3〕对于〔2〕中的na ，是否存在最小的正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？假设存在，求P 的值；假设不存在，请说明理由、2018学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准【一】填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1.[1,3]2.π3.}0,1{- 4.【理科】22arctan；【文科】 60 5.93 6.32na n =-〔*N n ∈〕7.538.1809.1-10.311.【理科】1021【文科】10212.113.1:114.)2,43[【二】选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.的规定区域内写出必要的步骤. 19.【解】〔1〕cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分 2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V 圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分〔2〕πππ369442=⨯⨯==R S 球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S 圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”的表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”的表面积的和ππ121048250042500=⨯=S 2m 所用胶的质量为ππ120012100=⨯〔克〕…………2分 答：这种浮球的体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克. 20.【解】〔1〕由题意可知，动点A 的轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 的轨迹方程为x y 82=……2分B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AK 是等腰直角三角形………2分其中|所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分 21.ABC △A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分 即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分〔2〕由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin a b A B=那么36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，那么33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】〔1〕由条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，那么)1,1(1=-+n n OA OA设),(n n n y x OA =，那么11=-+n n x x，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n=⋅-+=1)1(1………2分 即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上.………1分 〔证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.〕 〔2〕由〔1〕得),1(n n A n-)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++………1分设),(nn n v u B ，那么31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+，逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分 设直线1y x =+与x 轴的交点()1,0P -，那么()111121************n n n nn nn PA B PA B a S S n n +++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分〔3〕由〔2〕na1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分数列{}n a 中项的最大值为4516527a a ==+，那么27165>P ,即最小的正整数p的值为6，所以，存在最小的自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分【文科】22.【解】〔1〕证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,那么对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f =恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 〔2〕假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，那么对于任意的M x ∈ ))(())((x f g x g f =恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分. 当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，那么1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.〔3〕由题意得，11+=+x x a a 〔0>a 且1≠a 〕………2分 变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(log --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分 23.【解】〔1〕由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈ (2)分(假设学生写出的答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π的非空子集，扣1分，以示区别。
2019年普陀中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年普陀中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：重庆市长寿一中2018_2019学年高二数学上学期第一次月考试题过点P（4，－1）且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是（）A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0【答案】A第 2 题：来源：广东省中山市普通高中2017_2018学年高一数学11月月考试题试卷及答案01 已知函数则A． B．9 C． D．【答案】A第 3 题：来源：黑龙江省虎林市2016_2017学年高二数学5月月考试题理试卷及答案某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有（）A.120种B.240种C.264种D.356种【答案】B第 4 题：来源：黑龙江省伊春市2016_2017学年高二数学下学期期中试题理试卷及答案定义在上的函数满足，且当时，，则等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵f(0)=0,f(x)+f(1−x)=1,令x=1得：f(1)=1，又，∴当x=1时,；令,由得：；同理可求：再令,由f(x)+f(1−x)=1,可求得，,解得，令,同理反复利用，可得由①②可得：..................所以有本题选择C选项.第 5 题：来源：广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一数学12月月考试题试卷及答案对于向量及实数，给出下列四个条件：①且；②③且唯一；④其中能使与共线的是A．①② B．②④ C．①③ D．③④【答案】 C第 6 题：来源：河北省保定市2016_2017学年高二数学3月月考试题理试卷及答案定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C．D．【答案】C 当时，由单调性可求出.由有,当时,,故.,,故在为增函数,,即,由题意有,所以,,故选C.第 7 题：来源： 2017年河南省高考数学适应性试卷（理科）含答案解析下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，sinx0+cosx0=B．∀x≥0且x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a＞2，b＞2是ab＞4的充分条件D．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1【答案】C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，判断A错误；举例说明x=2时2x=x2=4，判断B错误；根据a＞2，b＞2时ab＞4，判断充分性成立C正确；举例说明a=b=0时=﹣1不成立，判断D错误．【解答】解：对于A，∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤＜正确，∴该命题的否定是假命题，A错误；对于B，当x=2时，2x=x2=4，∴B错误；对于C，a，b为实数，当a＞2，b＞2时，ab＞4，充分性成立，是充分条件，C正确；对于D，a，b为实数，a+b=0时，若a=b=0，则=﹣1不成立，∴不是充要条件，D错误．故选：C．第 8 题：来源：黑龙江省牡丹江市2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A． B． C．D．【答案】D第 9 题：来源：甘肃省甘谷第一中学2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理若直线与直线4x+ky=1垂直，则常数k的值为【答案】A第 10 题：来源：广东省广州市荔湾区2016_2017学年高一数学下学期期末考试试题试卷及答案若，下列命题正确的是A．若，则B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A第 11 题：来源： 2017年3月湖北省七市（州）高三联合考试数学试卷（理科）含答案秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为A．6B．25C．100D．400【答案】C第 12 题：来源：辽宁省沈阳市2018届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点C，若，且，则为A ．B ． C．D ．【答案】C第 13 题：来源：西藏拉萨中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题函数是R上的减函数，那么的取值范围是A. B. C.， D.【答案】C第 14 题：来源：云南省玉溪市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．【答案】C第 15 题：来源： 2016-2017学年重庆市璧山中学高二数学上学期期中试题试卷及答案理若直线过点且斜率为1，圆上恰有1个点到的距离为1，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B第 16 题：来源：福建省平潭县新世纪学校2018_2019学年高一数学下学期第一次月考试题已知数列满足，若，则的值为( )A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】通过计算出前几项的值确定周期，进而可得结论．【详解】依题意，a2=2a1﹣1=2•﹣1=，a3=2a2﹣1=2•﹣1=，a4=2a3=2•=，∴数列{an}是以3为周期的周期数列，因为2020=3×673+1，∴a2020=a1=，故答案为：．【点睛】本题主要考查数列的周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.第 17 题：来源：湖南省衡阳县第四中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题．设取实数，则与表示同一个函数的是（）A． B．C． D．【答案】B第 18 题：来源：安徽省太和县2016_2017学年高二数学下学期期中试题试卷及答案文设命题：“，”，则为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由题意得，命题：“，”，则为，，故选A.第 19 题：来源：湖南省湘南三校联盟2018_2019学年高二数学10月联考试题理命题p：“任意x∈[1，2]，2x2－x－m＞0”，命题q：“存在x∈[1，2]，＋m＞0”，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是( )A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1【答案】C.p为真时，m＜2x2－x，x∈[1，2]恒成立，2x2－x在x∈[1，2]上的最小值为1，∴m＜1；q为真时，m＞－log2x，x∈[1，2]能成立，－log2x在[1，2]上的最小值为－1，∴m＞－1；∵p且q为真命题，∴p和q都是真命题，故－1＜m＜1.第 20 题：来源：山东省济宁市2019届高三数学第一次模拟考试试题理已知当时，关于的方程有唯一实数解，则所在的区间是A．(3，4) B．(4，5) C．(5，6) D．(6．7)【答案】C第 21 题：来源：内蒙古巴彦淖尔市2016_2017学年高一数学下学期期中试题试卷及答案（A卷）的值为（）A. B.C. D.【答案】C第 22 题：来源：广东省天河区普通高中2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案05 点为圆内弦的中点,则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】C第 23 题：来源： 2017年高中数学第一章计数原理单元测评1（含解析）新人教A版选修2_3一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选出6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A．40 B．74C．84 D．200【答案】B解析：可按包括前5个题的个数分类，共有不同的选法C C＋C C＋C C＝74种．第 24 题：来源：黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2017_2018学年高二数学下学期期中试题理用数学归纳法证明的第二步从到成立时，左边增加的项数是A . B. C.D.【答案】 A第 25 题：来源：广西南宁市2017_2018学年高二数学上学期期中试题试卷及答案下列不等式正确的是（）A． B．C． D．【答案】B 【解析】当x＞0时，，当x＜0时，，所以，故A不正确，B正确；由于x＞0，所以，当且仅当，即时取等号，故C不正确；当时，，时，，故D不正确.第 26 题：来源：江西省南昌市2016_2017学年高二数学下学期期中试题试卷及答案理在四棱锥中，平面，底面为矩形，．若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在四棱锥中，平面，底面为矩形，由边上有且只有一个点，使得，可得边上有且只有一个点，使得，则以为直径的圆与直线相切，设中点为，则，可得平面，作于，连接，则是二面角的平面角，设,则，直角三角形中，可得，，二面角的余弦值为，故选A.第 27 题：来源：河南省信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018_2019学年高一数学下学期期中联考试题理两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（）A．甲、乙两人的各科平均分相同B．甲的中位数是83，乙的中位数是85C．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D．甲的众数是89，乙的众数为87【答案】D第 28 题：来源：湖南省衡阳市2017届高三数学第六次月考试题试卷及答案理（实验班）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a=2，b=，则角A=（）A．B．C．D．或【答案】D第 29 题：来源：广东省深圳市耀华实验学校2018_2019学年高二数学下学期入学考试试题（华文部）设满足约束条件,则的最大值为（）A．5 B. 3 C. 7 D. -8【答案】C第 30 题：来源： 2017年高考仿真卷•数学试卷含答案(二)理科采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落在区间[1,400]上的人做问卷A,编号落在区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( )A.12B.13C.14D.15【答案】A 解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落在区间[1,400]上的有20人,编号落在区间[401,750]上的有18人.所以做问卷C的有12人.第 31 题：来源：广东省中山市普通高中2017_2018学年高一数学11月月考试题试卷及答案07函数的图像大致为【答案】A第 32 题：来源：吉林省长春市第十一高中2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )A．在上为减函数 B．在处取极小值C．在处取极大值 D．在上为减函数【答案】D第 33 题：来源：安徽省2016_2017学年高一数学下学期期中试题试卷及答案已知向量，，，则向量的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B第 34 题：来源：河南省三门峡市陕州区2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案设全集，则=( )A. B.C．D．【答案】C第 35 题：来源：高中数学第一讲不等式和绝对值不等式综合测试（含解析）新人教A版选修4_5已知的解集为，则实数等于（）A．1 B．2 C．3D．4【答案】C 由，得，由已知得，解得第 36 题：来源：宁夏银川一中2019届高三数学第一次模拟考试试题理高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为，，，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是A．，，，的平均数 B．，，，的标准差C．，，，的最大值 D．，，，的中位数【答案】B第 37 题：来源：黑龙江省肇东市2016_2017学年高一数学下学期期中试题试卷及答案已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=（）A. B. C.D.【答案】C第 38 题：来源：四川省成都外国语学校2019届高三数学下学期入学考试试题理函数有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A． B． C. D．【答案】A第 39 题：来源：湖南省衡阳市2018届高三数学上学期第二次月考试题（实验班）理已知全集N=Z，集合A={﹣1，1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则（∁UA）∩B=（）A．{3，4} B．{﹣2，3} C．{﹣2，4} D．{﹣2，0}【答案】D第 40 题：来源：青海省西宁市2017_2018学年高一数学12月月考试题试卷及答案等于（）A． B．C．D．【答案】B第 41 题：来源：四川省广元市2018_2019学年高二数学下学期期中试题理集合,则集合P∩Q的交点个数是（）A．0 个B．1个C．2个D．3个【答案】B第 42 题：来源：山东省曲阜市2016_2017学年高二数学下学期第一次月考试题理试卷及答案.直线与双曲线仅有一个公共点，则实数的值为( )A.1B.-1C.1或-1D. 1或-1或0【答案】C第 43 题：来源：云南省玉溪市峨山彝族自治县第一中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题试卷及答案已知四个关系式：，，，，其中正确的个数（）A．4个 B. 3个C．2个 D. 1个【答案】 C第 44 题：来源：内蒙古包头市第一中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理试卷及答案在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，则点P到平面ABC的距离为( )A. B. C. D.【答案】B第 45 题：来源： 2017-2018学年吉林省通化市辉南高一（上）期末数学试卷（含答案解析） (1)已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C】解：由已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，则有 2+||•4||•cosθ=0，即 cosθ=﹣，又因为θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．第 46 题：来源：山西省临汾市侯马市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案方程的实数解落在的区间是( )A. B. C. D.【答案】C第 47 题：来源：河北省沧州市2017_2018学年高一数学上学期第二次月考试题试卷及答案下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（）A. B. C.D.【答案】C第 48 题：来源：广东省深圳市耀华实验学校2018_2019学年高一数学下学期入学考试试题（华文部）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B第 49 题：来源：河南省六市2017届高三第二次联考数学试题（理）含答案已知双曲线的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，直线过与双曲线交于，两点，若，，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）A.和B.和C.和D.和【答案】C第 50 题：来源： 2016_2017学年四川省三台县高二数学下学期半期补练试题试卷及答案已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A 解：∵=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴1×（k+2）-3k=0，解得：k=1．故选：A．。
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学(理)
上海普陀区2019年高三1月质量调研卷--数学（理）数学（理）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定旳区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号旳空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 不等式1|2|≤-x 旳解为 .2. 函数x x y 2cos 2sin +=旳最小正周期=T .3. 若集合}156|{>+=x x A ，集合1{-=B ,0,1,2,}3，则A B = .4.【理科】如图，正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BD 与平面11B BCC 所成旳角旳大小为 （结果用反三角函数值表示）.5.【理科】若函数3()log f x a x =-旳图像经过点)1,1(，则=--)8(1f .6. 若等差数列}{n a 旳前n 项和为n S ，1442=+a a ，770S =，则数列}{n a 旳通项公式 为 .7. 在一个袋内装有同样大小、质地旳五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意（第4题图）取两个，则编号旳和是奇数旳概率为 （结果用最简分数表示）. 8.在210(2x 旳二项展开式中，常数项等于 . 9. 若函数)2sin()(ϕ+=x A x f （0>A ,22πϕπ<<-）旳部分图像如右图，则=)0(f .10. 在ABC △中，若2AB AC ⋅=,7-=⋅=.11. 【理科】若函数()f x 满足)9(2)10(+=+x f x f ，且1)0(=f ，则=-)10(f _.12. 【理科】 若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上旳动点，则11MC MD+ 旳最小值为 .13. 三棱锥S ABC -中，E 、F 、G 、H 分别为SA 、AC 、BC 、SB 旳中点，则截面EFGH将三棱锥S ABC -分成两部分旳体积之比为 . 14. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤+=1,21210,1)(x x x x f x ，设0a b >≥， 若)()(b f a f =，则)(a f b ⋅旳取值范围是 .二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸旳相应编号上，将代表答案旳小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.（第13题图）S BAEHGF15. 已知函数=y )(x f (R x ∈)，则“)2()1(f f <”是“函数=y )(x f 在R 上是增函数”旳（ ）A.充分非必要条件.B.必要非充分条件.C.充要条件.D.非充分非必要条件. 16. 【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--（22b a >>λ）旳焦点坐标为（ ） A.)0,(22b a +±. B.)0,(22b a -±. C.)0,2(22λ-+±b a . D.),0(22b a +±. 17. 已知0>a ,0>b ,若11lim 5n n n nn a b a b ++→∞-=-，则b a +旳值不可能．．．是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 18. 如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得CD DE =.若动点P 从点A 出发，沿正方形旳边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，下列判断 正确．．旳是（ ） A.满足λμ+2=旳点P 必为BC 旳中点. B.满足1λμ+=旳点P 有且只有一个. C.λμ+旳最大值为3. D.λμ+旳最小值不存在.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号旳规定区域内写出必要旳步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.P（第18题图）如图，某种水箱用旳“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球旳直径是6cm ，圆柱筒长2cm .（1）这种“浮球”旳体积是多少3cm （结果精确到0.1）？ （2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质， 如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知动点),(y x A 到点)0,2(F 和直线2-=x 旳距离相等. （1）求动点A 旳轨迹方程；（2）记点)0,2(-K ，若AF AK 2=，求△AFK 旳面积.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知a 、b 、c 是ABC △中A ∠、B ∠、C ∠旳对边,34=a ,6=b ，31cos -=A ．（1）求c ；（第20题图）（第19题图）6cm（2）求)42cos(π-B 旳值．22. （本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分 ，第3小题满分6分.【理科】在平面直角坐标系xOy 中，点n A 满足)1,0(1=OA ，且)1,1(1=+n n A A ；点n B 满足)0,3(1=，且)0,)32(3(1n n nBB ⋅=+，其中*n N ∈．（1）求2OA 旳坐标，并证明．．点n A 在直线1y x =+上； （2）记四边形11n n n n A B B A ++旳面积为n a ，求na 旳表达式；（3）对于（2）中旳na ，是否存在最小旳正整数P ，使得对任意*n N ∈都有P a n <成立？若存在，求P 旳值；若不存在，请说明理由．23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.【理科】设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上旳函数,对于任意旳x M ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“H 函数”.（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“H 函数”，求集合M ； （2）若函数x a x f =)((0a a >≠且1)与1)(+=x x g 在集合M 上互为“H 函数”, 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且32-≠k x ，*N k ∈}上互为“H函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g在集合M 上旳解析式.参考答案一、填空题1.[1,3]2.π3.}0,1{-4.【理科】22arctan；【文科】 60 5.93 6.32na n =-（*N n ∈） 7.53 8.180 9.1-10.3 11.【理科】1021【文科】102 12.1 13.1:114.)2,43[二、选择题15. 16. 17. 18. BBDC三．解答题19.【解】（1）cm d 6=，cm R 3=，πππ362734343=⋅==R V 球3cm …………2分2=h ，πππ18292=⨯⨯=⋅=h R V圆柱3cm …………2分 =V 圆柱球V V +6.169541836≈=+=πππ3cm …………2分（2）πππ369442=⨯⨯==R S球表2cm …………2分πππ122322=⨯⨯⨯==Rh S圆柱侧2cm …………2分1个“浮球”旳表面积πππ4411048101236=+=S 2m 2500个“浮球”旳表面积旳和ππ121048250042500=⨯=S 2m所用胶旳质量为ππ120012100=⨯（克）…………2分 答：这种浮球旳体积约为6.1693cm ；供需胶π1200克.20.【解】（1）由题意可知，动点A 旳轨迹为抛物线，其焦点为)0,2(F ，准线为2-=x设方程为px y 22=，其中22=p，即4=p ……2分所以动点A 旳轨迹方程为x y 82=……2分（2）过A 作l AB ⊥，垂足为B ,根据抛物线定义，可得||||AF AB =……2分由于AF AK 2=，所以AFK ∆是等腰直角三角形 ………2分其中4||=KF …………2分 所以84421=⨯⨯=∆AFKS …………2分21.【解】（1）在ABC △中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=…………2分)31(6236482-⨯⨯⨯-+=c c …………2分即01242=-+c c ，0)2)(6(=-+c c ，解得2=c …………2分 （2）由031cos <-=A 得A 为钝角，所以322sin =A …………2分在ABC △中， 由正弦定理，得sin sin a b A B=则36343226sin sin =⨯=⋅=aAb B …………2分由于B 为锐角，则33cos =B ……2分313221sin 212cos 2-=⋅-=-=B B32233362cos sin 22sin =⋅⋅=⋅=B B B所以)42cos(π-B 624)32231(22)2sin 2(cos 22-=+-=+=B B ………2分22.【理科】【解】（1）由已知条件得，(1,1)21=A A ,=21A A 2OA 1OA -,所以(1,2)2=OA ……2分(1,1)1=+n n A A ，则)1,1(1=-+n n OA OA设),(nn n y x OA =，则11=-+n n x x ，11=-+n n y y所以11)1(0-=⋅-+=n n x n ；n n y n =⋅-+=1)1(1………2分即),1(n n A n -=满足方程1y x =+，所以点n A 在直线1y x =+上. (1)分（证明n A 在直线1y x =+上也可以用数学归纳法证明.）（2）由（1）得),1(n n A n -)0,)32(3(11n n n n n OB OB B B ⋅=-=++ ………1分设),(n n n v u B ，则31=u ，01=v01=-+n n v v ，所以0=n vn n n u u )32(31⋅=-+， 逐差累和得，))32(1(9n n u -=，所以)0),)32(1(9(nn B -………2分 设直线1y x =+与x 轴旳交点()1,0P -，则()111121210911092323n n n nn nn PA B PA B a S S n n+++∆∆⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈……2分（3）由（2）na 1)32)(2(5--+=n n ，*N n ∈()()111224251523333n n n n n n a a n n --+⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦…2分 于是，54321a a a a a =<<<， >>>765a a a ………2分 数列{}na 中项旳最大值为4516527a a ==+，则27165>P ,即最小旳正整数p旳值为6，所以，存在最小旳自然数6=p ，对一切*n N ∈都有p a n <成立.……2分【文科】22. 【解】（1）证明：函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数“,则对于R x ∈∀,))(())((x f g x g f = 恒成立.即n b ax m b n mx a ++=++)()(在R 上恒成立………………2分化简得)()(n bm amx b an amx ++=++………………2分所以当n bm b an +=+时，))(())((x f g x g f =，即)()(b g n f =…1分 （2）假设函数)(x f 与)(x g 互为“H 函数”，则对于任意旳M x ∈ ))(())((x f g x g f = 恒成立.即x x 22cos cos =，对于任意]2,2[-∈x 恒成立…2分.当0=x 时，10cos 0cos ==.不妨取1=x ，则1cos 1cos 2=，所以1cos 1cos 2≠………………2分 所以假设不成立，在集合M 上，函数)(x f 与)(x g 不是互为“H 函数”………1分.（3）由题意得，11+=+x x a a （0>a 且1≠a ）………2分 变形得，1)1(=-a a x ，由于0>a 且1≠a 11-=a a x，因为0>x a ，所以011>-a ，即1>a ………2分 此时)1(l o g --=a x a ，集合}1),1(log |{>--==a a x x M a ………2分23.【解】（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2= 化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，0sin =x 或1cos =x ………2分 解得πk x =或πk x 2=，Z k ∈，即集合}|{πk x x M ==Z k ∈………2分 (若学生写出旳答案是集合},|{Z k k x x M ∈==π旳非空子集，扣1分，以示区别。
2019上海高三数学普陀一模
上海市普陀区2019届高三一模数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 函数2()f x x =的定义域为2. 若1sin 3α=，则cos()2πα+= 3. 设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= 4. 若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =u r ，则直线l 的方程为5. 若一个球的体积是其半径的43倍，则该球的表面积为 6. 在一个袋中装有大小、质地均相同的9只球，其中红色、黑色、白色各3只，若从袋中 随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）7. 设523601236(1)(1=x x a a x a x a x a x -+++++⋅⋅⋅+），则3a = （结果用数值表示）8. 设0a >且1a ≠，若log (sin cos )0a x x -=，则88sin cos x x +=9. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =I ，11BC B C E =I ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为10. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工 资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%， 照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1）11. 已知点(2,0)A -，设B 、C 是圆22:1O x y +=上的两个不同的动点，且向量(1)OB tOA t OC =+-u u u r u u u r u u u r （其中t 为实数），则AB AC ⋅=u u u r u u u r12. 记a 为常数，记函数1()log 2a x f x a x=+-（0a >且1a ≠，0x a <<）的反函数为1()f x -，则11111232()()()()21212121a f f f f a a a a ----+++⋅⋅⋅+=++++二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列关于双曲线22:163x y Γ-=的判断，正确的是（ ） A. 渐近线方程为20x y ±= B. 焦点坐标为(3,0)±C. 实轴长为12D. 顶点坐标为(6,0)±14. 函数2cos(2)4y x π=+的图像（ ）A. 关于原点对称B. 关于点3(,0)8π-C. 关于y 轴对称D. 关于直线4x π=轴对称15. 若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a ∥b ”成立的一个充分非必要条件是 （ ）A. a b ⊥，b c ⊥B. a ∥α，b ∥αC. a β⊥，b β⊥D. a ∥c ，b c ⊥16. 设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[4,5]-上零点的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边依次为a 、b 、c ，且1cos 4C =. （1）求22cos 2sin 22A B C ++的值； （2）设2c =，求a b +的取值范围.18. 已知曲线22:11612x y Γ+=的左、右顶点分别为A 、B ，设P 是曲线Γ上的任意一点. （1）当P 异于A 、B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；（2）设点C 满足AC CB λ=u u u r u u u r （0λ>），且||PC 的最大值为7，求λ的值.19. 如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后， 总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）.（1）记i OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？20. 设数列{}n a 满足135a =，132n n n a a a +=+（n ∈*N ）. （1）求2a 、3a 的值；（2）求证：1{1}n a -是等比数列，并求12111lim()n n n a a a →∞++⋅⋅⋅+-的值； （3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （n ∈*N 且2n ≥）均有n S k ≥成立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.21. 已知函数()2x f x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--.（1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得200(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均 有1|()|2h x ≤，求a 、b 的值.参考答案一. 填空题1. (,0)(0,1]-∞U2. 13-3. 2-4. 1y x =-5. 46. 7127. 0 8. 19. 10. 10.4 11. 312. 2a二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. D三. 解答题17.（1）68+；（2）(2,3.18.（1）34-；（2）7或17.19.（1）（2）34200.6.20.（1）2913a =，32735a =；（2）2；（3）1k =.21.（1）2(,log 3]-∞；（2）27119[,)2259；（3）12a =-，172b =.。