信息论与纠错编码题库
信息论与纠错编码课后练习题含答案
信息论与纠错编码课后练习题含答案前言信息论与纠错编码是计算机科学与通信工程中非常重要的领域。
本文档将介绍该领域中一些常见的练习题，并且配有答案供参考。
第一部分：信息论题目一假设在信道中有两个符号a和b，其发生概率分别为P(a)和P(b)。
则符号a和b在信道中的平均传输信息量为多少？答案一符号a和b分别传输的信息量为 $I(a)=-\\log_2P(a)$ 和 $I(b)=-\\log_2P(b)$。
因此，符号a和b在信道中的平均传输信息量为：$$I_{avg}=\\frac{1}{2}(I(a)+I(b))=\\frac{1}{2}(-\\log_2P(a)-\\log_2P(b))=-\\frac{1}{2}\\log_2(P(a)P(b))$$题目二以上一题中的符号为例，若P(a)=0.2，P(b)=0.8，则符号b传输的信息量是符号a的多少倍？答案二符号a和b的信息量为：$$I(a)=-\\log_2P(a)=-\\log_2(0.2)=2.322$$$$I(b)=-\\log_2P(b)=-\\log_2(0.8)=0.321$$因此，符号b传输的信息量为符号a的 $\\frac{0.321}{2.322}=0.138$ 倍。
第二部分：纠错编码题目三对于一个二元码，其生成矩阵为$G=\\begin{bmatrix}1&0&1\\\\0&1&1\\end{bmatrix}$。
请问该码的最小汉明距离是多少？答案三对于二元码，最小汉明距离等于最小权值。
该码的所有码字是：$$\\begin{bmatrix}1&0&0\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&1&0\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}1&1&0\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&0&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}1&0&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&1&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}1&1&1\\end{bmatrix}，\\begin{bmatrix}0&0&0\\end{bmatrix}$$因此，该码的最小汉明距离是d min=1。
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第八章线性分组码8.1 什么是检错码？什么是纠错码？两者有什么不同？答：能发现错误但不能纠正错误的码称为检错码；不仅能发现错误而且还能纠正错误的码称为纠错码。
8.2 试述分组码的概念，并说明分组码的码率r的意义。
答：分组码是把信息序列以每k个码元分组，即每k个码元组成一个信息组。
n表示码长,k 表示信息位的数目，码率r=k/n，它说明在一个码字中信息为所占的比重。
8.3 什么是码的生成矩阵和校验矩阵？一个（n，k）线性分组码的生产矩阵和校验矩阵各是几行几列的矩阵？答：线性分组码的2个码字将组成n维向量空间的一个k维子空间，而线性空间可由其基底张成，因此线性分组码的个码字完全可由k个独立的向量组成的基底张成。
设k个向量为（7.3-2）将它们写成矩阵形式：（7.3-3）（n,k）码中的任何码字，均可由这组基底的线性组合生成。
即C=MG=(mk-1,mk-2,m0)G式中 M=(mk-1,mk-2,m0)是k个信息元组成的信息组。
这就是说，每给定一个信息组，通过式（7.3-3）便可求得其相应的码字。
故称这个由k 个线性无关矢量组成的基底所构成的k×n阶矩阵G为码的生成矩阵（Generator Matrix）。
校验矩阵H 的每一行代表求某一个校验位的线性方程的系数(n-k)线性分组码有r=n-k 个校验元，故须有r 个独立的线性方程，因此H 矩阵必由线性无关的r 行组成，是一个(n-k)×n 阶矩阵，一般形式为一个（n,k ）线性分组码生成矩阵有k 行n 列校验矩阵有(n-k)行n 列。
8.4 什么样的码成为系统码？系统码的生成矩阵和校验矩阵在形式上有何特点？答：若信息组为不变的形式，称在码字的任意k 位中出现的码为系统码；一个系统码的生成矩阵G ，其左边k 行k 列是一个k 阶单位方阵，系统码的校验矩阵H ，其右边r 行r 列组成一个r 阶单位方阵。
8.5 什么是对偶码？试举例说明之。
信息论与编码复习题
一、填空题1. 设信源X 包含4个不同离散消息，当且仅当X 中各个消息出现的概率为___1/4___时，信源熵达到最大值，为__2__，此时各个消息的自信息量为__2 __。
2.如某线性分组码的最小汉明距dmin=4，则该码最多能检测出___3____个随机错，最多能纠正__1____个随机错。
3.克劳夫特不等式是唯一可译码___存在___的充要条件。
4.平均互信息量I(X;Y)与信源熵和条件熵之间的关系是___(X;Y)=H(X)-H(X/Y )___。
5._信源___提高通信的有效性，_信道____目的是提高通信的可靠性，_加密__编码的目的是保证通信的安全性。
6.信源编码的目的是提高通信的 有效性 ，信道编码的目的是提高通信的 可靠性 ，加密编码的目的是保证通信的 安全性 。
7.设信源X 包含8个不同离散消息，当且仅当X 中各个消息出现的概率为__1/8__时，信源熵达到最大值，为___3____。
8.自信息量表征信源中各个符号的不确定度，信源符号的概率越大，其自信息量越_小___。
9.信源的冗余度来自两个方面，一是信源符号之间的__相关性__，二是信源符号分布的__不均匀性__。
10.最大后验概率译码指的是 译码器要在已知r 的条件下找出可能性最大的发码 作为译码估值 ，即令 =maxP( |r)_ __。
11.常用的检纠错方法有__前向纠错___、反馈重发和混合纠错三种。
二、单项选择题1.下面表达式中正确的是（A ）。
A.∑=j i j x y p 1)/( B.∑=i i j x y p 1)/( C.∑=j j j iy y x p )(),(ω D.∑=ii j i x q y x p )(),( 2.彩色电视显像管的屏幕上有5×105 个像元，设每个像元有64种彩色度，每种彩度又有16种不同的亮度层次，如果所有的彩色品种和亮度层次的组合均以等概率出现，并且各个组合之间相互独立。
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信息论与编码题库信息论与编码模拟题⼀、填空题1、已知 8 个码组为（000000）、（001110）、（010101）、（011011）、（100011）、（101101）、（110110）、（111000）。
则该码组的最⼩码距是 3 ，若只⽤于检错可检测 2 位错码，若只⽤于纠错可纠正 1 位错码。
2、同时掷两个正常的骰⼦，也就是各⾯呈现的概率都是 1/6，则“两个 1 同时出现”这⼀事件的⾃信息量为 5.17 ⽐特。
3、已知信源的各个符号分别为字母A ，B ，C ，D ，现⽤四进制码元表⽰，每个码元的宽度为10ms ，如果每个符号出现的概率分别为1/5，1/4，1/4，3/10，则信源熵H （x ）为 1.985 ⽐特/符号，在⽆扰离散信道上的平均信息传输速率为 198 bit/s 。
4．1948 年，美国数学家⾹农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论⽂，从⽽创⽴了信息论。
5．对离散⽆记忆信源来说，当信源呈____________分布情况下，信源熵取最⼤值。
6、对于某离散信道，具有3 x 5的转移矩阵，矩阵每⾏有且仅有⼀⾮零元素，则该信道噪声熵为；最⼤信息传输率为。
7、⼆元删除信道BEC(0.01)的信道转移矩阵为，信道容量为；信道矩阵为100001010001010??的DMC 的信道容量为。
8．数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数⽬的增多，输⼊消息与输出消息之间的平均互信息量趋于变⼩。
9.(7,3)码监督矩阵有 4 ⾏,⽣成矩阵有 3 ⾏。
10.对线性分组码,若要求它能纠正3个随机差错,则它的最⼩码重为 7 ,若要求它能在纠错2位的同时检错3位,则它的最⼩码重为 8。
11．汉明码是⼀种线性分组码，其最⼩码距为 3 。
12.信道编码的⽬的是提⾼数字信息传输的可靠性 ,其代价是降低了信息传输的有效性。
13.在通信系统中,纠检错的⼯作⽅式有反馈重发纠错、前向纠错、混合纠错等。
14.离散对称信道输⼊等概率时，输出为( 等概)分布。
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第三章 离散信源无失真编码3.2离散无记忆信源，熵为H[x]，对信源的L 长序列进行等长编码，码字是长为n 的D 进制符号串，问：（1）满足什么条件，可实现无失真编码。
（2）L 增大，编码效率 也会增大吗？ 解：（1）当log ()n D LH X ≥时，可实现无失真编码；（2）等长编码时，从总的趋势来说，增加L 可提高编码效率，且当L →∞时，1η→。
但不一定L 的每次增加都一定会使编码效率提高。
3.3变长编码定理指明，对信源进行变长编码，总可以找到一种惟一可译码，使码长n 满足D X H log )(≤n <D X H log )(+L 1,试问在n >D X H log )(+L1时，能否也找到惟一可译码？ 解：在n >D X H log )(+L1时，不能找到惟一可译码。
证明：假设在n >D X H log )(+L1时，能否也找到惟一可译码，则由变长编码定理当n 满足D X H log )(≤n <D X H log )(+L 1，总可以找到一种惟一可译码知：在n ≥DX H log )( ① 时，总可以找到一种惟一可译码。
由①式有：Ln ≥L X H )(logD ② 对于离散无记忆信源，有H(x)=L X H )( 代入式②得：n L ≥ Dx H log )( 即在nL≥Dx H log )(时，总可以找到一种惟一可译码；而由定理给定熵H （X ）及有D 个元素的码符号集，构成惟一可译码，其平均码长满足D X H log )(≤n L <DX H log )(+1 两者矛盾，故假设不存在。
所以，在n >D X H log )(+L1时，不能找到惟一可译码。
3.7对一信源提供6种不同的编码方案：码1~码6，如表3-10所示表3-10 同一信源的6种不同编码 信源消息 消息概率 码1 码2 码3 码4 码5 码6 u1 1/4 0 001 1 1 00 000 u2 1/4 10 010 10 01 01 001 U3 1/8 00 011 100 001 100 011 u4 1/8 11 100 1000 0001 101 100 u5 1/8 01 101 10000 00001 110 101 u6 1/16 001 110 100000 000001 1110 1110 u71/161111111000000000000111111111（1） 这些码中哪些是惟一可译码？ （2） 这些码中哪些是即时码？（3） 对所有唯一可译码求出其平均码长。
信息论与编码技术练习题
一、判断题1、信息论主要研究目的是找到信息传输过程的共同规律，提高信息传输的可靠性、有效性、保密性和认证性，以达到信息传输系统的最优化。
（√）2、同一信息，可以采用不同的信号形式来载荷；同一信号形式可以表达不同形式的信息。
（√）3、通信中的可靠性是指使信源发出的消息准确不失真地在信道中传输；（√）4、有效性是指用尽量短的时间和尽量少的设备来传送一定量的信息。
（√）5、保密性是指隐蔽和保护通信系统中传送的消息，使它只能被授权接收者获取，而不能被未授权者接收和理解。
（√）6、认证性是指接收者能正确判断所接收的消息的正确性，验证消息的完整性，而不是伪造的和被窜改的。
（√）7、在香农信息的定义中，信息的大小与事件发生的概率成正比，概率越大事件所包含的信息量越大。
（×）8、通信中获得的信息量等于通信过程中不确定性的消除或者减少量。
（√）9、离散信道的信道容量与信源的概率分布有关，与信道的统计特性也有关。
（×）10、连续信道的信道容量与信道带宽成正比，带宽越宽，信道容量越大。
（×）11、信源熵是信号符号集合中，所有符号的自信息的算术平均值。
（×）12、信源熵具有极值性，是信源概率分布P的下凸函数，当信源概率分布为等概率分布时取得最大值。
（×）13、离散无记忆信源的N次扩展信源，其熵值为扩展前信源熵值的N倍。
（√）14、互信息的统计平均为平均互信息量，都具有非负性。
（×）15、信源剩余度越大，通信效率越高，抗干扰能力越强。
（×）16、信道剩余度越大，信道利用率越低，信道的信息传输速率越低。
（×）17、信道输入与输出之间的平均互信息是输入概率分布的下凸函数。
（×）18、在信息处理过程中，熵是不会增加的。
（√）19、熵函数是严格上凸的。
（√）20、信道疑义度永远是非负的。
（√）21、对于离散平稳信源，其极限熵等于最小平均符号熵。
信息论与编码期末考试题
信息论与编码期末考试题信息论与编码期末考试题（一）一、判断题. 1. 当随机变量和相互独立时，条件熵等于信源熵. （） 2.由于构成同一空间的基底不是唯一的，所以不同的基底或生成矩阵有可能生成同一码集. （） 3.一般情况下，用变长编码得到的平均码长比定长编码大得多. （） 4. 只要信息传输率大于信道容量，总存在一种信道编译码，可以以所要求的任意小的误差概率实现可靠的通信.（） 5. 各码字的长度符合克拉夫特不等式，是唯一可译码存在的充分和必要条件. （） 6. 连续信源和离散信源的熵都具有非负性. （） 7.信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越小，获得的信息量就越小.8. 汉明码是一种线性分组码. （） 9. 率失真函数的最小值是. （） 10.必然事件和不可能事件的自信息量都是. （）二、填空题 1、码的检、纠错能力取决于 . 2、信源编码的目的是；信道编码的目的是 . 3、把信息组原封不动地搬到码字前位的码就叫做. 4、香农信息论中的三大极限定理是、、 . 5、设信道的输入与输出随机序列分别为和，则成立的条件.. 6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是 . 7、某二元信源，其失真矩阵，则该信源的= . 三、计算题. 1、某信源发送端有2种符号,；接收端有3种符号，转移概率矩阵为. （1）计算接收端的平均不确定度；（2）计算由于噪声产生的不确定度；（3）计算信道容量以及最佳入口分布. 2、一阶马尔可夫信源的状态转移图如右图所示，信源的符号集为. （1）求信源平稳后的概率分布；（2）求此信源的熵；（3）近似地认为此信源为无记忆时，符号的概率分布为平稳分布.求近似信源的熵并与进行比较. 3、设码符号为，信源空间为试构造一种三元紧致码. 4、设二元线性分组码的生成矩阵为. （1）给出该码的一致校验矩阵，写出所有的陪集首和与之相对应的伴随式；（2）若接收矢量，试计算出其对应的伴随式并按照最小距离译码准则试着对其译码. （二）一、填空题1、信源编码的主要目的是，信道编码的主要目的是。
信息论与编码试题集与答案(新)
一填空题（本题20分，每小题2分）1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息表示从Y获得的关于每个X的平均信息量，也表示发X前后Y的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
3、最大熵值为。
4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。
6、只要，当N足够长时，一定存在一种无失真编码。
7、当R＜C时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。
8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。
9、1948年，美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。
按照信息的性质，可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。
按照信息的地位，可以把信息分成客观信息和主观信息。
人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。
信息的可度量性是建立信息论的基础。
统计度量是信息度量最常用的方法。
熵是香农信息论最基本最重要的概念。
事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。
10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用随机矢量描述。
11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为 其发生概率对数的负值 。
12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特 。
13、必然事件的自信息是 0 。
14、不可能事件的自信息量是 ∞ 。
15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和 。
16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。
17、离散平稳无记忆信源X 的N 次扩展信源的熵等于离散信源X 的熵的 N 倍 。
18、离散平稳有记忆信源的极限熵，=∞H )/(lim 121-∞→N N N X X X X H 。
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第九章循环码9.1 什么是循环码？如何用多项式来描述一个循环码？解答：一个线性分组码，若具有如下特性，则称为循环码。
设码字c=(cn-1 cn-2 … c1 c0)将码元左移一位，得 c1=(cn-2 …c1 c0 cn-1) 也是一个码字，则称此分组码为循环码。
把码长为n的码组中的各码元当作n-1次多项式的系数若码组C=（cn-1，cn-2，……，c1，c0)，则其相应的码多项式为：C(x)= cn-1xn-1+ cn-1xn-1+ ……+ c1x+ c0对应于每一码字，可以写出相应的码字多项式(最高次数小于n次)C (x) = c n-1 x n-1 +cn-2 x n-2+…+c1 x +c0C1(x) = cn-2 x n-1+c n-3 x n-2+…+c0 x +c n-1C2(x) = cn-3xn-1+cn-4xn-2+…+cn-1x+cn-2………………………………Cn-1(x) =c0 xn-1+cn-1xn-2+…+c2 x+c1对于上述多项式，有x •C (x) + C1 (x) = cn-1 x n + cn-1 = cn-1 (xn + 1 )x •C (x) + C1 (x) ≡0 mod (xn +1)C1 (x) ≡x•C (x)x2• C (x) + C2 (x) = cn-1 (xn +1)C2 (x) ≡ x2 •C (x) mod (xn +1)……………………Ci (x) ≡xi •C(x) mod (xn + 1)……………………C n-1 (x)≡x n-1 C1(x) mod (xn+1)得出结论：在循环码中，若C(x)是一个长为n的许用码组，则xi• C(x)在按模xn+1运算下，也是一许用码组。
即若xi• C(x)≡Ci(x) （模xn+1）则Ci(x) 也是一许用码组，且为C(x)码组向左循环移位i次的结果。
9.2 循环码的生成多项式是如何定义的？生成多项式g(x)有什么特点和性质？答：若一个循环码的所有码子多项式都是一个次数最低的非零首一多项式g(x)的倍式，则g(x)生成该码，并称g(x)为该码的生成元或者生成多项式。
g(x)的特点和性质：1.g(x)是一个次数最低的唯一的首一多项式，其次数r=n-k正好是码字中检验元的数目。
2.生成多项式g(x)是x n-1的因式。
3.由x n-1=g(x)h(x),h(x)称为校验多项式。
对于任意一个(n,k)循环码，必有g(x)h(x)=0mod x n-1及G·H T=0.9.3 循环码的生成多项式g(x)和校验多项式h(x)之间有什么关系？如何在已知码的生成多项式和校验多项式的情况下，得到对应的生成矩阵和校验矩阵？解：若g （x ）是（n,，k ）循环码的生成多项式，则有校验多项式h(x)使g(x) h(x)=x n-1,h(x)为k 次多项式。
且有生成矩阵G 和校验矩阵H ，G H T=0.若有生成多项式g(x)=g n-k x n-k + g n-k-1 x n-k-1+ ……+g 1 x+g 0 ，由于k 个码多项式必线性无关，故可以构造出生成矩阵G⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-------01011011g 000g g 00^0g g g g g g g g k n k n k n k n k n G 同样的，也能通过h(x)求出校验矩阵H 。
9.4试述利用生成多项式实现循环编码的步骤。
如何用电路实现编码。
答：系统循环码的编码方法：首先将信息元多项式m(x)乘以成为，然后将以生成多项得到余式,该余式就是校验元多项式，从而得到码字多项式。
用电路实现编码可采用以为除式的除法电路。
在除法电路的基础上，将输入信息元组从个寄存器的高端输入，相当于乘以。
移位脉冲在1到个节拍内，打向“1”，各信息元直接经输出，成为系统码的前个码元；同时它们又依次进入除法电路，进行除以的运算。
运算结束时留在移位寄存器中的存数就是余式的系数。
然后，cp 在到个节拍内，打向“2”，使移位寄存器中的各校验元依次输出，形成一个长为的码字。
9.5 利用接收序列y(x)的伴随式s(x)进行检错的原理是什么？答：接收端译码器由伴随式确定错误图样然后从接收到的码字中减去错误图样。
9.6 什么样的运算叫做s(x)的自发运算？它对循环码的译码有何意义？解答：若)(x S 是接收码字多项式)(x R 的伴随式，则)(x R 的一次循环移位)(x xR (mod 1+n x )的伴随式)(1x S 是)(x S 在伴随式计算电路中无输入时，右移一位的结果（称称为自发运算），即有)(m od )()(1x g x xS x S ≡把某一可纠正的错误图样e (x )及其所有的小于等于n －1次的循环移位归成一类，用一个错误图样来代表。
译码时只要计算这个错误图样的伴随式，该类中其它错误图样的伴随式都可由该伴随式在g (x )除法电路中循环移位来得到。
把某一可纠正的错误图样e(x)及其所有的小于等于n －1次的循环移位归成一类，用一个错误图样来代表。
译码时只要计算这个错误图样的伴随式，该类中其它错误图样的伴随式都可由该伴随式在g(x)除法电路中循环移位来得到。
9.7 Meggit 通用译码器有什么特点？为什么这种译码器能够实现连续译码输出？ 答：特点：将s(x)计算电路与s(x)自发运算电路并行完成，实现了连续译码输出。
因为接收码字y(x)一方面被送入n 级移位寄存器，一方面被送入s(x)计算电路，经n 节拍后，将在s(x)计算电路中得到的s(x)送入自发运算电路。
S(x)自发运算电路在结构上与s(x)计算电路相同。
从n+1拍至2n 拍完成该码字对应伴随式的自发运算及纠错、译码输出。
于此同时，第二个接收码字一方面被送入n 级移位寄存器，一方面被送入s(x)计算电路。
可见，前一个码字的纠错译码过程与后一个码字的s(x)计算过程在时间上是重叠的。
虽然每一个码字在译码器中仍需逗留2n 拍，但从整体上，该译码器实现了连续译码输出。
9.8 已知（7,3）码的生成多项式g(x)=x 4+x 2+x+1，求其校验多项式h(x) 解：方法一：因为x 7-1 =（x+1）（x 3+x+1）(x 3+x 2+1)，而g(x)=x 4+x 2+x+1，且g(x) h(x) =0 mod x 7-1 ，所以得h(x) = x 3+x 2+1.方法二：由于有生成矩阵G 和校验矩阵H ，使G H T= 0 所以可以通过上式得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1011000010110000101100001011H 所以可以得到h(x)=x 3+x 2+1.9.9在GF(2)上可分解为以下既约多项式的乘积：当构成（15，9）码时，有多少种不同的选择？分别写出对应的生成多项式。
解：根据题意：。
该多项式构成（15，9）码共有3种不同的选择，生成多项式分别为：9.10设(15,7)循环码是由g(x)=生成的。
试回答：y(x)=是码多项式吗？求y(x)的伴随式。
答：y(x) = x7+x5+x3+x+1不是码多项式。
s(x) = y(x) [mod g(x)]= x7+x5+x3+x+1。
9.11 设计一个由g(x)= x 4+x+1 生成的（15,11）循环汉明码的编码器。
解答：循环汉明码编码器如下所示：9.12 证明：x 10+x 8+x 5+x 4+x 2+x+1为（15，5）循环码的生成多项式，并求： （1）该码的生成矩阵。
（2）当信息多项式为m(x)= x 4+x 2+x+1时的系统码多项式。
（3）画出以g(x)除法电路为核心的n-k 级编码器。
证明： (x 10+x 8+x 5+x 4+x2+x+1)| x 15-1 且最高次10=15-5，故为该码的生成矩阵。
（1）生成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001110110010000000111011001000000011101100100000001110110010000000111011001G（2）校验多项式r(x)=x 10*m(x) mod g(x)=x 5+x 3+1 系统码多项式为：x 10*m(x)+ r(x)= x 14+x 12+x 11+x 10+x 5+x 3+1（3）编码器：9.13 证明：由g(x)=x10+x7+x6+x4+x2+1可生成一个（21,11）循环码。
画出此码的伴随式计算电路。
若接受码字多项式为y=x17+x5+1,其伴随式是什么？解：因为x21+1 = (x10+x7+x6+x4+x2+1)*(x11+x8+x7+x2+1)，因为g(x)=x10+x7+x6+x4+x2+1，所以校验多项式为h(x)= x11+x8+x7+x2+1.故可以生成一个（21,11）的循环码。
由于S(x)=y(x) mod g(x)，所以得到s(x)=x8+x6+x4+x3+1.则伴随式的通式为s（i）(x)=x i s(x)=x i(x8+x6+x4+x3+1)9.14 已知一个循环码的生成多项式，是的一个因子。
求证：（1）设n为奇数，则全1的n重矢量不是一个码字；（2）设n为偶数，则全1的n重矢量是一个码字。
证明：（1）用多项式表示全1的n重矢量：若为一个码字多项式则由于即是的一个解当n为奇数时，时，当n为奇数时，时，即证得n为奇数时，则全1的n重矢量不是一个码字；n为偶数时，则全1的n重矢量是一个码字。
9.15设计一个由g(x)=生成的(15,11)循环汉明码的译码器。
答：码得校验矩阵为H=[=假设信道错误出现在最高位, 即E =（100000000000000）, 对应的错误图样多项式为e(x)= 可以求得相应的伴随式多项式：即相应的伴随式多项式为对应的伴随式为S=(1001)相应的译码电路为：9.16设a是GF（24）上的本原元，求a, a3,a5的最小多项式。
解答：若码以a为根，即以a, a2,a4，a8，共轭根系为根，最小多项式为M1(x)= x4+x+1若码以a, a3为根，即以a, a2,a4，a8，共轭根系和 a3,a6，a12，a24=a9共轭根系为根，最小多项式为M3(x)= x4+ x3+ x2+x+1若码以a, a3, a5为根，即以a, a2,a4，a8，共轭根系, 和 a3,a6，a12，a24=a9共轭根系和 a5,a10共轭根系为根，最小多项式为M5(x)= x2+x+19.17构造能纠2个错的二元本原(31,21) BCH码的生成多项式。
解：n=31 得m=5设t是GF上的本原，有t5=t2+1, t31=1对于w=2 则码以t，t3为根，最小多项式m(x)=(x-t)(x-t2) (x-t4) (x-t8) (x-t16)= t31 同理g(x)=m(x)m(x)=x10+ x9+ x8+ x6+ x5+ x3+1。