图形与证明1
第一章图形与证明复习题（1）
一、基础练习
1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线 A 、互相垂直 B 、相等 C 、互相平分 D 、互相垂直且相等 ( )
2、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．．
的是( ) A 、BF=
2
1
DF B 、S △FAD =2S △FBE C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC ， 3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，
在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A
． B
． C ．3 D
4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝，MN=8㎝，则AB 的长等于 。
5、如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。
二、例题精讲
例１、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点
B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处，
(1)求证：B ′E=BF ；
(2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a
、b 、c 之间有何数量关系，并给予证明.
例2、如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝10 3 ，AD 、BC 的长是x 2
-20x+75=0方程的两根，判断以点D 为圆心、AD 长为半径的圆与以C 圆心BC 为半径的圆的位置关系 。
21
L
D
C B
A 第5题图
N
M F E D
C B A
第4题图 A E
P B C A C
A B
C D E F A ′ B ′
例３、问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使∠APB ＝90°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使∠APB ＝60°的所有．．的点P ，并说明理由． 问题解决
如图③，现有一块矩形钢板ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP ’D 钢板，且∠APB ＝∠CP ’D ＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P 和P ’，并求出△APB 的面积（结果保留根号）．
第一章图形与证明复习题（2）
1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．
A 、3
B 、2
C 、3
D 、32
2、正方形ABCD 的边长为1，M 是AB 的中点，N 是BC 中点，AN 和CM
相交于点O ，则四边形AOCD 的面积是（ ）（A ）16 （B ）34 （C ）23 （D ） 3
4
3、在△ABC 中，BC =10，B 1、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2
12
1、C 、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图③中92192
1;C 、C C B 、、B
B 分别是AB 、A
C 的
10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是（ ） A . 30 B . 45 C .55 D .60
① ② ③ 4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是 。
5、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC =4AD
=B ∠=45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若ABE △为等腰三角形，则CF 的长等于 ．
6、在平行四边形ABCD 中，10AB =，AD m =，60D ∠=°， 以AB 为直径作O ⊙， （1）求圆心O 到CD 的距离（用含m 的代数式来表示）；
（2）当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．
7、四个顶点都在正方形边上的四边形叫做正方形的内接四边形.如图1，正方形EFGH 就是
正方形ABCD 的内接正方形.已知正方形ABCD 的边长为a (1)请在图1中画出面积最小的正方形ABCD 的内接正方形
E ’
F ’
G ’
H ’(要求用文字标明取点方法)； (2)如图2，2222E F G H 是正方形ABCD 的内接平行四边形，
2AE x =，2AH y =.请探讨
①当x 、y 满足什么条件时，2222E F G H 是矩形； ②用x 的代数式表示矩形2222E F G H 的面积S ，并写出
S 的取值范围.
H 2G 2
F 2
E 2
D
C B
A
8、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P 从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀
速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速
度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的
时间为t秒．Array (1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长
同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
(4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？。
2018_2019学年八年级数学第15课图形与证明例题课件
失误防范
中考题中与三角形有关的综合题:
类型一：构造法添加辅助线 当题目中的结论在现有图形中难以解决时，我们自然会考虑添加辅助线， 而构造全等三角形来转化线段或角是我们常用的方法之一． 类型二：在变化的图中探究同一类问题 这类问题往往是方法的延续，而第一问是很容易入手的，因此对比第一 问，利用第一问的方法就可以解决后面的问题．
重点中学与你有约
例1.如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE//AB， ∠B=∠DAE.求证：BC=AE.
解题技巧
解： ∵DE//AB， ∴∠CAB=∠ADE
在△ABC和△DAE中，
CAB ADE
AB
DA
B DAE
△ABC △DAE(ASA )
∴BC=AE.
掌重握要三结角论形：
2
重要结论：
全等三角
一三四二 读解悟联
关形键熟的词练性：掌质握， 直垂中求关全形直形中的角线点线系所定断全本键等的角斜线应三，，段.学理三等题．三判三边性用角之性，角是的角定角上质.形间质判形解关，，
重要方法：
综合法
举一反三
已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点 （点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足 分别为E、F，点O为AC的中点． （1）当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF （2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当点P在对角线AC上时，且 ∠OFE=30°时，如图2，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量 关系？并给予证明． （3）当点P在对角线CA的 延长线上时，且∠OFE=30° 时，如图3，猜想线段CF、 AE、OE之间有怎样的数量 关系？直接写出结论即可．
∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC=36°，∴∠CDE=72°， ∴∠CDE=∠CED=72°，∴CD=CE， 则BC=BE+EC=AB+CD；
苏科版九年级数学上册第一单元《图形与证明》(1)小结+测试题
数学九年级（上）第一章知识点归纳总结1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。
1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理1：平行四边形的对边相等。
定理2：平行四边形的对角相等。
定理3：平行四边形的对角线互相平分。
判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。
定理1：矩形的4个角都是直角。
定理2：矩形的对角线相等。
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。
2对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
定理1：菱形的4边都相等。
定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
判定：1四条边都相等的四边形是菱形。
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质与判定：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。
图形与证明 第1课时 等腰三角形的性质和判定
图形与证明(二)第1课时等腰三角形的性质和判定1．一个等腰三角形的顶角为40°，则它的底角为_________°．2．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为_________°．3．某等腰三角形的边长分别是5 cm和8 cm，则此三角形的周长是( ) A．18 cm B．21 cm C．18 cm或21 cm D．18 cm或24 cm 4．三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，则这个三角形一定是( ) A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形5．求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．6．如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=__________．7．若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( ) A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°8．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B的度数为( ) A．50°B．40°C．25°D．20°9．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( )A．43B．33C．23D．310．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF的度数为( ) A．90°B．75°C．70°D．60°11．如图，C为线段AE上一动点(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有________________________(把你认为正确的序号都填上)．12．如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC．若AB=12，△AMN的周长为29，求AC的长．13．在一次数学课上，王老师在黑板上画出图形(如图所示)，并写下了四个等式：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．要求同学们从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．(写出一种即可)已知：求证：△AED是等腰三角形．证明：14．(1)如图①，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小．(2)如图②，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转(△OAB和△OCD不能重叠)，求∠AEB的大小．参考答案1．70 2．35 3．C 4．A 5．略6．60°7．D 8．D 9．C 10．D 11．①②③⑤12．17 13．略14．(1)60°(2)∵△OCD和△ABO都是等边三角形，∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．又∵OD=OA，∴OD=OB，OA=OC．∴∠4=∠5，∠6=∠7．∵∠DOB=∠1+∠3，∠AOC=∠2+∠3，∴∠DOB=∠AOC．∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，∴2∠5=2∠6．∴∠5=∠6．又∵∠AEB=∠8－∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB=∠2+∠5－∠5=∠2．∴∠AEB=60°。
图形证明题(一)
图形证明题（一）1．如图，已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AC 的中点，连接DE 并延长交BC 于点F ，连接AF .（1）求证：AD =CF ；（2）在原有条件不变的情况下，请你再添加一个条件（不再增添辅助线），使四边形AFCD 成为菱形，并说明理由.2. 如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF BD =，连结BF ． （1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．3.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是线段AD 上的一个动点(E 与A 、D 不重合)，G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 的中点．(1)试探索四边形EGFH 的形状，并说明理由．(2)当点E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是菱形?并加以证明．(3)若(2)中的菱形EGFH 是正方形，请探索线段EF 与线段BC 的关系，并证明你的结论．4、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．5．如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，．（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．6．如图，矩形A 1B l C 1D 1沿EF 折叠，使B 1点落在A 1D 1边上的B 处；沿BG 折叠，使D 1点落在D 处且BD 过F 点.(1)求证：四边形BEFG 是平行四边形；(2)连结B 1B ；判断△B 1BG 的形状，并写出判断过程．AB DCE FB O DCE 图87 已知等边△ABC 和等边△ADE 摆放如图1，点D,E 分别在边AB,AC 上，以AB,AE 为边作平行四边形ABFE ，连接CF,FD,DC 。
几何常见的基本图形及证明
初中几何基本图形及证明说明：本资料中所有虚线为证明用的辅助线 一：与角平分线有关的基本图形 基本图形1结论：如图，若P 点是B ∠和C ∠的平分线的交点，则P ∠和A ∠的数量关系为：A P ∠+︒=∠2190B基本图形2结论：如图，若P 点是FBC ∠的平分线和ECB ∠的平分线的交点，则P ∠与A ∠的数量关系为：A P ∠-︒=∠2190基本图形3如图，若P 是ABC ∠的角平分线和ACB ∠的外角平分线的交点，则P ∠与A∠的数量关系为：A P ∠=∠21BE二：等腰直角三角形与其共斜边的直角三角形 基本图形4如图，在等腰直角三角形ABC 中，D 点与C 点分别在AB 两侧，且BD AD ⊥，形成共斜边的两个直角三角形。
结论：CD BDAD 2=+E（延长DA 使BD EA =）基本图形5如图，在等腰直角三角形ABC 中，点D 与C 在AB 同侧，且BD AD ⊥，形成共斜边的两个直角三角形。
结论：CD BDAD 2=-A（截取BD AE=）三：线段和最短与轴对称 基本图形6 两定点一动点如图，A ，B 为直线l 同侧两定点，P 为直线l 上一动点，A 和1A 关于l 成轴对称，连接BA 1交直线l 于P 点。
结论：PB PA +最短基本图形7 一定点两动点如图P 为AOB ∠内一点，点1P 与P 关于OB 成轴对称，2P 与P 关于OA 成轴对称，连接21P P 交OB 于E 点，交OA 于F 点。
结论：△PEF 的周长最短OA基本图形8 两定点两动点如图，A ，B 为直角坐标系中的两定点，1A 与A 关于y 轴对称，1B 与B 关于x 轴对称，连接11B A 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，连A ，B ，C ，D 结论：四边形ABCD 周长最短。
基本图形9 一定点一动长如图，P 为一定点，AB 为直线l 上的定长。
结论：当P 在AB 的垂直平分线上时△PAB 的周长最短基本图形10 两定点一动定长如图，A ，B 为直线l 同侧的两点，DC 为直线l 上的一定长，作∥BE DC 且DC BE =，A 与1A 关于直线l 对称，连接E A 1交直线于D结论：BC AD +最短基本图形11 线段差最大如图，A ，B 分别位于直线l 的两侧，作1A 与A 点关于直线l 对称，连B A 1交直线l 于P 。
苏教版八下第十一章图形与证明(一)复习
A
E B
D M F C P
探索研究3
如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C角平分线的交点， ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。 A
P B C
如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C外角的角平分线的交点， ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。 A 拓展1
B
C
P
如图：在△ABC中，P是∠ B的角平分线 和 ∠ C外角的角平分线的交点， ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。 拓展2 A P
改写成“如果……，那么……”的形式：
如果两个角不相等，那么这两个角不可能是对顶角
（3）两个无理数的乘积一定是无理数；
例题欣赏
☞
已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分∠EAC, AD∥BC. 求证:∠B= ∠C.
E
A
１ ２
D
B
C
回顾与思考
☞
三角形内角和定理
A
E
AE2 B C1DBCA
E
A
F
F E
直角三角形 两锐角互余
回顾与思考
☞
学好几何的标志 是会“证明”
证明命题的一般步骤:
根据命题，画出图形； 根据命题，结合图形，写出已知、求证； 写出证明过程．
注：运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; 检查表达过程是否正确,完善。
对名称或术语的含义进行描述，做出规定，就是给出 他们的定义.
例如： 互为相反数 “符号不同、绝对值相等的两个数”是“ 全等形 “能够完全重合的图形”是“_______”的定 义． 无理数： 无限不循环小数叫做无理数.
”的定义;
直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
第十一章图形的证明(一)全章节教案(表格式)
课型
新授
课时
1
执教
周永红
总课时
11.1你的判断对吗？
教学目标
1.经历一些观察、操作活动，并对获得的数学猜想进行试验验证，体验直观判断有时不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明.
2.在交流中，感受数学思考的合理性和严密性.
3．渗透辨证唯物注意思想。
教学重点
体会证明的必要性
学生通过实例，初步了解什么是定义。并尝试着下定义。
了解定义的规则。
通过实例，了解什么是命题，如何区分命题
通过例题知道命题是由两部分组成的。
尝试如何把一个命题改成如果，那么的形式。
了解真命题与假命题的概念，并尝试着判断。
学生尝试解题，师生共同评价，深入探索说明命题是真命题与假命题的方法。
课堂小结
什么叫命题？它由哪几部分组成？怎样判断真假？
归纳：用推理的方法证实真命题的过程叫做证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）.已经证明的定理也可作为以后推理依据.
例1、如何证明“对顶角相等”
已知：如图直线AB、CD相交于点O.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB、CD相交于点O(已知),
∴∠1+∠BOD=180°,
∴∠1=180°-∠BOD,∠2+∠BOD=180°,
课堂小结
通过刚才的实验、观察、操作活动，我们感受到……
实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作是不够的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，还要学会说理！
各抒己见
作业
假如用一根比地球赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一粒草莓吗？能放进一个拳头吗
初中数学九(上)第一章图形与证明讲学稿
课题：等腰三角形的性质和判定学习目标：①会阐述、推证等腰三角形的性质判定定理．②学会比较等腰三角形性质定理和判定定理的联系与区别．③经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值．学习重点：等腰三角形的判定与性质的区别．学习难点：用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形性质定理和判定定理。
学习过程：一、情景创设：以前，我们曾经学习过三角形，你还记得按边分可以怎样分类吗？1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）2、等腰三角形有哪些性质？3、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？二、探索活动：1、合作与讨论：等腰三角形的两底角相等这是一道文字题，要分清题设和结论，画出图形，写出已知、求证和证明过程已知；在△ABC中，AB=AC求证；∠B=∠C2、思考与讨论怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。
5、思考与探索“等腰三角形的两个底角相等”（1）写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。
6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：思考：1、在△ABC中，∠A=1100，∠C=350，则△ABC是三角形。
2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=360，D是AC上一点，若∠BDC=720，则图形中共有（）个等腰三角形。
A、1B、2C、3D、43有一个三角形，它的内角分别是200，400，1200，怎样把这个三角形分成两个等腰三角形？分成的两个等腰三角形的内角分别是多少？三、典例分析1、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。
求证：∠DBC=21∠A。
2、已知：如图（1）∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC。
求证：AB＝AC（1）（2）AB CDEAB CDEBDAAB CD2、在上图（2）中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？思：如图，△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线交于点D．过点D作EF∥BC交AB于点E、交AC于点F．求证：EF＝BE+CF．四练习巩固（一）基础练习1、如果等腰三角形有两边长为3和7，那么周长为＿＿＿＿＿。
2013年苏教版八下第十一章图形与证明(一)期末复习教学案
苏科版八年级(下)数学复习教学案（5）第十一章 图形与证明（一）基础知识练习：1、把下列命题“对顶角相等”改写成：如果 ，那么2、举反例说明命题是假命题：同旁内角互补。
。
3、写出命题“同角的余角相等”的题设： ， 结论：4、如下图左，DH ∥GE ∥BC ，AC ∥EF ，那么与∠HDC 相等的角有 .5、如上图右：△ABC 中，∠B=∠C ，E 是AC 上一点，ED ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为D 、F ，若∠AED=140°，则∠C= ∠A= ∠BDF= .6、写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题： ；它是 命题（填“真”或“假”）。
7、三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、无法确定 8、下列命题中的真命题是（ ）A 、锐角大于它的余角B 、锐角大于它的补角C 、钝角大于它的补角D 、锐角与钝角之和等于平角 9、已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直.其中，正确命题的个数为（ ）A 、0B 、1个C 、2个D 、3个 10、如图，直线1l ∥2l ，3l ⊥4l ．有三个命题：①︒=∠+∠9031；②︒=∠+∠9032；③42∠=∠．下列说法中，正确的是（ ）（A ）只有①正确 （B ）只有②正确 （C ）①和③正确 （D ）①②③都正确 .典型例题分析： 例1.如图：已知CB ⊥AB ，CE 平分∠BCD ，DE 平分∠ADC ， ∠1＋∠2＝90°， 求证：AB ∥CDFED C BA MHGEDCBA21E DCBA例2.求证： n 边形的内角和等于 (n-2).180° 已知： 求证： 证明：例3 E 、F 为平行四边形ABCD 的对角线DB 上三等分点，连AE 并延长交DC 于P ，连PF 并延长交AB 于Q ，如图①，在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ 、BQ 的长度，估计AQ 、BQ 间的关系，并填入下表（长度单位：cm ）由上表可猜测AQ 、BQ 间的关系是__________________（1） 上述（1）中的猜测AQ 、BQ 间的关系成立吗？为什么？（2） 若将平行四边形ABCD 改为梯形（AB ∥CD ）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ 、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）（3） 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC ，如果AD ＝2，DB ＝4，AE＝3，那么EC ＝例4： 如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的； （2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．F ED C B A课后练习巩固：一、填空题1．命题“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”的条件是：________，结论是：___________．2．如图1，∠1=_________，∠2=__________．(1) (2)3．如图2，在△ABC中，DE∥BC，∠A=45°，∠C=70°，则∠ADE=_______°．4．如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A=65°，则∠BEC=______°．(3) (4) (5)5．如图4，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角，则∠1+∠2+∠3=_______°．6．•若一个三角形的3•个内角度数之比为4：•3：•2，•则这个三角形的最大内角为___°．7．如图5，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD平分∠CBE，则∠ADB=______°．二、选择题8．下列语句中，不是命题的是（）．（A）同位角相等（B）延长线段AD（C）两点之间线段最短（D）如果x>1，那么x+1>59．下面有3个命题：①同旁内角互补；②两直线平行，内错角相等；•③垂直于同一直线的两直线互相平行．其中真命题为（）．（A）①（B）③（C）②③（D）②10．下面有3个判断：①一个三角形的3个内角中最多有1个直角；②一个三角形的3个内角中至少有两个锐角；③一个三角形的3个内角中至少有1个钝角．•其中正确的有（）．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个11．一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）何类三角形不能确定12．已知点A在点B的北偏东40°方向，则点B在点A的（）．（A）北偏东50°方向（B）南偏西50°方向（C）南偏东40°方向（D）南偏西40°方向13．如图6，已知AB∥CD∥EF，∠ABC=50°，∠CEF=150°，则∠BCE的值为（）．（A）50°（B）30°（C）20°（D）60°(6) (7) 14．如图7，已知FD ∥BE ，则∠1+∠2-∠A=（ ）．（A ）90° （B ）135° （C ）150° （D ）180° 15．下面有2句话：（1）真命题的逆命题一定是真命题．（2）假命题的逆命题不一定是假命题，其中，正确的（ ）．（A ）只有（1） （B ）只有（2） （C ）只有（1）和（2） （D ）一个也没有 三、解答题16．请把下列证明过程补充完整：已知：如图，DE ∥BC ，BE 平分∠ABC ．求证：∠1=∠3．证明：因为BE 平分∠ABC （已知）， 所以∠1=______（ ）． 又因为DE ∥BC （已知），所以∠2=_____（ ）．所以∠1=∠3（ ）． 17．如图，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，下面有4个判断： （1）AD=CB ；（2）AE=FC ；（3）∠B=∠D ；（4）AD ∥BC ．请用其中3个作为已知条件，余下1个作为结论，编一道数学问题，•并写出解答过程．18．如图，长方形ABCD 是一块釉面砖，•居室装修时需要在此砖上截取一块呈梯形 状的釉面砖APCD ．（1）请在AB 边上找一点P ，使∠APC=120°；（2）试着叙述选取点P 的方法及其选取点P 的理由．。
图形证明
（2013宜宾）如图：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，
∠B=∠C，求证：BE=CD．
在△ABE和△ACD中
∠B=∠C AB=AC ∠A=∠A △ABE≌△ACD BE=CD
（2013•玉林）如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D． 求证：△ABC≌△AED．
2
1
（2013，永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，
AN平分∠BAC，BN⊥ AN于点N，延长BN交AC于点D，
已知AB=10，BC=15，MN=3。
A
（1）求证：BN=DN
（2）求△ABC的周长.
B
1 2
D
N
M
C
（2013凉山州）如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，
点E、F在线段AC上，且AF=CE．求证：FD=BE．
（1）求证：AE=CF； （2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
（2013鞍山）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点， F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°， 则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（2013•三明）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的 一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB． （1）求证：△BCP≌△DCP；
直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°， 连接BE. D
（1）求证：⊿ACD≌⊿BCE； （2）若AC=3cm，
B
则BE=
cm.
C E
A
（2013•沈阳）如图， ABC 中，AB=BC，BE⊥AC于点E，