矩形经典例题
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题
八年级数学《矩形》重点知识总结及经典例题学习目标1．了解矩形的概念及与平行四边形的关系．2．掌握矩形的性质及识别方法．3．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明．学法指导矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性．基础知识讲解1．矩形的概念有一个角为直角的平行四边形叫矩形．由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件．2．矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质．（2）矩形的四个内角是直角．（3）矩形的对角线相等且互相平分．（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形．3．矩形的识别方法（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形．4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形．重点难点重点：矩形的定义，性质及识别方法．难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用．易错误区分析运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？错解：这个结论正确正解：这个结论不正确分析：对角线相等的平行四边形才是矩形．典型例题例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，AB＝4cm，求矩形对角线长．分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解．解∵ABCD 为矩形∴AC ＝BD ，且OA=21AC ，OB=21BD ，∴OA=OB ， ∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60° ∴△AOB 为等边三角形∴OB ＝OA ＝AB ＝4，∴BD ＝2OB ＝2×4＝8cm ．例2．如图12-2-2所示：□ABCD 中AC ，BD 直交于O ，EF ⊥BD 垂足为O ，EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，且AE=EO=21DE.求证：□ABCD 为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD 为矩形，显然只要证AC ＝BD 即可，若Rt △DOE 的斜边上的中线OM ，易证△AOE ≌△DOM ，∴OA ＝OD 问题得证．证明：取DE 的中点M ，连结OM ，∴在Rt △DOE 中，OM=21DE=DM ， ∴OE=AE=21DE ，∠OME=∠OEA ∴OM ＝OE ，DM ＝AE ，∠OMD ＝∠OEM ，∴△OMD ≌△OEA ，∴OA=OD ，在□ABCD 中，∵OA=21AC ，OD=21BD ， ∴AC ＝BC ∴□ABCD 为矩形．例3．已知：如图所示，E 是已知矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点．求证：BF ⊥FD分析：由于CE ＝CA ，F 是AE 的中点，若连结CF ，则CF ⊥AE ．所示∠AFC ＝90°.所以要证BF ⊥FD ，只须再证∠CFB ＝∠AFD ．易知，只要证△AFD ≌△BCF ．证法一：连结CF ．因为CE ＝CA ，F 是AE 中点，所以CF ⊥AE ．所以∠AFD+∠DFC ＝90°，因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°. 又∵F 是Rt △ABE 斜边BE 的中点，所以BF ＝AF ，所以∠FAB ＝∠FBA ，所以∠FAD=∠FBC ．所以△FAD ≌△FBC ．所以∠CFB=∠AFD ，所以∠CFB+∠DFC ＝90°，即BF ⊥FD ．证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以AD BC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.例4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形．证明：∵四边形ABCD为矩形∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．例5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE解：OA＝CO过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO∴∠EAO＝∠E ∴CE=CA创新思维例1．如图所示△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD和矩形AEFB．解答问题（1）设图（2）中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1 S2.（填“＞”“＜”“＝”）（2）如图（3）中△ABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画个，利用图（3）把它画出来．（3）过图（4）△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图（4）把它画出来． （4）在（3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？分析：本题主要考查矩形的性质和计算．解：（1）如图甲过点C 作CG ⊥AB 于G ，则CG=AE ．∵S 1=2S △ABC =2×21×AB ·CG=AB ·CG ，S 2=AE ·AB=CG ·AB ∴S 1=S 2 （2）有2个如图乙（3）有3个如图丙（4）设矩形BCED ，ACHQ ，ABGF 的周长分别为L 1，L 2，L 3，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S ，则有L 1=a a s 22+，L 2=b s 2+2b ，L 3cs 2+2c ， ∵L 1-L 2=s a 2+2a-（b b s 22+）=2（a-b ）ab s ab -，而ab ﹥s ，a ﹥b ∴L 1-L 2﹥0，即L 1﹥L 2.同理L 2＞L 3．∴以AB 为边的矩形周长最小．例2．如图△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角线于点F.（1）求证：EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．分析：先证∠OCE ＝∠OEC 就有EO ＝CO ，同理有FO ＝CO ，即有EO ＝FO ．当0运动到AC 的中点时，四边形AECF 对角钱互相平分．∠EcF ＝90°.则四边形AECF 为矩形．证明：（l ）∵MN ∥BC ，∴∠1=∠3 又∵CE 为∠ACB 的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE ＝OC ，同理可证OF ＝OC ，∴OE=OF（2）当O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 为矩形，因为AO ＝OC ，OE ＝OF.解：由矩形的特征，AC ＝EF ，由AE ∥CF ，CE ∥AF 知BECD 是平行四边形，故AE ＝CF ，从而AC ＝FE ．中考练兵1．如图所示，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上BF ∥DF ，若AD ＝12cm ，AB ＝7cm ，且AE ：EB=5：2，则阴影部分的面积为 .分析：由已知可判断四边形EBFD 是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知BE 边上的高与AD 的长相等．因此求BE 的长是关键．本题还可运用平移的方法，将△AED沿AB方向平移，使DE与BF重合，得空白部分所组成的图形是长12cm，宽5cm的矩形，可求其面积，然后将矩形ABCD的面积，减去空白部分的面积，即可得阴影部分的面积．也可通过矩形的面积减去二个全等三角形的面积，而得出阴影部分面积。
矩形的性质与判定练习题
四边形平行四边形矩形菱形梯形为一角90°邻一组边相等正方形平两组对边行只有一组对边平行一角为直角且一组邻边相等邻边相等一9角为0°等腰梯形两腰相等证明（三）┄┄矩形的性质与判定【知识要点:】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是直角。
（2）对角线：互相平分且相等。
3．矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长´宽=ab （b a ,为矩形的长与宽） ★注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴。
【经典例题:】例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求，求AE 的长．例2、已知：、已知：如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
A B E C D BAC D N MH GOFE DCB APH DCBA例3、已知：如图所示，、已知：如图所示，矩形矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，°=Ð15EDC ．求证：AD=2AB ．例4、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．例5、如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ^交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证：四边形EFGH 是矩形．例6、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分ÐCBH.【课堂练习题:】1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。
双筋矩形截面例题
双筋矩形截⾯例题双筋矩形截⾯例题例题1 某矩形截⾯梁，截⾯b×h =300×500，混凝⼟为C30，该截⾯承担弯矩为400kNm，所有配置钢筋为HRB335级，请计算该截⾯所需配置的最⼩钢筋⾯积。
果外弯矩⼤于该弯矩，则要考虑双筋截⾯。
当单筋配筋承担玩具为最⼤值时，相应的计算受压区⾼度为：对于C30混凝⼟与HRB335级钢筋，ξb=0.55x b= ξb h0 =0.55×(500-60)= 242mm因此，最⼤单筋截⾯弯矩：M b=а1f c bx b(h0-x b/2)=14.3×300×242(440-242/2)=331.18kNm< 400kNm因此要配双筋。
Σx=0 а1f c bx + f y’A s’ = f y A sΣM=0 M=а1f c bx (h0-x/2) + f y’A s’ (h0-as’)由于混凝⼟强度等级为C30，不超过C50，所以а1取为1.0，可以查相应的材料表格，f c=14.3 N/mm2；对于HRB335级钢筋，f y=300 N/mm2。
将已知条件代⼊⽅程：14.3×300×x + 300×As’ = 300 As400 ×106 = 14.3×300×x(440- x/2) + 300×As’×（440-35）在⽅程组中，未知数为：x、A s’、A s，利⽤两个⽅程求解三个未知数，必须直接进⾏设计，确定⼀个未知数。
通常的做法为：设x =kξb h0，k不⼤于1，即保证x≤x b，同时要保证x≥2a s’；为保证混凝⼟的有效利⽤，同时保证截⾯的延性，k宜尽可能⼤⼀些。
因此，设x=0.9ξb h0 = 0.9×0.55×440 = 217.8 mm，代⼊⽅程组解得：A s’ = 745.95 mm2A s = 3860.49 mm 2选⽤钢筋： A s ’ ：3Φ18， A s ’ = 763 mm 2A s ：8Φ25，双排，A s = 3927 mm 2例题2 某矩形截⾯梁，截⾯b×h =300×500，混凝⼟为C30，该截⾯配置钢筋为HRB335级，梁顶配置钢筋2Φ22， A s ’ = 760mm 2；梁底配置钢筋6Φ25双排，A s = 2945mm 2 ，求该梁可以承担的最⼤弯矩。
初中八年级数学矩形例题
初中八年级数学矩形例题
以下是一些初中八年级数学中关于矩形的例题：
1. 已知一个矩形的长为12cm，宽为8cm，求它的周长和面积。
2. 一个矩形的周长是40cm，宽是4cm，求它的长和面积。
3. 一个矩形的长和宽之比是3:5，且周长为48cm，求它的长和宽。
4. 长方形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，如果将BC延长，使BD与AB相等，求新形成的矩形的周长和面积。
5. 在一个矩形的四个角上各取一个点，连接这些点得到一个不规则图形，如果这个图形的周长是36cm，其中两条边分别是8cm和7cm，求这两条边所在直角的顶点到对角线的距离。
以上是一些初中八年级数学中关于矩形的例题，通过解答这些例题，可以帮助学生巩固对矩形的周长、面积和相关性质的理
解和应用。
矩形的性质与判定典型例题
_矩形的证明题目一．（共 5 小）1 ．（2016 春 ? 巴南区校月考）如矩形都是由大小不等的正方形依据必定律成的，此中，第①个矩形的周 6 ，第②个矩形的周10 ，第③个矩形的周16 ，⋯，第⑧个矩形的周（）A ．168 B． 170 C． 178 D ．1882 ．（2016 ? 姜堰区校模）矩形ABCD 中， AB=4 ， BC=8 ，矩形 CEFG 上的点 G 在 CD， EF=a ， CE=2a ，接 BD 、 BF、 DF，△BDF 的面是（）2A ．32 B． 16 C． 8D ．16+a3 ．（ 2016 ? 深圳模）如所示，矩形ABCD 中， AE 均分∠BAD 交 BC 于 E，∠CAE=15 °，下边的：①△ODC 是等三角形；②BC=2AB ；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，此中正确有（）_ A．1 个 B．2 个C．3 个 D．4 个4 ．（2015 ? 十堰一模）如，在矩形ABCD 中， E， F 分是AB ， CD 上的点， AE=CF ，接 EF，BF，EF 与角AC 交于点 O，且 BE=BF ，∠BEF=2 ∠BAC ，FC=2 ， AB 的（）A．8B．8C．4 D ．65 ．（2015 ? 露台模）如，矩形ABCD 中， BC=1 ，接 AC 与 BD 交于点 E1， E1作 E1F1⊥ BC 于 F1，接 AF1交 BD 于 E2， E2作 E2F2⊥ BC 于 F2，接 AF2交 BD 于 E3，E3作 E3 F3⊥ BC 于 F3，⋯，以此推，BF n（此中 n 正整数）的（）A．B．C．D．二．解答（共25 小）6 ．（2015 ? 岩）如， E， F 分是矩形 ABCD 的 AD ， AB 上的点，若EF=EC ，且 EF⊥EC．（ 1 ）求： AE=DC ；（2 ）已知 DC=，求BE的．7 ．（ 2015 ? 玉林）如图，在矩形ABCD 中， AB=5 ，AD=3 ，点 P 是 AB 边上一点（不与 A ，B 重合），连结 CP，过点 P 作 PQ⊥ CP 交 AD 边于点 Q ，连结 CQ ．（1 ）当△CDQ ≌△CPQ 时，求 AQ 的长；（2 ）取 CQ 的中点 M ，连结 MD ， MP ，若 MD ⊥MP ，求 AQ 的长．8 ．（2015 ? 石家庄二模）已知：如下图，四边形ABCD 是矩形，分别以BC、 CD 为一边作等边△EBC 和等边△FCD ，点 E 在矩形上方，点 F 在矩形内部，连结AE、 EF．（1 ）求∠ECF 的度数；（2 ）求证： AE=FE ．9 ．（2015 春 ? 巴南区校级期末）如图，在矩形ABCD 中， E 是 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠后获得△ AFE，点 F 在矩形 ABCD 内部，延伸AF 交 CD 于点 G．（1 ）猜想线段GF 与 GC 有何数目关系？并证明你的结论；（2 ）若 AB=3 ， AD=4 ，求线段GC 的长．10 ．（ 2015 秋 ? 开江县期末）已知，四边形ABCD 是长方形， F 是 DA 延伸线上一点，CF 交 AB 于点 E， G 是 CF 上一点，且 AG=AC ，∠ACG=2 ∠GAF ．（1 ）若∠ACB=60 °，求∠ECB 的度数．（2 ）若 AF=12cm ， AG=6.5cm ，求△AEF 中 EF 边上的高？11 ．（ 2015 春 ? 宜兴市校级期中）定义：如图①，在△ABC 中， CD 是 AB 边上的中线，那么△ACD 和△BCD 是“友善三角形” ，而且 S△ACD =S △BCD．应用：如图②，在矩形 ABCD 中，AB=4 ， BC=6 ，点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上， AE=BF ， AF 与 BE 交于点 O ．（1）求证：△ AOB 和△AOE 是“友善三角形” ；（2）连结 OD ，若△AOE 和△DOE 是“友善三角形” ，求四边形 CDOF 的面积．12 ．（ 2015 春 ? 汕头校级期中）如下图，在矩形ABCD 中， AB=12 ，AC=20 ，两条对角线订交于点O ．以 OB、 OC 为邻边作第 1 个平行四边形 OBB 1 C，对角线订交于点A1，再以 A 1B1、 A 1C 作第 2 个平行四形 A 1B1C1C，角订交于点O 1；再以 O 1B1、O1C1 作第3个平行四形O 1B1B2C1⋯依此推．（1 ）求矩形ABCD 的面；（ 2 ）求第 1 个平行四形 OBB 1 C 的面是第 2个平行四形 A 1B1C1C 是第 3 个平行四形OB 1B2C 的面是（3 ）第n 个平行四形的面是．13 ．（ 2015 春 ? 青山区期中）如 1 ，已知 AB ∥CD ，AB=CD ，∠A= ∠D ．（ 1 ）求：四形 ABCD 矩形；（ 2 ）E 是 AB 的中点， F AD 上一点，∠ DFC=2 ∠BCE．①如 2 ，若 FAD 中点， DF=1.6 ，求 CF 的度：②如 2 ，若 CE=4 ，CF=5 ， AF+BC=，AF=．14 ．（ 2015 春 ? 富顺县校级月考）矩形ABCD 中， AB=3 ， AD=4 ；P 是 AD 上的随意一点，过 P 作 PE⊥ OA ， PF⊥ OD ，求 PE+PF 的值？15 ．（ 2015 春 ? 启东市校级月考）如图，已知矩形ABCD 中，过点 C 引∠A 的均分线AM 的垂线，垂足为M ， AM 交 BC 于 E，连结 MB ， MD ．（1）求证： BE=DC ；（2）求证：∠ MBE= ∠MDC ．（3 ）假如 AB=6 ，AD=10，则四边形ABMD面积=．16 ．（ 2014 ? 丹东一模）（1 ）如图 1 ，四边形ABCD 是矩形， E 为 AD 上一点，且BE=ED ，P 为对角线BD 上一点， PF⊥ BE 于点 F，PG⊥ AD 于点 G．判断 PF、PG 和 AB 的数目关系并说明原因．（2 ）如图 2 ，当四边形ABCD 变成平行四边形，其余条件不变，若∠ABC=60 °，判断 PF、PG 和 AB 的数目关系并说明原因．（3 ）如图 3 ，当四边形ABCD 知足∠ABD=90 °，AB=3 ，BD=4 ，其余条件不变，判断PF、PG 和 AB 的数目关系并说明原因．_17 ．（ 2014 ? 南岸区一模）如图，在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，点 F 是CB 延伸线上一点，连结EF交 AB于点G，且DE=BF．AE的垂直均分线MN交AE于点N 、交EF 于点 M ．若∠AFG=2 ∠BFG=45 °，AF=2 ．（1 ）求证： AF=CE ；（2 ）求△CEF 的面积．18 ．（ 2014 春 ? 涪陵区期末）如图，矩形ABCD 中， AB=8 ， AD=10 ．（1）求矩形 ABCD 的周长；（2）E 是 CD 上的点，将△ ADE 沿折痕 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上点 F 处．①求DE 的长；②点 P 是线段 CB 延伸线上的点，连结PA，若△PAF 是等腰三角形，求PB 的长．（3 ）M是 AD上的动点，在DC上存在点N ，使△MDN沿折痕MN折叠，点 D 落在BC 边上点T 处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．_ 19 ．（ 2014春 ? 郯城县期末）如图 1 ，在平面直接坐标系中，矩形OABC的极点A、C的坐标分别为（10 ，0）、（0，4 ），点D 5 的等腰三角形时，求点 P 的坐标．是OA的中点，点P 在2 、图BC3上运动，当△ ODP是腰长为20 ．（ 2013 秋 ? 渝中区校级期末）如图，点AE，交 CD 于点 F， G 是 AF 的中点，再连结（1 ）求证：∠ DEA=2 ∠AEB ；（2 ）若 BC=2AB ，求∠AED 的度数．E 是矩形 ABCD 的边 BC 延伸线上一点，连结DG 、DE ，且 DE=DG ．21 ．（ 2014 春 ? 宜昌校级期末）在矩形ABCG 中，点 D 是 AG 的中点，点 E 是 AB 上一点，DE⊥ DC ，CE 交 BD 于 F，（1）求证： ED 均分∠ AEC；（2）当∠BEC=60 °，且AE=1 时，求矩形 ABCG 的面积；（3）当 BE=BC ，求证： BD 均分∠CDE．_ 22 ．（ 2014 春 ? 沂水县期末）数学学习老是如数学知识自己的生长历史同样，常常发源于猜测中的发现，我们所发现的不必定对，可是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证以后，当所发现的在逻辑上没有矛盾以后，就能够作为新的推理的前提，数学中称之为定理．（1 ）试试证明：等腰三角形的研究中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．可是当时并未说明这个结论的合理．此刻我们学些了矩形的判断和性质以后，就能够解决这个问题了．如图 1 若在 Rt △ABC 中 CD 是斜边 AB 的中线，则，你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．（2 ）迁徙运用：利用上述结论解决以下问题：①如图 2所示，四边形 ABCD 中，∠BAD=90 °，∠DCB=90 °，EF 分别是 BD 、AC 的中点，请你说明EF 与 AC 的地点关系．②如图 3所示， ? ABCD 中，以 AC 为斜边作 Rt △ACE，∠AEC=90 °，且∠BED=90 °，试说明平行四边形 ABCD 是矩形．23 ．（ 2014 春 ? 金川区校级期中）如图，在正方形ABCD 的边 BC 上任取一点 M ，过点 C作 CN ⊥ DM 交 AB 于 N ，设正方形对角线交点为O ，试确立 OM 与 ON 之间的关系，并说明原因．_24 ．（2014 春 ? 合川区校级期中）如图，在矩形ABCD 中，点 E 为 CD 上一点，将△ BCE 沿BE 翻折后点 C 恰巧落在AD 边上的点 F 处，过 F 作 FH ⊥ BC 于 H ，交 BE 于 G，连结 CG．（1）求证：四边形 CEFG 是菱形；（2）若 AB=8 ， BC=10 ，求四边形 CEFG 的面积．25 ．（ 2014 春 ? 仙桃期中）矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至矩形AEFG ，使 B 点正好落在CD 上的点 E 处，连 BE．（1 ）求证：∠ BAE=2 ∠CBE；（2 ）如图 2，连 BG 交 AE 于 M ，点 N 为 BE 的中点，连M N 、AF，尝试究AF 与 MN的数目关系，并证明你的结论．26 ．（ 2014 春 ? 青县校级期中）如图 1，在四边形ABCD 中， AB ∥CD ，∠BCD=90 °，AB=AD=10cm ，BC=8cm ．点 P 从点 A 出发，以每秒3cm 的速度沿线段AB 方向向 B 运_动，点 Q 从点同时发，当点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点CP 运动到点 B 时， P、Q 同时运动停止，设运动时间为运动．已知动点t 秒．P、Q（1）求 CD 的长；（2）当 t 为什么值时，四边形 PBQD 为平行四边形？（3 ）在运动过程中，能否存在四边形BCQP 是矩形？若存在，恳求出t 的值；若不存在，请说明原因．27 ．（ 2013 ? 遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线 MN 折叠，使点 C 落在点 A 处，点 D 落在点 E处，直线 MN交BC于点M，交AD于点N．（1 ）求证：CM=CN；（2 ）若△CMN的面积与△ CDN的面积比为3：1，求的值．28 ．（ 2013 ? 郑州模拟）（1 ）如图 1 ，已知矩形ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点E 作 EF⊥ BD 于点 F， EG⊥ AC 于点 G， CH ⊥ BD 于点 H ，试证明 CH=EF+EG ；_（2 ）若点 E 在 BC 的延伸线上，如图 2 ，过点 E 作 EF⊥ BD 于点 F，EG⊥ AC 的延伸线于点G， CH ⊥ BD 于点 H ，则 EF、EG、CH 三者之间拥有如何的数目关系，直接写出你的猜想；（3 ）如图 3 ， BD 是正方形 ABCD 的对角线， L 在 BD 上，且 BL=BC ，连结 CL，点 E 是CL 上任一点， EF⊥BD 于点 F，EG⊥BC 于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间拥有如何的数目关系，直接写出你的猜想；（4 ）察看图 1 、图2 、图 3 的特征，请你依据这一特征结构一个图形，使它仍旧拥有EF、EG、 CH 这样的线段的关系，并知足（1）或（ 2 ）的结论，写出有关题设的条件和结论．29 ．（ 2013 ? 重庆模拟）如图，矩形ABCD 中，点 E 为矩形的边CD 上随意一点，点P 为线段 AE 中点，连结 BP 并延伸交边 AD 于点 F，点 M 为边 CD 上一点，连结 FM ，且∠1= ∠2 ．（1 ）若 AD=2 ， DE=1 ，求 AP 的长；（2 ）求证： PB=PF+FM ．30 ．（2013 ? 南岸区校级模拟）如图，在矩形ABCD 中，点 M 、N 在线段 AD 上，∠MBC=∠NCB=60 °，点E、 F 分别为线段 CN 、BC 上的点，连结EF 并延伸，交MB 的延伸线于点G， EF=FG ．（1）点 K 为线 BM 的中点，若线段 AK=2 ， MN=3 ，求矩形 ABCD 的面积；（2 ）求证： MB=NE+BG ．_。
单筋矩形截面计算例题
单筋矩形截面计算例题例题1：某矩形截面梁，截面b×h =300×500，混凝土为C30，该截面承担弯矩为200kNm，配置HRB335级钢筋，请计算该截面所需配置的最小钢筋面积。
ΣM=0 M=а1f c bx(h0-x/2)由于混凝土强度等级为C30，不超过C50，所以а1取为1.0，可以查相应的材料表格，f c=14.3 N/mm2；对于HRB335级钢筋，f y=300 N/mm2。
设受拉区钢筋配置为梁底单排，因此有：h0=h-35=500-35=465mm因此有：200×106 = 14.3×300 × x(465-x/2)解得x=112mm对于计算结果x，进行校核x，防止出现大于x b的情况而超筋。
x b=ξb h0对于C30混凝土与HRB335级钢筋，ξb=0.55。
x b=ξb h0=0.55×465=255.75mm > x，结果满足适筋梁要求。
因此A s =а1f c bx/f y= 14.3×300×112/300=1601.6mm2截面配筋率：ρ=A s/bh0=1601.6/300×465=1.15%>ρmin查钢筋表，对于HRB 335(20MnSi)钢筋，选择4Φ20+2Φ16，A S= 1256+402=1658 mm2>1601.6 mm2，可以满足要求。
通过本例题可以看出，求解方程组必须校核其结果x，只有x< x b才可以作进一步的设计，截面配筋率也必须大于最小配筋率。
同时在解方程时也要注意，由于ΣM=0：M=а1f c bx(h0-x/2)为一个一元二次方程，可能出现两个方程根，根据截面的尺度状况，可以自然约减下去一个根。
例题2：某矩形截面梁，截面b×h =400×600，混凝土为C30，该截面梁底配有双排HRB335级钢筋4Φ25+4Φ20，求该截面能够承担的最大弯矩。
平行四边形矩形菱形经典例题(8套)
经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC A DCBA DC BD C AB EF∵∴又∵∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又A F C E D F ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)．AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE F C A DCB（2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥ A D C B E B C E DA F P FDM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。
矩形(1)
例3:已知:如图,在△ABC 3:已知:如图, 已知 中,∠BAC≠90°,∠ABC=2∠C,AD⊥AC, ,∠BAC≠90° BC或CB的延长线D.试说明 的延长线D.试说明:DC=2AB. 交BC或CB的延长线D.试说明:DC=2AB.
A
D B
E
C
2.注意图形的计算题的解题格式, 2.注意图形的计算题的解题格式,解答时不仅要能 注意图形的计算题的解题格式 算出结果,而且要把计算过程的理由说清楚, 算出结果,而且要把计算过程的理由说清楚,防止 出现只有代数运算而无推理过程的解答 的解答. 出现只有代数运算而无推理过程的解答.
这节课的收获是…… 这节课的收获是
B
C
归纳: 归纳: 直角三角形的性质: 直角三角形的性质: (1)直角三角形的两个锐角互余. (1)直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的两个锐角互余 (2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 (2)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方. 平方. (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B
C
巩固练习: 巩固练习:
1.在矩形ABCD中,∠AOD=130° 1.在矩形ABCD中,∠AOD=130°,则 在矩形ABCD ∠ACB=___° 25° 2.已知矩形的一条对角线长是8cm,两条对角 2.已知矩形的一条对角线长是8cm,两条对角 已知矩形的一条对角线长是8cm, 4cm, 48cm 线的一个交角为60 则矩形的边长为_______ 60° 线的一个交角为60°,则矩形的边长为_______
D C
矩形的对角线相等. 矩形的对角线相等. B
∵四边形ABCD是矩形. 四边形ABCD是矩形. ABCD是矩形 ∴AC=BD
初三5-2-1矩形-知识点、经典例题及练习题带答案
初三5-2-1矩形-知识点、经典例题及练习题带答案环球雅思教育学科教师讲义讲义编号：______________ 副校长/组长签字：签字⽇期：【考纲说明】1、掌握矩形的性质及判定定理，能正确的识别并判定矩形；2、能根据数形结合思想解决矩形有关问题。
【趣味链接】⼀块矩形的巧克⼒，初始时由N×M个⼩块组成。
每⼀次你只能把⼀块巧克⼒掰成两个⼩矩形，最少需要⼏次才能把它们掰成N×M块1×1的⼩巧克⼒？【知识梳理】⼀、平⾏四边形1、定义：有两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形。
表⽰：平⾏四边形⽤符号“□ ”来表⽰。
2、平⾏四边形性质：（1）⾓：平⾏四边形的邻⾓互补，对⾓相等；（2）边：平⾏四边形两组对边分别平⾏且相等；（3）对⾓线：平⾏四边形的对⾓线互相平分；（4）对称性：平⾏四边形是中⼼对称图形，对⾓线的交点是对称中⼼；（5）⾯积:等于底和⾼的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平⾏四边形的任何⼀边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的⾼。
平⾏四边形的对⾓线将四边形分成4个⾯积相等的三⾓形．3、平⾏四边形的判定：①定义：两组对边分别平⾏的四边形是平⾏四边形②⽅法1：两组对⾓分别相等的四边形是平⾏四边形③⽅法2：两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形④⽅法3：对⾓线互相平分的四边形是平⾏四边形⑤⽅法4：⼀组平⾏且相等的四边形是平⾏四边形若⼀条直线过平⾏四边形对⾓线的交点，则直线被⼀组对边截下的线段以对⾓线的交点为中点，且这条直线⼆等分平⾏四边形的⾯积。
⼆、矩形1、定义：有⼀个⾓是直⾓的平⾏四边形叫做矩形，也说是长⽅形2、矩形的性质：（1）边：对边平⾏且相等；（2）⾓：对⾓相等、邻⾓互补；（3）对⾓线：对⾓线互相平分且相等；（4）对称性：既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形．（5）⾯积：设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．特别提⽰：直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；矩形具有平⾏四边形的⼀切性质。
九年级- 矩形知识点典型例题及练习
矩形一、矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形。
二、矩形的性质：（1）从边来说，矩形的对边平行且相等；（2）从角来说，矩形的四个角都是直角；（3）从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；（4）从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
（5）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。
因此，矩形的问题可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。
推论：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。
（6）矩形内任意一点P到四个顶点的长满足下列关系：22PD22=+（如何论证）PCPA+PB三、矩形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）四条边都相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（4）对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（5）每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。
主要特点①两条对角线相等；②两条对角线互相平分；③两组对边分别平行；④两组对边分别相等；⑤四个角都是直角；⑥顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；⑦有2条对称轴（正方形有4条）.例题分析例题1 下列迷命题中，正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平的四边形是矩形C.对角线相等的平行四边形是矩形D.一组邻边相等的平行四边形是矩形例题2 如图1-2-1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是AD上一动点，PE⊥AC 于E，PF⊥BD于F，则PE+PF 的值为.图1-2-1例题3 如图1-2-2，将一张长方形的纸片ABCD的角C折起到E处，作∠EFB 的平分线HF，则∠HFG的大小为.图1-2-2例题4 如图1-2-3，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边上的F处，若AB=12，BC=13，求FC的长度.图1-2-3例题5 如图1-2-4，在矩形ABCD中，AD>AB，O为两条对角线的交点，过O 作一直线分别交BC，AD于M，N.（1）求证:梯形ABMN的面积与梯形CDNM的面积相等（2）当MN满足什么条件的时候，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点与A点重合？（3）在满足（2）的条件下，若翻折后重叠部分的面积是不折叠部分的一半（重叠部分计算一次），求BM：MC的值1-2-4例题6 如图1-2-5，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，MN=BN，且BDMN .则ON与CN 的关系是.1-2-51-2-6例题7 在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，BD CE 于E ，若∠DCE ：∠BCE =2：1，BC =6，则∠OCD 的度数为 ，对角线AC 的长为 .例题8 如图1-2-6，在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，将矩形ABCD 折叠，使A ，C 两点重合，则折痕EF 的长为 .课堂练习1.直角三角形斜边上的中线等于 ．2.如图1-2-7所示，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是边AB 上的中线，若∠ADC=70°，则∠ACD= ． 3.四边形ABCD 是矩形，若已知AB=8cm ，AC=10cm ， 则AD= ，矩形的周长＝ ，矩形的面积＝ .4.已知矩形的两边长分别为8和6，则矩形的对角线长为 .5.已知矩形的对角线长为3cm ，一边长为2cm ，则另一边长为 . 60如图1-2-8所示，在矩形ABCD 中，A C 和BD 是两条对角线，若AE ⊥BD 于E ，∠DAE=2∠BAE ，则∠FAC= ．7.如图1-2-9所示，在四边形ABCD 中，∠BDC=90°，AB ⊥BC 于B ，E 是BC•的中点，•连结AE ，DE ，则AE 与DE 的大小关系是（ ）.图1-2-7图1-2-8图1-2-9图1-2-10图1-2-12图1-2-13A ．AE=DEB ．AE>DEC ．AE<DED ．不能确定 8.在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ，则四边形AFCE 为 .9.如图1-2-10所示，矩形AB C D 的两条对角线交于点O ，则图中的全等三角形共有（ ）.A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对10.如图1-2-11，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知∠AOD = 120°，AB =2.5cm ，则∠DAO = ，AC = cm ，ABCD S 矩形= .11.如图1-2-12，在矩形ABCD 中，AD =6，对角线AC 与BD 交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED=3BE .求AE 的长.12.如图1-2-13，在△ABC 中，AB =AC ，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形.图1-2-1113.如图1-2-14，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O .（1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中 还存在其他的全等三角形，请你找出来 . （2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 . （3）若AB =6，BC =8，则O 点到BD 的距离是 .14.如图1-2-15所示，在矩形ABCD 中，A C 和BD 是两条对角线，若AE ⊥BD 于E ，∠DAE =2∠BAE ，则∠F AC = ．15.如图1-2-16所示，矩形ABC D 的两条对角线交于点O ，则图中的全等三角形共有 .16.矩形的两邻边差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 .17.如图1-2-17，已知矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，若∠CAE =15°，则∠BOE 的度数为 .EOACBED图1-2-14图1-2-15图1-2-161-2-13ABCDEF图1-2-19F1 32 CBAED A 'F1 32 CBAED A '图1-2-1818.点P 是矩形ABCD 内一点，且P A =3，PB =4，PC =5，则PD = .19 .一个矩形纸片如图1-2-18折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF .（1）找出图中全等的三角形，并证明. （2）重合部分是什么图形？证明你的结论.（3）连接BE ，并判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明.20. 如图1-2-19，在矩形ABDC 中，把∠A 沿CF 折叠，点A 恰好落在矩形的对称中心E 处，若AB ＝a ，AC ＝b ，请你计算 ba的值.21.如图1-2-20，在矩形ABCD 中，已知AD =8，AB =6，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ,PF ⊥AC 于F ，求PE +PF 的值.APDCBOEF图1-2-2022.如图1-2-21，长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的平分线与BC交于点E，EF⊥ED，求EF的长度.A DFB E C图1-2-21。
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（一）计算
1．已知矩形的对角线长为1，两条相邻边之和为m，求矩形的面积．解析：依题设画出示意图，由矩形性质：
①
又②
∴由有
．
评述1 矩形作为特殊的平行四边形其最特殊之处在于4个内角均为90°，稍加连结，则会出现Rt△，借助勾股定理，矩形中只要知道一些条件、面积、边长等皆可计算．
评述2 此处兼顾考查了整式运算技巧，这里算法误区是没有考虑整体计算，而去解方程组．
2．在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BE=1，EF=2，求矩形面积．
解析：依题设画出图形，对照图形确认题设条件似乎计算面积的条件不具备，怎么办？深入挖矩形性质，矩形整体是一个轴对称图形，DF=BE=1，BD = 4→连结AC交BD于O，则易知：OA=OB=2，又有BE=OE=1，又∵AE⊥BO，可知△ABO为正三角形，∴AB=OB=2，
，∴
3．在矩形ABCD中，两条对角线小于0，DE平分∠ADC，E点在BC上，∠EDO=15°．
求∠COB，∠AOE的度数．
解析：依题设，画出示意图
由DE平分∠ADC，知∠EDC=45°，又∵∠EDO=15°
又由矩形ABCD知OD=OC
∴△ODC为正三角形，即OC=OD=CD
∴∠DOC=60°，∴∠COB=120°
∵∠EDC=45°，∠DCE=90°
∴CE=CD
∴CO=CE
进而可知∠COE=75°
∴∠AOE=105°
评述：学习四边形的另一个任务应是融会贯通前面所学的几何知识、几何方法．（二）特殊关系论证
3．已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F 是DE的中点，试确定线段AF与CF的位置关系．
解析：结合图示可以猜想AF⊥CF．
证明两线垂直，我们都有过什么想法？盘点盘点：
，……→
法一：连结BF，因∠BFE=90°，证∠AFC=∠BFE进而考虑证△AFC≌△BFE
提示：因CF为Rt△DCE斜边上中线，故CF=EF=FD
易证△FAD≌△FBC，有FB=FA
进而可证明△AFC≌△BFE（SSS）
又由BF为等腰△BED底边上中线有BF⊥DE．所以AF⊥CF 法二：“倍长中线”
延长AF交BC延长线于G，
连结AC ，易证△ADF≌△GEF，AD=GE，BC+CE=GE＋ＣＥ，即ＢＥ＝ＣＧ，
易证△CAG为等腰三角形CA=CG，F为底边AG中点．CF为AG边上的高.
另：对称地思考，同法可延长CF交AD延长线于H
证△AＣＨ为等腰三角形，利用另一方向的三线合一．
法三：利用“若三角形一边上的中线长等于这边长的一半，则该三角形为Rt△”．连结AC，设AC交BD于O，连结FO，易知FO为△DEB中位线
从而
又BE=BD=AC，进而有OF=OA=OC，
利用等边对等角和三角形内角和定理易证∠AFC=90°
评述：学习矩形后一个新性质很有用，就是：
4．已知：如图，矩形ABCD中，CF⊥BD，AE平分∠BAD和FC的延长线交于E点．求证：AC=CE．
解析：证AC=CE，两线共端点居于△CAE中，可考虑用“等角对等边”证∠1=∠E．考虑此处可能需倒许多角，设∠1=，尽可能多用表示相关的角．法一：依题设可知∠OAB=∠OBA-∠BAE=∠BGA=45°
故有∠OAB=∠OBA=45°+
∴∠FOC=∠AOB=90°-2而∠FCO=90°-∠FOC
∴∠FCO=2又∠FCO=∠1+∠E．
∴∠E=．
法二：由CF⊥BD可知∠BCF=∠BDC=∠OBA=45°+
又∠CGE=45°，∠BCF=∠CGE+∠E，所以可知∠E=．
评述：1．此题还有许多可以倒角的方法；2．这里亦可通过延长DC交GE于H，通过证△CHE≌△CGA来解决问题，有兴趣均可一试；3．特殊四边形由于其特殊性可以使许多边角产生关联，学习中要注意多发散多思考体会。
5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB上任一点，过P 分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是多少？
解析：易知四边形PECF为矩形，故EF=CP．
CP最小，则EF最小，过C作CP⊥AB于P．
CP的长即为所求．易知，．
6．如图，P是矩形内一点，已知PA=3，PB=4，PC=5，求PD的长．
解析：审图后，似乎这三条已知的线段与所求之间没有关联，故需变换位置或添辅助线．法一：沿AD平移△PAB到，连结，可知四边形中两条对角线互相垂直．
故有（能知道为什么吗？）
进而解得．
法二：过P作直线EF⊥AD交AD于E交BC于F，可设AE=x，进而用x表示PE．PF、FC，
再由Rt△PED布列勾股方法得解．
（三）折叠问题
7．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形对角BD折叠，那么图中阴影部分的面积是___．
解析：该阴影三角形面积都可怎么算→较简捷算法有：
．…
无论从哪个角度切入均需知道AF、DF的长．
依题设可证明△ABF≌△EDF
从而AF=FE，BF=FD．
设AF=x，则BF=4-x，
由，有
∴
评述：折叠问题的实质是轴对称，解题时首先要知道哪些量对应相等．
8．已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形折叠，使点B、D重合，求折痕EF的长．
解析：计算EF，目前在几何图形中计算长度我们都有什么方法？→“构建Rt△，或利用现成Rt△”，
利用勾股定理认真落实题设条件，可知，EF垂直平分BD，进而再观察。
不难发现四边形BFDE是菱形（你能证明么？试试！）
故有Rt△BEO，，．
依题设，同于上例设，则
由有，
∴
∴．。