线段垂直平分线的性质

例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分 线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
A
证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上， ∴PA=PB(？) 同理 PB=PC.
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
M
M’
）.
P C
B
你能依据例1得到什么结论？ 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点， 这一点到三角形三个顶点的距离相等。
线段的垂直平分线
实际问题1
威海市政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等。
A
B
C
A
实际问题2
在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 B 院的院址应选在何处？
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A
B
C
线段的垂直平分线
实际问题
1、求作一点P，使 它和已△ABC的三 个顶点距离相等.
数学化
A
实 际 问 题 1
C
B
p
PA=PB=PC
A
实际问题2
在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 B 院的院址应选在何处？
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB
A
C
B
N
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
点P在线段 AB的垂直 平分线上
?
PA=PB
几何语言叙述: ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 A
C
B
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 距离相等。 M
线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端 点的距离相等
点P在线段 AB的垂直 平分线上
P PA=PB
几何语言叙述:
烟威 高 速 公 路
线段的垂直平分线
实际问题
2、如图，在直线L上求 作一点P，使PA=PB.
数学化
A
实 际 问 题 2
B
L
p
PA=PB
数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务
已知:如图,在等腰三角形ABC中,腰AB 的垂直平 线MN交AC于点 D,BC=8厘米, Δ BDC的周长20厘米. 求:AB的长.
任何图形都是有点组成的。因 三、 此我们可以把图形看成点的集 线段的垂直平分线的集合定义： 合。由上述定理和逆定理，线 线段的垂直平分线可以看作是到线 段的垂直平分线可以看作符合 段两上端点距离相等的所有点的集合 什么条件的点组成的图形？
1、如图直线MN垂直平 分线段AB，则AE=AF。
2、如图线段MN被直线AB 垂直平分，则ME=NE。
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
三、 线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距 离相等的所有点的集合
生活中还有哪些地方用到数学知识?
每个同学上网找一个数学知识在生活中应用的实例, 下节课交流.
N ∴PA=PC.直平分线上) N’ ∴点P在AC的垂直平分线上; ∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.
求证：点O在BC的垂直平分线上。 证明：连结OB。 ∵ ON是AB的垂直平分线（已知） N
例 题 扩 展
已知：在Δ ABC中，ON是AB的垂直平分线 OA=OC。
证明：∵MN⊥AB ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90 度 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC ∴PA=PB
A
C
B
N
线段的垂直平分线
性质定理：线段垂直平分线上的到这条线段两个端点 的距离相等。 逆命题: 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分线上。 P
线段的垂直平分线
动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂
足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； M P
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B ……
由此你能得出什么规律
命题：线段垂直平分线上的
点到这条线段两个端点的距 离相等。
A C P1 B
N
线段的垂直平分线
命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 M 已知：如图，直线MN⊥AB,垂足为C, 且AC=CB. 点P在MN上. P 求证：PA=PB
3、如图PA=PB，则 直线MN是线段AB的 垂直平分线。
线段的垂直平分线
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
分析：
M
A
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB
点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
B
M’
P C N N’
PA=PB=PC ∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
A M D B
8
C N A C D
已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.
求证:点C在AD的垂直平分线上.
B
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
A
∴ OA=OB（线段的垂直平分线上的 点到这条线段的两个端点的距离相等） ∵ OA=OC（已知） ∴ OB=OC（等量代换） ∴点O在BC的垂直平分线上。 （到线段的两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。） O C
B
实际问题1
威海市政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等。
烟威 高 速 公 路
教学目标：
1. 理解和掌握线段的垂直平分线的定理及其 逆定理，并能利用它们来进行证明或计算。 2. 知道线段垂直平分线是到线段两端距离相 等的点的集合。 3. 了解数学和生活的紧密联系，培养用数学 的能力。
教学重点、难点：
1.线段垂直平分线定理及其逆定理的推导。 2.定理及逆定理的区别和联系。