微积分期末复习总结资料(精品)
微积分知识点简单总结
微积分知识点简单总结1. 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点处的变化率，可以简单理解为函数的斜率。
导数的定义为函数在某一点处的极限，即$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。
导数的计算可以使用求导法则，包括常数倍法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
2. 高阶导数函数的导数可以进行多次求导，得到的导数称为高阶导数。
高阶导数可以描述函数更加详细的变化情况，例如速度、加速度等概念。
3. 函数的微分微分是导数的一种形式，描述了函数在某一点附近的线性近似。
微分的定义为$dy=f'(x)dx$，可以理解为函数在某一点处的微小改变量。
微分可以用于估计函数的变化，以及在计算积分时的一些技巧和方法中。
4. 不定积分不定积分是积分的一种形式，用于求解函数的原函数。
不定积分的记号为$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，$C$为积分常数。
不定积分的计算可以使用换元法、分部积分法、有理函数的积分等一系列的积分法则。
5. 定积分定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的累积变化。
定积分的计算可以使用牛顿-莱布尼茨公式，也可以使用定积分的近似计算法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。
6. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理之一，描述了导数和积分的关系。
第一部分定理称为牛顿-莱布尼茨公式，表明了函数的不定积分可以表示为函数的定积分。
第二部分定理描述了定积分的求导运算，即若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。
7. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用，描述了含有未知函数及其导数的方程。
微分方程可以是常微分方程或偏微分方程，按照阶数、线性性质、系数等分类。
微分方程在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，例如描述物体的运动、电路的动态行为、人口增长等问题。
微积分知识点总结 pdf
微积分知识点总结
微积分知识点总结如下：
1.极限：极限是微积分的基础，描述函数在某个点附近的趋势。
极限有多种计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法、夹逼定理等。
2.导数：导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。
导数的计算方法有定义法、四则运算法则、链式法则、乘积法则、商法则等。
3.积分：积分表示函数在某个区间上的累积量或面积。
定积分等于被积函数在该区间上与x轴围成的面积。
积分的计算方法有反导数法、换元法、分部法、定积分性质等。
4.无穷级数：无穷级数表示无穷多项相加的表达式。
它可以分为收敛和发散两种类型，收敛级数有有限或无限的和，而发散级数的和是无穷大。
5.微分学：微分学是微积分的重要组成部分，包括函数的微分、微分法则、微分的应用等。
6.积分学：积分学是微积分的另一个重要部分，包括定积分、不定积分、积分的应用等。
7.多元函数微积分：多元函数微积分包括多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分、方向导数等，以及多元函数的积分和重积分等。
8.微分方程：微分方程是描述变量之间依赖关系的数学模型，包括一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程和非线性微分方程等。
9.泰勒公式与麦克劳林公式：泰勒公式是一个将一个函数展开成无穷级数的公式，而麦克劳林公式则是泰勒公式的特殊形式。
10.幂级数与傅里叶级数：幂级数是一种无穷级数，可以用来展开函数；傅里叶
级数则是将一个函数展开成正弦和余弦函数的无穷级数。
微积分知识点总结精选
微积分知识点总结精选微积分是数学的一门重要分支，研究函数的变化规律及其在几何、物理、工程等领域的应用。
微积分包括微分学和积分学，通过对函数进行求导和求积分，研究函数的性质和一些重要的数学定理。
下面将对微积分的一些重要知识点进行总结。
1.极限与连续性微积分的起点是极限的概念，极限描述了一个数列或者函数在一些点上的趋近情况。
常用的极限形式有左极限、右极限、无穷大极限等。
在微积分中，极限的定义为：如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当x满足0<，x-a，<δ时，f(x)与A之间的差的绝对值小于ε，那么就称函数f(x)在x=a处的极限为A。
连续性是极限的一个重要应用，如果在一些点上函数的极限与函数值相等，就称该函数在该点处连续。
2.导数和微分导数是一个函数在特定点上的变化率，可以用来描述函数的斜率、速度和加速度等概念。
导数的定义为：如果极限lim(x->a) [(f(x)-f(a))/(x-a)]存在，那么就称函数f(x)在x=a处可导，导数的值就是这个极限。
微分是导数的一个应用，微分的定义为：如果函数y=f(x)在x=a处可导，那么称d(y) = f'(a)dx 为函数f(x)在x=a处的微分。
3.高阶导数和导数法则函数的导数还可以求导数的导数，这叫做高阶导数。
高阶导数的符号通常用f(x)的斜体字母加单撇号表示，如f''(x)。
导数有许多重要的性质，导数的和差规则、常数与函数乘积的导数规则、函数乘幂的导数规则、复合函数的导数规则等都是常用的导数法则。
4.泰勒展开和泰勒级数泰勒展开是一个函数在特定点处的近似表达式，利用函数在该点的导数的值来逼近函数。
泰勒展开的公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)，其中Rn(x)是余项，描述了泰勒展开的误差。
大学微积分期末复习重点
大学微积分期末复习重点对于许多大学生来说，微积分是一门具有挑战性的课程。
期末临近，掌握好复习重点能够帮助我们更有效地进行复习，提高考试成绩。
以下是大学微积分期末复习的重点内容。
一、函数与极限1、函数的概念和性质理解函数的定义，包括定义域、值域和对应关系。
熟悉常见函数的图像和性质，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握函数的四则运算和复合函数的求法。
2、极限的概念和计算理解数列极限和函数极限的定义。
掌握极限的四则运算法则和存在准则。
熟练运用各种方法求极限，如代入法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
3、无穷小与无穷大理解无穷小和无穷大的概念及其关系。
掌握无穷小的比较和运算。
二、导数与微分1、导数的概念理解导数的定义和几何意义。
掌握导数的物理意义和经济意义。
2、导数的计算熟练掌握基本初等函数的导数公式。
掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则。
会求隐函数和参数方程所确定的函数的导数。
3、微分的概念和计算理解微分的定义和几何意义。
掌握微分的计算方法和应用。
三、中值定理与导数的应用1、中值定理掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和应用。
2、函数的单调性和极值利用导数判断函数的单调性。
求函数的极值和最值。
3、函数的凹凸性和拐点理解函数凹凸性的定义和判别方法。
求函数的拐点。
4、函数图形的描绘能够根据函数的导数和二阶导数的信息描绘函数的图形。
四、不定积分1、不定积分的概念和性质理解不定积分的定义和原函数的概念。
掌握不定积分的基本性质。
2、不定积分的计算熟练掌握基本积分公式。
掌握换元积分法和分部积分法。
五、定积分1、定积分的概念和性质理解定积分的定义和几何意义。
掌握定积分的基本性质。
2、定积分的计算掌握牛顿莱布尼茨公式。
会用换元积分法和分部积分法计算定积分。
3、定积分的应用会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。
六、反常积分1、无穷限反常积分理解无穷限反常积分的概念和收敛性的判别方法。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
微积分上重要知识点总结
微积分上重要知识点总结1、常用无穷小量替换常用等价无穷小： 当r T 0时,sin 兀〜AT , arcsin x 〜x, tan x 〜x, arctan x 〜x, ln(l + x )〜《v,b —l~x, 1 -cosx — -x 2.2、 关于邻域:邻域的立义、表示（区间表示、数轴表示、简单表示）;左右邻域、空心邻域、有界集。
3、 初等函数:正割函数sec 就是余弦函数cos 的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角 函数:定义域、值域4、 收敛与发散、常数A 为数列的极限的左义、函数极限的左义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A 的充要条件、极限的证明。
5、 无穷小量与无穷大量:无穷小量的泄义、运算性质、左理（无穷小量与极限的替换）、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。
6、 极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质（保序性）。
7、 极限的四则运算法则。
8、 夹逼左理（适当放缩）、单调有界迫理（单调有界数列必有极限）。
9、 两个重要极限及其变形 10、 等价无穷小疑替换定理11、 函数的连续性:定义（增量泄义法、极限定义法）、左右连续12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点，左、右极限都存在的就是第一类间断 点，第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。
左右极限至少有一个不存在的间断点就是 第二类间断点。
13、 连续函数的四则运算14、 反函数、复合函数、初等函数的连续性15、 闭区间上连续函数的性质:最值左理、有界性泄理、零值迫理、介值定理。
16、 导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。
17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 1•常数和基木初等函数的导数公式18. 隐函数的导数。
19、高阶导数的求法及表示。
微积分期末复习总结资料(精品)54页word文档
微积分期末复习总结资料（精品）首先，就是要有正确的复习方法。
在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考：第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。
其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。
详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。
复习小结了然于心，然后再复习。
第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的基础。
学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识基础。
第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。
从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。
第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。
数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。
比如，求极限的13种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回顾。
第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。
另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。
其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。
微积分上学期的主要内容及基本要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果：函数、极限与连续(一)基本概念1．函数：常量与变量，函数的定义2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念(二)基本要求1. 理解函数的概念，了解分段函数。
微积分知识点总结笔记
微积分知识点总结笔记微积分是数学中的一个重要分支，它涉及到了各种变化率、积分、微分和极限等概念。
在现代数学中，微积分是一门非常基础的学科，它广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
本文将从微积分的基本概念、函数的极限、导数和微分、不定积分和定积分、微分方程等方面对微积分的知识点进行总结。
1.微积分的基本概念微积分的基本概念包括函数、极限、导数和积分。
首先，函数是自变量到因变量的映射规律，通常用f(x)或y来表示。
当自变量x的取值逐渐接近某一数值时，函数值f(x)也有着确定的趋势，这种趋势称为极限。
导数是函数在某一点处的变化率，而积分则是对函数在某一区间上的累积效应。
2.函数的极限函数的极限是微积分中的基础概念之一，它用来描述自变量趋于某一数值时，函数值的变化情况。
数学上通常用极限符号lim来表示，比如lim(x->a)f(x)=L表示当x趋近a时，函数f(x)的极限是L。
在微积分中，函数的极限经常用来计算导数和积分，因此对于函数的极限有着很重要的意义。
3.导数和微分导数是函数在某一点处的变化率，它描述了函数在这一点附近的近似线性变化。
导数的计算可以通过极限的方法进行，通常用f'(x)或dy/dx来表示。
微分是导数的积分形式，它表示了函数的微小变化。
在实际中，导数和微分常用来描述函数的变化趋势和优化问题，比如求解最大值、最小值和函数图像的曲线斜率等。
4.不定积分和定积分不定积分是对函数的积分形式，它表示了函数在某一区间上的累积效应。
通常用∫f(x)dx来表示，它求解的是函数的原函数。
定积分则是对函数在某一区间上的定量描述，它表示了函数曲线与x轴之间的面积。
在微积分中，不定积分和定积分是密切相关的，它们有着许多重要的性质和应用，比如面积、体积、弧长、曲线图形的面积等。
5.微分方程微分方程是描述变化规律的数学方程，它由未知函数、自变量和导数等组成。
微分方程在物理、工程、生物等领域中有着广泛的应用，它可以用来描述各种自然现象的变化规律，比如弹簧振动、电路运行、生物种群的增长和衰减等。
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微积分期末复习总结资料（精品）首先，就是要有正确的复习方法。
在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考：第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。
其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。
详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。
复习小结了然于心，然后再复习。
第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的基础。
学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识基础。
第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。
从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。
第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。
数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。
比如，求极限的13种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回顾。
第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。
另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。
其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。
微积分上学期的主要内容及基本要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果：函数、极限与连续(一)基本概念1．函数：常量与变量，函数的定义2．函数的表示方法：解析法，图示法、表格法3．函数的性质：函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性4．初等函数：基本初等函数，复合函数，初等函数，分段表示的函数，建立函数关系5．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算，无穷小量与无穷大量，无穷小量的性质，无穷小量的比较，两个重要极限6．连续：函数在一点连续，左右连续，连续函数，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数性质的叙述重点：函数概念，基本初等函数，极限的计算难点：建立函数关系，极限概念(二)基本要求1. 理解函数的概念，了解分段函数。
能熟练地求函数的定义域和函数值。
2. 了解函数的主要性质(单调性、奇偶性、周期性和有界性)。
3. 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形。
4. 了解复合函数、初等函数的概念。
5. 会列简单应用问题的函数关系式。
6. 了解极限的概念，知道数极限的描述性定义，会求函数的左、右极限。
7. 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，以及无穷小量的比较等关系。
8. 掌握极限的四则运算法则.9. 掌握用两个重要极限求一些极限的方法。
10. 了解函数连续性的定义，会求函数的连续区间。
11. 了解函数间断点的概念，会判别函数间断点的类型。
12. 记住初等函数在其有定义的区间内连续的性质，知道闭区间上的连续函数的几个性质。
一元函数微分学(一)基本概念1．导数：导数的定义及几何意义，函数连续与可导的关系，基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导法则，对数求导法举例，用参数表示的函数的求导法则，高阶导数2．微分：微分的概念与运算，微分基本公式表，微分法则，一阶微分形式的不变性3．中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的叙述4．导数应用：用洛比达法则去求七种未定式极限问题，函数的单调性判别法，函数的极值及其求法，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平与垂直渐近线，最大值、最小值问题，导数在经济问题的应用重点：导数概念和导数的计算，极值，最大利润问题难点：导数的应用(二)基本要求1. 理解导数与微分概念，了解导数的几何意义。
会求曲线的切线和法线方程。
知道可导与连续的关系。
2. 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则。
3. 熟练掌握复合函数的求导法则。
4. 掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法，以及用参数表示的函数求一阶导数的方法。
5. 知道一阶微分形式的不变性。
6. 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。
7. 了解罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论；知道柯西定理的条件和结论。
会用拉格朗日定理证明简单的不等式８. 掌握洛比达法则求极限问题9.了解驻点、极值点、极值、凹凸、拐点等概念10.掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件。
知道极值点与驻点的区别与联系11.掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点12.会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线13. 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法不定积分(一)基本概念1．不定积分：原函数、不定积分概念，不定积分的性质，基本积分公式表2．积分法：第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，有理函数积分举例，三角有理式积分举例，积分表的使用重点：积分概念与计算，在几何上的应用难点：积分的计算及其应用(二)基本要求1.理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系2.熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法3.了解不定积分概念(定义、几何意义、物理意义)和不定积分的性质4.熟练掌握求解不定积分的方法最后一点，还要提醒大家的就是复习时的注意事项。
在复习的过程中，应该注意调整我们的状态和注意休息，一般地说，我们的大脑集中于某一学科的时间不是很长的，时间一长，我们的思维就可能处于停滞的状态，所以我们应该合理地安排时间，争取在复习时将所学的几门学科都能够交叉安排，这样保证大脑的高效率。
同时，还应该注意休息。
考试期间的复习效率很低，那时看看书适当放松，把习题简单回顾一下足矣。
考前注意保持充足的睡眠，现在很多同学在期末考试前点灯熬夜，晚上不注意休息，考试没有精神，甚至睡着了，导致很容易的题目也没有时间做了；还有不容忽视的一点就是，在考试的过程中，要注意卷面干净、书写整洁，还要有清晰的解题思路和完整的答题步骤，对于没有思路的题可以先放放以免耽误答题时间，否则会影响自己的卷面得分。
最后，希望大家保持一个健康的身体和良好的心态，做好期末复习，祝大家取得好成绩！提前祝大家元旦快乐！第一章 函数与极限第一节 函数§1.1 函数内容网络图区间定义域 不等式 定义 集合 对应法则 表格法表达方法 图象法初等函数 解析法 非初等函数 单调性函数的特性 奇偶性函数 周期性 有界性 定义 反函数 重要的函数 存在性定理 复合函数符号函数：⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x几个具体重要的函数 取整函数：()][x x f =，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.狄里克雷函数：()⎩⎨⎧=.,0,,1为无理数为有理数x x x D§1.2 内容提要与释疑解难一、函数的概念定义:设A 、B 是两个非空实数集，如果存在一个对应法则f ，使得对A 中任何一个实数x ，在B 中都有唯一确定的实数y 与x 对应，则称对应法则f 是A 上的函数，记为 B A f yx f →-::或.y 称为x 对应的函数值，记为 ()A x x f y ∈=,.其中x 叫做自变量，y 又叫因变量，A 称为函数f 的定义域，记为D （f ）， {}A x x f A f ∈=∆)()(, 称为函数的值域，记为R （f ），在平面坐标系Oxy下，集合{}D x x f y y x ∈=),(),(称为函数y=f(x)的图形。
函数是微积分中最重要最基本的一个概念，因为微积分是以函数为研究对象，运用无穷小及无穷大过程分析处理问题的一门数学学科。
1、由确定函数的因素是定义域、对应法则及值域，而值域被定义域和对应法则完全确定，故确定函数的两要素为定义域和对应法则。
从而在判断两个函数是否为同一函数时，只要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同，至于自变量、因变量用什么字母，函数用什么记号都是无关紧要的。
2、函数与函数表达式的区别：函数表达式指的是解析式子，是表示函数的主要形式，而函数除了用表达式来表示，还可以用表格法、图象法等形式来表示，不要把函数与函数表达式等同起来。
二、反函数定义 设y =f (x )，D x ∈，若对R (f )中每一个y ，都有唯一确定且满足y=f (x )的D x ∈与之对应，则按此对应法则就能得到一个定义在R （f ）上的函数，称这个函数为f 的反函数，记作 ()()()f R y y fx D f R f∈=→--,:11或.由于习惯上用x 表示自变量，y 表示因变量，所以常把上述函数改写成()()f R x x fy ∈=-,1.1、由函数、反函数的定义可知，反函数的定义域是原来函数的值域，值域是原来函数的定义域。
2、函数y=f(x)与x=f -1(y)的图象相同，这因为满足y=f(x)点（x,y ）的集合与满足x=f -1(y)点(x,y)的集合完全相同，而函数y=f(x)与y=f -1(x)图象关于直线y=x 对称。
3、若y=f(x)的反函数是x=f -1(y)，则[]()[].,)(11x f fx y ff y --==4、定理1（反函数存在定理）严格增（减）的函数必有严格增（减）的反函数。
三、复合函数定义 设()()D x x u E u u f y ∈=∈=,,,ϕ，若()φϕ≠⋂R f D )(，则y 通过u 构成x 的函数，称为由y=f(u)与()x u ϕ=复合而成的函数，简称为复合函数，记作))((x f y ϕ=。
复合函数的定义域为{}E x D x x ∈∈)(ϕ且，其中x 称为自变量，y 称为因变量，u 称为中间变量，()x ϕ称为内函数，f(u)称为外函数。
1、在实际判断两个函数()x u u f y ϕ==),(能否构成复合函数，只要看())(x f y ϕ=的定义域是否为非空集，若不为空集，则能构成复合函数，否则不能复合函数。
2、在求复合函数时，只要指出谁是内函数，谁是外函数，例如y=f(x), y=g(x),若y=f(x)作为外函数，y=g(x)作为内函数。
则复合函数())(x g f y =，若()x g y =作为外函数，()x f y =作为内函数，则复合函数为y=g(f(x))。