高中数学【人教B版(2019)】必修第一册均值不等式及其应用ppt课件(15张ppt)
合集下载
人教版高中数学B版必修一《第二章 等式与不等式——均值不等式及其应用》课件
一
二
三
课前篇 自主预习
3.做一做 已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab( ) A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值 C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0 解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得 |ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值为2,最小值为-2. 答案:A
课前篇 自主预习
一
二
三
知识点二、均值不等式
1.填空 (1)给定两个正实数 a,b,数������+2������称为 a,b 的算术平均值,数 ������������称为
a,b 的几何平均值.
(2)均值不等式:如果 a,b 都是正数,那么������+2������ ≥ ������������,当且仅当 a=b 时,等号成立.均值不等式也称为基本不等式,其实质是:两个正实数
解:(1)1������
+
1 ������
=
1 ������
+
1 ������
(2x+y)=2+2������������
+
������������+1=3+2������������
+
������ ������
≥3+2
2������ ������
·������������=3+2
2,
当且仅当2������
第二章 等式与不等式
2.2.4 均值不等式及其应用
-1-
首页
课标阐释
思维脉络
1.了解均值不等式的证明过程, 理解均值不等式成立的条件,等 号成立的条件及几何意义. 2.会运用均值不等式解决最 值、范围、不等式证明等相关
人教数学B版必修一《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第1课时均值不等式)
20
栏目导航
21
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注 条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即 a＋ b≥2 ab成立的条件是 a>0，b>0，等号成立的条件是 a＝b；a2＋ b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R，等号成立的条件是 a＝b.
栏目导航
22
2．如果 0＜a＜b＜1，P＝a＋2 b，Q＝ ab，M＝ a＋b，那么 P，
栏目导航
34
当堂达标 固双基
栏目导航
35
1．思考辨析 (1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成立．( )
(2)若 a≠0，则 a＋1a≥2 a·1a＝2.( )
(3)若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b2.(
)
栏目导航
36
[提示] (1)任意 a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab 成立，当 a，b 都为正 数时，不等式 a＋b≥2 ab成立．
27
栏目导航
＝b＋a c·a＋b c·a＋c b
≥2
bc·2 ac·2 abc
ab＝8，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号，
∴1a－11b－11c－1＞8.
28
栏目导航
29
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考 虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方 面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边 建立联系．
[思路点拨] 看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”， 裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．
栏目导航
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，
人教B版高中数学必修第一册 2-2-4《均值不等式及其应用》课件PPT
2 +2
值.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足
任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取
得相等的值.即“一正二定三相等”.
即时训练
.
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
1
1
1
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy=4x·
4y≤4 × 4(x+4y)2=16,当且仅
1
1
1
1
2
2
8
16
当 x=4y= ,即 x= ,y= 时,等号成立.所以 xy 的最大值为 .
1
答案:16
1.对均值不等式的理解
例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
答案:B
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0
解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab
的最大值为2,最小值为-2.
即
,
反思感悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意
以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
人教B版高中数学必修第一册2.2.4《均值不等式及其应用》课件
换法 解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表
达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商
二、提升新知·注重综合
题型二
利用均值不等式求最值
变式训练
1．[直接利用均值不等式求最值]已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值
为
A．16
( B )
B．25
C．9
解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
++
++
++
(2) + + =
+
+
=+
+
+
+
+
+
⩾ + + + = ，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
二、提升新知·注重综合
题型一
用均值不等式证明不等式
方法总结
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等
1．判断正误
(1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立． ( × )
(2)若a，b同号，则 + ≥2.
(3)若a>0，b>0，则ab≤
+
恒成立．
(4)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 .
( √ )
( × )
达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商
二、提升新知·注重综合
题型二
利用均值不等式求最值
变式训练
1．[直接利用均值不等式求最值]已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值
为
A．16
( B )
B．25
C．9
解析：因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
++
++
++
(2) + + =
+
+
=+
+
+
+
+
+
⩾ + + + = ，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
二、提升新知·注重综合
题型一
用均值不等式证明不等式
方法总结
利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等
1．判断正误
(1)对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 均成立． ( × )
(2)若a，b同号，则 + ≥2.
(3)若a>0，b>0，则ab≤
+
恒成立．
(4)若a>0，b>0，且a≠b，则a＋b>2 .
( √ )
( × )
均值不等式及其应用ppt课件
2
2
2
ab
即 2
0，
ab ．
而且，等号成立时，当且仅当 ( a b ) 2 0 ，即a＝b．
值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正
实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比
67
如
2
42 一定是正确的．
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还
可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它
4
y 4x
y 4x
y
4 ，当且仅当 y 4 x ，即 x 2 ， y 8 时等号成立，所以 x 4 .
4 min
又x
y
m2 3m 有解，所以 m2 3m 4 ，解得 m 1 或 m 4 .故选 D.
4
6.某批救灾物资随 41 辆汽车从某市以 v km / h 的速度匀速直达灾区，已知两地公
用来展示校友的书画作品.它的左、右两侧及顶部和底部都留有宽为 2 米的自由
C)
活动区域，如图所示，则整个书画展区域（大矩形）的最小面积是(
A.360 平方米
B.384 平方米
C.361 平方米
D.400 平方米
解析：设小矩形的一边长为 x 米，其邻边长为 y 米，整个书画展区域（大矩形）
的面积为 S 平方米.由 x 0 ， y 0 及 xy 225 ，得 S ( x 4)( y 4) xy 4 y 4 x
1
4
B.4
C.
1
2
D).
D.2
解析： a 0 ，b 0 ， 4 2a b 2 2ab （当且仅当 2a b ，即 a 1 ，b 2 时
均值不等式教学课件ppt
均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明：利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式，可以求出函数的最值，使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时，运用均值不等式能够简化计算，提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式，如$A \geq B \geq C \geq D$，其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式，可以帮助生产厂家制定生产计划，实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时，利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例，以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中，运用均值不等式可以确定最优资本结构，以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力，但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此，在今后的教学中，我将更加注重小组讨论的组织和引导，确保学生能够充分参与到讨论中，并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨
均值不等式及其应用-高一数学教学课件(人教B版2019必修第一册)
2.2.4 均值不等式 及其应用
引入新课
要做一段周长为200米的的栅栏，如何使其面积最大？
新知讲解
思考：一般地，对于任意实数 x、y，我们有
x2 y2 2xy ，当且仅当 x=y 时等号成立.
你能给出它的证明吗？
证明: x2 y2 - 2xy = x;0 ,当 x y 时，等号成立．
sin x
有同学这样解0 x ,sin x 0, 4 0,
sin x
y sin x 4 2 sin x 4 4
sin x
sin x
所以, y sin x 4 最小值为4. sin x
反思：研究函数
最值的处理思路是：
（1）可以用基本不等式求解；（2）不能用基本不等式时就用单 调性求解。
因为 OD CD ， 所以 a b ab 2
当且仅当 C 与 O 重合，即 a b 时，等号成立．
D
ab
2
ab
O
C
B
例 1 设 a, b 均为正数，证明不等式
ab
1
2
1
.
ab
证明 因 a, b 均为正数，由基本不等式，可知
11 a b
1
2
ab
也即
ab
1
2
1
，当且仅当 a
b 时，等号成立．
（1）求x，y的函数关系式，并求x的取值范围； （2）问框架的横边长x为多少时用料最省？
x y
反思：根据图形，建立总长L(米）与横边长x(米）之间的函数 关系式，再用数学方法（本例用基本不等式）求最小值，解题 过程中要关注x的取值范围对问题解答的影响。
实际问题 数学问题 实际问题
小结
1.基本不等式的定义和应用; 2. 均值不等式链
引入新课
要做一段周长为200米的的栅栏，如何使其面积最大？
新知讲解
思考：一般地，对于任意实数 x、y，我们有
x2 y2 2xy ，当且仅当 x=y 时等号成立.
你能给出它的证明吗？
证明: x2 y2 - 2xy = x;0 ,当 x y 时，等号成立．
sin x
有同学这样解0 x ,sin x 0, 4 0,
sin x
y sin x 4 2 sin x 4 4
sin x
sin x
所以, y sin x 4 最小值为4. sin x
反思：研究函数
最值的处理思路是：
（1）可以用基本不等式求解；（2）不能用基本不等式时就用单 调性求解。
因为 OD CD ， 所以 a b ab 2
当且仅当 C 与 O 重合，即 a b 时，等号成立．
D
ab
2
ab
O
C
B
例 1 设 a, b 均为正数，证明不等式
ab
1
2
1
.
ab
证明 因 a, b 均为正数，由基本不等式，可知
11 a b
1
2
ab
也即
ab
1
2
1
，当且仅当 a
b 时，等号成立．
（1）求x，y的函数关系式，并求x的取值范围； （2）问框架的横边长x为多少时用料最省？
x y
反思：根据图形，建立总长L(米）与横边长x(米）之间的函数 关系式，再用数学方法（本例用基本不等式）求最小值，解题 过程中要关注x的取值范围对问题解答的影响。
实际问题 数学问题 实际问题
小结
1.基本不等式的定义和应用; 2. 均值不等式链
2.2.4+均值不等式及其应用+第1课时+课件-高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
②错误.对于③，根据均值不等式的知识可知③正确.故选B.
课中探究
［素养小结］
（1）在理解均值不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件.
（2）运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a + b ≥ 2 ab成立的条
件是a > 0，b > 0，等号成立的条件是a = b；a2 + b2 ≥ 2ab成立的条件是a，
b ∈ ，等号成立的条件是a = b.
课中探究
探究点二 应用均值不等式比较大小
例2
a+1
2
A.
2a
C.
a+1
a+1
，
2
已知a > 1，则
< a<
2a
a+1
< a<
a+1
2
2a
这三个数的大小关系是(
a+1
a，
故选C.
2a
a+1
≤ a≤
)
B. a <
a+1
2
<
D. a <
2a
a+1
a+1
≤
2
a+b
ab ≤
法正确.
课前预习
（3）当x > 1时，函数y = x +
1
x−1
≥2
x
，所以y的最小值是2
x−1
x
.(
x−1
×)
[解析] 因为当x > 1时，x − 1 > 0，所以
y=x+
x−1=
1
1
1
= x−1 +
+1≥2 x−1 ⋅
课中探究
［素养小结］
（1）在理解均值不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件.
（2）运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a + b ≥ 2 ab成立的条
件是a > 0，b > 0，等号成立的条件是a = b；a2 + b2 ≥ 2ab成立的条件是a，
b ∈ ，等号成立的条件是a = b.
课中探究
探究点二 应用均值不等式比较大小
例2
a+1
2
A.
2a
C.
a+1
a+1
，
2
已知a > 1，则
< a<
2a
a+1
< a<
a+1
2
2a
这三个数的大小关系是(
a+1
a，
故选C.
2a
a+1
≤ a≤
)
B. a <
a+1
2
<
D. a <
2a
a+1
a+1
≤
2
a+b
ab ≤
法正确.
课前预习
（3）当x > 1时，函数y = x +
1
x−1
≥2
x
，所以y的最小值是2
x−1
x
.(
x−1
×)
[解析] 因为当x > 1时，x − 1 > 0，所以
y=x+
x−1=
1
1
1
= x−1 +
+1≥2 x−1 ⋅
均值不等式课件.完美版PPT
∴ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3≥3， 即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c≥3.
多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能否成立，叠加 法是不等式性质的应用，也是一种常用方法，对不能直接使 用均值不等式的证明需重新组合，形成均值不等式模型，再 使用．
2.已知 a、b、c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 【证明】 ∵a，b，c∈{正实数}． ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 即1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
最小 值． • ②若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时，积xy有
最大 值．
• 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积 最大．
• 1．基本不等式中的a，b可以是值为任意 正数的代数式吗？
2．因为 sin x 与sin4 x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积
为定值，所以由均值定理得 sin x＋sin4 x≥2
2 1a＋b1
≤
ab
≤
a＋b 2
≤
“＝”)，∴A≥B≥C≥D.
a2＋b2 2
(
当
且
仅
当
a＝b
时取
• 【答案】 A≥B≥C≥D
已知 a、b、c 为正数，求证：b＋ac－a＋c＋ab－b ＋a＋bc－c≥3.
• 【思路点拨】 因为不等式右边为常数，所以 应把左边拆开，按照积为常数重新组合，分别 利用基本不等式．
已知 m＝a＋a－1 2(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则 m、n
之间的大小关系是( )
A．m＞n
多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能否成立，叠加 法是不等式性质的应用，也是一种常用方法，对不能直接使 用均值不等式的证明需重新组合，形成均值不等式模型，再 使用．
2.已知 a、b、c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 【证明】 ∵a，b，c∈{正实数}． ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 即1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
最小 值． • ②若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时，积xy有
最大 值．
• 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积 最大．
• 1．基本不等式中的a，b可以是值为任意 正数的代数式吗？
2．因为 sin x 与sin4 x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积
为定值，所以由均值定理得 sin x＋sin4 x≥2
2 1a＋b1
≤
ab
≤
a＋b 2
≤
“＝”)，∴A≥B≥C≥D.
a2＋b2 2
(
当
且
仅
当
a＝b
时取
• 【答案】 A≥B≥C≥D
已知 a、b、c 为正数，求证：b＋ac－a＋c＋ab－b ＋a＋bc－c≥3.
• 【思路点拨】 因为不等式右边为常数，所以 应把左边拆开，按照积为常数重新组合，分别 利用基本不等式．
已知 m＝a＋a－1 2(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则 m、n
之间的大小关系是( )
A．m＞n
人教B版(2019)高中数学必修第一册《均值不等式及其应用》课件
2.2.4 均值不等式及其应用
第2课时
整体概览
问题1 阅读课本第71~75页，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质 以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用 均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑 推理等素养．
证明：（2）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上a2＋b2，得 2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，
即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
新知探究
（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）2都是均值不等式的变形，
又其中2（a2＋b2）≥（a＋b）2又常变形为 a2 b2 ≥ ( a b )2 ．
情境与问题
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下 均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样 的问题？
如果a，b都是正数，那么 a b ≥ ab ，当且仅当a＝b时，等号成 2
立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．
问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？
2
2
人教B版（2019）高中数学必修第一册 《均值不等式及其应用》课件
新知探究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
证明： （1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 三个不等式相加即能得证；
第2课时
整体概览
问题1 阅读课本第71~75页，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节研究的起点是什么？目标是什么？
（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质 以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用 均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑 推理等素养．
证明：（2）因为a2＋b2≥2ab，两边同时加上a2＋b2，得 2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，
即2（a2＋b2）≥（a＋b）2．
新知探究
（a＋b）2≥4ab以及2（a2＋b2）≥（a＋b）2都是均值不等式的变形，
又其中2（a2＋b2）≥（a＋b）2又常变形为 a2 b2 ≥ ( a b )2 ．
情境与问题
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下 均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样 的问题？
如果a，b都是正数，那么 a b ≥ ab ，当且仅当a＝b时，等号成 2
立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．
问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？
2
2
人教B版（2019）高中数学必修第一册 《均值不等式及其应用》课件
新知探究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
证明： （1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 三个不等式相加即能得证；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由两个正数的均值不等式类比得到：三个，四个，…， 多个正数的均值不等式，
如果 a,b,c 都是正数，那么 a b c 3 abc ， 3
当且仅当 a b c 时，等号成立．
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
均值不等式及其应用（1）
高一年级 数学
1．知识引入
ab
前面所讲， 2 是作为数轴上 Aa ， Bb两点的中点坐标
出现的，显然这是几何上的表现．
ab
我们称 2 为实数 a,b 的算术平均值，即“形”到“数”．
x
a
b
x
x
a
2
b
，
类比得到， x b x2 ab ，此时 a,b 同号， ax
这里我们先考虑 a,b 都是正数，
3．适当拓展
显然，从均值不等式的证明方法中都用到 (a b)2 0 ， 即 a2 b2 2ab ，即 a2 b2 ab ，
2 都可以看作均值不等式的推论，此时 a,b R ．
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
则称 x ab 为正数 a,b 的几何平均值．
a
1
2
3
b
1
4
2
1
3
1
2
2．定义概念
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
已知： a 0,b 0 ，求证： a b ab ． 2
2
证明：（法一） a b ab a b 2 ab
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
作业
通过实例判断三个正数 a,b,c 的算术平均值 a b c 与几何平 3
均值 3 abc 的大小关系，你能够证明吗？
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
均值不等式的几何形式体现：
如图， AB 是圆的直径， CD AB 于 C ，
交半圆于 D ，
若 AC a ， BC b ，
A
则 CD ab ， OD OA a b ，
2
由图知： OD CD ，即 a b ab ．
2
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• OC
B
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
谢谢
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
证明：（法二）
a
b 2
2
a2
b2 4
2ab
a2 b2 2ab 4ab
4
a b2
2
ab ab ab .
4
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
a b 0，
2
2
2
当且仅当 a b 0 ，即 a b 时，等号成立， 所以， a b ab ．
2
（a b ab 0）
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
已知： a 0,b 0 ，求证： a b ab ．
2
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
（即：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值）
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
（即：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值）
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
当且仅当 a b 时，等号成立，所以， a b ab ． 2
（当 a 0,b 0 时， a b a2 b2 ）
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
如果 a,b,c 都是正数，那么 a b c 3 abc ， 3
当且仅当 a b c 时，等号成立．
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
均值不等式及其应用（1）
高一年级 数学
1．知识引入
ab
前面所讲， 2 是作为数轴上 Aa ， Bb两点的中点坐标
出现的，显然这是几何上的表现．
ab
我们称 2 为实数 a,b 的算术平均值，即“形”到“数”．
x
a
b
x
x
a
2
b
，
类比得到， x b x2 ab ，此时 a,b 同号， ax
这里我们先考虑 a,b 都是正数，
3．适当拓展
显然，从均值不等式的证明方法中都用到 (a b)2 0 ， 即 a2 b2 2ab ，即 a2 b2 ab ，
2 都可以看作均值不等式的推论，此时 a,b R ．
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
则称 x ab 为正数 a,b 的几何平均值．
a
1
2
3
b
1
4
2
1
3
1
2
2．定义概念
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
已知： a 0,b 0 ，求证： a b ab ． 2
2
证明：（法一） a b ab a b 2 ab
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
作业
通过实例判断三个正数 a,b,c 的算术平均值 a b c 与几何平 3
均值 3 abc 的大小关系，你能够证明吗？
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
均值不等式的几何形式体现：
如图， AB 是圆的直径， CD AB 于 C ，
交半圆于 D ，
若 AC a ， BC b ，
A
则 CD ab ， OD OA a b ，
2
由图知： OD CD ，即 a b ab ．
2
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
• OC
B
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
谢谢
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
证明：（法二）
a
b 2
2
a2
b2 4
2ab
a2 b2 2ab 4ab
4
a b2
2
ab ab ab .
4
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
a b 0，
2
2
2
当且仅当 a b 0 ，即 a b 时，等号成立， 所以， a b ab ．
2
（a b ab 0）
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
已知： a 0,b 0 ，求证： a b ab ．
2
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
（即：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值）
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
（即：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值）
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
当且仅当 a b 时，等号成立，所以， a b ab ． 2
（当 a 0,b 0 时， a b a2 b2 ）
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )
高中数学 【人教B 版(201 9)】必 修第一 册 均 值不等 式及其 应用ppt 课件(1 5张ppt )