平方差公式(2)
平方差公式教案 (2)
平方差公式一、教学目的和要求1. 使学生能运用多项式乘法法则导出平方差公式，培养学生分析问题的能力和罗辑思维的能力。
2. 要求学生牢固地掌握平方差公式，并能熟练地掌握和应用公式进行计算。
二、教学重点和难点重点：平方差公式的应用。
难点：运用公式过程中出现的系数的差错和符号的变换。
三、教学过程(一)复习、引入提问：1. 多项式乘法法则是什么？2. 分别用代数式表示a与b的和、差、平方差。
（a＋b，a－b，）3. 计算(1)(3＋a)(3－a) (2)(2x＋y)(2x－y)(3)(2a－1)(2a＋1) (4)(3a＋2b)(3a－2b)(二)新课观察以上各式左边的特点与计算结果有什么关系？可以得到乘法公式：，由于公式右边是两个数的平方差的形式，我们称它为平方差公式。
因语言叙述出来，即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
启发学生进一步仔细分析这个公式的结构特征：1. 公式的左边是两个二项式的乘积，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项仅相差一个符号，右边是这两个数的平方差。
2. 对平方差公式的认识与应用。
(1)公式中的a，b可以表示数（正数或负数）也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可用此公式进行计算。
(2)公式中的是不可颠倒的，注意是相同项的平方减去相反项的平方，还要注意字母的系数和指数。
例1 计算(1)(2x＋3y)(2x－3y)(2)(－x＋a)(－x－a)(3)(4)(－4a－1)(4a－1) 解：(1)(2)(3)(4)或例2 运用平方差公式计算(1) 102×98(2)解：(1)(2)(三)巩固练习1. 判断对错，如果有错，如何改正？2. 运用平方差公式计算(1) (x＋a)(x－a) (2) (a＋3b)(a－3b)(3) (3＋2a)(－3＋2a) (4)(5) (4x－5y)(4x＋5y) (6)(7) 103×97 (8)巩固练习答案：1. (1)错，应是(2)错，应是(3)错，应是(4)错，应是(5)错，应是(6)对(7)错，应是(8)对2.(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) 9991 (8)(四)小结1. 记住平方差公式的左边和右边。
平方差的公式。
平方差的公式
平方差是一种用来衡量数据波动程度的测量方法，也称为方差。
它可以用来识别数据之间的差异和波动。
平方差的公式如下：
σ²=Σ(xi-μ)²/n
其中，σ² 是方差
xi 是所有数据的样本值
μ 是样本的平均值
n 是样本的数量
平方差是用来统计数据分布情况的测量方法，其值提供了以下信息：
1、原始数据之间的差异和波动大小。
2、数据越集中，方差值越小；比如，在相同数量的样本中，
两个组中的样本值均分布在比较宽散的范围内，那么它们的方差值比较大。
3、方差的值有助于我们分析数据的变化规律，可以帮助我们
了解数据的分布特点，即距离数据量中心点的距离越远，所谓的数据越分散。
4、通过方差值可以比较不同样本（或数据集）之间的差异。
5、方差值也可以应用于统计学检验，为统计分析提供理论支持。
总之，平方差是一种测量波动度和分布样本的数据统计方法，它有助于我们分析数据变化规律，当然也可以为统计分析提供理论依据。
平方差公式的规律
平方差公式的规律
平方差公式的规律：
平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）。
平方差公式（formula for the difference of square）是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差。
公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式。
在三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式。
由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。
定义：
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
文字表达式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
此即平方差公式。
公式特征：左边为两个数的和乘以这两个数的差，即左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数；右边为这两个数的平方差即右边是完全相同的项的平方减去符号相反项的平方。
字母的含义：公式中字母的不仅可代表具体的数字、字母、单项式或多项式等代数式。
平方差公式(2)课后练习
平方差公式（2）课后练习一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．6x5B．2x6C．﹣2x6D．﹣6x5 2．（4分）已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．10 3．（4分）499×501可表示为（）A．5002+12B．5002﹣12C．5002﹣4992D．5002+4992 4．（4分）计算1998×2002＝（）A．400016B．4000004C．399996D．3999996 5．（4分）计算（﹣4x﹣5y）（5y﹣4x）的结果是（）A．16x2﹣25y2B．25y2﹣16x2C．﹣16x2﹣25y2D．16x2+25y2 6．（4分）下列各式中，计算结果是x2+7x﹣18的是（）A．（x﹣2）（x+9）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣1）（x+18）7．（4分）计算（−12x）•（﹣2x2）（﹣4x4）的结果为（）A．﹣4x6B．﹣4x7C．4x8D．﹣4x8 8．（4分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣ab＝a（a﹣b）C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 9．（4分）下列运算中，正确的是（）A．2x3+3x3＝6x6B．2x3•3x3＝6x6C．（x2）3＝x5D．（﹣ab）2＝a2b10．（4分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）11．（4分）若（x+3）（x+n）＝x2+mx﹣15，则m的值为（）A．﹣5B．﹣2C．5D．212．（4分）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（）①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．A．①②B．③④C．①②③D．①②③④二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）13．（4分）若x+y＝﹣4，x﹣y＝9，那么式x2﹣y2＝．14．（4分）用平方差公式计算：（ab﹣2）（ab+2）＝．15．（4分）计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝．16．（4分）计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝．17．（4分）在横线上填写适当的整式：（）（﹣4x﹣3y）＝9y2﹣16x2．三．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分）18．（8分）计算：（﹣8ab2）（−12a）3．19．（8分）计算：|−2|+(π−3)0−(13)−2+(−1)2019．20．（8分）（2x﹣y）（2x+y）﹣3（x2﹣y）21．（8分）（﹣2xy）2•（3xy2）﹣3x（4x2y4﹣xy2）平方差公式（2）课后练习参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．6x5B．2x6C．﹣2x6D．﹣6x5【解答】解：原式＝2×（﹣3）x2+3＝﹣6x5，故选：D．2．（4分）已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．10【解答】解：∵a+b＝﹣3，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣3）×1＝﹣3．故选：C．3．（4分）499×501可表示为（）A．5002+12B．5002﹣12C．5002﹣4992D．5002+4992【解答】解：499×501，＝（500﹣1）×（500+1）＝5002﹣12．故选：B．4．（4分）计算1998×2002＝（）A．400016B．4000004C．399996D．3999996【解答】解：原式＝（2000﹣2）×（2000+2）＝20002﹣22＝4000000﹣4＝3999996，故选：D．5．（4分）计算（﹣4x﹣5y）（5y﹣4x）的结果是（）A．16x2﹣25y2B．25y2﹣16x2C．﹣16x2﹣25y2D．16x2+25y2【解答】解：（﹣4x﹣5y）（5y﹣4x）＝（﹣4x）2﹣（5y）2＝16x2﹣25y2．故选：A．6．（4分）下列各式中，计算结果是x2+7x﹣18的是（）A．（x﹣2）（x+9）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣1）（x+18）【解答】解：A、（x﹣2）（x+9）＝x2+7x﹣18，故本选项正确；B、（x+2）（x+9）＝x2+11x+18，故本选项错误；C、（x﹣3）（x+6）＝x2+3x﹣18，故本选项错误；D、（x﹣1）（x+18）＝x2+17x﹣18，故本选项错误；故选：A．7．（4分）计算（−12x）•（﹣2x2）（﹣4x4）的结果为（）A．﹣4x6B．﹣4x7C．4x8D．﹣4x8【解答】解：（−12x）•（﹣2x2）（﹣4x4）＝﹣4x7，故选：B．8．（4分）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程写出正确的等式是（）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣ab＝a（a﹣b）C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：A．9．（4分）下列运算中，正确的是（）A．2x3+3x3＝6x6B．2x3•3x3＝6x6C ．（x 2）3＝x 5D ．（﹣ab ）2＝a 2b【解答】解：A 、2x 3+3x 3＝5x 6，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、2x 3•3x 3＝6x 6，原计算正确，故此选项符合题意；C 、（x 2）3＝x 6，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、（﹣ab ）2＝a 2b 2，原计算错误，故此选项不符合题意；故选：B ．10．（4分）如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2B ．a （a ﹣b ）＝a 2﹣abC ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），故选：D ．11．（4分）若（x +3）（x +n ）＝x 2+mx ﹣15，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣2C ．5D ．2【解答】解：（x +3）（x +n ）＝x 2+nx +3x +3n ＝x 2+（n +3）x +3n ，∵（x +3）（x +n ）＝x 2+mx ﹣15，∴x 2+（n +3）x +3n ＝x 2+mx ﹣15，可得：{n +3=m 3n =−15， 解得：{m =−2n =−5， 故选：B ．12．（4分）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（）①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．A．①②B．③④C．①②③D．①②③④【解答】解：表示该长方形面积的多项式①（2a+b）（m+n）正确；②2a（m+n）+b（m+n）正确；③m（2a+b）+n（2a+b）正确；④2am+2an+bm+bn正确．故选：D．二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）13．（4分）若x+y＝﹣4，x﹣y＝9，那么式x2﹣y2＝﹣36．【解答】解：∵x+y＝﹣4，x﹣y＝9，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝（﹣4）×9＝﹣36．故答案为：﹣36．14．（4分）用平方差公式计算：（ab﹣2）（ab+2）＝a2b2﹣4．【解答】解：（ab﹣2）（ab+2）＝a2b2﹣4，故答案为：a2b2﹣4．15．（4分）计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝9x2﹣4．【解答】解：原式＝9x2﹣4．故答案为：9x2﹣4．16．（4分）计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝9y2﹣4x2．【解答】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝（﹣3y）2﹣（2x）2＝9y2﹣4x2．故答案为：9y2﹣4x217．（4分）在横线上填写适当的整式：（﹣3y+4x）（﹣4x﹣3y）＝9y2﹣16x2．【解答】解：9y2﹣16x2＝（﹣3y+4x）（﹣3y﹣4x）．故应填：﹣3y+4x．三．解答题（共4小题，满分32分，每小题8分）18．（8分）计算：（﹣8ab2）（−12a）3．【解答】解：原式＝（﹣8ab2）•（−18a3）＝（﹣8）×（−18）a•a3•b2＝a4b2．19．（8分）计算：|−2|+(π−3)0−(13)−2+(−1)2019．【解答】解：原式＝2+1﹣9﹣1＝﹣7．20．（8分）（2x﹣y）（2x+y）﹣3（x2﹣y）【解答】解：原式＝4x2﹣y2﹣3x2+3y＝x2﹣y2+3y．21．（8分）（﹣2xy）2•（3xy2）﹣3x（4x2y4﹣xy2）【解答】解：（﹣2xy）2•（3xy2）﹣3x（4x2y4﹣xy2）＝（4x2y2）•（3xy2）﹣12x3y4+3x2y2＝12x3y4﹣12x3y4+3x2y2＝3x2y2．。
平方差公式的交换律
平方差公式的交换律
平方差公式是数学中的一个基本公式，它描述了两个数的平方之差可以如何简化。
平方差公式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b)
交换律是数学中的一个基本性质，它表明在某些运算中，改变运算的顺序不会改变结果。
对于平方差公式，交换律意味着我们可以交换a a和b b的位置，而结果仍然成立。
具体来说，如果我们有a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)a2−b2=(a+b)(a−b)，那么交换a a 和b b的位置后，我们得到b^2 - a^2 = (b + a)(b - a)b2−a2=(b+a)(b−a)。
现在我们来验证这个交换律是否成立。
原始平方差公式为：Eq(a2 - b2, (a - b)(a + b))
交换a和b后的平方差公式为：Eq(-a2 + b2, (-a + b)(a + b))
交换律成立，因为交换a a和b b的位置后，平方差公式仍然成立。
2.2.2完全平方差公式(2)
2
2
2
= x 2 - 2· x · 1 + 1 2 2
= x2 - x + 1 4
山 2 3 2 2 （3） ( x y xy ) 3 4
2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 ( x y) 2 x y xy ( xy ) 3 3 4 4
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2.2.2 完全平方公式（2）
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新课导入
完全平方公式的数学表达式：
我们把
(a+b)2=a2+2ab+b2，
(a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
两数和(或差)的平方，等于它们的
平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
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你能利用完全平方公式快速 地计算出(2x+y)2吗？
(2 x y ) 4 x 4 x y
2 2
2
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例
运用完全平方公式计算：
（ 1 ） ( 3 a +b ) 2 解 ( 3 a +b ) 2
（ 2） x - 1 2
= (3a)2+2 ·3a ·b + b2 = 9a2+6ab+b2.
解 x-1 2
∴m2+n2=5．故选C．
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(5)
(4x-3y)2
(6)
(-2a-b)2
=16x2-24xy+9y2
=4a2+4ab+b2
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2、计算：（1） （3x+2y)(3x-2y)-(3x-2y)2 12xy-8y2 (2) (2a+3)2+(3a-2)2 13a2+13
1.5__平方差公式(2)
例题 (1)10397 (2)118122
解： (1)103 97 (2)118122
100 3100 3 120 2120 2
1002 32
10000 9 9991
1202 22
14400 4 14396
练一练
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1.
下列各式的解法中，哪种简单？请选择
20002 20002 1
1
练一练
计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1);
（2）x(x-1)-
(x
1) 3
(
x
1 3
)
.
(3)(x 3)(x 3)(x2 9)
(4) (x 1)(x2 1)(x 1)
2
42
公 1.学校有一个边长为 m米的正方形 式 花坛，现在要进行改建，将它的一 的 边增加3米，而另一边缩短3米.问改 应 建后的正方形花坛的面积是多少？
63
143
6399
64
144
6400
2.从以上的过程中，你发现了什么规律？
3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？
a 1a 1 a2 1
例3 用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （2）118×122 （100+3）（100-3） （120-2）（120+2）
用平方差公式进行简便计):原式
a3 a2b
a b a2b2
a4 a3b a3b a2b2 a2b2
a4
解(二):原式 a2 a2 b2 a2b2
a4 a2b2 a2b2
a4
辨析与 反思
2
平方差公式的特征
平方差公式的特征
平方差公式是数学中的一个基本公式，用于计算两个数的平方差。
它的表达式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
平方差公式的特征如下：
1. 左边是两个数的平方差，即一个数的平方减去另一个数的平方。
2. 右边是两个数的和乘以这两个数的差。
3. 公式中的a和b可以是任意实数。
平方差公式的应用非常广泛，可以用于简化数学表达式、求解方程、计算面积等。
例如，计算一个长方形的面积可以使用平方差公式，即长方形的面积等于长和宽的积，即A=lw。
如果长和宽分别为a和b，则有A=a\times b，可以简化为A=(a+b)(a-b)。
平方差公式是数学中非常重要的一个公式，它具有简单、易用、广泛适用等特点，在数学和实际应用中都有广泛的应用。
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( a＋b)( a －b) ＝ a － b 平方差公式
2
2
平方差公式来源于多项式的乘法，又可以用于特殊的两 个二项式相乘。
例: 利用平方差公式计算：
(5x+y)(5x−y)
解: (5x+y)(5x−y)= (5x ) 2− y2= 25x2
2 y −
( a+ b) (a－b)＝ a2－b2
注意 当“第一积时, 要用括号把这个数整个括起来， 最后的结果要化简。
第 1题
第 4题 第 7题
第 2题
第 5题 第 8题
思考题
第 3题
第 6题 第 9题
(1) (3a +2b)(3a−2b)
2 2 9a －4b
(8) (5ab+1)(5ab-1)
2 2 25a b －1
(6)
1 1 1 1 a b a b 2 3 2 3
原来
5米
现在
(X+5)米
x米
2 x
5米
(X-5) 米
(x+5)(x-5)
相等吗？
x+5
x
x-5
x 5 5 5
5
( x 5)( x 5) ＝ x
2
5
2
做一做、议一议 下面你动手计算试试看，思考
1. 以下题目形式上有哪些相同点?
2.它们的运算结果都有怎样的相同的特征?
（1） ( x （2）
(× ) a2-b2
( 2 ) (2x+3)(2x-3)= 2x2-9
( 3 ) (3x-1)(-3x-1)= 9x2-1 ( 4 ) (2x+3)(3x-3)= 6x2-9
(-1+3x)(-1-3x)
(× ) 4x 2-9
(× ) 1-9x2 (× )
比一比&赛一赛
看哪队的
多!
男队、女队各派一名代表，每一队代表为对 方代表选题，答对加星，答错对方加星。
找一找、填一填
(1+x)(1-x)=( 1 )2 －(
x
) 2 ＝ 1－ x2
(-3+a)(-3-a)=( -3 )2 －(
a
) 2 ＝ 9－ a2
(-0.3x-1)(-0.3x+1)=(-0.3x)2 －( 1 )2
＝0.09x2－1 (1+a)(-1+a)=( a )2 －( 1 )2 ＝a2－1
(a+1)(a-1) 加法交换律
利用平方差公式计算：
(1)(a+3)(a-3) (2) (− x+3y)(− x − 3y) (3) (m+2n)(2n−m) 1 1 (4) ( x 2 y)( x 2 y)
2 2
反馈练习 巩固新知
判断正误，如果错误，应怎样改正？
( 1 ) (-a+b)(-a-b)= -a2-b2
2
2
(4) 2 3 2 3
n n n
n
2
2n
2n 或4 n 9 n 3
2 4 8 (2+1)(2 +1)(2 +1)(2 +1)
平方差公式
(a b)(a b) a b
2
2
两个数的和与这两个 数的差的积，等于这两个 数的平方差．
平方差公式来源于多项式的乘法，又 可以用于特殊的两个二项式相乘。
2)( x 2) x 2 x 2 x 4 x x 4 2
2
22
2
2 2 2 (1 3a )(1 3a ) 1 3a 3a 9a 2 1 9 a 1 ( 3a )
22 22 2 2 （3） ( m 1)( m 1) m 1 (－ m )) m =( m － 1 m 1 ( m) 1
知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的……
敬 请 指 导
1 2 1 2 a b 9 4
(3) (−0.1x+1)(−0.1x−1)
2 0.01x －1
(9) 49 51
2499
(2) 53 47
2491
1 2 2 1 (5) ( a )( a ) 2 2 1 4 a
4
(7) 2m n2m n
n 4m