一元二次函数、方程和不等式
说说上面题目中的解题思想
上述的10道题目都用到了哪 01
些数学思想，请对号入座 每一个小组汇总讨论完成后
02 ，汇总到组长那里进行总结 由组长指定一人代表小组
03 阐述意见
课堂小测，10道题，学 的怎么样
谢
谢
观
看
ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件：a__>_0__，__b_>__0__.
(2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝___b___时取等号．
(3)其中a＋2 b称为正数 a，b 的_算__术__平__均__数__, ab称为正数 a,b 的_几 ___何__平__均__数_.
2．基本不等式的变形
பைடு நூலகம்必修1
一元二次函数、方程和不 等式复习
目
标
一．教学目标：通过回顾不等式的基本知 识和解题方法，归纳数学解题思想。
二．教学重点：回顾基本知识与解题，提 炼数学思想方法。
复习不等式，简单框架图
不等式的基本性质 基本不等式
求一元二次不等式的解集
环节一：知识清单
“ “
2.基本不等式
1．基本不等式：
3.一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之 间的关系（ a） 0
环节二：常见的题型归 类（限时训练15分钟）
请同学们打开平板，登录朱丛云老师的数学课 堂，并开始限时训练
环节三：说说解题中的数学思想
请输入文本请输入文本请输入文 本请输入文本请输入文本请输入
文本请输入文本请输入文本
分类讨论的思想： 数形结合的思想： 转化与化归思想：
(1)重要不等式：a2＋b2≥___2_a_b__ (a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号．
(2)ab≤a＋2 b2，(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号．
(3)a＋a1≥_2___(a>0)，当且仅当 a＝1 时取等号．
a＋a1≤__-_2__(a<0)，当且仅当 a＝－1 时取等号．
(4)ab＋ba≥_2_____(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号．
.3 二次函数与一元二次方程、不等式
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探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
解:(1)由题意知 a>0,且-1 和 2 是关于 x 的方程 ax2+bx+a2-1=0
的两个根,
> 0;
= -1 + 2,
-1
+
2
=
,
所以有
解得
= 1- 2.
2 -1
-1 × 2 =
得n的值;(2)由s≤12.6解出v的取值范围,从而得到行驶的最大速度.
40
1 600
6 < 100 + 400 < 8,
解:(1)由题意得
70 4 900
14 < 100 + 400 < 17,
5 < < 10,
解得 5
95 因为 n∈N,所以 n=6.
<
<
2
14 .
3
2
(2)由于刹车距离不超过 12.6 m,即 s≤12.6,所以 +
≤12.6,因
50
400
此 v2+24v-5 040≤0,解得-84≤v≤60.因为 v≥0,所以 0≤v≤60,即行
驶的最大速度为 60 km/h.
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反思感悟 用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
1.理解题意,搞清量与量之间的关系.
2.建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不
一元二次函数、方程和不等式
新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式
新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准要求学生从函数的角度来看待一元二次方程。
学生需要结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，并了解函数的零点与方程根的关系。
此外，学生还需要从函数的角度来看待一元二次不等式。
他们需要通过从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。
他们需要掌握利用一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。
同时，通过一元二次函数的图像，学生还需要了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
知识点：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系当Δ>0时，一元二次方程y=ax^2+bx+c(a>0)有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)；当Δ=0时，有两个相等的实数根x1=x2=-b/2a；当Δ<0时，没有实数根。
当a>0时，二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|xx2}；当ax^2+bx+c0)时，解集为{x|x10时相同。
状元随笔一元二次不等式的解法：1.图像法：当a>0时，解形如ax^2+bx+c>0(≥0)或ax^2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax^2+bx+c=0的解；②画出对应函数y=ax^2+bx+c 的图像简图；③由图像得出不等式的解集。
2.代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解。
当p0，则x>q或x<p；若(x-p)(x-q)<0，则p<x<q。
有口诀如下：“大于取两边，小于取中间”。
教材解难]教材P50思考：从函数的角度和方程的角度两个角度来看待一元二次不等式。
从函数的角度来看，一元二次不等式ax^2+bx+c>0表示二次函数y=ax^2+bx+c的函数值大于0，图像在x轴的上方；一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解集即二次函数图像在x轴上方部分的自变量的取值范围。
关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
一元二次函数、方程和不等式——基本不等式
一元二次函数、方程和不等式一、教材分析：相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题.《一元二次函数、方程和不等式》这一章内容是安排在“集合”之后，“函数”之前.本章有“等式性质与不等式性质”、“基本不等式”、“二次函数与一元二次方程、不等式”三节内容。
通过学生易于接受的“等式性质与不等式性质”进入本章节的学习，继而借助前面不等式的性质的学习，引出“基本不等式”，再以二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.三个“二次”是初中三个“一次”（一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.同时，此部分内容又培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想.二、学情分析：学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题.但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.三、章节学习目标：学习目标核心素养1.通过具体实例体会不等式在现实生活中的应用.数学建模2.掌握比较法的解题步骤.数学运算3.理解不等式的性质及证明.逻辑推理4.从数与形的角度体会基本不等式的证明方法.直观想象5.注重基本不等式的变形，求最值的关键是“拼”“凑”“拆”数学运算6.熟练掌握用基本不等式证明不等式.逻辑推理7.体会从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程.数学抽象8.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.直观形象9.会解一元二次不等式，能够利用一元二次不等式解决一些实际问题.数学运算、数学建模2.2基本不等式（2课时）教学目标：1.理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.2.能够整理并建立不等式的知识链.3.通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识.教学重难点：重点：基本不等式的内容及其证明；应用基本不等式求解最值.难点：基本不等式的理解与证明；运用基本不等式解答实际问题；不等式知识链的建立.教学过程：一导入（温故而知新）：回顾旧知：重要不等式： 2+ 2≥2 （a,b∈R）当且仅当 = 时，等号成立.问题1:当 、 都是正数时，如果对重要不等式中的 、 进行开方运算，那么你会得到什么结论呢？利用旧知探索新知，便于提高学生的学习自信，利于培养学生知识迁移、探索的能力.公式辨析：1.已知 , ∈ ，且 >0，则下列结论恒成立的是（）A. 2+ 2>2B.2 ≤ +B.1 +1 >2 D. + ≥22.已知x>−1,求 2+7 +10 +1的最小值.不等式的“一正，二定，三相等”.四数学生活化：例3.（1）用篱笆围一个面积为100 2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）有一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池使总造价最低？最低总造价是多少？解决实际生活中的问题，把数学生活化，增强学生学习数学的兴趣.培养阅读理解能力，知识的灵活应用能力.五课堂小结：给出小结框架，让学生自己总结.（主要从两个方面进行总结：知识+能力）培养学生总结的能力.将知识进行内化，形成知识链.六课后作业：以书后练习和习题册为主.回归教材，吃透书本.七板书设计：标题知识点例题演算八教学反思：主要从以下几点进行反思：1.学生对新知的接受情况；2.课堂的实施情况；及时进行反思，不断反思，不断进步.3.教师的教学方法，学生的学习方法；4.教学内容的设置.。
高中一元二次方程、函数、不等式题型总结
第一课：基础知识一、知识点： 1、二次方程： 解法：韦达定理：2、二次函数 解析式： 一般式： 顶点式： 两根式：对称轴： 顶点：（ ） 图象的画法：自变量无范围的 自变量有范围的最值求法：3、简单不等式一元一次不等式ax >b 的解集为： （1）当a >0时，解集为_______________ （2）当a <0时，解集为_______________ （3）当a =0时，若______，则_______； 若______，则________. 绝对值不等式：二次不等式： 分式不等式：二典例剖析题型一：二次方程解法及韦达定理例1、解下列方程（组）方法不限。
(如有需要，答案須準確至三位有效數字(a) .x 2 + 4x – 396 = 0 (b) 3 + x (x + 5) = 0 (c) 15(x 2 + 1) = 34x (d)4(x + 3)2 = 81判别式△符号 方程根函数图像(a >0) 不等式解集))(()()()()(2122x x x x a x f n m x a x f c bx ax x f --=+-=++=变式(a)解二次方程x2– 5x– 6 = 0 。
根據(a)的結果，解方程(y– 3)2– 5(y– 3) – 6 = 0题型二：韦达定理及应用例2如果α和β是方程3x2– 6x– 4 =0 的根，求下列各式的值(a) α + β(b) αβ(c) 3α + 3β(d) 4α⨯ 4β (e) (2α– 3)(2β– 3)(f) α2β + αβ2变式1如果α和β是方程 2x2 + kx- 6 =0 的根。
(a) 以k表示α + β並計算αβ的值。
(b) 如果6 是方程的一個根，求另一個根和k的值变式2如果α和β是方程2x2 + 3x– 5 = 0 的根，求以x為變數及下列各項為根的二次方程。
(a) 3α，3β(b) 2α– 1, 2β– 1(c) αββα,题型三：二次函数图象的画法例3、已知：822--=xxy求：顶点坐标对称轴方程与y轴的交点最小值图象：变式1、已知[]7,3,142-∈-+=xxxy，画出此函数的图像并求出其最值。
高中数学必修一 (教案)二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
一元二次函数、方程和不等式小结
对于 D，由于 c 2 1 0 ，根据不等式的性质，
故选 ABC.
a
b
总成立，
2
2
c 1 c 1
举反例是说明命题
为假的一种好方法
基本不等式及其应用
二、基本不等式及其应用
9
例 2（1）若 x 0 ，则 x 2 有（ ）
x
A．最小值 6
二、基本不等式及其应用
1
已知 x 1 ，则 y x
的最小值为____．
x 1
解：因为 x 1 ，所以 x 1 0 ，
所以 y x 1
1
1
1 2 ( x 1) (
) 1 3
x 1
x 1
1
当且仅当 x 1
，即 x 2 时取等号，所以 n 3 .
1 1
A.
a b
B. a b
2
2
C. ac bc
4
）
a
b
D. 2
2
c 1 c 1
4
解：对于A， 取正值，取负值时不成立，
如 = 1, = −1时，产生1 < −1错误的结论；
对于B， 和都取负值时不成立，如 = = −1时，
2 = 2 = 1, 2 > 2 的结论是错误的；
2 y 8x
2 y 8x
2
8，
x
y
x y
2 8
当且仅当
=
，即 = 2时取等号，
所以8 > 2 + 2，解得 − 4 < < 2，
因此实数的取值范围是 − 4 < < 2.
高中数学复习 一元二次方程、不等式
(3)错误.当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为 . (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为
.
索引
2.(教材改编)不等式－2x2＋x≤－3的解集为_(_－__∞_，__－__1_]_∪__32_，__＋_∞___. 解析 由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0， 即(2x－3)(x＋1)≥0，得 x≤－1 或 x≥32， 故不等式的解集为(－∞，－1]∪32，＋∞.
索引
(2)(多选)(2024·长治质检)已知函数 y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则
( ABD )
A.a2－b2≤4 B.a2＋b1≥4 C.若不等式 x2＋ax－b<0 的解集为(x1，x2)，则 x1x2>0 D.若不等式 x2＋ax＋b<c 的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则 c＝4
索引
训练1 (1)(2024·潍坊质测)若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集 a－1 a＋1
为___x_|__2___<_x_<___2______. 解析 原不等式可转化为[2x－(a＋1)][2x－(a－1)]<0， 因为a＋2 1>a－2 1， 所以不等式的解为a－2 1<x<a＋2 1.
即(x－1)2≤0，所以x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，
即(x＋1)2≤0，所以x＝－1.
索引
③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，
原不等式的解集为 .
综上，当 a＞2 或 a＜－2 时，原不等式的解集为x|a－
2a2－4≤x≤a＋
一元二次不等式、方程和函数的关系
一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。
它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。
换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。
2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。
它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。
二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。
性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。
性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。
即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。
其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。
第二章一元二次函数、方程和不等式
<
������������.故该结论错误.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 思维辨析 随堂演练
课堂篇 探究学习
反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不 等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采 用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题 中经常采用这种办法.
一二三四
课前篇 自主预习
3.做一做
若x为实数,则x2-1与2x-5的大小关系是
.
解析:∵(x2-1)-(2x-5)=x2-2x+4=(x-1)2+3>0,∴x2-1>2x-5.
答案:x2-1>2x-5
一二三四
课前篇 自主预习
三、重要不等式 1.∀a,b∈R,a2+b2与2ab大小有何关系? 提示:因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0恒成立,所以a2+b2≥2ab. 2.填空 ∀a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.
(4)由1������
>
1������,可知1������
−
1 ������
=
������������-������������>0.因为
a>b,所以
b-a<0,于是
ab<0.
又因为 a>b,所以 a>0,b<0.故该结论正确.
(5)依题意取
a=-2,b=-1,则������������
=
1 2
,
������������=2,显然������������
2.1 等式性质与不等式性质
-1-