弯曲正应力、切应力与强度条件讲解学习

m
n
a
a
b
b
m
n
梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如 mm ，nn 等） 以及横向线相垂直的一系列的纵向线 （如 aa ，bb 等） 。
m
n
a
a
b
b
m
n
m
m
梁变形后观察到的现象 （1）变形前相互平行的纵向直线（aa ，bb 等），变形后均为
圆弧线（a’a’ ，b’b’等 )，且靠上部的缩短靠下部的伸长。
O1O2 的长度为 dx 。
d
O1
dx
O2
中性层与横截面的交线称
d
为 中性轴 。
中性轴与横截面的 对称轴成正交 。
O1
dx
O2
中性层与中性轴
d
横截面的 对称轴
横截面
O1
dx
O2
中性层
中性轴
d Z
x
y
将梁的轴线取为 x 轴 。
O1
dx
O2 横截面的对称轴取为 y 轴 。
中性轴取为 z 轴 。
为中性层上的纵向线段 O1O2
dx
d
O1
y
A
dx
O2
d
y
B dx
B1
AB1 B1B y(d )
AB1 O1O2 dx
中性层的曲率为
1 d dx
y
d
O1
y
A
dx
O2
d
y
B dx
B1
y
该式说明 ， 和 y 坐标成正比 , 因而， 横截面上到中性轴等 远的各点，其线应变相等。
d
O1
y
A
dx
O2
d
y
B ddxx
B1
d
上式说明，横截面上任一点处 的正应力与该点到中性轴的距 离 y 成正比 ； 在距中性轴为 y 的同一横线上 各点处的 正应力 均相等 。
Z
O
x
y
y1
y
需要解决的问题 如何确定 中性轴的位置 ？
如何计算 ?
σ Eε Eρy
M
中性轴
3，静力学方面
在横截面上法向内力元素 dA 构成了空间平行力系。
dA
基本假设2: 纵向纤维无挤压假设
纵向纤维间无正应力。
公式推导
d
用两个横截面从梁中假想地截取 长为 dx 的一段 。
由平面假设可知，在梁弯曲时，
这两个横截面将相对地旋转一个
角度 d 。
横截面的转动将使梁的凹边的纵 向线段缩短，凸边的纵向线段伸 长。由于变形的连续性，中间必 有一层纵向线段 O1O2 无长度改 变。此层称为 中性层 。
M
C
拉
Z
C
Z
中性轴
拉
y
中性轴
y
压
中性轴将横截面分为 受拉 和 受压 两部分。
M yAz(
d)A E
Az
y dA
E
I
yz
0
Iyz0
因为 y 轴是横截面的对称轴，所以 Iyz 一定为零。 该式自动满足
中性轴是横截面的形心主惯性轴
M ZAy(
d)A E
A
y2 dA
E
Iz
M
1M
EI z
O1
y
A
dx
O2
d
y
B ddxx
B1
y
Z
O
x
y y
2，物理方面 假设： 纯弯曲时横截面上各点处的处于单轴应力状态 。 材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等 。 由单轴应力状态下的 胡克定律 可得物理关系
=E
y
E
E E y
上式为横截面上 正应力 变化规律的表达式。
E E y
横力弯曲时的正应力
横力弯曲时横截面上有切应力（翘曲）
平面假设 不再成立
此外, 横力弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.
由弹性力学的理论，有结论：
当梁的长度l与横截面的高度h的比值:
变弯后的曲率半径。
在横截面上取距中性轴为 y 处 的纵向线 AB。 作 O2B1 与 O1A 平行。 O2B1 的长度为 y 。
d
O1
y
A
dx
O2
d
y B
B1
AB1 为变形前 AB 的长度
B1B 为 AB1 的伸长量 AB1 为 A 点的纵向线应变。
l AB1 B1B
l
AB1 O1O2
y(d )
M
O
dA y
Z
1 dA Z
x
dA
y
该空间平行力系简化为 x 轴方向的主矢
FNAdA
对y 轴和 z 轴主矩
M yAz(d)A M ZAy(d)A
M
O
dA y
Z
Z
x
dA
y
FNAdA 0
M yAz(d)A 0 M ZAy(d)A M
该梁段各横截面上 FN 和 My 均 等于零， 而 Mz 就是横截面上 的弯矩 M 。
当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上 既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。
m M
FS m
m
m
M
FS
m
m
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力
一，纯弯曲梁横截面上的正应力
RA
P
P RB
C a
P
+
D a
+
P
+
Pa
P
C a
P
+
P
D a
+
P
+
Pa
横力弯曲
梁的横截面上同时有弯 矩和剪力的弯曲。
纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩 没有剪力的弯曲。
横截面上只有正应 力而无切应力。
推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。 几何 物理 静力学
实验： 取 一 纯弯曲 梁来研究 。
1，几何方面
第9章 弯 曲
§9-1 剪力和弯矩 •剪力图和弯矩图 §9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究 §9-3 弯曲正应力 §9-4 求惯性矩的平行移轴公式 §9-5 弯曲切应力 §9-6 梁的强度条件 §9-7 挠度和转角 §9-8 弯曲应变能 §9-9 斜弯曲 §9-10 超静定梁
§9—3 梁截面上的正应力
m
n
a
a
b
b
m
n
m m’
m n’
n’ m’
（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（ mm , nn 等）变形后仍 为直线（ m’m’ , n’n’ 等） ，但相对转了一个角度，且与 弯曲后的纵向线垂直。
纯弯曲的变形特征
基本假设1: 平面假设 变形前为平面的横截 面变形后仍为平面， 且仍垂直于梁的轴线。
EIz 称为截面的抗弯刚度
E E y
My
Iz
该式为等直梁 纯弯曲 时横截面上任一点处正应力的计算公式
式中 ：
M 横截面上的弯矩。
Iz
横截面对中性轴的惯性矩。
y
求应力点的 y 坐标 。
公式的适用性
My
Iz
由于推导过程并未用到矩形截面条件，因而 公式适用于任何横截面具有纵向对称面，且 载荷作用在对称面内的情况。 公式是对等直梁得到的。对缓慢变化的变截 面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。 公式是从纯弯曲梁推得，是否适用于一般情 形（横力弯曲）？
M
O
dA y
Z
Z
x
dA
y
E
E
y
FNAdA
E
A
ydA
E
Sz
0
M yAz(
d)A E
A
z
y dA
E
I
yz
0
M ZAy(d)A E
A
y2 dA
E
Iz
M
FNAdA E
A
ydA
ESz0SZ0来自中性轴必通过横截面的形心
中性轴过截面形心且与横截面的对称轴 y 垂直
C
Z
中性轴
y
C
Z
中性轴
y
压
M