圆的一般方程
合集下载
圆的一般方程
是指点M的坐标（x,y）满足的关系式
练习 P124—B组 3 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程
练习 P124—B组 1
小结 1、 x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（4） x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
方程 (1)x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
4.1.2圆的一般方程
圆心 半径
定位条件 定形条件
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
பைடு நூலகம்
课堂快练
1.圆心在原点,半径是3的圆的方程. 2.圆心在(3,4),半径是 的7 圆的方程. 3.经过点P(5,1),圆心在点C(4,1)的圆的方程.
练习 P124—B组 3 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程
练习 P124—B组 1
小结 1、 x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（4） x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
方程 (1)x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
4.1.2圆的一般方程
圆心 半径
定位条件 定形条件
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
பைடு நூலகம்
课堂快练
1.圆心在原点,半径是3的圆的方程. 2.圆心在(3,4),半径是 的7 圆的方程. 3.经过点P(5,1),圆心在点C(4,1)的圆的方程.
圆的一般方程
2 2 D E （1）当 D + E 4 F > 0 时， ②表示以为 ， 圆心、 ） 圆心、
2
1 为半径的圆； D 2 + E 2 4 F 为半径的圆； 以 2 D E D 2 + E 2 4 F = 0 时， ②表示一个点 ， ； （2）当 ）
2 2
（3）当 D 2 + E 2 4 F < 0 时，②不表示任何曲 ） 线．
【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异 问题 】圆的一般方程的特点，
同． 圆的一般方程的特点 ： 的系数相同，都不为0． （1）x 2 和 y 2的系数相同，都不为 ． （2）没有形如 xy的二次项． 的二次项． 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和 ）圆的标准方程带有明显的几何的影子， 半径一目了然． 半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构， ）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构， 更适合方程理论的运用． 更适合方程理论的运用．
0 一.方程 x + y + 2ax b = （a.b不同时为零） 表示什么曲线？为什么？ 求圆心坐标和半径。 表示什么曲线？为什么？ 求圆心坐标和半径。
2 2 2 2 2 2 解：由 x + y + 2ax b = 0 配方得 ( x + a) 2 + y 2 = a 2 + b 2 a2 + b2 > 0 ,b不同时为零 不同时为零， 而 a ,b不同时为零，所以 方程 x 2 + y 2 + 2ax b 2 = （a.b不同时为零） 0 是表示以（ ,0)为圆心为半径的圆 为圆心为半径的圆. 是表示以（- a ,0)为圆心为半径的圆.
圆的一般方程
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
1 D 2 + E 2 - 4F （1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2 （2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
(1)圆的标准方程:
2 2
练一练:课本P134页T1、T2.
相关点法:求动点的轨迹方程----就是求动点的坐标满足的关系式;因此 常常是求哪个动点的轨迹,就设哪个动 点的坐标为(x,y),根据已知条件找相关 点和等量关系，然后将等量关系转化为 x,y的关系式,即为所求轨迹方程.
1、找出相关点
2、动点设为（x,y）相关点设为（x。y。） 3、列出等量关系：用x,y表示x。，y。 4、代入相关点所在的方程
x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
(3)求圆的方程常用“待定系数 法”. (4)如何求动点的轨迹方程? （相关点法）
知a、b、r
（x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程 配 方 展 开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
圆的一般方程表达式
圆的表达式是：（x-a）²+（y-b）²=R²。
圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。
圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
1、已知：圆半径长R；中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定了。
根据图形的几何尺寸与坐标的可以得出圆的标准方程。
结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A 与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R²
2、圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
3、圆的相关信息：由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x²+y²+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程。
圆的一般方程点在圆外
圆的一般方程点在圆外
当点在圆外时，其到圆心的距离会大于圆的半径。
通过解圆的一般方程来求得点与圆心的距离，并与半径进行比较，可以判断点是否在圆外。
首先，我们知道圆的一般方程为 (x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0)，其中 (D) 和 (E) 是圆心坐标，(F) 是半径的平方。
假设点 (P(x_0, y_0)) 在圆外，那么它到圆心的距离 (d) 应该大于半径(r)。
根据点到圆心距离的公式，我们有
(d = \sqrt{(x_0 - D)^2 + (y_0 - E)^2})同时，根据圆的一般方程，我们有
(r^2 = D^2 + E^2 - F)由于点 (P) 在圆外，所以 (d > r)，即
(\sqrt{(x_0 - D)^2 + (y_0 - E)^2} > \sqrt{D^2 + E^2 - F})两边平方后化简，得到
(x_0^2 - 2x_0D + D^2 + y_0^2 - 2y_0E + E^2 > D^2 + E^2 - F)整理后得到
(x_0^2 + y_0^2 - 2x_0D - 2y_0E + F > 0)这正是圆的一般方程的形式。
因此，如果一个点满足圆的一般方程，那么它一定在圆内；如果一个点不满足圆的一般方程，那么它一定在圆外。
需要注意的是，这里的判断是基于点到圆心距离和半径的比较。
如果一个点在圆上或者与圆心的距离正好等于半径，那么它既不在圆内也不在圆外。
圆的一般方程
D2E24F0时，此方程表示以
D 2
,
E 2
为圆心, 1 D2 E2 4F为半径的圆；
2
(2)当 D 2E24F0时，此方程只有实数解 ，
x
D, 2
y
E 2
即只表示一个点
D 2
,
E 2
;
(3)当 D2E24F0时，此方程没有实数解，因
的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是 x0, y0
由于点B的坐标 (4,3)且M是线段AB的中点，所
以 x
x0
4 ,
y
y0
3 ,
2
2
①
于是有x0 2x4, y0 2y3
圆的一般方程
【变形训练】
因为点A在圆 x12y2 4上运动，所以点A的
坐标满足方程 x12y2 4 ,
上，代入圆的方程并化简，得
D E F 2
D
4E
F
17
,
解4D得D2＝E－ F7， E＝20－3，F＝2
∴所求圆的方程为 x2y27x3y20.
圆的一般方程
【变形训练】
1、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），
端点A在圆上x12y2 4运动，求线段AB
注：在圆的一般方程 x2y2D xE yF0 中，系数D、E、F必须满足 D2E24F0
圆的一般方程
【典型例题】
2、求经过三点A(1,－1)、B(1,4) 、C(4,－2)的圆 的方程.
解：设所求圆的方程为 x2y2D xE yF0, ∵ A(1,－1)、B(1,4) 、C(4,－2)三点在圆
圆的一般方程
解：设所求圆的方程为：
( x a ) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 9
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 0 表示点（2，3）
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2
2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
( x a ) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 9
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 0 表示点（2，3）
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2
2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
圆的一般方程(用)
y=-E/2，表示一个点（
D 2
,
E 2
）.
( x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
圆的一般方程：
所以 x x0 4 , y y0 3
整理得
x0
2
2x
4,
2
y0
2y
3.
又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足
y B
AM
o
x
方程，又有（x0+1）2+y02=4
所以（2x-4+1）2+(2y-3)2=4
整理得 (x 3)2 ( y 3)2 1
所以，点Ｍ的2轨迹是以2（ 3，3 ）为圆心，１为半径的圆
解2:设圆C的方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 ,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2)
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r2 r 5
.
（-1，0） O
.
A(3,0)
x
62 4 (9) 0 该曲线为圆.
直译法
举例
例4. 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标为（x0,y0）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D E ( , ) ，半径为 2 2
2
2
D2 E 2 4F ． 2
2 2 D2 E 2 4F 0 ） 方程 x y Dx E y F 0（其中
叫做圆的一般方程．
D、E、F 均为常数．
动脑思考 探索新知
x2 y2 2x 4 y 8 0 是圆的方程吗？为什么？
x r cos , y r sin .
(1)
P(r cos , r sin ).
我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。 其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角， 。
动脑思考 探索新知
( x a) ( y b) r
2 2
2 2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是否还 有其他形式呢？
探求：圆的参数方程
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交 点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置 所形成的角∠P0 OP =θ ,求P点的坐标。 解: 设P（x,y）,∵点P在∠P0OP的终边上,
y x 根据三角函数的定义得 sin , cos . r r
所以方程表示圆心为(−2，3)，半径为4的一个圆． 解2
与圆的一般方程相比较，知D=4,E=−6,F= −3,故
D2 E 2 4F 16 36 4 (3) 64 0
所以方程为圆的一般方程，由
D E D2 E 2 4F - -2,- 3, 4 2 2 2
2 2
（1）x2+y2-2x+4y+1=0
（2）x2+y2-2x-4y+6=0
动脑思考 探索新知
2 2 x y Dx Ey F 0．在什么条件下表示圆？ 方程
2 2 D E D E 4F x y 2 2 4
当 D2 E 2 4F 0 时，方程是圆的标准方程，其圆心在
圆的一般方程
复习导入
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方 程是什么？
( x a ) ( y b) r
2 2
2
1． 求以点C(−1，3)为圆心，r=3为半径 的圆的标准方程． 2. 求圆心的坐标和半径
( x 1)2 ( y 1)2 4
x 2 y 2 16
2
展开可得到什么式子?
方程 x y 2 ax 2by a b r 0
2 2 2
取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,
x y Dx Ey F 0
2 2
方程的特点？
动脑思考 探索新知
下列方程是圆的方程吗？
x y Dx Ey F 0
方程为
x2 y 2 4 x 0 ，求圆心的坐标和半径．
C 2,0 ； r 2.
动脑思考 探索新知
例1 判断
x y 4x 6 y 3 0 是否为圆的方程，如果是，
2
2
求出圆心的坐标和半径．
解1 将原方程左边配方，有
x2 4x 22 22 y 2 6 y 32 32 3 0 ( x 2)2 ( y 3)2 42
知圆心坐标为(−2，3)，半径为4．
理论升华 归纳小结
1
圆的标准方程
( x a)2 ( y b)2 r 2 以C a,b 圆心，r为半径．
2
圆的一般方程
x 2 y 2 Dx E y F 0 其中（D、E、F为常数且D 2 E 2 4F 0） .
2
2
D2 E 2 4F ． 2
2 2 D2 E 2 4F 0 ） 方程 x y Dx E y F 0（其中
叫做圆的一般方程．
D、E、F 均为常数．
动脑思考 探索新知
x2 y2 2x 4 y 8 0 是圆的方程吗？为什么？
x r cos , y r sin .
(1)
P(r cos , r sin ).
我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。 其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角， 。
动脑思考 探索新知
( x a) ( y b) r
2 2
2 2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是否还 有其他形式呢？
探求：圆的参数方程
如图,设⊙O的圆心在原点,半径是r.与x 轴正半轴的交 点为P0 ,圆上任取一点P,若OP0 按逆时针方向旋转到OP位置 所形成的角∠P0 OP =θ ,求P点的坐标。 解: 设P（x,y）,∵点P在∠P0OP的终边上,
y x 根据三角函数的定义得 sin , cos . r r
所以方程表示圆心为(−2，3)，半径为4的一个圆． 解2
与圆的一般方程相比较，知D=4,E=−6,F= −3,故
D2 E 2 4F 16 36 4 (3) 64 0
所以方程为圆的一般方程，由
D E D2 E 2 4F - -2,- 3, 4 2 2 2
2 2
（1）x2+y2-2x+4y+1=0
（2）x2+y2-2x-4y+6=0
动脑思考 探索新知
2 2 x y Dx Ey F 0．在什么条件下表示圆？ 方程
2 2 D E D E 4F x y 2 2 4
当 D2 E 2 4F 0 时，方程是圆的标准方程，其圆心在
圆的一般方程
复习导入
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方 程是什么？
( x a ) ( y b) r
2 2
2
1． 求以点C(−1，3)为圆心，r=3为半径 的圆的标准方程． 2. 求圆心的坐标和半径
( x 1)2 ( y 1)2 4
x 2 y 2 16
2
展开可得到什么式子?
方程 x y 2 ax 2by a b r 0
2 2 2
取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,
x y Dx Ey F 0
2 2
方程的特点？
动脑思考 探索新知
下列方程是圆的方程吗？
x y Dx Ey F 0
方程为
x2 y 2 4 x 0 ，求圆心的坐标和半径．
C 2,0 ； r 2.
动脑思考 探索新知
例1 判断
x y 4x 6 y 3 0 是否为圆的方程，如果是，
2
2
求出圆心的坐标和半径．
解1 将原方程左边配方，有
x2 4x 22 22 y 2 6 y 32 32 3 0 ( x 2)2 ( y 3)2 42
知圆心坐标为(−2，3)，半径为4．
理论升华 归纳小结
1
圆的标准方程
( x a)2 ( y b)2 r 2 以C a,b 圆心，r为半径．
2
圆的一般方程
x 2 y 2 Dx E y F 0 其中（D、E、F为常数且D 2 E 2 4F 0） .