北京四中2014～2015学年初二上期中考试数学试题及答案
北京四中2014-2015学年八年级上学期期中数学试卷 (解析版)
北京四中2014-2015学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列各式不能分解因式的是（）A．2x2﹣4x B．C．x2+9y2D．1﹣m23．点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（）A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm5．下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．6．下列命题是真命题的是（）A．等底等高的两个三角形全等B．周长相等的直角三角形都全等C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．45°8．在等腰△ABC中，已知AB=2BC，AB=20，则△ABC的周长为（）A．40 B．50 C．40或50 D．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（）A．2＜x＜12 B．5＜x＜7 C．1＜x＜6 D．无法确定10．如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足为E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE其中正确结论的个数是（）A．1B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．若式子有意义，则x的取值范围是．12．计算= ．13．如图，等腰三角形ABC中AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE= ．15．若a+b=7，ab=5，则a2﹣ab+b2= ．16．当x取值时，x2+6x+10有最小值，最小值是．17．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，如果设原计划每天挖x米，那么根据题意可列方程为．18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分线与AD 相交于点P，连结PC，若BD=2CD，△ABC的面积为2cm2，则△DPC的面积为．19．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=90°，则∠2的度数为．20．如果满足条件“∠ABC=30°，AC=1，BC=k（k＞0）”的△ABC是唯一的，那么k的取值范围是．三、解答题21．把多项式分解因式：（1）3a3b﹣12ab3；（2）（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）+4．22．（1）计算：；（2）解方程：．23．已知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF且AE=BF．求证：EC=FD．24．（1）先化简，再求值：（），其中m=9；（2）已知=3，求代数式的值．25．列分式方程解应用题：（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系）赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多小时．求自驾车速度和自行速度各是多少．四、解答题26．某地区要在区域S 内 （即∠COD 内部） 建一个超市M ，如图所示，按照要求，超市M 到两个新建的居民小区A ，B 的距离相等，到两条公路OC ，OD 的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）27．阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD 中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．求证：CD=AB ．小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A 作AE ⊥AB 交BC 的延长线于点E ，则AB=AE ，∠E=∠D ． 在△ADC 与△CEA 中，∵∴△ADC ≌△CEA ， 得CD=AE=AB ．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D ，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．28．在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．（1）如图1，若点D在线段BC上．求证：①AD=DE；②BC=DC+2CF；（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．29．已知a2﹣3a﹣1=0，求a6+120a﹣2=．30．如图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形ABCD的面积为．31．已知：m2=n+2，n2=m+2（m≠n），求：m3﹣2mn+n3的值．32．已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CD相交于点D，且CD=AB，求证：∠A=60°．北京四中2014-2015学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，从而可以解答题目．解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．点评：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．下列各式不能分解因式的是（）A．2x2﹣4x B．C．x2+9y2D．1﹣m2考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：A、提取公因式分解因式，本选项不合题意；B、利用完全平方公式分解因式，本选项不合题意；C、本选项不能分解因式，符合题意；D、利用平方差公式分解因式，本选项不合题意．解答：解：A、2x2﹣4x=2x（x﹣2），本选项不合题意；B、x2+x+=（x+）2，本选项不合题意；C、x2+9y2不能分解因式，本选项符合题意；D、1﹣m2=（1+m）（1﹣m），本选项不合题意．故选C．点评：此题考查了因式分解﹣运用公式法及提公因式法，熟练掌握公式是解本题的关键．3．点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（）A．（3，5）B．（3，﹣5）C．（5，﹣3）D．（﹣3，﹣5）分析：根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得出答案．解答：解：根据关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，∴点P（﹣3，5）关于y轴的对称点的坐标是（3，5），故选：A．点评：本题主要考查了关于横轴的对称点：横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点：纵坐标相同，横坐标变成相反数，比较简单．4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm考点：角平分线的性质．分析：过D作DE⊥AB于E，由已知条件，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．解答：解：过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm．故选C．点评：本题主要考查角平分线的性质；作出辅助线是正确解答本题的关键．5．下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．考点：分式的基本性质．专题：计算题．分析：利用分式的基本性质化简各项得到结果，即可作出判断．解答：解：A、﹣=，本选项错误；C、=，本选项错误；D、﹣=，本选项正确．故选：D．点评：此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．[来源:学§科§网Z§X§X§K]6．下列命题是真命题的是（）A．等底等高的两个三角形全等B．周长相等的直角三角形都全等C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等考点：命题与定理；全等三角形的判定．分析：根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、等底等高的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误；B、周长相等的直角三角形都全等，是假命题，故本选项错误；C、有两边和一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，因为一角没有说明是两边的夹角，故本选项错误；D、有一边对应相等的两个等边三角形全等是真命题，故本选项正确．故选D．点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．45°考点：旋转的性质．分析：根据旋转的性质结合三角形的性质作答．解答：解：∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，即△ADD′是等腰直角三角形，∴∠ADD′=45°．故选D．点评：本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．8．在等腰△ABC中，已知AB=2BC，AB=20，则△ABC的周长为（）A．40 B．50 C．40或50 D．无法确定分析：先求出BC的长为10，再分腰长是10或20，两种情况都可能出现，因而分两种情况确定三角形的边长，即可求出周长．解答：解：∵AB=2BC，AB=20，∴BC=10，三角形的腰长是10时，三角形的三边长是：10，10，20，不能构成三角形；当三角形的腰长是20时，三角形的三边长是：10，20，20，则周长是：10+20+20=50．故选B．点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（）A．2＜x＜12 B．5＜x＜7 C．1＜x＜6 D．无法确定考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．分析：延长AD至E，使AD=DE，即可求证△BDE≌△CDA，在△ABE中，根据任意两边之和大于解答：解：延长AD至E，使AD=DE，第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．如图所示，AB=5，AC=7，设BC=2a，AD=x，在△BDE与△CDA中，，∴△BDE≌△CDA，（SAS）∴AE=2x，BE=AC=7，在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即7﹣5＜2x＜7+5，∴1＜x＜6．故选C．点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDA是解题的关键．10．如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足其中正确结论的个数是（）为E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BEA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4考点： 线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题： 探究型． 分析： ①根据BC=AC ，∠ACB=90°可知∠CAB=∠ABC=45°，再由AD 平分∠BAC 可知∠BAE=∠EAF=22.5°，在Rt △ACD 与Rt △BFC 中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，可求出∠EAF=∠FBC ，由BC=AC 可求出Rt △ADC ≌Rt △BFC ，故可求出AD=BF ； ②由①中Rt △ADC ≌Rt △BFC 可直接得出结论；③由①中Rt △ADC ≌Rt △BFC 可知，CF=CD ，故AC+CD=AC+CF=AF ，∠CBF=∠EAF=22.5°，在Rt △AEF 中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°，根据∠CAB=45°可知，∠ABF=180°﹣∠EAF ﹣∠CAB=67.5°，即可求出AF=AB ，即AC+CD=AB ；④由③可知，△ABF 是等腰三角形，由于BE ⊥AD ，故BE=BF ，在Rt △BCF 中，若BE=CF ，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE ≠CF ；⑤由③可知，△ABF 是等腰三角形，由于BE ⊥AD ，根据等腰三角形三线合一的性质即可解答． 解答： 解：①∵BC=AC ，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAE=∠EAF=22.5°，∵在Rt △ACD 与Rt △BFC 中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，∴∠EAF=∠FBC ，∵BC=AC ，∠EAF=∠FBC ，∠BCF=∠AEF ，∴Rt △ADC ≌Rt △BFC ，∴AD=BF ； 故①正确；②∵①中Rt △ADC ≌Rt △BFC ，[来源:学.科.网Z.X.X.K]∴CF=CD ， 故②正确；③∵①中Rt △ADC ≌Rt △BFC ，∴CF=CD ，AC+CD=AC+CF=AF ，∵∠CBF=∠EAF=22.5°，∴在Rt △AEF 中，∠F=90°﹣∠EAF=67.5°，∵∠CAB=45°，∴∠ABF=180°﹣∠F ﹣∠CAB=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°，∴AF=AB ，即AC+CD=AB ， 故③正确；④由③可知，△ABF 是等腰三角形，∵BE ⊥AD ， ∴BE=BF ，∵在Rt △BCF 中，若BE=CF ，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾， 故BE ≠CF ，故④错误；⑤由③可知，△ABF 是等腰三角形，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∵BE ⊥AD ，∴BF=2BE ， 故⑤正确．所以①②③⑤四项正确．故选D．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解答此题的关键．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．若式子有意义，则x的取值范围是x≠4．考点：分式有意义的条件．分析：根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．就可以求解．解答：解：根据题意得：x﹣4≠0，解得：x≠4．故答案是：x≠4．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．12．计算=．考点：分式的加减法．分析：先通分，再根据同分母的分数相加减的法则进行计算即可．解答：解：原式=﹣==﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查的是分式的加减法，熟知同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减是解答此题的关键．13．如图，等腰三角形ABC中AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE=60°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得AAE=BE，然后由等边对等角，可求得∠ABE的度数，又由等腰三角形ABC中AB=AC，∠A=20°，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．解答：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=20°，∵等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠C==80°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=80°﹣20°=60°．故答案为：60°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为﹣1．考点：因式分解的意义．专题：计算题．分析：将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b 的值，即可求出k+b的值．解答：解：由题意得：x2+kx+b=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，∴k=﹣4，b=3，则k+b=﹣4+3=﹣1．故答案为：﹣1点评：此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．15．若a+b=7，ab=5，则a2﹣ab+b2=34．考点：完全平方公式．分析：先根据完全平方公式变形，再整体代入求出即可．解答：解：∵a+b=7，ab=5，∴a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=72﹣3×5=34，故答案为：34．点评：本题考查了完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．16．当x取﹣3值时，x2+6x+10有最小值，最小值是1．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．分析：把多项式x2+6x+10凑成完全平方式加常数项的形式．解答：解：x2+6x+10，=x2+6x+9+1，=（x+3）2+1，所以当x+3=0，即x=﹣3时，多项式x2+6x+10有最小值1．故答案是：﹣3，1．点评：此题主要考查了配方法的应用和非负数的性质，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0．所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值．17．（2分）某农场开挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，如果设原计划每天挖x米，那么根据题意可列方程为﹣=4．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：如果设原计划每天挖x米，根据某农场开挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务可列出方程．解答：解：设原计划每天挖x米，﹣=4．故答案为：﹣=4．点评：本题考查理解题意的能力，关键是设出未知数，根据时间做为等量关系列方程求解．18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BD=BA，作∠ABC的平分线与AD 相交于点P，连结PC，若BD=2CD，△ABC的面积为2cm2，则△DPC的面积为．考点：等腰直角三角形；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AP=PD，然后根据等底等高的三角形面积相等求出△BPC 的面积等于△ABC面积的一半，根据不同底等高的△DPC的面积等于△BPC的面积的代入数据计算即可得解．解答：解：∵BD=BA，BP是∠ABC的平分线，∴AP=PD，∴S△BPD=S△ABD，S△CPD=S△ACD，∴S△BPC=S△BPD+S△CPD=S△ABD+S△ACD=S△ABC，∵△ABC的面积为2cm2，∴S△BPC=×2=1cm2，∵BD=2CD，∴3DC=BC，=S△BPC=．故答案为．点评：本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形的面积，利用等底等高的三角形的面积相等求出△BPC的面积与△ABC的面积的关系是解题的关键．19．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=90°，则∠2的度数为30°．考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．分析：根据三角形的内角和等于180°列式求出∠B′+∠C′，∠AEF+∠AFE，再利用四边形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵∠A=60°，∴∠B′+∠C′=∠AEF+∠AFE=180°﹣60°=120°，在四边形B′EFC′中，∠2=360°﹣120°×2﹣90°=30°．故答案为：30°．点评：本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，四边形的内角和等于360°，熟记定理并准确识图是解题的关键．20．如果满足条件“∠ABC=30°，AC=1，BC=k（k＞0）”的△ABC是唯一的，那么k的取值范围是k=2或0＜k≤1．考点：全等三角形的判定．分析：要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时k 满足的条件．解答：解：当AC＜BCsin∠ABC，即1＜ksin30°，即k＞2时，三角形无解；当AC=BCsin∠ABC，即1=ksin30°，即k=2时，有一解；当BCsin∠ABC＜AC＜BC，即ksin30°＜1＜k，即1＜k＜2，三角形有2个解；当0＜BC≤AC，即0＜k≤1时，三角形有1个解．综上所述，k的取值范围是k=2或0＜k≤1．故答案是：k=2或0＜k≤1．点评：本题属于解三角形的题型，主要考查了三角形解个数的问题，重在分情况分类讨论．易错点在于可能漏掉k=2的情况．三、解答题21．把多项式分解因式：（1）3a3b﹣12ab3；（2）（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）+4．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：计算题．分析：（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解，计算即可．解答：解：（1）原式=3ab（a2﹣4b2）=2ab（a+b）（a﹣2b）；（2）原式=（x2﹣x﹣2）2=[（x﹣2）（x+1）]2=（x﹣2）2（x+1）2．点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（1）计算：；（2）解方程：．考点：解分式方程；分式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）原式第一项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）原式=•﹣=﹣==﹣；（2）去分母得：x﹣5=8x﹣12，移项合并得：7x=7，解得：x=1．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．已知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF且AE=BF．求证：EC=FD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据平行线的性质得到∠A=∠FBD，由AB=CD可得到AC=BD，然后根据三角形全等的判定解答：解：∵AE∥BF，方法可证出△AEC≌△BFD，再根据全等的性质即可得到结论．∴∠A=∠FBD，又∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC．即AC=BD，在△AEC和△BFD中，∴△AEC≌△BFD（SAS），∴EC=FD．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．24．（1）先化简，再求值：（），其中m=9；（2）已知=3，求代数式的值．考点：分式的化简求值．分析：（1）先化简，再代入求值即可；（2）先得出x﹣y与xy，再化简求值即可．解答：解：（1）（）=，=．当m=9时，原式=．（2）∵，∴x﹣y=﹣3xy∴=．点评：本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是正确的分简．25．列分式方程解应用题：（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系）赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多小时．求自驾车速度和自行速度各是多少．考点：分式方程的应用．分析：根据题目中的关键语句“骑自行车所用时间比自驾车所用时间多小时”，找到等量关系列出分式方程求解即可．解答：解：设自行车速度为x km/h，则汽车的速度为2x km/h，依题意得：，解方程得：180﹣90=5x∴x=18，经检验：x=18是所列方程的解，且符合实际意义，∴2x=36答：自行车速度为18km/h，汽车的速度为36km/h．点评：此题考查列分式方程解应用题，寻找题中的相等关系是关键．四、解答题26．某地区要在区域S内（即∠COD内部）建一个超市M，如图所示，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）考点：作图—基本作图．专题：作图题．分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市M建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在AB的垂直平分线上，所以作出两线的交解答：解：点即可．如图所示，点M就是所要求作的建立超市的位置．点评：本题主要考查了基本作图，有作线段的垂直平分线，角的平分线，是基本作图，需要熟练掌握．27．阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．求证：CD=AB．小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A 作AE ⊥AB 交BC 的延长线于点E ，则AB=AE ，∠E=∠D ． 在△ADC 与△CEA 中，∵∴△ADC ≌△CEA ， 得CD=AE=AB ．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D ，请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．考点： 全等三角形的判定与性质．分析： 作AE=AB 交BC 延长线于E 点，则∠B=∠E ，而∠B=∠D ，得到∠D=∠E ，由∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°可得到∠DAC=∠ECA ，然后根据“AAS ”可判断△DAC ≌△ECA ，根据全等的性质得CD=AE ，于是有CD=AB ．解答： 答：CD 与AB 相等．证明如下：作AE=AB 交BC 延长线于E 点， ∴∠B=∠E∵∠B=∠D∴∠D=∠E ，∵∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°，∴∠DAC=∠ECA ，∵在△DAC 和△ECA 中，，∴△DAC ≌△ECA （AAS ），∴CD=AE∴CD=AB ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．28．在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE=60°，EF⊥BC于F．（1）如图1，若点D在线段BC上．求证：①AD=DE；②BC=DC+2CF；（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）过D作DG∥AC交AB延长线于G，证得△AGD≌△DCE，得出：①AD=DE；进一步（2）证明方法同（1）得出①成立；②不成立．利用GD=CE，BD=CE得出②BC=DC+2CF；解答：证明：（1）如图，①过D作DG∥AC交AB于G∵△ABC是等边三角形，AB=BC，∴∠B=∠ACB=60°∴∠BDG=∠ACB=60°，∴∠BGD=60°∴△BDG是等边三角形，∴BG=BD∴AG=DC∵CE是∠ACB外角的平分线，∴∠DCE=120°=∠AGD∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°=∠ADB+∠DAG∴∠EDC=∠DAG，在△AGD和△DCE中，，∴△AGD≌△DCE（SAS）∴AD=DE②∵△AGD≌△DCE，∴GD=CE，∴BD=CE∴BC=CE+DC=DC+2CF（2）过D作DG∥AC交AB延长线于G，①成立；∵DG∥ACAG=DC∠BFGD=∠BDG=∠B=60°∠AGD=180°﹣60°=120°∵∠ACB=60，CE是∠ACB的外角平分线∴∠ACE=×（180°﹣∠ACB）=60°∠DCE=120°∵∠GAD=∠BGD﹣∠ADG=60°﹣∠ADG∵∠CDE=180°﹣∠GDB﹣∠ADE﹣∠ADG=180°﹣60°﹣60°﹣∠ADG=60°﹣∠ADG 在△AGD和△DCE中，，∴△AGD≌△DCE（ASA），AD=DE②不成立，此时BC=2CF﹣CD∵△AGD≌△DCE，∴GD=CE，∴BD=CE∴BC=BD﹣CD=CE﹣DC=2CF﹣CD．点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定，利用边角关系以及等量代换求得结论．29．已知a2﹣3a﹣1=0，求a6+120a﹣2=1309．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：由已知等式得到a2=3a+1，化简a6的值，利用a2﹣3a=1化简120a﹣2，再相加即可求出结果．解答：解：∵a2﹣3a﹣1=0，∴a2=3a+1，a6=（a2）3=（3a+1）2（3a+1）=（9a2+6a+1）（3a+1）=[9×（3a+1）+6a+1]（3a+1）=（33a+10）（3a+1）=99a2+63a+10=99（3a+1）+63a+10=360a+109，∵a2﹣3a=1，120a﹣2=（a2﹣3a）=120﹣=120﹣×（a2﹣3a）=120﹣360a+1080，∴a6+120a﹣2=360a+109+120﹣360a+1080=1309．点评：本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是利用a2=3a+1及a2﹣3a=1化简求和．30．如图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形ABCD的面积为2．[来源:学&科&网Z&X&X&K]考点：等腰直角三角形；三角形的面积；勾股定理．分析：分别延长AD、CD，交BC、AB于点E、F，设DE=x，BE=y，可分别表示出BC、DF、AB，可表示出四边形ABCD的面积，整理可求得其面积．解答：解：延长AD交BC于点E，延长CD交AB于点F，设DE=x，BE=y，∵∠C=∠A=∠ABC=45°，∴AE⊥BC，CF⊥AB，∴CE=DE=x，CD=x，∴AD=AE﹣DE=y﹣x，∴AB=BE=y，DF=（y﹣x）∴S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=BC•DE+AB•DF=x（y+x）+×（y﹣x）×y=（xy+x2+y2﹣xy）=（x2+y2），在Rt△BDE中，x2+y2=BD2=4，∴S四边形ABCD=×4=2．故答案为：2．点评：本题主要考查等腰直角三角形的性质，利用条件构造出等腰直角三角形，设出边长表示出四边形的面积是解题的关键．31．已知：m2=n+2，n2=m+2（m≠n），求：m3﹣2mn+n3的值．考点：因式分解的应用；因式分解-提公因式法．专题：因式分解．分析：用降次的方法把m3和n3降次，m3=m•m2=m（n+2），n3=n•n2=n（m+2），达到降次的目的，然后再因式分解．解答：解：∵m2=n+2，n2=m+2∴m2﹣n2=（n+2）﹣（m+2）=n﹣m又∵m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）∴（m+n）（m﹣n）=n﹣m∵m≠n∴m+n=﹣1∴m3﹣2mn+n3=m（n+2）﹣2mn+n（m+2）=2（m+n）=2×（﹣1）=﹣2．点评：运用平分差公式和提公因式法因式分解，然后求出代数式的值．32．已知：△ABC中，∠ABC=2∠ACB，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CD相交于点D，且CD=AB，求证：∠A=60°．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：过点A作AE∥BC交BD延长线于E，连接CE，设AC、BE相交于点O．构建全等三角形：解答：证明：过点A作AE∥BC交BD延长线于E，连接CE，设AC、BE相交于点O．△AOB≌△EOC，利用该全等三角形的性质和等腰三角形的性质来去∠A的度数即可．则∠1=∠ACB，∠2=∠3．∵∠ABC=2∠ACB，∴∠3=∠ACB，∴OB=OC，∠1=∠2，∴OA=OE．在△AOB与△EOC中，，∴△AOB≌△EOC（SAS）．∴∠BAC=∠CED，∠5=∠4=∠3，AB=CE∵CD=AB，∴CD=CE，∴∠CED=∠CDE=∠3+∠6，又∵∠DCE=∠5+∠7，∠6=∠7，∴∠CED=∠CDE=∠DCE=60°，∴∠BAC=∠CED=60°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、公共角、对顶角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。
2014-2015学年北京版八年级数学上期中检测题及答案
期中检测题（本试卷满分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题4分，共32分）1.化简()22422+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-m m m m 的结果为（ ）A.0B.1C.D.2.两码头相距千米，一船顺水航行需小时，逆水航行需小时，那么水流速度为（ ） A.22s s a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭千米/时B.22s s b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭千米/时 C ．b a ab -2千米/时 D ．a b ab -2千米/时 3.分式方程123-=x x 的解为（ ） A. B. C. D.4.甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务.设甲计划完成此项工作的天数是x ，则x 的值 为（ ）A.5B.6C.7D.85.下列二次根式,不能与12合并的是( ) A.48 B.18 C.311 D.75-6.等式2111x x x -⋅+=-成立的条件是（ ）A.1x >B.1x <-C. D .≤7.若a 错误！未指定书签。
，b 为实数，且满足|，则的值为（ ）A.2 B ．0 C ．-2 D ．以上都不对8.下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.1是1的一个平方根C.的平方根是-4D.0的平方根与算术平方根都是0二、填空题（每小题4分，共16分） 9.化简：mm m -+-2242=______________. 10.已知111x =-，则211x x +--=______.11．已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 ．12.计算：________； 22512+________.三、解答题（共72分）13.（5分）当＜0时，化简：＋＋14.（5分）若x 1y1, 求y xy x y xy x ---+2232的值. 15.（5分）甲、乙两地相距，骑自行车从甲地到乙地，出发3小时20分钟后，骑摩托车也从甲地去乙地．已知的速度是的速度的3倍，结果两人同时到达乙地．求两人的速度．16.(5分)已知，，124-=-=+xy y x 求1111+++++y x x y 的值. 17.(5分)先化简，再求值：a a a a a -+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--2244111，其中.1-=a 18. (5分)计算：211.2x x x x x x--⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭- 19.（5分）先化简，再求值：(3)(3)(6)a a a a +---，其中1122a =+. 20.（5分）已知0)2(12=-+-ab a ，求 )2004)(2004(1...)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值. 21.（5分）小东在学习了b a b a=后， 认为ba b a =也成立， 因此他认为一个化简过程：545520520-⨯-=--=--545-⋅-==24=是正确的. 你认为他的化简对吗?如果不对请说明理由并改正.22.（5分）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用来表示的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知的小数部分是， 的整数部分是b ，求的值.23.（7分）已知28-++=b a a M 是()8+a 的算术平方根，423+--=b a b N 是()3-b 的立方根，求N M +的平方根.24.（7分）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如n m 2±的化简，只要我们找到两个数，使m b a =+，n ab =， 即m b a =+22)()(，n b a =⋅，那么便有：b a b a n m ±=±=±2)(2)(b a >. 例如：化简：347+. 解：首先把347+化为1227+，这里7=m ，12=n ，由于，， 即7)3()4(22=+，1234=⨯， 所以347+1227+32)34(2+=+. 根据上述例题的方法化简：42213-.25.（8分）阅读下面问题：12)12)(12()12(1211-=-+-⨯=+； ();23)23)(23(231231-=-+-⨯=+()25)25)(25(251251-=-+-⨯=+. 试求：（1）671+的值；（2）n n ++11（n 为正整数）的值. （3）计算：11111122334989999100+++⋅⋅⋅+++++++.期中检测题参考答案1.B 解析：()224412 1.2222m m m m m m m ⎛⎫-+÷+=⋅= ⎪---+⎝⎭2.A 解析：因为两码头相距千米，一船顺水航行需小时，逆水航行需小时， 所以这艘船顺水航行的速度为时千米as ，逆水航行的速度为时千米b s ． 所以水流的速度为()().222121时千米逆水航行的速度顺水航行的速度⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-b s a s b s a s 3.C 解析：方程两边同乘，得x x 233=-，解得 3=x .经检验：3=x 是原方程的解.所以原方程的解是3=x ．4.B 解析：由题意，得，解得.5.B 解析：因为122348431832===，，，14231,33 3== 所以只有与不是同类二次根式，所以不能与合并.6.C 解析：由题意知，所以7.C 解析：∵ ，∴ ，,∴ ．故选C ．8.C 解析：A.因为=5，所以本说法正确；B.因为±=±1，所以1是1的一个平方根，本说法正确；C.因为±=±=±4，所以本说法错误；D.因为，，所以本说法正确.故选C ． 9.2--m 解析：.22)2)(2(2422422--=-+-=--=-+-m m m m m m m m m 10.3 解析：因为111x =-，所以，所以211x x +-- 11.2 解析：由一个正数的两个平方根互为相反数，知，所以 12.3,13 解析：221232333,51216913.-=-=+==13.解：＋＋=. 因为所以原式=-14.解：因为x 1y1所以所以()23232431.2()22244x y xy x xy y xy xy xy x xy y x y xy xy xy xy -++--+-====-------15.解：设的速度为千米/时，则的速度为千米/时． 根据题意，得方程.6020335050=-x x 解这个方程，得．经检验是原方程的根．所以．答：两人的速度分别为千米/时千米/时．16.解：()()()()12)(211112222+++++++=+++++=y x xy y x y x y x x y 原式().12)(222++++++-+=y x xy y x xy y x 把124-=-=+xy y x ，代入，得.15341412282416-=+--+-+=原式 17.解：.2)2()1(1244111222-=--⋅--=-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a a a a a a a a a a 当1-=a 时，.31211=---=原式18.解：(1)2211= 1.22x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭-----÷∙=--- 19.解：(3)(3)(6)a a a a +--- 当1122a =+1222=+时，原式6 20.解：因为，所以，从而. 所以)2004)(2004(1...)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 200620051...431321211⨯++⨯+⨯+⨯= 2006120051...41313121211-++-+-+-= .20062005200611=-= 21.解：不正确.理由：因为只有正数有平方根，负数是没有平方根的，所以520520--=--这一步是错误的. 注意ba b a=的前提条件是. 正确的化简过程是：.24545545520520520==⨯=⨯===-- 22. 解：∵ 4＜5＜9，∴ 2＜＜3，∴ 7＜5＋＜8，∴ ＝－2.又∵ －2＞－＞－3，∴ 5－2＞5－＞5－3，∴ 2＜5－＜3，∴ ， ∴23. 解：因为是的算术平方根，所以又是的立方根，所以解得所以，，所以.所以的平方根为24.解：由题意可知，由于，所以.25.解：（1）671+1(76)(76)(76)⨯-=+-=76-. （2）11(1)11(1)(1)n n n n n n n n n n ⨯+-==+-+++++-. （3）11111122334989999100+++⋅⋅⋅+++++++。
2014—2015学年度北京市西城区第一学期数学期中试题(附答案)
APNMO北京市西城区2014—2015学年度第一学期数学期中试题（附答案）第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题(本题共30分，每小题3分) 1．下列因式分解结果正确的是（ ）。
A ．3221055(2)a a a a a +=+B ．249(43)(43)x x x -=+- C ．2221(1)a a a --=- D ．256(6)(1)x x x x --=-+2．如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ）。
A. 1 B.2 C.3 D. 43．下列分式中，无论x 取何值，分式总有意义的是( )。
A ．211x +B ．21x x +C ．311x - D ．5x x -4.若分式2aa b+中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）。
A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍C ．是原来的110D ．不变 5．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如右图, ∠B =∠C = 90︒,E 是BC 的中点, DE 平分∠ADC, ∠CED = 35︒, 则∠EAB 的度数是 ( )。
A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．35︒6．某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x 棵，那么下面所列方程中，正确的是（ ）。
A ．x x 45050600=- B ．x x 45050600=+ C ．50450600+=x x D ．50450600-=x x 7．若分式112--x x 的值为0，则x 的值为（ ）。
A ．1B ．－1C ．0D ． 1±8．如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm 和8cm ，那么此三角形的周长是（ ）。
A. 12cm B.16cm C. 20cm D. 16cm 或20cm 9.如图，在△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的中线，分别延长BD 、CE 到F 、G ，使DF ＝BD ，EG ＝CE ，则下列结论：①GA ＝AF ，②GA ∥BC ，③AF ∥BC ，④G 、A 、F 在一条直线上， ⑤A 是线段GF 的中点，其中正确的有（ ）。
201北京四中4～2015学年度第一学期期中测试初三年级数学试卷
北京四中2014～2015学年度第一学期期中测试初三年级数学试卷(考试时间为120分钟，试卷满分为120分)期中试卷一、选择题(每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．)1．中国疾病预防控制中心食品安全专家推算出，一个7千克重的婴幼儿，如果每天吃150克奶粉，那么奶粉中的三聚氰胺含量不能超过0.00225克，将这个含量表示成科学记数法为()．A．克B．克C．克D．克2．已知∽，若对应边，则它们的面积比等于()．A．B．C．D．3．如图，CD是的直径，AB是弦，，则的度数为()．A．B．C．D．4．如果一个圆锥的侧面积为，母线长为5cm，那么这个圆锥的底面直径为( )．A．4cm B．5cm C．3cm D．6cm5．抛物线的顶点坐标是( )．A．(1，2) B．(-1，2)C．(1，-2)D．(-1，-2)6．已知抛物线上有三个点A(1，)、B(2，)、C(，)，则、、的大小关系为( )．A．B．C．D．7．函数与在同一坐标系的图象可能是()．8．已知⊙A的圆心为点A(-1，0)，且半径为1．现在⊙A沿x轴向右运动，当⊙A第一次与：有公共点时，点A移动的距离是()．A．B．2 C．D．二、填空题(每小题4分，本题共16分)9．已知正方形的半径为2cm，则它的边心距为___________cm．10．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有___________条边．11．已知两圆相切，且圆心距是1cm．若其中一圆的半径是3cm，那么另一个圆的半径是________cm．12．如图所示，已知抛物线经过点(-1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为、，其中，，则下列结论中：(1)，(2)，(3)，(4)；正确的有___________．三、解答题(每小题5分，本题共25分)13．计算：．14．用配方法解关于的方程：．15．已知：如图，中，，，，，求的长．16．已知：如图，的顶点坐标分别为(2，-2)、(3，1)、(1，2)．试以原点为位似中心，作出相似比为2的，并写出各对应点的坐标．17．已知：如图，在⊙O中，CD经过圆心O，且于点D，弦CF交AB于点E．求证：．四、解答题(第18题7分，第19题5分，本题共12分)18．已知二次函数．(1)用配方法将函数解析式化为的形式；(2)当为何值时，函数值；(3)列表描点，在所给坐标系中画出该函数的图象；(4)观察图象，指出使函数值时自变量的取值范围．19．如图，这是从正方形剪裁下一个最大圆形材料后剩下的一块废料，其中AO=BO，并且AO⊥OB，当AO＝1时，求在此图形中可裁剪出的最大的圆的面积．五、解答题(每小题6分，本题共12分)20．2008年奥运会结束后，某奥运场馆每天都吸引着大量的游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护场馆设施，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该场馆拟采用浮动门票价格的方法来控制参观人数．已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张元，且，经市场调研发现，每天参观的人数与票价(元)之间存在着如图所示的一次函数关系．(1)根据图象，求与之间的函数关系式；(2)设该场馆一天的门票收入为元，试写出关于的函数关系式；(3)试问：当门票定为多少时，该场馆一天的门票收入最高？最高门票收入是多少元？21．已知关于的方程．(1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根；(2)若等腰的一边长，另两边恰好是这个方程的两个根，求的周长．六、解答题(本题共5分)22．在四边形ABCD中，∠DAB=120°，对角线AC平分∠DAB．(1)如图1，当∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC；(2)如图2，当∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．七、解答题(本题满分6分)23．在中，，O为AB上一动点．以为圆心，为半径的圆交于点，过作于点，当O为的中点时，如图①，我们可以证得是的切线．(1)若点沿向点移动，如图②，那么与是否仍相切？请写出你的结论并证明；(2)若与相切于点，交于点(如图③)．设的半径长为3，，求的长．八、解答题(本题满分6分)24．如图，对称轴为直线的抛物线经过点(6，0)和(0，4)．(1)求抛物线的解析式；(2)设点()是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以为对角线的平行四边形．求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当(2)中的的面积为24时，请判断是否为菱形？九、解答题(本题满分6分)25．抛物线交轴于两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为，．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使点到两点距离之差最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于轴的一条直线交抛物线于两点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求此圆的半径.数学试卷答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．D 5．D 6．D 7．B 8．C二、填空题9．10．6 11．4或2 12．(1)(3)三、解答题13．．14．当k≤1时，；当k﹥1时，x无实根．15．12．16．图略，A′(4，-4)，B′(6，2)，C′(2，4)．17．提示：利用垂径定理证出弧相等，在证∠CBA=∠F，从而证出△CBE和△CFB相似，再证明比例关系．四、解答题18．(1)(2)3或(3)略(4)0﹤x﹤2．19．由题意，过点A、B作AO、BO的垂线交于点C．则可证四边形CBOA是正方形且是大正方形的四分之一．所以点C是的圆心．连结CO，设点D是CO上一点，以点D为圆心作圆切AO、BO于E、F，切于N点．则⊙D是最大的圆．过D点作DM⊥CA于M,连结DE、DF，则可证四边形MDEA是矩形．设⊙D半径为x，则．解得，(不合题意，舍去)．答：最大圆的半径为．五、解答题20．(1)设函数解析式为，由图象知：直线经过，两点，则解得函数解析式为．(2)，即．(3)，当票价定为60元时，该景点门票收入最高，此时门票收入为180000元．21．(1)方法一：，所以无论k取任何实数，方程总有实数根．方法二：，，，，即无论k取任何实数，方程总有实数根．(2)分两种情况考虑：若，则，方程为，所以，．此时，，不能构成三角形，舍去．若，则，所以，方程为，．此时可以构成三角形．综上所述，的周长为．六、解答题22．(1)，AC平分，．又，，，．(2)作的延长线于M，作于N．又AC平分，，可证≌(AAS)．．七、解答题23．(1)与相切．证明：连结，，．又，，．，与相切．(2)解法一：连结，是的切线，．又，四边形为矩形．．设，则，．与相切，．即，解得．的长度为4．解法二：(上同解法一)设，则，，，即，解得．的长度为．解法三：(上同解法一)．在中，，．又与相切，，．，，即的长度为4．八、解答题24．(1)由抛物线的对称轴是，可设解析式为．把两点坐标代入上式，得解之，得．故抛物线解析式为，顶点为．(2)点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，，即，表示点到的距离．是的对角线，．因为抛物线与轴的两个交点是和，所以，自变量的取值范围是．(3)根据题意，当时，即．化简，得．解之，得．故所求的点有两个，分别为，．点满足，是菱形；点不满足，所以不是菱形．九、解答题25．(1)设抛物线的解析式为，∵点、在抛物线上，∴解得∴抛物线的解析式为．(2)，∴A(，0)，B(3，0)．∴．∴PA=PB，∴．如图1，在△PAC中，，当P在AC的延长线上时，．设直线AC的解析式为，∴解得∴直线AC的解析式为．当时，．∴当点P的坐标为(1，)时，的最大值为．(3)如图2，当以MN为直径的圆与轴相切时，．∵点N的横坐标为，∴．∴．解得，．。
2015北京四中初二(上)期中数 学
2015北京四中初二（上）期中数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣43．（3分）使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥14．（3分）点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（）A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′D．∠C=∠C′6．（3分）下列各式中，正确的是（）A．B．C．=D．7．（3分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．188．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°9．（3分）如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°10．（3分）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（）A．50°B．75°C．80°D．105°二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．（2分）已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为．12．（2分）因式分解：3x2﹣6x+3=．13．（2分）计算的结果是．14．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，则BC= cm．15．（2分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．16．（2分）如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC=10cm，则△OMN的周长=．17．（2分）已知，则代数式的值为．18．（2分）如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为．19．（2分）如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=°．20．（2分）如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点，在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有个．三、解答题21．（8分）分解因式．（1）x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）（2）（x2+1）2﹣4x2．22．（8分）计算：（1）．（2）．23．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．24．（5分）解方程：．25．（5分）已知：如图，AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC．求证：BD=CE．26．（5分）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？27．（6分）小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．28．（8分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DF=EF．附加题（满分20分，计入总分）29．（4分）已知：a﹣b=2，2a2+a﹣4=0，则=．30．（4分）已知：，则（b﹣c）x+（c﹣a）y+（a﹣b）z的值为．31．（12分）等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE（3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．数学试题答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．【解答】A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．2．【解答】a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．3．【解答】根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：A．4．【解答】点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选：B．5．【解答】A、∠A=∠A′，AB=A′B′AC=A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；B、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．故选：B．6．【解答】A、已经是最简分式，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以x+y即可得到，故本选项正确；故选D．7．【解答】①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选B．8．【解答】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣72°=18°．故选A．9．【解答】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=30°，∴∠2=60°，∴∠1=60°．故选：C．10．【解答】∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．【解答】0.000035米=3.5×10﹣5米．故答案为：3.5×10﹣5米．12．【解答】3x2﹣6x+3，=3（x2﹣2x+1），=3（x﹣1）2．13．【解答】原式=2﹣1+3=4．14．【解答】∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=1，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=1+2=3，故答案为：3．15．【解答】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．16．【解答】∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OM∥AB，∴∠ABO=∠MOB，∴∠MBO=∠MOB，∴OM=BM，同理ON=CM，∵BC=10cm，则△OMN的周长c=OM+MN+ON=BM+MN+NC=BC=10cm．故答案为10cm．17．【解答】解法一：∵﹣=﹣=3，即x﹣y=﹣3xy，则原式===4．解法二：将原式的分子和分母同时除以xy，===4故答案为：4．18．【解答】过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵AB=4，△ABD的面积为3，∴S△ABD=AB•DE=×4×DE=3，解得DE=；∴DF=，∵AC=2，∴S△ACD=A C•DF=×2×=．故答案为：．19．【解答】∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°，∴∠PCD=45°．故答案为：45°．20．【解答】分为三种情况：①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点；②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点；综上满足要求的P有4个，故答案为：4．三、解答题21．【解答】解：（1）原式=x2（m﹣2）+9y2（m﹣2）=（m﹣2）（x2﹣9y2）=（m﹣2）（x﹣3y）（x+3y）（2）原式=（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）=（x﹣1）2（x+1）2．22．【解答】解：（1）原式=••=﹣；（2）原式===．23．【解答】解：原式=÷=×=a+1．当a=﹣1时，原式=﹣1+1=．24．【解答】解：去分母得：（x+3）（x+1）﹣8=x2﹣1，去括号得：x2+4x+3﹣8=x2﹣1，移项合并得：4x=4，解得：：x=1，经检验x=1是原方程的增根，分式方程无解．25．【解答】证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE﹣∠BAE=∠EAC﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=EC．26．【解答】解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，由题意得，=，解得：x=45，经检验：x=45是原方程的解．答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．27．【解答】解：（1）PC∥a（两直线平行，同位角相等）；（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，如图，∵PA=PD，∴∠PAB=∠PDA，∵∠BDC=∠PDA（对顶角相等），又∵PC∥a，∴∠PDA=∠1，∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）如图，作线段AB的垂直平分线EF，则EF是所求作的图形．28．【解答】解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）成立∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．附加题（满分20分，计入总分）29．【解答】∵a﹣b=2，∴b=a﹣2．∴=+==．∵2a2+a﹣4=0，∴．∴=．故答案为：﹣2．30．【解答】设=k，则b+c﹣a=①，c+a﹣b=②，a+b﹣c=③．由①+②+③得：a+b+c=④，由④﹣①得：a=，由④﹣②得：b=，由④﹣③得：c=，则原式=•x+•y+•z==0．故答案为0．31．【解答】（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS）∴CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1∴C（﹣1，﹣1）；（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∴∠ACG=∠BAC=90°，∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°，∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，∴∠ADO=∠BAO，∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G，∴∠ADB=∠CDE；（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．∵∠ADH=∠BAO．∴∠BAO=∠AHD．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠EBO，∵∠AOB=∠EOB=90°．在△AOB和△EOB中，，∴△AOB≌△EOB（ASA），∴AB=EB，AO=EO，∴∠BAO=∠BEO，∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．∴∠AEC=∠BHA．在△AEC和△BHA中，，∴△ACE≌△BAH（AAS）∴AE=BH=2OA∵DH=2OD∴BD=2（OA+OD）．。
北京四中2015-2016学年八年级上期中数学试卷含答案解析
6．下列各式中，正确的是(
)
A．
B．
C．
=
D．
7．等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的周长为(
)
A．12 B．15 C．12 或 15 D．18
8．如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 是 AC 边上的高，则∠DBC 的度数是( )
三、解答题 21．分解因式． （1）x2（m﹣ 2）+9y2（2﹣）m （2）（x2+1）2﹣ 4x．2
2015-2016 学年北京四中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是(
)
A．
B．
C．
D．
2．把 a2﹣ 4a 多项式分解因式，结果正确的是( ) A．a（a﹣ 4） B．（a+2）（a﹣ 2） C．a（a+2）（a﹣ 2） D．（a﹣ 2）2﹣ 4
3．使分式
有意义，则 x 的取值范围是(
)
A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥1
4．点 A（2，3）关于 y 轴成轴对称的点的坐标是( ) A．（3，﹣ 2） B．（﹣ 2，3） C．（﹣ 2，﹣ 3） D．（2，﹣ 3）
5．在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使 △ABC≌△A′B′C′一定成立的是( ) A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′
22．计算：
（1）
．
（2）
．
23．先化简，再求值：（1﹣ ）÷
，其中 a=25．已知：如图，AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC．求证：BD=CE．
北京四中2014～2015学年度第二学期期中考试初二年级数学学科试题及答案
ACB （第4题图）数学试卷（时间：100分钟满分：120分） 姓名：班级：成绩: ____________一、选择题（每小题3分，共30分）1．□ABCD 中，∠A ：∠B ＝1：2，则∠A 的度数为（）． A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．某服装店试销一款女式防晒服，试销期间对不同颜色的防晒服的销售情况做了统计. 如果服装店经理最关心的是哪种颜色的防晒服最畅销，那么对经理最有意义的统计量是（）．A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差3．关于x 的一元二次方程222310x x a ---=的一个根为2，则a 的值是（）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．1±4．如图，一棵大树在离地面9米高的B 处断裂，树顶A 落在离树底部C 点12米处，则大树断裂之前的高度为（）． A ．9米 B ．15米 C ．21米 D ．24米 5．某城2012年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2014年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（）． A ．300(1+x )=363 B ．300(1+x )²=363 C ．300(1+2x )=363 D ．363(1-x )²=3006．如图，□ABCD 中，AB=10，BC=6，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，若EF=7，则四边形EACF 的周长是（）． A ．20 B ．22 C ．29 D ．31 7．不能．．判定为平行四边形的是（）． A ．一组对边平行，一组对角相等的四边形B ．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形C ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形D ．两条对角线互相平分的四边形8．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）．A ．2.5B ．2 9．如果关于x 的一元二次方程210ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（）．A ．14a >-B ．14a ≥-C ．14a ≥-且a ≠0D ．14a >-且a ≠0A BD CEF （第6题图）（第8题图）10．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC上，且13AE AB =，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF =2BE ；②PF =2PE ；③FQ =4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（ ）． A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 二、填空题（每小题2分，共20分）11．已知a 是方程22430x x +-=的一个根，则代数式22a a +=_______． 12．矩形的两条对角线所夹的锐角为60º，较短的边长为12，则对角线长为______． 13．如果把代数式223x x -+化成2()x h k -+的形式，其中h ，k 为常数，那么h+k 的值是．14．如图，把两块相同的含30角的三角尺如图放置，若AD =，则三角尺的最长边长为__________cm ． 15．样本数据3，6，a ，4，2的平均数是5，则a =_____；这个样本的方差是______． 16．等腰ABC ∆两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个解，则这个等腰三角形的周长是____________． 17．如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是__________．18．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为♢※△=♢²-2△，根据这个规则，方程（x -3）※x 21=0的解为__________． （第14题图）（第17题图）（第19题图）19．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE =30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ =AE ，则AP 等于 cm ．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一边长为1的正方形OABC ，点B 在x 轴的正半轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBB 1C 1，再以对角线OB 1为边作第三个正方形OB 1 B 2C 2，…，(第10题图)照此规律作下去，则B2的坐标是；B2015的坐标是．三、解答题21．（每小题3分）解下列关于x的方程（1）3x(x－2)＝2x－4；（2）x2－3x－28＝0；（3）3x2－4x＝2；（4）x2＋mx＋2＝mx2＋3x．(m≠1)22．（本题5分）如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，求四边形ACBD的面积．D23．（本题5分）如图，四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 平分∠BAD ，CE//AD 交AB 于E.(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由.24．（本题5分）已知关于x 的方程.022)13(2=+++-m x m mx(1) 求证：无论m 取任何实数，方程恒有实数根；(2) 若该方程有两个整数根，且m 为整数，求m 的值． 25．（本题5分）列方程或方程组解应用题如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园ABCD ，为了节约材料，花园的一边AD 靠着原有的一面墙，墙长为8米（AD ＜8），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边AB 的长．A26．（本题5分）四中在开展“好算手”系列活动中，为了解本校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如下：（1）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（2）根据样本数据，估算该1200名学生共参加了多少次活动．27．（本题6分）已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF ．(1) 若AB =3，AD =4，求 DE 的长； (2) 求证：∠ADB=2∠510152012345次数EA28．（本题7分）如图1，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，EF 是中位线，AD 与EF 相交于点O ．若将△AEO 与△AFO 分别绕E 、F 两点旋转180°，可与梯形EBCF 构成矩形PBCQ ，我们把这样形成的矩形称为△ABC 的一个等积矩形． （1）若△ABC 的边BC ＝5，高AD ＝6，则等积矩形PBCQ 的长为________，宽为________；（2）如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝4，试求△ABC 的所有等积矩形的长和宽；（3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，那么能形成这样的等积矩形的三角形有多少个？试探究其中周长最小的三角形的三边长．A B C DP Q E F O A C B B C A D 图1 图2 图3四、附加题1．(本题6分）如图在矩形ABCD 中，AB =3，AD =1，点P 在线段AB 上运动设AP =x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E ，F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原.（1）当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为； （2）当四边形EPFD 为菱形时，x 的取值范围为； （3）当x =2时，菱形EPFD 的边长为_____________．2.（本题7分）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根，设s 1＝α＋β，s 2＝α2＋β2，…，s n ＝αn＋βn．根据根的定义，有α2－α－1＝0，β2－β－1＝0，将两式相加，得(α2＋β2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s 2－s 1－2＝0．根据以上信息，解答下列问题：（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s 1，s 2的值；（2）猜想：当n ≥3时，s n ，s n -1，s n -2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性；（3）根据（2）中的猜想，求(1＋52)5＋(1－52)5的值．PECC3.（本题7分）如图1，P为正方形ABCD的边CD上一点，E在CB的延长线上，BE＝DP，∠CEP的平分线交正方形的对角线AC于点F．（1）求证：AE＝AF；（2）如图2，AM⊥PE于M，FN⊥PE于N，求证：AM＋FN＝AD；（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD的边长为a，N为PM的中点，求线段FN的长（用含a的代数式表示）．A B D CEFP图1 图2ABDCEFPMN一、选择题1.C.2.B.3.D4.D5.B6.C7.C8.B9.C 10.D 二、填空题11.32 12.24 13.3 14.12 15. 10,8 16.7或819.2或120.,(22- 三、解答题 21.(1)1222,3x x == ； (2)127,4x x ==-(3)12x x ==；(4)1221,1x x m ==- 22.36 23.直角三角形 24.(1)略 (2)1m =±.25.x=10.26.(1)平均数=3.3 众数4, 中位数3. (2)3960(2)略 28.（1）5 3（2）△ABC 可形成如下三个等积矩形：A A A图①中的矩形的长为2，宽为2 图②中的矩形的长为4，宽为1 图③中的矩形的长为42＋22＝25，宽为 4×2 2×25＝255（3）能形成这样的等积矩形的三角形有无数个其中，当以BC 为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是4则这样的三角形的另一顶点P 在图④中的四个矩形拼成的图形中的EF 上 当P 为EF 的中点时，△PBC 的周长最小 PB ＋PC ＋BC ＝3＋32＋82＝3＋73当以AB 为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是6, 这样的三角形的另一顶点P 在图⑤中的EF 上 同理当P 为EF 的中点时，△P AB 的周长最小 PB ＋P A ＋AB ＝2＋22＋122＝2＋237∵3＋73＜12，2＋237＞14∴能形成这样的等积矩形的三角形的周长最小值为3＋73 三角形的三边长分别为3，732，732BCAD图⑤FE BACDE F PP图④-11-附加题:53;(3)4x ≤≤ 2. 解：（1）移项，得x2－x ＝1配方，得x2－2×x ×1 2＋(1 2)2＝1＋(1 2)2即(x － 12)2＝ 54开平方，得x － 12＝± 52，即x ＝1±52∵α＞β，∴α＝1＋52，β＝1－52································································ 3分 于是s 1＝α＋β＝1，s 2＝s 1＋2＝3 ···································································· 5分 （2）猜想：s n ＝s n -1＋s n -2························································································· 6分 证明：根据根的定义，有α2－α－1＝0两边都乘以αn -2，得αn －αn -1－αn -2＝0 ①同理，βn －βn -1－βn -2＝0 ②①＋②，得(αn ＋βn )－(αn -1＋βn -1)－(αn -2＋βn -2)＝0∵s n ＝αn ＋βn ，s n -1＝αn -1＋βn -1，s n -2＝αn -2＋βn -2∴s n －s n -1－s n -2＝0，即s n ＝s n -1＋s n -2 ····························································· 10分 （3）由（1）知，s 1＝1，s 2＝3由（2）中的关系式可得：s 3＝s 2＋s 1＝4，s 4＝s 3＋s 2＝7，s 5＝s 4＋s 3＝11，3.（1）连接AP∵正方形ABCD ，∴AB ＝AD ，∠ABE ＝∠D ＝90° 又BE ＝DP ，∴△ABE ≌△ADP ∴AE ＝AP ，∠BAE ＝∠DAP ∵∠BAP ＋∠DAP ＝90° ∴∠BAP ＋∠BAE ＝90°，即∠EAP ＝90° ∴∠AEP ＝∠APE ＝45°A BD CEFP∵正方形ABCD，∴∠ACB＝45°∴∠AEP＝∠ACB∵∠AEF＝∠AEP＋∠PEF，∠AFE＝∠ACB＋∠CEF 又∠PEF＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE∴AE＝AF（2）过F作FH⊥AM于H则四边形MHFN是矩形，∴FN＝MH由（2）知，AE＝AP，AE＝AF∴AF＝AP易知△AEP是等腰直角三角形又AM⊥PE，∴AM＝PM，∠MAP＝45°∴∠HAF＝∠DAP＝45°－∠PAF又∠AHF＝∠D＝90°，∴△AHF≌△ADP∴AD＝AH＝AM＋MH＝AM＋FN即AM＋FN＝AD（3）设FN＝x，则PM＝AM＝a－x，AP＝2(a－x)∵△AHF≌△ADP，∴DP＝FH＝MN＝12PM＝12(a－x)在Rt△ADP中，a2＋[12(a－x)]2＝[2(a－x)]2整理得：7x2－14ax＋3a2＝0解得：x1＝a＋277a（舍去），x1＝a－277a即FN＝a－277aABDCEFPMNH-12-。
2014-2015年北京市教育学院附中八年级上学期数学期中试卷与答案
赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P 2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
DBC2014-2015学年北京市教育学院附中八年级（上）期中数学试卷一．用心选一选：（每小题3分，共30分）1．（3.00分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3.00分）下列各式中，正确的是（）A．=B．+=C．=D．=3．（3.00分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．9 cm4．（3.00分）下列因式分解结果正确的是（）A．15a3+10a2=5a（3a2+2a） B．9﹣4x2=（3+4x）（3﹣4x）C．a2﹣10a﹣25=（a﹣5）2D．a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5）5．（3.00分）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL6．（3.00分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．如果设甲每小时做x个零件，那么下面所列方程中正确的是（）A．=B．=C．=D．=7．（3.00分）如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（）A．只有乙B．甲和乙C．只有丙D．乙和丙8．（3.00分）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．下列结论中正确的有（）（1）ED=EC；（2）OD=OC；（3）∠ECD=∠EDC；（4）EO平分∠DEC；（5）OE⊥CD；（6）直线OE是线段CD的垂直平分线．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个9．（3.00分）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）A．16 B．12 C．8 D．410．（3.00分）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°二．细心填一填：（每小题3分，共24分）．11．（3.00分）计算：20142﹣20132=．12．（3.00分）点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是．13．（3.00分）如果分式的值是零，那么x的值是．14．（3.00分）计算：﹣=．15．（3.00分）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是．16．（3.00分）如图点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是．17．（3.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标．18．（3.00分）如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN=．三.用心做一做（每题5分，共35分）19．（5.00分）因式分解：4a2﹣32a+64．20．（5.00分）．21．（5.00分）如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．22．（5.00分）解方程：﹣=1．23．（5.00分）先化简：后，再选择一个你喜欢的x 值代入求值．24．（5.00分）如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？25．（5.00分）a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，不写作法，保留作图痕迹．四.解答题（26题5分，27题各6分，共11分）26．（5.00分）如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．27．（6.00分）如下图，在△ABC中，AP平分∠CAB（∠CAB＜60°）（1）如图（1）点P在BC上，若∠CAB=42°，∠B=32°，确定AB，AC，PB之间的数量关系，并证明．（2）如图（2），点P在△ABC内，若∠CAB=2α，∠ABC=60°﹣α，且∠CBP=30°，求∠APC的度数（用含α的式子表示）．2014-2015学年北京市教育学院附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．用心选一选：（每小题3分，共30分）1．（3.00分）下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，故B正确；C、不是轴对称图形，故C错误；D、不是轴对称图形，故D错误．故选：B．2．（3.00分）下列各式中，正确的是（）A．=B．+=C．=D．=【解答】解：A、，不能再化简，故本选项错误；B、+=+=，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、=，故本选项正确；故选：D．3．（3.00分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（）A．6 cm B．7 cmC．8 cm D．9 cm【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵AC=5cm，BC=4cm，∴△DBC的周长是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）．故选：D．4．（3.00分）下列因式分解结果正确的是（）A．15a3+10a2=5a（3a2+2a） B．9﹣4x2=（3+4x）（3﹣4x）C．a2﹣10a﹣25=（a﹣5）2D．a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5）【解答】解：A、15a3+10a2=5a2（3a+2），故此选项错误；B、9﹣4x2=（3+2x）（3﹣2x），故此选项错误；C、a2﹣10a﹣25无法因式分解，故此选项错误；D、a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5），正确．故选：D．5．（3.00分）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【解答】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°∴△OPM≌△OPN所用的判定定理是HL．故选：D．6．（3.00分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．如果设甲每小时做x个零件，那么下面所列方程中正确的是（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x﹣6）个零件，由题意得，=．故选：D．7．（3.00分）如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（）A．只有乙B．甲和乙C．只有丙D．乙和丙【解答】解：在△ABC和乙三角形中，有两边a、c分别对应相等，且这两边的夹角都为50°，由SAS可知这两个三角形全等；在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙，故选：D．8．（3.00分）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D．下列结论中正确的有（）（1）ED=EC；（2）OD=OC；（3）∠ECD=∠EDC；（4）EO平分∠DEC；（5）OE⊥CD；（6）直线OE是线段CD的垂直平分线．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【解答】解：∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=ED，故（1）正确；在Rt△OCE和Rt△ODE中，，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴OD=OC，∠ECD=∠EDC，故（2）（3）正确；∴EO平分∠DEC，故（4）正确；∵OC=OD，OE平分∠AOB，∴OE⊥CD，故（5）正确；直线OE是线段CD的垂直平分线，故（6）正确；综上所述，6个结论都正确．故选：D．9．（3.00分）如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）A．16 B．12 C．8 D．4【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，在△AEB和△AFD中∴△AEB≌△AFD（ASA），=S△AFD，∴S△AEB∴它们都加上四边形ABCF的面积，可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=16．故选：A．10．（3.00分）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【解答】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°﹣35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．故选：A．二．细心填一填：（每小题3分，共24分）．11．（3.00分）计算：20142﹣20132=4027．【解答】解：20142﹣20132=（2014+2013）×（2014﹣2013）=4027．故答案为：4027．12．（3.00分）点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（2，1）．【解答】解：点A（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．13．（3.00分）如果分式的值是零，那么x的值是5．【解答】解：依题意得x﹣5=0且x+2≠0．解得x=5．故答案是：5．14．（3.00分）计算：﹣=．【解答】解：原式==．故答案为：．15．（3.00分）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是AO=DO或AB=DC或BO=CO．【解答】解：添加AO=DO或AB=DC或BO=CO后可分别根据ASA、AAS、AAS判定△AOB≌△DOC．故填AO=DO或AB=DC或BO=CO．16．（3.00分）如图点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是3．【解答】解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，PE=3，∴点P到AB的距离=PE=3．故答案为：3．17．（3.00分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．【解答】解：如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，△ACE和△ACB全等，点E的坐标是：（1，5），（1，﹣1），（5，﹣1），故答案为：（1，5）或（1，﹣1）或（5，﹣1）．18．（3.00分）如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN=2．【解答】解：∵DN=AM=AN=1，∠A=90°，∴由勾股定理求出MN=，即MN值一定，∴要使△MNP的周长最小，只要MP+NP最小即可，过N作NG⊥BD交BD于G，交CD于F，连接MF交BD于P，∵四边形ABCD是正方形，∴∠NDB=∠FDB=∠ADC=45°，∴∠DNG=∠DFG=90°﹣45°=45°，∴∠DNG=∠NDG，∠DFG=∠FDG，∴NG=DG=FG，即N、F关于BD对称，∴PN=PF，∴MP+NP=MP+PF=MF，即此时的PN+PM的值最小，∵BD⊥NF，NG=FG，∴DN=DF=1=AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AM∥DF，∴四边形AMFD是平行四边形，∴MF=AD=2，即MP+NP=2，故答案为：2．三.用心做一做（每题5分，共35分）19．（5.00分）因式分解：4a2﹣32a+64．【解答】解：4a2﹣32a+64=4（a2﹣8a+16）=4（a﹣4）2．20．（5.00分）．【解答】解：原式=+=x+x﹣1=2x﹣1．21．（5.00分）如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AD=BC．22．（5.00分）解方程：﹣=1．【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得（x+1）2﹣4=（x+1）（x﹣1），整理得2x﹣2=0，解得x=1．检验：当x=1时，（x+1）（x﹣1）=0，所以x=1是增根，应舍去．∴原方程无解．23．（5.00分）先化简：后，再选择一个你喜欢的x 值代入求值．【解答】解：原式=（2分）=（4分）=（5分）=；（7分）当x=3时，原式=．（9分）注：本题答案不唯一，只要x的取值不为0、2、4，计算正确均可得分．24．（5.00分）如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？【解答】证明：∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，在Rt△ABC和Rt△ADE中，，∴Rt△ADE≌Rt△ABC，∴∠E=∠C，AC=AE，∴在△ACM和△AEN中，∴△ACM≌△AEN（ASA），∴AM=AN．25．（5.00分）a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置，不写作法，保留作图痕迹．【解答】解：点O或O′就是所求的点．四.解答题（26题5分，27题各6分，共11分）26．（5.00分）如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．【解答】证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°．27．（6.00分）如下图，在△ABC中，AP平分∠CAB（∠CAB＜60°）（1）如图（1）点P在BC上，若∠CAB=42°，∠B=32°，确定AB，AC，PB之间的数量关系，并证明．（2）如图（2），点P在△ABC内，若∠CAB=2α，∠ABC=60°﹣α，且∠CBP=30°，求∠APC的度数（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）AB﹣AC=PB；证明：在AB上截取AD，使AD=AC．连PD（如图1）∵AP平分∠CAB，∴∠1=∠2在△ACP和△ADP中，，∴△ACP≌△ADP（SAS），∴∠C=∠3．∵△ABC中，∠CAB=42°，∠ABC=32°，∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣42°﹣32°=106°．∴∠3=106°．∴∠4=180°﹣∠3=180°﹣106°=74°，∠5=∠3﹣∠ABC=106°﹣32°=74°．∴∠4=∠5．∴PB=DB．∴AB﹣AC=AB﹣AD=DB=PB．（2）延长AC至M，使AM=AB，连接PM，BM．（如图2）∵AP平分∠CAB，∠CAB=2α，∴∠1=∠2=•2α=α．在△AMP和△ABP中，，∴△AMP≌△ABP（SAS），∴PM=PB，∠3=∠4．∵∠ABC=60°﹣α，∠CBP=30°，∴∠4=（60°﹣α）﹣30°=30°﹣α．∴∠3=∠4=30°﹣α．∵△AMB中，AM=AB，∴∠AMB=∠ABM=（180°﹣∠MAB）÷2=（180°﹣2α）÷2=90°﹣α．∴∠5=∠AMB﹣∠3=（90°﹣α）﹣（30°﹣α）=60°．∴△PMB为等边三角形．∵∠6=∠ABM﹣∠ABC=（90°﹣α）﹣（60°﹣α）=30°，∴∠6=∠CBP．∴BC平分∠PBM．∴BC垂直平分PM．∴CP=CM．∴∠7=∠3=30°﹣α．∴∠ACP=∠7+∠3=（30°﹣α）+（30°﹣α）=60°﹣2α．∴△ACP中，∠APC=180°﹣∠1﹣∠ACP=180°﹣α﹣（60°﹣2α）=120°+α．。
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数 学 试 卷（考试时间：100分钟 满分：120分）姓名： 班级： 成绩: ____________一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．剪纸艺术是我国文化宝库中的优秀遗产，在民间广泛流传．下面四幅剪纸作品中，属于轴对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 2．下列各式不能．．分解因式的是（ ）． A ．224x x -B ．214x x ++ C ．229x y + D ．21m -3．点P （－3，5）关于y 轴的对称点的坐标是（ ）． A ．（3，5） B ．（3，－5） C ．（5，－3） D ．（－3，－5）4. 如图，Rt ABC △中，90C ∠=°，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，若3c mCD =，则点D 到AB 的距离是（ ）． A ．5cm B ．4cm C ．3cm D ．2cm 5．下列各式中，正确的是（ ）．A ．3355x xy y--=- B ．a b a b c c +-+-= C ． a b a b c c ---=- D ． a ab a a b-=-- 6．下列命题是真命题的是（ ）． A ．等底等高的两个三角形全等B ．周长相等的直角三角形都全等C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等7．如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，则∠ADD ′ 的度数（ ）． A ．25︒ B ．30︒ C ．35︒ D ．45︒8．在等腰ABC ∆中，已知AB=2BC ，AB=20，则ABC ∆的周长为（ ）． A ．40 B ．50 C ．40或50 D ．无法确定9．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x 的范围是（ ）． A ．2 < x < 12 B ．5 < x < 7 C ．1 < x < 6 D ．无法确定 10．如图，在RtΔABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足．则结论：（1）AD=BF ；（2）CF=CD ；（3）AC+CD=AB ；（4）BE=CF ；（5）BF=2BE ，其中正确的结论个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4A B D D'C（第7题图）B（第4题图）AC二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．若式子42-x x 有意义，则x 的取值范围是________.12．计算212293m m+--= ． 13．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =20°,线段AB 的垂直平分 线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 为 度．14．若关于x 的二次三项式2x +kx b +因式分解为(1)(3)x x --，则k +b 的值为___．15．若 a + b = 7, ab = 5, 则 a 2 - ab + b 2 = _______________． 16．当x 取 值时，2610x x ++有最小值，最小值是 ． 17．某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，则列出的方程是________________． 18．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，在BC 上截取BD ＝BA ，作∠ABC 的平分线与AD 相交于点P ，连结PC ，若BD=2CD ，△ABC 的面积为22cm ，则△D PC 的面积为_____________．（第18题图） （第19题图） 19．如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若60A ∠=︒，195∠=︒，则∠2的度数为_______． 20．如果满足条件“∠ABC =30°，AC =1， BC =k （k >0）”的△ABC 是唯一的，那么k 的取值范围是 ．三、解答题21. 把多项式分解因式（每题4分，共8分）.(1)33312a b ab - (2)4)(4)(222+---x x x x 解： 解：ABCB'C'EF12ABC DE（第13题图）22.（每题4分，共8分） (1)计算：11112---÷-a aa a a . (2)解方程：542332x x x +=--. 解： 解：23.（本题5分）已知：如图， A 、B 、C 、D 四点在同一直线上， AB =CD ， AE ∥BF 且AE =BF ． 求证： EC =FD ．24．（每题4分，共8分） (1)先化简，再求值：2112()3369mm m m m +÷-+-+，其中9m =． 解：(2)已知113x y -=，求代数式21422x xy yx xy y----的值.解：C D25． 列分式方程解应用题：（本题5分）（温馨提示：你可借助图示、表格等形式“挖掘”等量关系）赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，上下班由自驾车方式改为骑自行车方式．已知赵老师家距学校20千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍，骑自行车所用时间比自驾车所用时间多95小时．求自驾车和自行车的速度．四、解答题26. （本题4分）某地区要在区域．．S ．内． (即 COD 内部．．) 建一个超市M , 如图所示, 按照要求, 超市M 到两个新建的居民小区A , B 的距离相等, 到两条公路OC , OD 的距离也相等. 这个超市应该建在何处？ (要求：尺规作图, 不写作法, 保留作图痕迹)27. （本题5分）阅读下列材料：如图，在四边形ABCD 中，已知 105=∠=∠BAD ACB ， 45=∠=∠ADC ABC .求证：CD=AB.小刚是这样思考的：由已知可得， 60=∠DCA ， 75=∠DAC ， 30=∠CAB ，180=∠+∠DAC ACB ，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE AB ⊥交BC 的延长线于点E ，则AB=AE ，∠E=∠D.∵在ADC ∆与CEA ∆中，75D EDAC ECA AC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩ADC CEA ∆∆∴≌，得CD AE AB ==.请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图，在四边形ABCD 中，若 180=∠+∠CAD ACB ，D B ∠=∠， 请问：CD 与AB 是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．BB28. （本题7分）在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE＝60°，EF⊥BC于F．（1）如图1，若点D在线段BC上．求证：①AD＝DE；②BC＝DC＋2CF；（2）如图2，若点D在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由．AB CD EFAB C DEF图1 图2附加题（满分20分）：1.（本题4分）已知2310a a --=，求62120a a -+= ．2.（本题4分）右图中，∠ABC=∠BCD=∠DAB=45°，BD=2，求四边形ABCD 的面积为 ．3.（本题6分）已知22m n =+，22n m =+，m≠n ，求 332m mn n -+的值．4.（本题6分）已知：△ABC 中，∠ABC ＝2∠ACB ，∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CD 相交于点D ，且CD ＝AB ，求证：∠A ＝60°．AB C D一、选择题1、D2、C3、A4、C5、D6、D7、D8、B9、C 10、D 二、填空题11.4≠x ； 12.32+-m ； 13.60； 14.-1；15.34； 16.x =-3，1； 17.420480480=+-x x ； 18.31；19.25°； 20.2k =或0<k ≤1. 21.(1)解：原式=).2)(2(3)4(322b a b a ab b a ab -+=-（2）解：原式=[].)1()2()1)(2()2(22222+-=+-=--x x x x x x 22. （1）()11a a -- ；（2）1x =.23.解：∵AE ∥BF ，∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ∴EC =FD ．24.(1)解： 2112()3369mm m m m +÷-+-+＝22(3)(3)(3)2m m m m m-⋅-+＝33m m -+． 当9m =时，原式＝931932-=+． （2）解：∵xy y x yx 3,311-=-∴=- ∴上式=.423146214)(2=----=----xyxy xyxy xy y x xy y x25.解：设自行车速度为x 千米/小时 依题意得：9522020=-x x解方程得x=18.经检验x=18是原方程的解且符合实际意义 2x=36答：自行车的速度是18千米/小时，自驾车的速度是36千米/小时.26.略27.解：CD=AB证明：延长BC 至E 使AE=AB 则∠B=∠E ∵∠B=∠D ∴∠D=∠E∵ 180=∠+∠CAD ACB ∠ACB+∠ACE=180° ∴∠CAD=∠ACE 在ΔCAD 与ΔACE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=E D CAAC ACE ∠=CAD ∠ ∴ΔCAD ≅ΔACE ∴CD=AE ∴CD=AB.28.（1）①过D 作DG ∥AC 交AB 于G∵△ABC 是等边三角形，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠ACB ＝60°∴∠BDG ＝∠ACB ＝60°，∴∠BGD ＝60° ∴△BDG 是等边三角形，∴BG ＝BD ∴AG ＝DC∵CE 是∠ACB 外角的平分线，∴∠DCE ＝120°＝∠AGD ∵∠ADE ＝60°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝120°＝∠ADB ＋∠DAG ∴∠EDC ＝∠DAG ，∴△AGD ≌△DCE∴AD ＝DE②∵△AGD ≌△DCE ，∴GD ＝CE ，∴BD ＝CE∴BC ＝CE ＋DC ＝DC ＋2CF（2）①成立；②不成立，此时BC ＝2CF －CD证明：过D 作DG ∥AC 交AB 延长线于G 以下略A B C D EFGAB C DEF G附加题：1、1309；2、2；3. -24.证明：过点A作AE∥BC交BD延长线于E，连接CE，设AC、BE相交于点O 则∠1＝∠ACB，∠2＝∠3∵∠ABC＝2∠ACB，∴∠3＝∠ACB∴OB＝OC，∠1＝∠2∴OA＝OE又∠AOB＝∠EOC，∴△AOB≌△EOC∴∠BAC＝∠CED，∠5＝∠4＝∠3，AB＝CE ∵CD＝AB，∴CD＝CE∴∠CED＝∠CDE＝∠3＋∠6又∠DCE＝∠5＋∠7，∠6＝∠7∴∠CED＝∠CDE＝∠DCE＝60°∴∠BAC＝∠CED＝60°AB CDE1 234O67 5。