10年江苏高考数学试题及答案

2010年江苏高考数学试题
一、填空题
22
z 的模为______▲________
_▲__ 100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_5、设函数f(x)=x(e x +ae -x ),(x ∈R )是偶函数，则实数a =_______▲_________
简析：由偶函数⇒f(－x)=f(x) ⇒x(e x +ae -x )=－x(e -x +ae x ) ⇒x(e x +e -x )(1+a)=0 ⇒x ∈R a=－
1
6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 2
12=1上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的
距离是___▲_______
7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲_______
简析：读图知这是计算S=1+21+22+…+2n 的一个算法，由S=2n －1≥33且n 为正整数知n=5时跳出循环，此时，输出S=1+21+22+…+25=63
8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____
9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4四个点到直线12x －5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范10、定义在区间(0,π
2)上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1,
直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____ 11、已知函数f(x)=⎩
⎨1 ，x<0,则满足不等式f(1－x 2)>f(2x)的x 的范围是____▲____
12、设实数x,y 满足
3≤xy 2≤8，4≤
x 2y ≤9，则x 3
y
4的最大值是_____▲____ 13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a +a b =6cosC ，则tanC tanA +tanC
tanB =__▲
14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2
梯形的面积,
对S(x)求导，令S '(x)=0，联系0<x<1得x=1
3
，
又0<x<13，S '(x)<0，1
3<x<1，S '(x)>0
所以x=13时S(x)有最小值S(13)=323
3
二、解答题
15、（14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t 满足(AB →－t ·OC →)·OC →
=0=0，求t 的值
简析：⑴据题意，本小问解法不唯一，如利用平行四边形性质求出第四点D ，然后运用两点间距离公式求两对角线；又如，亦可利用向量知识，求向量AB →
与AC →
和、差的模；
两对角线长为210,4 2
⑵因为AB →=(3,5), OC →=(－2,－1)，所以由(AB →－tOC →)·OC →
=0知t=－ 115
16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1,AB=2,AB ∥DC ，∠BCD=900 (1)求证：PC ⊥BC
(2)求点A 到平面PBC 的距离
16题图
A
B
D
P
C
E
A B
D
P
C
F
简析：⑴证：因PD ⊥底面ABCD ，BC 在底面上，所以PD ⊥BC ；
又因∠BCD=900，所以BC ⊥DC ；又PD 、DC 相交于D ，所以BC ⊥平面PDC 又PC 在平面PDC 上，所以BC ⊥PC ，即PC ⊥BC
⑵在底面ABCD 上作AE ∥BC 交CD 延长线于E ，则E 在平面PDC 上； 在平面PDC 上作EF ⊥PC 交PC 于F ，结合⑴推知EF ⊥平面PBC ， 所以垂线段EF 长就是点A 到平面PBC 的距离。

在△PEC 中，利用面积的等积性有 EC ·PD ＝PC ·EF
所以EF=2×1
2
=2，所以点A 到平面PBC 之距为 2
此法求解，主要依据线面平行时，直线上每一点到平面的距离都相等；另外，本题也可以通过构造三棱
锥，利用等积法来求点面距；如三棱锥A －PBC 与三棱锥P －ABC 实为同一个锥，而三棱锥P －ABC 的底面积=12AB ·BC=1，高=PD=1；三棱锥A －PBC 的底面积=12PC ·BC=22
，
所以可求得三棱锥A －PBC 的高为2，亦即点A 到平面PBC 的距离为 2 17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α－β最大
解析：⑴⑵
17题图
d
h β
α
E
A
D
B
C
18.（16分）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x 29+y 2
5=1的左右顶点为A,B ，右焦点为F ，设过点
T(t,m)的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，其中m>0,y 1>0,y 2<0. ⑴设动点P 满足PF 2－PB 2=4,求点P 的轨迹 ⑵设x 1=2,x 2=1
3
，求点T 的坐标
⑶设t=9,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)
19．（16分）设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2=a 1+a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列.
⑴求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）
⑵设c 为实数，对满足m+n=3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m +S n >cS k 都成立。

求证：c 的最大值为9
2
20.（16分）设f(x)使定义在区间(1,+∞)上的函数，其导函数为f '(x).如果存在实数a 和函数h(x)，其中h(x)对任意的x ∈(1,+∞)都有h(x)>0，使得f '(x)]=h(x)(x 2－ax+1)，则称函数f(x)具有性质P(a). ⑴设函数f(x)=h(x)+b+2
x+1
(x>1)，其中b 为实数
①求证：函数f(x)具有性质P(b) ②求函数f(x)的单调区间 ⑵已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x 1,x 2∈(1,+∞)，x 1<x 2，设m 为实数，α=mx 1+(1－m)x 2，β=(1－m)x 1+mx 2，且α>1，β>1，若|g(α)－g(β)|<|g(x 1)－g(x 2)|,求m 的取值范围
【理科附加题】
21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）
⑴几何证明选讲
AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC
D
B
O
⑵矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy 中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k ≠0，k ∈R ，M=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡100k ,N=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1,B 1,C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值
⑶参数方程与极坐标
在极坐标系中，圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值 ⑷不等式证明选讲
已知实数a,b ≥0，求证：a 3+b 3≥ab(a 2+b 2)
22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。

生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。

设生产各种产品相互独立
⑴记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列
⑵求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率
23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数
⑴求证cosA是有理数
益智（Easy）学习2010高考江苏卷·数学2010年6月9日星期三********************
⑵对任意正整数n，求证cosnA也是有理数
11。