2003年中国数学奥林匹克_CMO_在长沙举行
2003年中国数学奥林匹克试题及解答
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中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]
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CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题1987第二届年中国数学奥林匹克1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。
2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。
已知i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。
ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。
试求3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。
4.所有结点上数的总和S。
3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。
结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。
4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。
5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们两两相切。
如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。
6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。
1.设a1, a2, ... , a n是给定的不全为零的实数，r1, r2, ... , r n为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+r n(x n-a n)≦√(x12+ x22+ ... + x n2) + √(a12+ a22+ ... + a n2)对任何实数x1, x2, ... , x n成立，求r1, r2, ... , r n的值。
高中数学竞赛介绍,尖子生请收好
高中数学竞赛介绍，尖子生请收好！首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件：•高考数学可以轻松应对；•对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛；•具备自主学习能力；•高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。
数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。
当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。
为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。
与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。
因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。
此外，数学竞赛学到一定深度后就会发现，数学竞赛不再是由知识结构和解题方法组成，而是对思维能力的培养和运用，而思维能力的价值是远超过数学本身的，这将会对学生以后对问题的思考与对事物的判断等产生不可估量的影响。
当然，这是后话。
说归说，高中数学竞赛指的究竟是什么？我想说的是，绝不仅仅是高联（全国高中数学联赛）这么简单。
下面，我就带着大家理一理高中阶段可能会遇到的竞赛。
1. 全国高中数学联赛全国高中数学联赛旨在选拔在数学方面有突出特长的同学，让他们进入全国知名高等学府，而且选拔成绩比较优异的同学进入更高级别的竞赛，直至国际数学奥林匹克（IMO）。
并且通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生们爱好数学，学习数学，激发学生们的钻研精神，独立思考精神以及合作精神。
2.中国数学奥林匹克（CMO）CMO考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。
每题21分（为IMO试题的3倍，为符合中国人的认知习惯），6个题满分为126分。
颁奖与IMO类似，设立一、二、三等奖，分数最高的约前60名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad,简称IMO）的中国国家集训队。
2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单 xiaoxiaotong.doc
西北工大附中
王小靖
重庆一中
刘伟顺
荃湾公立何传耀纪念中学
钟达智
伊利沙伯中学
戚善翔
上海复旦大学附中
路 亨
山西大学附中
杜金宝
鞍山一中
祝江威
北海中学
崔庸非
东北育才中学
康振宁
攀枝花三中
杨 丹
大连育明中学
张 乐
西北师大附中
曹 晖
东北师大附中
黄海珍
海南中学
魏崟泷
蚌埠二中
王海屹
大庆一中
张 帆
河南师大附中
苏李丹
王 晨
兰州一中
金哲晖
延边市一中
李春雷
东北师大附中
石 磊
河南师大附中
范 翔
江西师大附中
苟江涛
陕西西北工大附中
韩 斐
华罗庚中学
唐 培
重庆市育才中学
金 坚
诸暨中学
王加白
镇海中学
杜 杰
北大附中
蔡雄伟
仙游一中
杨 龙
长沙市一中
余学斌
圣公会白约翰会督中学
林运成
上海中学
萧子衡
顺德联谊总会梁銶琚中学
罗海丰
华南师大附中
2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单
一等奖（19名）
姓 名
学 校
姓 名
学 校
方家聪
华南师大附属中学
高 峰
南通启东中学
沈 欣
华南师大附属中学
王 伟
湖南师大附中
陈 晨
湖北黄冈中学
何忆捷
上海延安中学
黄 皓
华南师大附属中学
邢硕博
北京清华附中
向 振
高中学科竞赛简介
题两部分，满分120分。其中填空题8道，0分。 加试（二试）考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解
答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平
面几何、代数、数论、组合数学等。 根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。
道题，每天三道，每个得分点三分，每题21分；第8天：阅卷（学生参观
考察），主试委员会根据分数确定一、二、三等奖获奖名单；前20至30 名选手进入国家集训队；第9天：闭幕式。 国家集训队3、4月份集训，通过考试选出6人进入国家队，国家队的 考试由平时测验和最后考试两部分组成；平时测验成绩和最后考试成绩 各占一半。六月份进行为期3周的集训，7月份参加IMO，过程同CMO。 中国数学奥林匹克（CMO）：省一和国家一二三等奖有保送高校资格。 省二有自主招生资格，通过自主招生后自动保送。
中国西部数学奥林匹克概述
简介 中国西部数学奥林匹克（Chinese Western Mathematical Olympiad，缩 写为CWMO），是为位于中国西部省份（包括江西）的中学生举办的数学 竞赛，由中国数学奥林匹克委员会举办，一般定于每年11月份举行。目的 是为了鼓励西部地区中学生学习数学的兴趣。自从2001年举办第一届竞赛
东道主。按IMO的规定，每一届的东道主必须向上一届的所有参赛国发出
邀请，而新参加的国家则应当向东道主表明参加的意愿，再由东道主发出 邀请。 1988年第29届，根据香港的建议，IMO首次设立了荣誉奖，奖给那些 虽然未得金、银、铜牌，但至少有一道题得满分的选手。这一措施，大大 调动了各参赛国及参赛选手的积极性。
三、国际数学奥林匹克（IMO）
（2）每个参赛团组织一个参赛队，成员不超过8人，其中队员不超
这八大赛事数竞党必须了解
常有学生问：学竞赛有没有什么秘诀？当然有，秘诀就4个字，勤思多练。
这可不是灌鸡汤，至少在CMO之前，还远没有到需要拼智商或天赋的程度，学好每一个知识点，打牢基础，多刷题，常总结，想不获奖都很难呐。
此外，学竞赛闭门造车是行不通的，多和大佬切磋交流，多见识不同题型，非常非常重要，所以，今天要给大家介绍八大不可错过的赛事，那里高手云集，任思想激扬碰撞，那里好题无数，亦是高联前练兵的好机会。
下面进入正题，首先隆重推出今天要聊的八大赛事：1、中国女子数学奥林匹克2、中国西部数学奥林匹克3、中国东南地区数学奥林匹克4、北方希望之星数学邀请赛5、中国数学奥林匹克协作体夏令营6、中国数学奥林匹克希望联盟数学夏令营7、陈省身杯全国高中数学奥林匹克夏令营8、爱尖子数学能力测评如果你对以上赛事如数家珍，欢迎跳到文末，有历届试题可以下载哦（超级福利）；如果你是萌新，请仔细往下阅读，下面将逐一详细介绍每项赛事的时间、参赛对象、考试形式、奖项等。
（点击可查看大图）中国女子数学奥林匹克简称女奥（CGMO），这是一项专门为女生而设的数学竞赛，参赛对象是高一、高二女生（也有人称之为“妹赛”）。
自首届女奥在珠海举办，迄今已成功举办了16届，比赛时间一般在每年8月中旬。
由全国各省市、港澳台及部分国外代表队各组织一个代表队参赛，另外会邀请近3年承办过女奥的学校各派一个代表队参赛。
每支代表队最多由4名高中女学生和1名领队教师组成。
竞赛分两天，每天4道题，共8道题，每题15分，满分120分，考试时间均为8：00～12：00，试题难度介于全国高中数学联赛和中国数学奥林匹克之间，最终根据成绩评出团体总分第1名和个人金、银、铜牌。
其奖项对高校自主招生及清北学科营有一定参考意义，个人总分前12名的同学可直接进入中国数学奥林匹克（CMO）。
此外，和其他数学竞赛相比，女奥还别具一格地设有健美操团体比赛。
中国西部数学奥林匹克中国西部数学奥林匹克（CWMO），是由中国数学会奥林匹克委员会创办，主要面向中国中西部地区及亚洲地区高一、高二年级学生的数学探究活动。
历届中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)试题解答
√1 42
.
则|zk| = x2k + yk2 |xk| + |yk|.
n
∴ |xk| + |yk| 1.
k=1
∴ | xk| + | xk| + | yk| + | yk| 1.
xk 0
xk <0
yk 0
yk <0
其中必有一项不小于
1 4
,不妨设为第一项,则
|
xk |
1 4
.
xk 0
∴|
zk| = |
1 4
.
√
2xk .
∴
xk
zk√∈A
而4 2 < 6,
√1 42
.∴
∴|
|
zk| =
zk ∈A
zk |
1 6
.
|
xk
zk ∈A
+
i
yk |
zk ∈A
zk ∈A
即A中复数之和的模不小于
1 6
.证毕.
另证:设zk = xk + yki(xk, yk ∈ R, k = 1, 2 . . . , n)
xk
zk ∈A
最后一步是由于x2, x3, . . . , xn > 0, (x2 + · · · + xn)2 = x22 + · · · + x2n +
xixj
2 i<j n
逆命题的证明:对于任意的1
i<j
n,令xi
=
xj
=
1 2
,其余xk均等于0.则
1 2
(ai
+
aj )
2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单
2003中国数学奥林匹克竞赛获奖名单一等奖（19名）姓名学校姓名学校方家聪华南师大附属中学高峰南通启东中学沈欣华南师大附属中学王伟湖南师大附中陈晨湖北黄冈中学何忆捷上海延安中学黄皓华南师大附属中学邢硕博北京清华附中向振长沙市第一中学王国桢甘肃兰州一中万昕成都彭州中学贾敬非东北师大附中刘一峰华东师大第二附中祁涵华中师大一附中林嵩华南师大附属中学孙洪宾耀华中学姜龙石家庄二中周清人大附中梁宏宇北师大实验中学二等奖：（43名）姓名学校姓名学校张凌人上海中学戴午阳东北育才中学周游武钢三中孙婷妮华东师大二附中李杜湖南师大附中张志强华中师大一附中朱庆三华南师大附中齐治雅礼中学刘熠华南师大附中吴昊哈尔滨三中李大州石家庄二中陈苏南洋模范中学沈旭凯杭州二中袁放上海中学陈超河南师大附中洪晓波东北育才中学李先颖湖南师大附中李晓东东北育才中学吴天同淮阴中学马力华东师大二附中张宇北大附中赵亮山东省实验中学王磊武钢三中孙嘉睿深圳高级中学周思慎长沙市一中邹鹏北京汇文中学王晨兰州一中金哲晖延边市一中李春雷东北师大附中石磊河南师大附中范翔江西师大附中苟江涛陕西西北工大附中韩斐华罗庚中学唐培重庆市育才中学金坚诸暨中学王加白镇海中学杜杰北大附中蔡雄伟仙游一中杨龙长沙市一中余学斌圣公会白约翰会督中学林运成上海中学萧子衡顺德联谊总会梁銶琚中学罗海丰华南师大附中三等奖：（69名）姓名学校姓名学校王蓉蓉实验中学张翼飞河南师大附中张伟安庆一中梁举潼南中学张晓光高安中学蔡煊挺诸暨中学郭城威南通启东中学吴博舟山中学曹志敏华罗庚中学陈淞黄冈中学资坤长沙市一中马俊达福州三中刘奇航哈尔滨三中杨启声喇沙书院吴乐秦中山市一中邓昭辉香港道教联合会邓显纪念中学欧觉钧中山市一中张荣华滁州中学黄宇浩桂林中学周云临川一中张鹏程西安交大附中龚伟松盐城中学王崇理镇海中学皇甫秉超河南师大附中袁景瑞唐山一中惠鑫西安交大附中巴蜀中学李君太原外国语学校王晶晶诸暨中学王奇凡南昌十中冯捷成都七中周泽吉武汉二中孔令凯南菁高级中学潘无穷大庆一中郭珩洛阳第一高中李欣鹏实验中学郝征西北工大附中王小靖重庆一中刘伟顺荃湾公立何传耀纪念中学钟达智伊利沙伯中学戚善翔上海复旦大学附中路亨山西大学附中杜金宝鞍山一中祝江威北海中学崔庸非东北育才中学康振宁攀枝花三中杨丹大连育明中学张乐西北师大附中曹晖东北师大附中黄海珍海南中学魏崟泷蚌埠二中王海屹大庆一中张帆河南师大附中苏李丹泉州五中李冬来西南附属中学吴天淋教业中学白雪宁乌鲁木齐一中杜昭南宁三中郭子超元朗商会中学陈虹宇秦皇岛一中刘喆南开中学张尧实验中学贺淳天津一中魏均侨濠江中学程稷人大附中高堃南开中学黄铂东北师大附中齐轶福建师大附中彭闽昱鹰潭市一中。
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BK B2 和 CK C2 的面积相等. 二、求出同时满足如下条件的集合 S 的元素个 数
最大值: ( 1) S 中的每个元素都是不超过 100 的正整数; ( 2) 对于 S 中任 意两个 不同元 素 a, b , 都存在 S
中的元素 c, 使得 a 与 c 的最 大公 约数 等于 1, 并 且 b 与 c 的最大公约数也等于 1;
证明: 在该公司经理的方针之下, 有
( 1) A 1 > A 2 > > A 8 = A 9 = A 10 ; ( 2) 该公司 有超 过 70% 的 可能 性录 取到 能力 最
强的 3 个人之一, 而只有不超过 10% 的 可能录用 到能 力最弱的 3 个人之一.
三、设 a, b , c, d 为正 实数, 满足 ab + cd = 1; 点 Pi ( x i , yi ) ( i = 1, 2, 3, 4) 是以 原点为 圆心的 单位圆 周 上的四个点. 求证:
选手和获得银牌的前三名选手将入选 参加 2003IMO 的中国国家集训队 .
就有
n
tan 1 tan 2 tan n = 22 ,
不大于 .
cos 1 + cos 2+ + cos n
第二天试题
第一天试题
一、设点 I , H 分别为锐角 A BC 的内 心和垂心, 点 B 1 , C 1 分 别 为边 A C, A B 的中 点. 已 知射 线 B 1 I 交边 A B 于点 B2 ( B 2 B) , 射线 C 1 I 交 A C 的延长 线 于点 C2 , B2 C2 与 BC 相 交 于 K , A 1 为 BH C 的 外 心. 试 证: A , I, A 1 三 点 共 线 的 充 分 必 要 条 件 是
过的人, 就录用他; 否则就不录用, 继续面试下一 个. 如 果前 9 个人都不录用, 那么就录用最后一个面试的人.
假定这 10 个 人的 能力 各不 相 同, 可以 按 能力 由 强到弱排为第 1, 第 2, , 第 10. 显然该 公司到底 录用
到哪 一个人, 与这 10 个 人 报 名 的顺 序 有 关. 大 家 知 道, 这样的排列共有 10! 种. 我们以 A k 表 示能力第 k 的人 能够被 录用 的 不同 报名 顺 序 的数 目, 以 A k 10! 表示他被录用的可能性.
一、求所有满足 a 2, m 2 的三元正整数 组( a, m, n) , 使得 an + 203 是 am + 1 的倍数.
二、某公司需要录用一名秘书, 共有 10 人报 名, 公 司经理决定按照求 职报名 的顺序 逐个面试, 前 3 个人
面试后一定不录用. 自第 4 个人开 始将他 与前面 面试 过的人相比较, 如 果他的能 力超过 了前面 所有已 面试
( 3) 对于 S 中任 意两个 不同的元 素 a, b , 都存 在 S 中异于 a, b 的元素 d , 使得 a 与 d 的最大 公约数 大 于 1, 并且 b 与 d 的最大公约数也大于 1.
三、给定正整数 n , 求最 小的正 数 , 使得 对于 任
何 i ( 0, 2 ) , ( i= 1, 2, , n) , 只要
2003 年中国数学奥林匹克( CMO) 在长沙举行
由中国数学会主办的 2003 年中国数学奥林匹克( 第 18 届全国中学生数学冬令营) 于 2003 年
1 月 13 日至 18 日在湖南长沙举行. 本届冬令营的承办单位是长沙一中, 这是第二次在中学举办
CM O, 第一次是去年在上海中学. 著名数学家陈省身教授、中国数学奥林匹克委员会主席王元院
( ay 1 + by 2 + cy 3 + dy 4 ) 2 + ( ax 4 + bx 3 + cx 2 +
dx 1) 2
2(
a
2
+ ab
b2
+
c
2
+ cd
d2)源自.本刊主编: 吴建平
广告经营许可证: 京海工商广字第 0155 号
国内邮发代号: 2- 519
国外发行代号: M 5448
每册定价: 3. 00 元
士都为本次活动题词.
来自内地、香港、澳门以及俄罗斯的共 36 支代表队的 157 名营员参加了活动. 经过两场比赛
( 每场 4 个半小时、做 3 道题) , 广东省代表队取得团体总分第一名, 荣获 陈省身杯 . 方家聪等 19
名同学取得金牌, 张凌人等 45 名同学取得银牌, 王蓉蓉等 73 名同学取得铜牌. 获得金牌的所有