[研究生入学考试]赵树源线性代数_线性代数第1讲
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人民大2024赵树嫄《线性代数(第六版)》PPT第四章 特征值问题和矩阵的对角化
第四章
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：
研究生入学考试线性代数第讲PPT课件
上述在Fn中定义的向量加法和数乘运算称为向量的线性运算,
满足八条运算规则:
(1) a+b=b+a (加法交换律);
(2) (a+b)+g=a+(b+g) (加法结合律);
(3) 对任一向量a, a+0=a;
(4) 对任一向量a, 存在负向量-a, 使a+(-a)=0
(5) 1a=a;
(6) k(la)=(kl)a
2021/5/17
9
第9页/共34页
定义2 设a=[a1,a2,...,an],b=[b1,b2,...,bn]Fn, kF, 定义 (i) a=b, 当且仅当ai=bi(i=1,2,...,n) (ii) 向量加法(或a与b之和)为
a+b=[a1+b1,a2+b2,...,an+bn];
(iii) 向量的数量乘法(简称数乘)为
向量线性表示.
a3
a2
a3=l1a1+l2a2
a1=l3a3+0a2
2021/5/17
O
a1
a3
O
第15页/共34页
a2 15 a1
两种情况都等价于: 存在不全为0的数k1,k2,k3, 使 k1a1+k2a2+k3a3=0; 若a1,a2,a3不共面, 则任一个向量都不能由另两个向量线性表 示, 即只有当k1,k2,k3全为零时, 才有k1a1+k2a2+k3a3=0.
a=[a1,a2,...,an],
(3.2)
其中ai称为a的第i个分量.
向量写作(3.2)的形式, 称为行向量; 向量写作列的形式(也用
矩阵的转置记号表示)
线性代数3-3(第四版)赵树嫄
《线性代数》(第四版)教学课件
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例4 判断向量组
1(1 2 0 1) 2(1 3 0 1) 3(1 1 1 0)
是否线性相关
解 对矩阵(1T 2T 3T)施以初等变换化为阶梯形矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 0
3 0
1 1
0 0
1 0
1 1
0 0
即1 2线性相关
《线性代数》(第四版)教学课件
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(二)关于线性组合与线性相关的定理
定理37
向量组1 2 s(s2)线性相关的充分必要条件是 其
中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合
定理38
如果向量组1 2 s 线性相关 而1 2 s线性无 关 则向量可由向量组1 2 s线性表示且表示法唯一
定理36 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关 则整
个向量组线性相关 此定理也可叙述为 线性无关的向量组中任何一部分组
皆线性无关 例6 含零向量的向量组线性相关 因零向量线性相关 由定理36可知 该向量组也线性相关
《线性代数》(第四版)教学课件
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(二)关于线性组合与线性相关的定理
k1()k2()k3()0
成立 整理得
(k1k3)(k1k2)(k2k3)0 因为向量组 线性无关 故
k1 k1
k2
k3 0 0
k2 k3 0
该方程组的系数行列式D20
所以该方程组只有零解k1k2k30
从而 线性无关
提示
101 D 1 1 0 20
011
《线性代数》(第四版)教学课件
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线性代数(人大版赵树嫄编)第一章行列式课件刘国刚资料
2020/10/11
广东财经大学数学与统计学院 刘国刚
第一章 行列式
▪ 本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计 算方法．此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性 方程组的克莱姆(Cramer)法则．
2020/10/11
广东财经大学数学与统计学院 刘国刚
§1.1 二阶、三阶行列式
2020/10/11
a32 a33
a11 a12 a13
＋
a11 D a21
a31
a12 a13 a22 a 23
a32 ＋a33
a21 a22 a 23
a3－1 a32 a33 －
＋
a11a a 22 33 a12a a 23 31 a13a a 21 32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
D1
b1 b2
a12 a22
b1a22 a12 b2
D2
a11 a21
b1 a11 b2 b1 a21
b2
x1
b1a22 a12b2
a11a2D 2 a12a21
x1
D1 D
x2
D2 D
a11 x1 a12 x2 b1
a21
x1
a22 x2
b2
x2
a11b2 b1a21
(1)
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
a11 a12 a13
D a21 a22 a23
a31 a32 a33
2020/10/11
称为三阶行列式
广东财经大学数学与统计学院 刘国刚
当
a11
D a21
a31
x1
D1 D
x2
D2 D
第1讲行列式
ri krj ci kc j
a11 D a21 an1
a1 j a2 j anj
a1i a2i ani
a1n a2 n ann
a11 ci kc j a21 an1
a1 j a2 j anj
a1i ka1 j a2i ka2 j ani kanj
a1n a2 n ann
例2 计算
1 2 D 0 1
0 1 1 3
1 3 0 4
2 1 1 2
解
1 0 D 0 0
利用性质化成上三角形行列式
0 1 1 3 1 1 0 5 2 5 1 4
1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 5 1 6 2 19
1 0 0 0
0 1 2 1 1 5 31 0 1 6 0 0 31
1 0 0 0
2 1 0 0
4 4 88 10 22
例4 计算
2 1 D 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
解： 这个行列式有一个很特殊的特点：
其每一行的元素之和均为5。
c1 c 3 5 c1 c 2 5
c1 c 4
D
5 5
r4 r1
1 2 1 1
1 1 2 1
计算方法： 对角线法则
主对角线及平行于主对角线的元素的 乘积冠正号。 副对角线及平行于副对角线的元素的 乘积冠负号。
例 1： 计算三阶行列式
解：
注：对角线法只适用于二、三阶行列式。
三、排列与逆序数
定义1 由正整数1，2，……, n 组成的一个
有序数组称为一个n级排列（permutation） n级排列的个数共有 n！种。 即 1，2，……, n 。的全排列。我们关心的是
《线性代数第1讲》课件
03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于 科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律 。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运 算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩 等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程 组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程 组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分 解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判 断矩阵的稳定性，从而了解系统 的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值 和特征向量的方法进行信号的滤 波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值 和特征向量的方法进行数据的压 缩和重构，提高数据的存储和传 输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、
赵树嫄-《线性代数(第五版)》第一章 行列式
(二) n 阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
(1) 三阶行列式共有 3! = 6 项． (2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． (3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个
a12a31b2 a11a22b3 a12a21b3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
10
x3
b1a21a32 a11a22a33
a22a31b1 a11a32b2 a12a23a31 a13a21a32
a12a31b2 a11a22b3 a11a23a32 a12a21a33
(a12a31 a11a32 ) x2
(a13a31 a11a33 ) x3
a31b1 a11b3
(a22 )
(a22a31 a21a32 ) x2 (a23a31 a21a33 ) x3 a31b2 a21b3 a12
x3
b1a21a32 a22a31b1 a11a32b2 a11a22a33 a12a23a31 a13a a21 32
1 1 1
0 1 1
1 2 1
1 2 2
D2 2 1 3 10, D3 2 1 1 5,
1 0 1
1 1 0
故方程组的解为
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
线性代数知识点
考研数学知识点－线性代数第一讲 基本知识二．矩阵和向量 ① A ② ( A③c( + + A 1．线性运算与转置B B + =) B 反对称矩阵B +A +C = A + ( B + C ) 初等变换分 ) =cA + cB ( c + d ) A = cA +dAA T= 三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵 ⎧ ⎨−A 。
初等行变换初等列变换⎩ 三类初等行变换 ④c ( dA ) = ( cd )A ①交换两行的上下位置⑤ cA = 0 ⇔ c = 0 或 A = 0 。
A → B向量组的线性组合 ②用非零常数 c 乘某一行。
③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）α ,α , Λ ,α ，1 2 s 阶梯形矩阵⎛4 1 0 2 0 ⎞c α + c α + Λ + c α 。
1 12 2 s s ⎜ ⎟ 1 0⎜ 0 − 1 2 5 1 ⎟转置2 1⎜ ⎟0 0 0 2 3 ⎜ ⎟ 4 3 ⎜ ⎟ A 的转置 A T （或 A ′ ）0 0 0 0 0 ⎝ ⎠T ①如果有零行，则都在下面。
T ( A ) = A ②各非零行的第一个非 0 元素的列号自上而下严格 单调上升。
TT T ( A ± B ) = A ± B或各行左边连续出现的 0 的个数自上而下严格单调 T T 上升，直到全为 0 。
( c A ) = c ( A ) 。
台角：各非零行第一个非 0 元素所在位置。
简单阶梯形矩阵：3． n 阶矩阵3．台角位置的元素都为 1n 行、 n 列的矩阵。
4．台角正上方的元素都为 0。
对角线，其上元素的行标、列标相等 a , a ,Λ 11 22 每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单 ⎛ * 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 阶梯形矩阵。
对角矩阵 ⎜ 0 * 0 ⎟ 如果 A 是一个 n 阶矩阵⎜ ⎟ 0 0 * ⎝ ⎠ A 是阶梯形矩阵 ⇒ A 是上三角矩阵，反之不一定，如⎛ 3 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 数量矩阵 0 3 0 = 3E ⎛ 0 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 是上三角，但非阶梯形 0 0 3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 单位矩阵 ⎜ 0 1 0 ⎟ E 或I 四．线性方程组的矩阵消元法 ⎜ ⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠ 用同解变换化简方程再求解三种同解变换：⎛ * * * ⎞⎜ ⎟ ①交换两个方程的上下位置。
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19
(2) 在一般情形, 设原排列为 Aik1k2…ks jB 经过对换(i, j)变为新排列 Ajk1k2…ks iB 由原排列中将数码i依次与k1,k2,…,ks,j作 s+1次相邻对换, 变为 Ak1k2…ks jiB 再将j依次与ks,…,k2,k1作s次相邻对换得 到新排列, 即新排列可由原排列经过2s+1 次相邻对换得到, 改变了奇数次奇偶性, 因此与原排列的奇偶性相反.
解:
a21>0 当且仅当|a|>1
11
§1.2 n阶行列式
12
(一)排列与逆序 由n个不同数码1,2,…,n 组成的有序数组 i1i2…in, 称为一个n级排列. 例如, 1234及2341都是4级排列, 25413是 一个5级排列.
13
定义 1.1 在一个n级排列i1i2…in中, 如果 有较大的数it排在较小的数is前面(is<it), 则称it与is构成一个逆序. 一个n级排列中 逆序的总数, 称为它的逆序数, 记为 N(i1i2…in) 如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇 数则称为奇排列, 是偶数或0则称为偶排 列.
22
(二) n阶行列式的定义 观察二阶行列式和三阶行列式: a11 a12 a11a22 a12 a21 a21 a22
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a11a22 a33 + a12 a23a31 a33 + a13a21a32 a11a23a32
a12 a21a33 a13a22 a31
20
定理1.2 n个数码(n>1)共有n!个n级排列, 其中奇偶排列各占一半.
21
证: n级排列的总数为n(n1)…21=n!, 设其中奇排列为p个, 偶排列为q个. 设想将每一个奇排列都施以同一的对换, 例如都对换(1,2), 则由定理1.1可知p个奇 排列全部变为偶排列, 于是有pq; 同理如 将全部偶排列也都施以同一对换, 则q个 偶排列全部变为奇排列, 于是又有qp, 所 以得出p=q, 即奇偶排列数相等, 各为n!/2 个. 用三级排列验证, 见表1-1, 奇偶排列各三 个
线性代数第1讲
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1
第一章 行列式
§1.1 二阶,三阶行列式
2
(一) 二阶行列式
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
a12
a11
a21
a22 +
3
例1.
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
17
定理1.1 任意一个排列经过一个对换后 奇偶性改变.
18
证: (1) 首先讨论对换相邻两个数码的情形, 设排列为 AijB 其中A,B表示除i,j以外的 其余数码, 经过 对换(i, j), 变为排列 AjiB 比较上面两个排列中的逆序, 显然, AB中 数码的次序没有改变,且i,j与A,B中数码次 序也没有改变, 仅改变了i与j的次序, 因此, 新排列仅比原排列增加或减少了一个逆 序, 所以它们的奇偶性相反.
1 0 6
9
例2. a,b满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解:
a b 0 2 2 b a 0 a + b 1 0 1
若要a2+b2=0, 必须a=0且b=0.
10
例3.
a 1 0 1 a 的充分必要条件是什么 0 0 ? 4 1 1 a 1 0 2 1 a 0 a 1 4 1 1
排列 逆序 逆序数 奇偶性
1列
奇排列
213
231
21
21, 31
1
2
奇排列
偶排列
312
321
31, 32
21,31,32
2
3
偶排列
奇排列
16
在一个排列i1…is…it…in中, 如果仅将它 的两个数码is与it对调, 其它数码不变, 得 到另一个排列, 这样的变换, 称为一个对 换, 记为 对换(is,it). 例如, 对排列21354施以 对换(1,4)后得到 排列24351.
14
例如, 排列23154中, 2在1前面, 3在1前面, 5在4 前面, 共有3个逆序, 即 N(23154)=3, 所以23154为奇排列. 排列12…n的逆序数是零, 是偶排列. 例如, 由1,2,3这3个数码组成的3个数码组成的 3级排列共有3!=6种. 其排列情况可列成表.
15
表1-1
4
例2. 设
D
2
1
3
问: (1) 当为何值时D=0
(2) 当为何值时D0
5
解:
D
2
1
3
3
2
23=0, 则=0, =3.
因此可得 (1) 当=0或=3时D=0, (2) 当0且3时D0.
6
(二) 三阶行列式
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a11a22 a33 + a12 a23a31 a33 + a13a21a32 a11a23a32
a12 a21a33 a13a22 a31
7
画线法记忆 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
+ +
+
8
例1.
1 4
2 3 0 5 1 0 6 + 2 5 ( 1) + 3 4 0 1 5 0 2 4 6 3 0 (1) 10 48 58
25
(2) 每一项的符号是, 当这一项中元素的 行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列 标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排 列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数 时取正号, 为奇数时取负号. 根据这个规律, 可给出n阶行列式的定义.
23
(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的 列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的 乘积可以表示为 a1 j1 a2 j2 j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21) 时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符 号), 共为2!=2项.
24
三阶行列式表示所有位于不同的行不同 的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素 的乘积可以表示为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 j1j2j3为三级排列, 当j1j2j3取遍了3级排列时, 即得到三阶行列式的所有项(不包含符号), 共为3!=6项.
(2) 在一般情形, 设原排列为 Aik1k2…ks jB 经过对换(i, j)变为新排列 Ajk1k2…ks iB 由原排列中将数码i依次与k1,k2,…,ks,j作 s+1次相邻对换, 变为 Ak1k2…ks jiB 再将j依次与ks,…,k2,k1作s次相邻对换得 到新排列, 即新排列可由原排列经过2s+1 次相邻对换得到, 改变了奇数次奇偶性, 因此与原排列的奇偶性相反.
解:
a21>0 当且仅当|a|>1
11
§1.2 n阶行列式
12
(一)排列与逆序 由n个不同数码1,2,…,n 组成的有序数组 i1i2…in, 称为一个n级排列. 例如, 1234及2341都是4级排列, 25413是 一个5级排列.
13
定义 1.1 在一个n级排列i1i2…in中, 如果 有较大的数it排在较小的数is前面(is<it), 则称it与is构成一个逆序. 一个n级排列中 逆序的总数, 称为它的逆序数, 记为 N(i1i2…in) 如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇 数则称为奇排列, 是偶数或0则称为偶排 列.
22
(二) n阶行列式的定义 观察二阶行列式和三阶行列式: a11 a12 a11a22 a12 a21 a21 a22
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a11a22 a33 + a12 a23a31 a33 + a13a21a32 a11a23a32
a12 a21a33 a13a22 a31
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定理1.2 n个数码(n>1)共有n!个n级排列, 其中奇偶排列各占一半.
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证: n级排列的总数为n(n1)…21=n!, 设其中奇排列为p个, 偶排列为q个. 设想将每一个奇排列都施以同一的对换, 例如都对换(1,2), 则由定理1.1可知p个奇 排列全部变为偶排列, 于是有pq; 同理如 将全部偶排列也都施以同一对换, 则q个 偶排列全部变为奇排列, 于是又有qp, 所 以得出p=q, 即奇偶排列数相等, 各为n!/2 个. 用三级排列验证, 见表1-1, 奇偶排列各三 个
线性代数第1讲
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第一章 行列式
§1.1 二阶,三阶行列式
2
(一) 二阶行列式
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
a12
a11
a21
a22 +
3
例1.
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
17
定理1.1 任意一个排列经过一个对换后 奇偶性改变.
18
证: (1) 首先讨论对换相邻两个数码的情形, 设排列为 AijB 其中A,B表示除i,j以外的 其余数码, 经过 对换(i, j), 变为排列 AjiB 比较上面两个排列中的逆序, 显然, AB中 数码的次序没有改变,且i,j与A,B中数码次 序也没有改变, 仅改变了i与j的次序, 因此, 新排列仅比原排列增加或减少了一个逆 序, 所以它们的奇偶性相反.
1 0 6
9
例2. a,b满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解:
a b 0 2 2 b a 0 a + b 1 0 1
若要a2+b2=0, 必须a=0且b=0.
10
例3.
a 1 0 1 a 的充分必要条件是什么 0 0 ? 4 1 1 a 1 0 2 1 a 0 a 1 4 1 1
排列 逆序 逆序数 奇偶性
1列
奇排列
213
231
21
21, 31
1
2
奇排列
偶排列
312
321
31, 32
21,31,32
2
3
偶排列
奇排列
16
在一个排列i1…is…it…in中, 如果仅将它 的两个数码is与it对调, 其它数码不变, 得 到另一个排列, 这样的变换, 称为一个对 换, 记为 对换(is,it). 例如, 对排列21354施以 对换(1,4)后得到 排列24351.
14
例如, 排列23154中, 2在1前面, 3在1前面, 5在4 前面, 共有3个逆序, 即 N(23154)=3, 所以23154为奇排列. 排列12…n的逆序数是零, 是偶排列. 例如, 由1,2,3这3个数码组成的3个数码组成的 3级排列共有3!=6种. 其排列情况可列成表.
15
表1-1
4
例2. 设
D
2
1
3
问: (1) 当为何值时D=0
(2) 当为何值时D0
5
解:
D
2
1
3
3
2
23=0, 则=0, =3.
因此可得 (1) 当=0或=3时D=0, (2) 当0且3时D0.
6
(二) 三阶行列式
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a11a22 a33 + a12 a23a31 a33 + a13a21a32 a11a23a32
a12 a21a33 a13a22 a31
7
画线法记忆 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
+ +
+
8
例1.
1 4
2 3 0 5 1 0 6 + 2 5 ( 1) + 3 4 0 1 5 0 2 4 6 3 0 (1) 10 48 58
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(2) 每一项的符号是, 当这一项中元素的 行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列 标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排 列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数 时取正号, 为奇数时取负号. 根据这个规律, 可给出n阶行列式的定义.
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(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的 列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的 乘积可以表示为 a1 j1 a2 j2 j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21) 时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符 号), 共为2!=2项.
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三阶行列式表示所有位于不同的行不同 的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素 的乘积可以表示为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 j1j2j3为三级排列, 当j1j2j3取遍了3级排列时, 即得到三阶行列式的所有项(不包含符号), 共为3!=6项.