1-1双曲线导学案.doc
高二数学 2.2.2双曲线的简单几何性质导学案(1)新人教A版选修1-1
高中数学 2.2.2双曲线的简单几何性质(1)导学案 【自主学习】（预习教材P49~ P51） 问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y a b-=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b±=．问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．【合作探究】例1．（教材P51例3）求双曲线22916144y x-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；⑶渐近线方程为23y x=±，经过点9(,1)2M-．【目标检测】1．双曲线221168x y-=实轴和虚轴长分别是（）．A．8、42 B．8、22 C．4、42 D．4、22 2．双曲线224x y-=-的顶点坐标是（）．A．(0,1)± B．(0,2)± C．(1,0)± D．（2,0±）3．双曲线22148x y-=的离心率为（）．A．1 B．2 C．3D．2 4．双曲线2241x y-=的渐近线方程是．5、已知双曲线的离心率2e=(5,3)M-，求其标准方程。
人教B版选修(1-1)2.2.2《双曲线的几何性质》word学案
§2.2.2双曲线的简单几何性质（1）能类比椭圆的几何性质的研究方法，探究并掌握双曲线的简单几何性质。
（2）能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚轴、焦点、离心率、渐近线学习重点及难点：由双曲线的方程求其相关几何性质；利用双曲线的性质求双曲线方程．使用说明： （1）预习教材P 49~ P 51，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；预习案（20分钟）一．知识链接前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？ 二．新知导学（1）双曲线14322=-y x 的实轴长和虚轴长分别是( ) 组长评价： 教师评价：A. 32， 4B.4，32C.3，4D. 2，3 （2）如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为( )A.23 B. 26C. 23D.2（3）双曲线222516400x y -=的实轴长等于 ，虚轴长等于 ，顶点坐标为 ， 焦点坐标为 ，渐近线方程为 ，离心率等于 ．探究案（30分钟）三．新知探究 【知识点一】【例1】求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程【例2】求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e (5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．【知识点二】双曲线第二定义【例3】点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（大于1）的点的轨迹是双曲线【知识点三】过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30 的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB 思考：1AF B ∆的周长？四．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1） （ ） （2） （ ） （3） （ ）（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）随堂评价（15分钟）※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：15分钟 满分：30分）计分：1．双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是（ ）．A ．8、B ．8、C ．4、D ．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±） 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．1 B. C. 1 D. 24．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.5．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．6．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围课后巩固（30分钟）1.双曲线22169144x y -=-的渐近线的方程是（ ）A ．169y x =±B ．169x y =±C ．43y x =±D ．43x y =± 2.过点()2,2-且与双曲线2222x y -=有共同渐近线的双曲线的方程是（ ）A ．22142x y -+= B ．22142x y -= C ．22124x y -+= D ．22124x y -= 3.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率是（ ）A B C ．2 D 4.等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则它的标准方程是（ ）A ．2218x y -=- B ．2218x y -= C ．228x y -=- D ．228x y -=5已知方程22152x y k k -=--的图形是双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．5k >B ．522k k >-<<或C ．2k >或k<-2D ．22k -<<6．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅的值为（ ）．A ．212B ．84C ．3D ．21 7.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上的一点，12,F F 分别是左右焦点，且焦距为2c ，则12PFF ∆的内切圆的圆心的横坐标是（ ）A ．a B ．b C ．c D ．a b c ++ 8.经过双曲线2213y x -=的右焦点2F 作倾斜角为030的直线，与双曲线交于,A B 两点，求：（1）AB ；（2）1F AB ∆的周长（1F 是双曲线的左焦点）。
高中数学选修1,1《双曲线》教案
高中数学选修1,1《双曲线》教案高中数学选修1-1《双曲线》教案【一】教学准备教学目标教学目标: 1.能用与椭圆对比的方法分析并掌握双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质;2.掌握双曲线的渐近线的概念和证明;3.明确双曲线标准方程中a、b、c的几何意义;4.能根据双曲线的几何性质确定双曲线的方程, 并解决简单问题.教学重难点教学重点: 双曲线的几何性质教学难点: 双曲线的渐近线教学过程教学过程:一、知识回顾:1. 双曲线的标准方程;2. 椭圆的几何性质及其研究方法.二、课堂新授:1. 要求学生按照研究椭圆几何性质的方法, 研究双曲线的几何性质.(1) 范围: 双曲线在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内.(2) 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的. 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3) 顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做双曲线的顶点.顶点坐标A1 (-a, 0), A2 (a, 0)① 线段A1A2叫做双曲线的实轴, 它的长等于2a, a叫做双曲线的实半轴长.② 双曲线与y轴没有交点, 取点B1 (0,-b)、 B2 (0, b), 线段B1B2叫做双曲线的虚轴, 它的长等于2b, b叫做双曲线的虚半轴长.(4) 离心率: 双曲线的焦距与实轴长的比e = , 叫做双曲线的离心率.双曲线的离心率的取值范围是(1, +∞).2. 双曲线的渐近线(1) 观察: 经过A2、A1作y轴的平行线x = ±a, 经过B2、B1作x 轴的平行线y = ±b, 四条直线围成一个矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程是y =±x, 观察可知: 双曲线的各支向外延伸时, 与这两条直线逐渐接近.(2) 证明: 取双曲线在第一象限内的部分进行证明. 这一部分的方程可写为高中数学选修1-1《双曲线》教案【二】教学准备教学目标1、熟练掌握曲线的方程和方程的曲线概念;2、掌握坐标法和解析几何的概念3、掌握根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤;4、学会根据已知条件求简单的平面曲线的方程。
双曲线导学案1
双曲线及其标准方程一、学习目标1、能口述：双曲线的定义和标准方程。
2、会利用双曲线的定义求双曲线的标准方程。
会与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．3、本节课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．4．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．5．难点：双曲线的标准方程的推导．二、情景导入，问题引领：1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)老师：如果把椭圆的定义中的和变成差呢?同学们能求一下它的轨迹方程吗？三、自主学习1、类比椭圆得出双曲线的概念2、类比椭圆得出双曲线的标准方程四、合作探究1、双曲线的定义把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？（1）、简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．（2）、类比椭圆设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答：问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答：问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答：问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？请学生回答：（3）．定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．2、双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．五、典型例题书上相关例题六、练习及其巩固，布置作业。
人教新课标版数学高二选修1-1导学案 双曲线及其标准方程
2.2.1双曲线及其标准方程【教学目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.2.1双曲线及其标准方程》课件“新课导入”部分，通过一首有趣而形象的诗歌及几幅美观的图片，引入本节课要学习的双曲线及其标准方程的知识.二、自主学习知识点一双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支；(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二双曲线的标准方程(1)两种形式标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a 、b 、c 的关系式a 2＋b 2＝c 2(2)如果含x 2项的系数为正数，那么焦点在x 轴上，如果含y 2项的系数是正数，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 与b 无截然的大小关系，因而不能像椭圆那样，通过比较a 与b 的大小来确定其焦点位置．三、合作探究问题1 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF 1|－|MF 2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2|－|MF 1|＝常数，可得到另一条曲线．问题2 双曲线的标准方程的推导过程是什么？答案 (1)建系：以直线F 1F 2为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M (x ，y )是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (3)列式：由|MF 1|－|MF 2|＝±2a ， 可得x ＋c2＋y 2－x －c 2＋y 2＝±2a .①(4)化简：移项，平方后可得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)． 令c 2－a 2＝b 2，得双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．② (5)验证：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x ，y )为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程．(此步骤可省略)问题3 双曲线中a ，b ，c 的关系如何？与椭圆中a 、b 、c 的关系有何不同？ 答案 双曲线标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，其中c >a ，c >b ，a 与b 的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 大小不确定．探究点1 双曲线定义的理解及应用例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4(2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．答案 (1)A(2)x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 (1)当|PF 1|－|PF 2|＝±3时，||PF 1|－|PF 2||＝3<|F 1F 2|＝4，满足双曲线定义， P 点的轨迹是双曲线．(2)如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2－y 28＝1 (x ≤ －1)．反思与感悟 双曲线定义的两种应用：(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时，一定要注意双曲线定义中的各个条件，不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数，就认为其轨迹是双曲线，还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零，否则就不是双曲线．(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，可以使运算量大大减小，同时提高解题速度和质量.其基本步骤为：①寻求动点M 与定点F 1，F 2之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)；③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c ；④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程． 探究点2 待定系数法求双曲线的标准方程例2 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．解 (1)由已知可设所求双曲线方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)方法一 设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意易求得c ＝2 5.又双曲线过点(32，2)，∴322a 2－4b2＝1. 又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8. 故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.方法二 设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4，∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2＜k ＜a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 探究点3 双曲线定义的综合应用例3 已知A ，B 两地相距2000m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4s ，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解 如图，建立直角坐标系xOy ，使A ，B 两点在x 轴上，并且坐标原点O 与线段AB 的中点重合．设爆炸点P 的坐标为(x ，y )， 则|P A |－|PB |＝340×4＝1 360. 即2a ＝1 360，a ＝680. 又|AB |＝2 000，所以2c ＝2 000，c ＝1 000，b 2＝c 2－a 2＝537 600. 因为|P A |－|PB |＝340×4＝1 360>0，所以x >0.因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为x 2462 400－y 2537 600＝1(x >0)．反思与感悟 结合双曲线的定义，解决综合问题，诸如：实际应用题，焦点三角形问题等，要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，利用化归思想，重点考查综合运用能力与求解能力．四、当堂测试1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 216－y 29＝1(x ≤－4) B.x 29－y 216＝1(x ≤－3) C.x 216－y 29＝1(x ≥4) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 答案 D解析 |PF 1|－|PF 2|＝6<|F 1F 2|＝10，根据双曲线的定义可得D 正确． 2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( )A.12 B ．1或－2 C ．1或12D ．1答案 D解析 由于a ＞0,0＜a 2＜4，且4－a 2＝a ＋2，所以可解得a ＝1，故选D. 3．若方程x 210－k ＋y 25－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A ．(5,10)B ．(－∞，5)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，5)∪(10，＋∞) 答案 A解析 由题意得(10－k )(5－k )<0，解得5<k <10.4．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.答案 16解析 由已知条件知m ＋9＝52，所以m ＝16.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，将x M ＝5，代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点 的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别与联系：程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值．。
新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
选修1-1双曲线性质导学案
5．求满足下列条件的双曲线方程： (1) 离心率为 54，半虚轴长为 2； (2) 与椭圆 x2＋ 5y2＝ 5 共焦点且一条渐近线方程为 y－ 3x＝ 0.
．
§1.3.2
双曲线的简单几何性质
当堂训练
1．双曲线 2x2－ y2＝ 8 的实轴长是 (
)
A． 2
B．22
C． 4
D． 42
2．双曲线 mx2＋ y2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m的值为 (
)
A．－ 14
B．－ 4
C． 4
D.14
3．若双曲线 x28－ y2m＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x，则实数 m等于 ( )
A．4 B．8
C．16 D．32
4．若直线 x＝ a 与双曲线 x24－ y2＝ 1 有两个交点，则 a 的值可以是 (
)
A．4 B．2
C．1 D．－ 2
5．设 a>1，则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( )
§ 1.3.2
双曲线的简单几何性质
编制：曹树建
审核：陈李琼
学习目标：
1． 掌握双曲线的简单几何性质．
2． 了解双曲线的渐近性及渐近线的概念．
曲线的简单几何性质
学习难点： 双曲线的渐近性及渐近线
课前预习案
教材助读：
阅读教材 56-58 页的内容，思考并完成下列问题：
()
A.x24 － y212 ＝ 1
1
D.x26 －y210＝1
B.x212 － y24 ＝ 1
C.x210 － y26 ＝
3．双曲线的渐近线方程为 y＝± 34x，则双曲线的离心率是 ( )
A.54
B．2
C.54 或 53
苏教版选修1-1高中数学双曲线教案
双曲线【考点透视】 一、考纲指要熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 二、命题落点1．考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程，以及标准方程中a,b,c 之间的关系,两渐近线间的夹角的求法，如例1.2．双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例2;3．考查等边三角形的性质，焦点三角形公式及离心率公式，灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的运算，突出观察研究能力的考查，如例3. 【典例精析】例1：已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º解析:双曲线的右焦点F(c,0)，右准线方程为x=c a 2,一条渐近线方程为y=a b x ，可得点A 的坐标（c a 2，c ab ），△OAF 的面积S △OAF=21OF│YA│=21c ab c ⋅=21ab,又题意已知S △OAF=21a2,所以a=b,两条渐近线间的夹角为900 .答案： D例2：已知双曲线2212yx -=的焦点为F1、F2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53 C． D解析: 设M 到x 轴的距离为h，∵1,a b c ==， 又∵222121212012(2)MF MF MF MF c MF MF ⋅=⇒⊥⇒+==，由双曲线定义得22121212||224MF MF MF MF MF MF ⋅-=⇒+-=，再由1212121122MF F MF MF F F h S ⋅∆=⨯=⨯⋅，∴h =. 答案： C例3：已知F1、F2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+解析:令12(,0),(,0)F c F c -，边MF1交双曲线于点N ，连结2F N 易知的边长，且点必在轴上，可得的坐标（0）又为正三角形由焦点三角形面积公式121122121290MF F F F C M y M MF F F N MF F NF =\\^\?\oV QV又又c又e=a12121222122222222cot211122222(11NF F NF F MF F F NF S b b S S C b b c a a c e Ð====鬃==-\=-\===+V V V Q Q Q答案： D例4.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.解析:如图所示，PF QF ⊥且PF QF =，2(,0)(,)a ab Fc Pc c ,在PFQ ∆中MF =， OF OM -=． ①(PF =② 2,aO F c O Mc == ③将②③代入①式化简得：2a c e c a ===答案【常见误区】1．对双曲线离心率、双曲线渐近线等基本知识考察时, 应想法利用已知曲线构造等式,从而解出,c a 的比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例3、例4. 2．解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考生常会忽视,如例1、例2. 【基础演练】1．已知双曲线2239x y-=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A ． C ．2D ． 42．设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 （ ）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±3．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，12||||||MF MF -是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是 （ ）A ．22121e e +=B ．22121e e -=C ． 1112221=-e eD ．1112221=+e e5． 过双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．6．以下几个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）7．已知双曲线22125144x y -=的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上求一点P ，使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由．8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为,A B ． （1）求证：P 在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．9．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．（1）渐近线方程为20,20x y x y +=-=，（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P。
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§221双曲线及其标准方程（1）、【学习且标L（1）了解双曲线的实际背景，体会双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.（2）了解双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念.（3）了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求出双曲线的基本量.【重点、难点】重点：双曲线定义、焦点、焦距等基本概念难点：双曲线的标准方程【学习方法】类比、合作探究、讨论、归纳r【知识链接】（1）.椭圆的定义：；（2）椭圆标准方程的推导过程：建系、设点、写动点的满足的儿何条件、儿何条件坐标化、化简整理⑶椭圆的标准方程：①焦点在工上 ;焦点坐标;②焦点在了上；焦点坐标；（其中 / _b2 +。
2）一、【新知探究】探究一、双曲线定义教材导读（预习教材P45）尝试回答下列问题：（1）把椭圆定义中的“距离的和（大于伊1旦|）"改为“距离的差（小于旧已|）”，那么点的轨迹会怎样? 如图定点匕E点心移动时，是常数，这样就画出一条曲线；由\MF2\-\MF.\是同一常数, 可以画出另一支.（2）双曲线定义中动点归到两定点F”气满足几何条件（3）在椭圆的定义中，强调了2a<2c；若2a = 2c动点的轨迹是什么？若2a>2c呢？设动点归，两定点F l9F2满足||"]|一\MF^ = 2a（2。
常数），时气| = 2。
⑵为常数）|MFj-\MF2\ = 2a<2c时轨迹是；\MF2\-\MF1\ = 2a<2c轨迹是\MF V\-\MF2\ = 2a = 2c时，轨迹是；|MF2|-|MFj = 2a = 2c 轨迹是||MF I|-|MF2|| = 2a> 2c时，轨迹是.尝试：动点户到点中-2,0）及点灼（2,0）的距离之差为2,则点P的轨迹是（）.A.双曲线B.双曲羸的一支C.两条射线D. 一条射线探究二、双曲线标准方程教材导读，预习课本P46的内容，并思考下列问题（1）在双曲线中如何建立适当的直角坐标系求动点轨迹？依据什么建立直角坐标系？（2）设双曲线上任意一点M（x9y）满足儿何条件\MF^-\MF^2a（V时尤| = 2。
）,仲①尤、旦坐标为—②几何条件坐标形式为\ ③双曲线标准方程为—（焦点在工轴上）%1孔、气坐标为____________________%1儿何条件坐标形式为___________________________%1双曲线标准方程为 (焦点在y轴上)(3)在标准方程的推导过程中，引入了b — 2,你能结合图形加以解释。
、b、C的含义吗?(4)如何根据双曲线的标准方程判断焦点位党？尝试：y2 2 y2X2(1)在双曲线—=1中，焦点坐标为___________________ 在双曲线---------- =1中，焦点坐标为 _____________16 25 4 5(2)已知双曲线--匕=1的左支上一点P到左焦点的距离为10,则点P到右焦点的距离16 9为.探究三、双曲线定义及标准方程简单应用【例1】已知双曲线的两焦点为*(-5,0),灼(5,0),双曲线上任意点到的距离的差的绝对值等于6, 求双曲线的标准方程.(焦点位置、a,b,c的值)1例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程式：(注意焦点位置，a,b,c的值)(1)焦点在工轴上，。
=4, 8 = 3；(2)焦点为(0,-6),(0,6),旦经过点(2,-5)(3)焦^在x轴上，a = 2抵，经过女*(-5,2) (4)焦点任工轴上，经过(一一龙)，(VB, JI)；3反思：求双曲线的标准方程“先定型，再定量”，或定义法、待定系数法可把标准方程设成mx2-ny2=l(m- n> 0且拒。
〃)形式不用考虑焦点所在的坐标轴三、【基础达标】1.试求：点A(l,0) , B(-l,0),若\AC\-\BC\ = \,则点C的轨迹是・(注意判断&与2c的关系)2.双曲线的两焦点分别为氏(-3,0)上(3,0)，若。
=2,贝此=.3.已知点Af(-2,0),N(2,0),动点P满足条件IPA/I-IPNI=2V^ .则动点P的轨迹方程为・4.求适合下列条件的双曲线的标准方程式(1)经过也p(—3,2j7)和0—6扼,一7) (2)与椭圆5 +弓=1有共同的焦点旦经过点(-V5, 2Ji)27 36§221双曲线及其标准方程（2）【学习目标】（1）进一步熟悉理解双曲线的定义及其标准方程和动点轨迹的求法；（2）掌握理解含参数的双曲线方程的表示.【重点、难点】重点：双曲线定义及其标准方程简单应用难点：含参数双曲方程表示的理解【学习方法】类比、合作探究、归纳总结一、知识点链接（1）双Illi线定义：平面内，动点M到两定点F x, F 2的距离之差的绝对值等于常数& （小于常数2€ ="气|）的轨迹（2）双曲线的标准方程：①焦点在x上；焦点坐标；②焦点在夕上；焦点坐标；二、知识点应用知识点一、含参数的双曲线方程例1.双1印线5/+妒=5的一个焦点是（76,0）,求实数刊勺值, r22v例2.已知方程---------- =1表示双曲线，求实数,〃的取值范围2+ m m +1反思:知识点二、动点的轨迹求法【例4】已知两地相距80（成，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s ,且声速为34（）〃?/s ,求炮弹爆炸点的轨迹方•程.定义法（建系------------- 设点 ----- 写动点几何条件……确定轨迹类型）变式：如果两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？变式1：点AM的坐标分别是（-5,0）, （5,0）,直线AM , 相交于点A/,且它们斜率之积是£ ,试求9点M的轨迹方程式，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状.（设动点坐标----- 写动点满足的几何条件---------- 坐标化--------- 化简整理------- 检验）变式2：已知圆Ci：(X +3)2+)，2=1和圆C2：(x-3)24-y2 =9，动圆M同时与圆C】及圆C2相外切, 求动圆圆心M的轨迹方程。
三、【基础达标】 2 21.如果苻三+己=T表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围( )A. (l,+oo)B.(2,+oo)C. (-2,1)D. (-00,-2)D(2,+00)2 22.已知方程-------- =1表示双曲线，则k的取值范围是.1+k \-k3.已知双Illi线的左、右焦点分别为匕尸2,在左支上过6的弦人B的长为5,若2。
=8，那么\ABF2的周长是____________ .2 ,24.过双曲线一-二=1左焦点鸟的直线交双曲线的左支于M,N两点，凡为其右焦点，则4 3 1 2MF2\+\NF2\-\MN\的值为.2 ,2| = 32 ,则可得5.氏子2是双曲线3一希=1的两个焦点，点尸在双曲线上旦满足|PFj.|PF2ZF,PF2=.6.已知方程。
尸一〃y2 = wb < ()),则它表示的曲线是 ______________ ・7.动圆尸过5(2,0)且与圆人：(尤+ 2)2+；/=［外切，则动圆圆心p轨迹方程是.28.设P为双曲线子_匕=1上一点，《匕是双曲线的两个焦点，若|PFj:|PF2卜3:2,则八PFE的12面积为.都对称.),(探究2：请你说出双曲线久七=1的儿何性质： x : y :双曲线关于—轴、—轴及 都对称.);虚轴，其长为・ %1 范围： %1 对称性: %1 顶点：(实轴, ④离心率: ),(其长为—e = ->\ .a图形:⑤渐近线:A. 2用,4B.4, 2^3C.3, 4D.2, V3焦距为6,那么双仙线的离心率为( C. 22D.2§222双曲线的简单几何性质(1)【学习目标】(1) 能类比椭圆的几何性质的研究方法，探究并掌握双曲线的简单几何性质。
(2) 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚轴、焦点、离心率、渐近线【重点、难点】重点：由双曲线的方程求其相关几何性质；难点：利用双曲线的性质求双曲线方程. 【学习方法】类比、合作探究、归纳总结 一、【知识链接】(1) 双曲线定义：:(2) 双曲线的标准方程：①焦点在X 上 ；焦点坐标；②焦点在y 上；焦点坐标二*1新知探究】知识点一、双曲线的简单几何性质jUHim 预习教材「49〜㈤ ,探究1：由椭圆的哪些儿何性质出发，类比探究双曲线4-4=1的儿何CT b 1性质？%1 范围：X ：>' :%1 对称性：双曲线关于—轴、轴及—%1 顶点：( )，().实轴，其长为;虚轴，其长为%1 离心率：e = ->l.a22⑤渐近线：双曲线^7-4 = 1的渐近线方程为：-±2= o. cT a b §=1的渐近线方程为：-新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线. 尝试：2?(1)双曲线—=1的实轴长和虚轴长分别是(3 4(2)如果双曲线的实半轴长为2,A 必B 2 2知识点二、双曲线简单几何性质简单应用图 2-268.求下列双曲线的标准方程4（1）焦点在y轴上，焦距是16, e = -.7。
【例1】求双曲线三-匕=1的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程.49 25变式：求双曲线9y 2-16x 2=144的实半轴长利虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.【例2】求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是1。
，虚轴长是8,焦点在对|1|上；⑵离心率e = VL 经过点79⑶渐近线方程为），=±弓，经过点3 2—」基础逐标11. 双曲线土一匕=1实轴和虚轴长分别是（）. 16 8A. 8、漆B. 8、2媚C. 4、4^2D. 4、2® 2. 双曲线X 2-/=-4的顶点坐标是（）.A. (0,±1)B. (0,±2)C. (±1,0)D.( ±2,0 ) 3.双曲线亍-4/=1的渐近线方程是 __________________ .2 2 4. 双曲线—-^ = 1的离心率为4 85. 经过点A （3,-l ）,并旦对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是2,26. 若双曲线% — *- = 1 （。
〉0）的渐近线方程为3x±2y = 0,则。
=.7. 求双曲线9/-16<=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.（2）与椭圆三+二=1有公共焦点，并且离心率为439 42（3）以椭圆—+ ^ = 1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点（4）经过点A （3, -1）的等轴双曲线8 5§222双曲线的简单几何性质(2)【学习目标】(1)巩固双曲线的几何性质；(2)能熟练地利用双曲线的性质求双曲线的标准方程.【教堂重点、难点】双曲线几何性质的运用.r _j_a识链掰1.复习双曲线的几何性质：①范围；②对称性；③顶点；④渐近线；⑤离心率。