双曲线及其标准方程--导学案
双曲线及其标准方程导学案
课题：双曲线及其标准方程导学案一．教学目标:知识与技能：1.掌握双曲线的定义和标准方程的推导过程;2.学会判断双曲线标准方程焦点所在位置,会求解双曲线的标准方程过程与方法：本节课主要运用类比思想通过学生自己动手实践总结出双曲线的定义，运用类比和数形结合思想自我探究，分组讨论找到双曲线的标准方程。
情感态度与价值观：学生通过本节课自己动手实践亲身经历研究双曲线的过程，从中找到自我价值，从双曲线方程的形式上进一步体会数学也是一种美的学科。
二.教学重点:双曲线的定义及其标准方程三.教学难点:双曲线的定义及其标准方程四.教学过程:(一)课前复习：（二）类比椭圆定义的研究，让学生用自己提前准备拉链，图钉等东西，自己动手画双曲线，分组讨论给出双曲线定义,在这一过程中回答下列问题：思考：1.在作图的过程中拉链两边的长是否一致？拉链哪一部分的长没有变化？除了这些，还有没有不变的量？2.动点在运动过程中满足什么条件？F F|的关系是什么？3.这个常数与|124.动点运动的轨迹是什么？5.若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？(二)双曲线的定义:（类比椭圆定义给出双曲线定义）1. 双曲线的定义:2.探究以下问题，巩固双曲线定义：(1)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差为8,则M 点的轨迹是什么?(2)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为10,则M 点的轨迹是什么? (3)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为12,则M 点的轨迹是什么? (4)已知A(-5,0),B(5,0),M 点到A,B 两点的距离之差的绝对值为0,则M 点的轨迹是什么? 得出以下结论：1）当常数等于21F F 时，动点M 的轨迹是———————————————— 2）当常数大于21F F 时，动点M 的轨迹————————————————— 3）若常数等于0时,动点M 的轨迹—————————————————— 4）在双曲线的定义描述中要注意几个条件？分别是什么？(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？动手实践推导过程并展示：(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记) 两种标准方程的比较(引导学生归纳)：(1)------------------------------表示焦点在x 轴上的双曲线,焦点是:1(,0),F c -2(,0)F c ,这里222c a b =+.(2)------------------------------表示焦点在y 轴上的双曲线,焦点是:1(0,),F c -2(0,)F c ,这里222c a b =+.(只需将(1)方程的x,y 互换即可得到)强调指出：(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中，0,0a b >>，但a 不一定大于b ；(3)如果2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(4)双曲线标准方程中,,a b c 的关系是222c a b =+，不同于椭圆方程中222c a b =-．练习：写出以下双曲线的焦点坐标(四).课堂巩固 例1.已知双曲线的焦点为1F (-5,0),2F (5,0)，双曲线上一点P 到1F ,2F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：若双曲线上一点Ｐ， |1PF |=10， 则|2PF |=_________1916)2(,191612222-=-=-y x y x ）（方案(五)小结(六)作业:课本108P 习题8.3 第1,2,4思考题: 当0180θ≤≤ 时，方程22cos sin 1x y θθ+=表示怎样的曲线？。
人教版高中数学选学2-1导学案：第二章第三节双曲线及其标准方程
第二章第三节双曲线及其标准方程设计者：李晓帆审核者：执教：使用时间：学习目标1．了解双曲线的定义、标准方程及其求法 ;2．了解双曲线的定义、标准方程及其推导方法，体会分类讨论、类比的数学思想方法;3.通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，认识比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法. ________________________________________________________________________________自学探究问题1.把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？学生实验:如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF 是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF 是同一常数，可以画出另一支．问题 2.双曲线的定义是什么？其中的概念有哪些？【反思1】设概念中的常数为2a ，为什么2a 12F F ？【反思2】2a 12F F 时，轨迹是；2a 12F F 时，轨迹是．【试试】点(1,0)A ，(1,0)B ，若1AC BC，则点C 的轨迹是．问题 3.在椭圆的标准方程22221x y a b 中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ，则?c 写出符合条件的椭圆方程．问题 4. 如何推导焦点在x 轴上的双曲线的标准方程？【思考1】若焦点在y 轴，标准方程又如何？【思考2】椭圆和双曲线标准方程的区别？【技能提炼】1.已知双曲线的两焦点为1(5,0)F ，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．【变式】已知双曲线221169x y 的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为.2 .已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．【变式】如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？教师问题创生学生问题发现变式反馈1.求适合下列条件的双曲线的标准方程式：（1）焦点在x 轴上，4a ，3b ；（2）焦点为(0,6),(0,6)，且经过点(2,5)．*2.已知圆22:6480C x y x y ．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为3.到两定点0,31F 、0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线4.过双曲线191622y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF （F 2为右焦点）的周长是（）A ．28 B ．22 C ． 14 D ．12 5.方程11122k ykx 表示双曲线，则k 的取值范围是（）A ．11k B ．0k C ．0k D ．1k 或1k *6.设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（）（A ）1342222y x(B)15132222y x (C)1432222y x(D)112132222y x。
人教版高中数学全套教案导学案2.3.1双曲线及其标准方程
2. 3.1双曲线及其标准方程课前预习学案一．预习目标：了解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。
二．预习内容：平面内与两定点 1F , 2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|21F F |)的点的轨迹叫做-------。
两定点1F , 2F 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离|21F F |叫做双曲线的________ ．三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一.学习目标：掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。
学习重难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点 二.学习过程：问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图 2-23，定点1F , 2F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|1MF | - |2MF | 是常数，这样就画出一条曲线； 由 |2MF | - |1MF | 是同一常数，可以画出另一支．新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 1F , 2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|21F F |)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点1F , 2F 叫做双曲线的_________ ， 两焦点间的距离|21F F |叫做双曲线的________ ． 反思：设常数为2a ，为什么2a < |21F F | ？ 2a = |21F F |时，轨迹是__________ ； 2a > |21F F | 时，轨迹____________ ．试一试：点 A ( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC | - |BC | = 1 ，则点C 的轨迹是__________ ．新知 2：双曲线的标准方程：12222=-by a x ,(a> 0,b> 0,222b a c += )（焦点在x 轴）其焦点坐标为 1F (-c ,0) ， 2F (c ,0) ．思考：若焦点在 y 轴，标准方程又如何？三.反思总结：1.双曲线定义中需要注意的条件：22c a >2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：2x 、2y 的系数符相反，若2x 的系数为正，则焦点在x 轴上，反之则在y 轴上。
高中数学双曲线及其标准方程精品导学案
双曲线及其标准方程一、课前导学1.什么叫做双曲线?为什么常数2a 要小于21F F ？与椭圆有何异同？双曲线的定义： 叫做双曲线， 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距。
2.双曲线标准方程的推导：（类比求椭圆标准方程的方法）；确定,,a b c 的关系3.双曲线定义（1）把椭圆定义中的“距离的和（大于21F F ）”改为“距离的差（小于21F F ）”，那么点的轨迹会怎样？（2）双曲线定义中动点M 到两定点21,F F 满足几何条件 （3）在椭圆的定义中，强调了c a 22<；若22a c =动点的轨迹是什么？ 若c a 22>呢？设动点M ，两定点21,F F 满足a MF MF 221=-（2a 常数），为常数）c c F F 2(221=c a MF MF 2221<=-时 轨迹是 ；c a MF MF 2212<=-时 轨迹是 ； c a MF MF 2221==-时 轨迹是 ； c a MF MF 2212==-时 轨迹是 ；c a MF MF 2221>=-时 轨迹是 要点总结注意：(1)若常数要等于12||F F ，则图形是什么？ 二、课堂导学例1已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=, 求动点P 的轨迹方程.变式1:已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足1210PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.变式2:已知两定点1(5,0)F -,2(5,0)F ,动点P 满足126PF PF -=,求动点P 的轨迹方程.例2.写出适合下列条件的双曲线的标准方程1.a=4,b=3,焦点在x 轴上;2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,5)3已知双曲线与椭圆1362722=+y x ，有公共的焦点，且过点)4,15( 4.焦点在y 轴上,a=4,过点)3104,1( ⒌经过两点A )26,7(--，B )3,72( 例3.如果方程11222=+-+m y m x 表示双曲线，求m 的取值范围. 变式3：如果方程11222=+-+m y m x :表示焦点在y 轴双曲线时，求m 的取值范围. 变式4：当k 取何值时，方程13522=-+-k y k x 表示圆？椭圆？双曲线？ 三、课堂小结1.双曲线方程的推导2.求双曲线方程3.利用定义和标准方程解决一些简单的问题.四、课堂练习1.求适合下列条件的双曲线的标准方程。
双曲线导学案1
双曲线及其标准方程一、学习目标1、能口述：双曲线的定义和标准方程。
2、会利用双曲线的定义求双曲线的标准方程。
会与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．3、本节课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．4．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．5．难点：双曲线的标准方程的推导．二、情景导入，问题引领：1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)老师：如果把椭圆的定义中的和变成差呢?同学们能求一下它的轨迹方程吗？三、自主学习1、类比椭圆得出双曲线的概念2、类比椭圆得出双曲线的标准方程四、合作探究1、双曲线的定义把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？（1）、简单实验(边演示、边说明)如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．（2）、类比椭圆设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答：问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答：问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答：问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？请学生回答：（3）．定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．2、双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：两种标准方程的比较(引导学生归纳)：教师指出：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．五、典型例题书上相关例题六、练习及其巩固，布置作业。
3.2.1双曲线的标准方程导学案高二上学期数学选择性
第3章圆锥曲线与方程 3.2 双曲线3.2.1 双曲线的标准方程【学习目标】1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程；2．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．【温顾·习新】一、双曲线的定义思考取一条拉链，拉开一部分；在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上；把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？(4)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线吗？(5)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线吗？填空平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的．做一做(1)已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足PF1－PF2＝4，则P点的轨迹是() A．双曲线B．双曲线的一支C．不存在D．一条射线(2)已知点P(x，y)的坐标满足(x－1)2＋y2－(x＋1)2＋y2＝±2，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．两条射线D．双曲线的一支【研讨·拓展】二、双曲线的标准方程思考(1)类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？PF1－PF2(2)设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？填空 焦点位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程焦点焦距F 1F 2＝ a ，b ，c 的关系 c 2＝ 做一做 若椭圆34＋n 2＝1和双曲线n 2－16＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．5D ．9【例1】(1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且PF 1＝3，则PF 2＝( )A ．11B ．9C ．5D ．3(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48【变式11】在△ABC 中，已知A (－22，0)，B (22，0)，且内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，求顶点C 的轨迹方程．【例2】根据下列条件，分别求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上．【变式21】分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22)；(3)与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)．【变式22】已知F1，F2是双曲线的两个焦点，且|F1F2|＝10，过F2的直线交双曲线的一支于A，B两点，当|AB|＝5，△AF1B的周长等于26时，求此双曲线的标准方程．【例3】给出曲线方程x24＋k＋y21－k＝1．(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．【变式31】若k∈R，则“k>5”是“方程x2k－5－y2k－2＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式32】若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________；若表示椭圆，则实数m 的取值范围是________．【变式33】(多选)已知曲线C ：mx 2－ny 2＝1，下列说法正确的是( )A ．若mn >0，则C 为双曲线B ．若m >0且m ＋n <0，则C 为焦点在x 轴上的椭圆C ．若m >0，n <0，则C 不可能表示圆D ．若m >0，n >0，则C 为两条直线【例4】如图，已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．若P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．【变式41】已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【变式42】设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2＝( )A ．14B ．13C ．19D ．35【变式43】已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 上的一点．若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积等于________．【例5】已知A (－4,0)，B 是圆(x －1)2＋(y －4)2＝1上的点，点P 在双曲线x 29－y 27＝1的右支上，则|P A |＋|PB |的最小值为( )A ．9B ．25＋6C ．10D ．12【变式51】(多选)双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离可能为( )A ．17B ．7C ．22D ．2【变式52】已知定点A (3,1)，F 是双曲线x 24－y 212＝1的右焦点，P 是双曲线右支上的动点，则|P A |＋|PF |的最小值为( )A ． 2B ．52＋4C ．52－4D ．2＋4【例6】已知△ABC 的一边的两个顶点为B (－a ，0)，C (a ，0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．【变式61】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【变式62】已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝4及点A (3,0)，Q 为圆周上一点，AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点M ，则动点M 的轨迹方程为________．【例7】已知△OFQ 的面积为26，且OF→·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点． (1)设6<m <46，求OF→与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围； (2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．【例8】2021年9月17日神舟“十二号”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A ，B ，C )，A 在B 的正东方向，相距6千米，C 在B 的北偏西30°方向，相距4千米，P 为航天员着陆点．某一时刻，A 接收到P 的求救信号，由于B ，C 两地比A 距P 远，在此4秒后，B ，C 两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A 处发现P 的方位角．【变式81】如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点D 到A的距离比到B 的距离远2 km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B ，C 两地转运货物，那么这两条公路MB ，MC 的路程之和最短是______km ．【变式82】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( )A ．22πB ．3πC ．23πD ．4π【总结提炼】1．牢记2个知识点：(1)双曲线的定义；(2)双曲线的标准方程．2．掌握求标准方程的2种方法：(1)待定系数法；(2)定义法．3．注意1个易错点：忽略双曲线方程中含有的字母的正负而致错．【拓展强化】完成练习册相关课时作业。
新人教A版数学选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》导学案
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程；2.掌握双曲线的标准方程；3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【重点难点】双曲线定义及其标准方程【学习过程】一、问题情景导入：1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线.2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理）1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{}21212,2F F a a MF MF M P <=-=思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2.焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程焦点坐标c b a ,,的关系思考：⑴方程13222=-y x 与13222=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？⑵方程122=+ny m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？三、例题演练：例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹.例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程：⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上；⑵4=a ，经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3104,1A ; ⑶求与双曲线141622=-y x 有共同的焦点，且过点()2,23的双曲线的标准方程.例3.在ABC ∆中，已知4=BC ,且A B C sin 21sin sin =-，求动点A 的轨迹方程.变式：已知定圆02410:221=+++x y x C ，定圆:C 091022=+-+x y x ，动圆C 与定圆21,C C 都外切，求动圆圆心C 的轨迹方程.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量c b a ,,的值. ①12422=-y x ②12222=-y x ③12422-=-y x ④369422=-x y2．求a =4，b =3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程3．求a =25，经过点（2，-5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程4．证明：椭圆22525922=+y x 与双曲线151522=-y x 的焦点相同5．若方程1cos sin 22=+ααy x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是（ ） A ．7 B.23 C.5或23 D.7或237．椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，则实数n 的值是 （ ） A 5± B 3± C 5 D 98．已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________9．设21,F F 是双曲线1422=-y x 的焦点，点P 在双曲线上,且02190=∠PF F ,则点P 到x 轴的距离为( )A 1 B55 C 2 D 510．P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，若F 是一个焦点，以PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系是（）A 内切B 外切C 外切或内切D 无公共点或相交。
双曲线及其标准方程导学案
双曲线及其标准方程导学案
一、要点阐述
1、双曲线的定义及焦点、焦距、
2、双曲线的标准方程及其特点；求简单的双曲线的标准方程
教学过程：一、自主学习
完成《学海导航》P29的一层练习
二、演示实验：用拉链画双曲线并与讲解，对答案。
根据所学完成下列所学定义M不图形同点标准方程焦点方程
MyF2OF1F2某F1某相a、b、c的关系同焦点位置的判断点
二、课前训练
1、写下列双曲线焦点的坐标。
某2y21（2）y2某21（3）4y29某236（1）42某2y21表示双曲线，则k的范围是2、若
k1k1
某2y23、若双曲线221的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线
ab的离心率是
某2y24、如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴
42的距离是某2y21上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是5.
已知点P在双曲线
169P到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是
_________
三、典型例题
9例1、已知双曲线的焦点在y轴上且双曲线上的两点P1（3，-42），P2（，5）
4求双曲线的标准方程？解：
某2y21有共同的焦点，且过P（15，4）例2、已知双曲线与椭圆，
求双曲
2736线的方程。
解：
例 3.双曲线的中心为原点O，焦点在某轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右
AB、OB成等焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已
知OA、差数列，且BF与FA同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：。
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双曲线及其标准方程
学习目标：掌握双曲线的定义及标准方程，进一步理解坐标法的思想；
学习重点：了解双曲线的定义；
学习难点：双曲线标准方程的推导过程；
学习过程：
一、复习与问题：
1、复习：椭圆的定义
椭圆的标准方程：
2、问题：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，平面内与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？
二、双曲线的定义：
双曲线的定义：把平面内 的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的
合作探究：试说明在下列条件下动点M 的轨迹各是什么图形？
),,2,2,(212121都为正常数是两定点，c a c F F a MF MF F F ==-
（1）当21MF MF -=2a 时，点M 的轨迹
（2）当12MF MF -=2a 时，点M 的轨迹
（3）当2a =2c 时，动点M 的轨迹
（4）当2a >2c 时，动点M 的轨迹
（5）当2a =0时，动点M 的是轨迹
三、双曲线的标准方程：
1、焦点在x 轴上的双曲线的标准方程
建系：
设点：
若焦距为2c (c >0),则1F ，2F ，又设点M 与两焦点的距离差的绝对值等于常数2a ，由双曲线的定义得：
（整理过程）
由曲线与方程的关系知所求方程为双曲线的标准方程，
双曲线的标准方程
它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为
2、焦点在y 轴上的双曲线的标准方程
焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 ，
它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为
思考:如何根据双曲线的标准方程确定焦点的位置？
四、典例剖析
例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于8，则求双曲线的标准方程.
变式1、已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5)，双曲线上一点P 到F1、F2的距离的差等于6，求双曲线的方程.
例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程
1、焦点为（0，--6）,（0，6）,且经过点（2，5）
2、焦点在x 轴上，
3、经过两点
），（），，
（372B 267A --），
（经过点25A ,52-=a
例3、已知方程表11
22
2=+-+m y m x 示双曲线，求m 的取值范围
五、当堂检测：（见PPT ）
六、课堂小结：
师：我们总结一下本节课我们学了什么？
生：1、双曲线的定义；2、双曲线标准方程推导过程；3、运用已有知识解决一些
简单的问题。
七、作业：
1、课本P49：1.2.3
2、预习双曲线的几何性质。