高等数学(一)全真模拟试卷(三)

高等数学(一)全真模拟试卷(三)
考生注意:根椐国标要求,试卷中正切函数、余切函数、反正切函数和反余切函数分别用
x arc x x 、x 、cot arctan cot tan 和表示
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内. 1、设()为则为连续函数)(
,)('⎰x
a
dt t f x f [ ]
A 、)(t f
B 、)()(a f t f -
C 、)(x f
D 、)()(a f x f -
2、若幂级数
∑∑∞
=∞=-=0
)
1(,3n n n
n n n a x x a 则级数收敛在点 [ ]
A 、绝对收敛
B 、条件收敛
C 、发散
D 、收敛性与n a 有关 3、设等于则dx
dy
x g x f y ,)()(=
[ ] A 、
⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-')()()()(2x g x g x f x f y B 、⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-)(1)(12x g x f y
C 、
)()(21x g x f y ''⋅ D 、)
()(2x g x f y ''⋅ 4、当的是时x x x ，
x 3202
+→ [ ] A 、高阶无穷小 B 、等价无穷小 C 、同阶无穷小,但不是等价无穷小 D 、低阶无穷小 5、满足微分方程的特解为初始条件01
11
2==+
'=x y x
y x y [ ]
A 、x ln
B 、
x x ln 1
1
+ C 、11+x D 、x x
ln 1
6、设)(x f 在0x 处不连续，则 [ ] A 、)(0x f '必存在 B 、)(0x f '必不存在
C 、
0)(lim x x x f →必存在 D 、
0)(lim x x x f →必不存在
7、下列函数在点x=0处不可导．．．的是 [ ] A 、3x y = B 、x y tan = C 、x y arccos = D 、x
y 2=
8、设函数)(x f 在[0，1]上可导，在则并且)(,0)1(,0)0(,0)(x f f f x f ><>（0，1）内 [ ]
A 、至少有两个零点
B 、有且仅有一个零点生
C 、没有零点
D 、零点个数不能确定
9、函数x x y 33
-=的单调递减区间为 [ ] A 、(]1,-∞- B 、[－1，1] C 、[)+∞,1 D 、()+∞∞-,
10、直线l 与x 轴平行，且与曲线x
e x y -=相切，则切点的坐标是 [ ] A 、（1，1） B 、（－1，1） C 、（0，－1） D 、（0，1）
二:填空题:本大题共10个小题,10个空,每空4分,共40分. 把答案写在题中横线上.
11、设=++=+)(,123)1(2
x f x x x f 则 .
12、求
)tan 1
1(0lim x
x x -→= . 13、设)(00)(x f x ，x x f y 为且处可导在===的极值点，则曲线)(x f y =在点
))0(,0(f 处的切线方程为 .
14、设=+
=dz y
x
x z 则),ln(2
. 15、设
⎰
+∞
=+0
22
1
1k ，k ，dx x k 则为常数且= . 16、设区域D 由⎰⎰===D
xdxdy ，y x y y 则
所围成轴1,, .
17、
=⎰
dx xe x 1
2
.
18、=+⎰
dx x x 3
2
1 . 19、设=∂∂+=x
z
x x y z 则),sin(
2 . 20、二阶常系数线性微分方程
044=+'-''y y y 的通解为 .
三、解答题：本大题共8个小题，共70分.解答应写出推理、演算步骤.
21、（本题满分8分）
设y
x z
y x x y xy z ∂∂∂-+=22
,cos sin 2求.
22、（本题满分8分）
求)11(cos lim 2-∞
→x x x .
23、（本题满分8分）
设⎩⎨⎧+==dx
dy
t t y t a x 求,2,sin 2
32. 24、（本题满分8分）
设1,1,12*
3*
22*
1++=+=+=--x x x x e e y e y e y 为线性常系数微分方程
)(21x f y p y p y =+'+''的三个特解，求该微分方程.
25、（本题满分8分）
求曲线3
2)2(2-+=x x y 的渐近线.
26、（本题满分10分） 求
⎰⎰D
xydxdy 2，其D 为直线x y x y y 2,,2===所围成的区域.
27、（本题满分10分） 计算
⎰
+π23
cos 1xdx .
28、（本题满分10分）
某厂要生产容积为0V 的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省？
答案
一、选择题
1、C
2、A
3、A
4、C
5、D
6、B
7、A
8、B
9、B 10、C 二、填空题
11、2432
+-x x 12、0 13、)0(f y = 14、
])12[(2
2dy y
x
dx y x x y x y -++ 15、π
1 16、61 17、)1(21-e 18、c x ++34
2
)1(83
19、)cos()2(22x x
y
x y x +-
20、x e x c c y 221)(+= 三、解答题 21、解
,cos cos 22y x y y x
z
-+=∂∂
.s i n c o s 42y x y y
x z
++=∂∂∂ 22、解 原式 211)1(21lim 111cos lim 222-=-∞→=-∞→=x
x n x x n 23、解 ,43,cos 222t t dt
dy
t at dt dx +==
.cos 2432
t a t dt
dx dt dy dx dy +== 24、解 由题设可知x x e y y y e y y y 2232131,=-==-=*
*-**为相应齐次微分方程
的特解，
特征根2,121=-=r r ，
特征方程为,02)2)](1([2
=--=---r r r r 相应的齐次微分方程为.02=-'-''y y y 又由于x x
e e y y 221+=+-为齐次方程的解，
因此
1)(213=+-=*
*y y y y 为非齐次方程的特解.
将1=*
y 代入微分方程),(2x f y y y =-'-'' 可得 ,2)(-=x f
故微分方程.22为所求-=-'-''y y y 25、解 由于
0)
2(2
lim
3
2=-+∞→x x x 可知0=y 为所给曲线的水平渐近线.
由于 2,)2(2
2lim
3
2=∞=-+→，x x x x 可知为所给曲线的铅直渐近线.
26、解 如图所示，把积分区域D 作为-y 型区域，即 {}},2
,
20|),(y x y
y y x D ≤≤≤≤=
.
34
14343)41(][220
2
42
2033
32
2
2
2
20
=⨯=
=-
===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y dy
y dy y y dy
y x xydx dy xydxdy y y
y y D
则
y 0
=x
27、解 原式dx x 2
cos 223
⎰
=
π
.
224)
2
sin 43(sin 22222
sin
222
sin
222
cos 22cos 22
30
23
-=--=-=-=⎰⎰
π
ππ
ππ
πππ
x x
dx
x
dx x
28、解 设圆柱形罐头盒的底圆半径为r ,高为h ,表面积为S ，则
rh r S ππ222
+= ①
h r v 2
0π= ②
由②得 2
r
v h π=
代入①得),0(,220
2
+∞∈+
=r r
V r S π 现在的问题归结为求r 在),0(+∞上取何值时，函数S 在其上的值最小.
20
24r
v r S -
='π 令3
2,0π
v r S =='得 由②，当r r
r r V ：h h ，V r 22233
203
0====ππππ为相应的时 可见当所做罐头盒的高与底圆径相等时，所用材料最省.。