第3讲《勾股定理》全章复习与巩固(基础课程讲义例题练习含答案)

《勾股定理》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222

a b c +=）

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）解决与勾股定理有关的面积计算；

（4）勾股定理在实际生活中的应用．

要点二、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；

（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：

若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；

若222a b c +＞时，△ABC 是锐角三角形；

若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．

2.勾股数

满足不定方程222

x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形. 要点诠释： 常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

【典型例题】

类型一、勾股定理及逆定理的简单应用

1、（2016?益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键.

【答案与解析】

解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，

设BD=x ，则CD=14﹣x ，

由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2， 故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2，

解之得：x=9．

∴AD=12．

∴S △ABC =BC ?AD=×14×12=84．

【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解. 举一反三：

【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．

【答案】

解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，

由勾股定理，得22222

151281BD AB AD =-=-=．

∴ 9BD =．

同理22222131225CD AC AD =-=-=．

∴ 5CD =．

①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．

∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．

②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．

∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．

综上所述：△ABC 的周长为32或42．

2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．

求证：2222AM BM CM +=．

【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．

【答案与解析】

证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．

∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，

∴ AD ＝BD ．

∵ ∠ACB ＝90°，

∴ CD ＝AD ＝DB ．

∴ ()()22

22AM BM AD DM AD DM +=-++ 222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-?+++?+

222()AD DM =+

222()CD DM =+

在Rt △CDM 中，222

CD DM CM +=，

∴ 2222AM BM CM +=．

【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．

举一反三：

【变式】已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=?.

【答案】

解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,

则在Rt △ABM 中：

222AB AM BM =+……①

在Rt △ADM 中：

222AD AM DM =+……②

由①－②得：22AB AD -=()()22

BM DM BM DM BM DM -=+- ＝ （MC ＋DM ）?BD ＝CD·BD

类型二、勾股定理及逆定理的综合应用

3、（2014秋?黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．

【思路点拨】根据勾股定理求出BE 2、EF 2、BF 2，根据勾股定理的逆定理判断即可．

【答案与解析】

解：∵△BEF 是直角三角形，

理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，

∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4﹣2=2，CF=4﹣1=3，

∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，

BF2=BC2+CF2=42+32=25，

∴BE2+EF2=BF2，

∴∠BEF=90°，

即△BEF是直角三角形．

【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出BE2+EF2=BF2.

4、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

【答案与解析】

解：(1)猜想：AP=CQ

证明：在△ABP与△CBQ中，

∵AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°

∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ

∴△ABP≌△CBQ

∴AP=CQ

(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a

连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°

∴△PBQ为正三角形∴PQ=4a

于是在△PQC中，∵

∴△PQC是直角三角形

【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．

举一反三：

【变式】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．