高考数学一轮复习配餐作业50直线的倾斜角与斜率直线方程含解析理

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山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-直线的倾斜角、斜率与直线的方程含答案解析

第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．(重点) 2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，并了解斜截式与一次函数的关系．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查：①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查，难度不大.1.直线的斜率(1)当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即□01k ＝tan α.当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．(2)斜率公式给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，P 2两点的直线的斜率公式为□02k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k 与点(x 1，y 1)□01y －y 1＝k (x －x 1) 直线不垂直于x 轴斜截式斜率k 与直线在y 轴上的截距b□02y ＝kx ＋b 直线不垂直于x 轴两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2) □03y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1≠x 2，y 1≠y 2) 直线不垂直于x 轴和y截距式直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b□04x a ＋y b ＝1(a ≠0，b ≠0) 直线不垂直于x 轴和y 轴，原点一般式— □05Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 任何情况1．概念辨析(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)直线l经过原点和点(－1，－1)，则直线l的倾斜角是()A．45°B．135°C．135°或225°D．60°答案 A解析由已知，得直线l的斜率k＝－1－0－1－0＝1，所以直线l的倾斜角是45°.(2)在平面直角坐标系中，直线3x＋y－3＝0的倾斜角是()A.π6 B.π3C.5π6 D.2π3答案 D解析直线3x＋y－3＝0的斜率为－3，所以倾斜角为2π3.(3)已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34，则直线l的方程为()A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0 答案 A解析由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－34[x－(－2)]，整理得3x＋4y－14＝0.(4)已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是()A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0答案 A解析设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，解得a ＝2，b ＝6.故直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x＋y －6＝0.故选A.题型一直线的倾斜角与斜率1．(2019·长春模拟)设直线y ＝2x 的倾斜角为α，则cos2α的值为( ) A ．－55 B ．－255 C ．－35 D ．－45答案 C解析由题意，知tan α＝2，所以cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－221＋22＝－35. 2．(2019·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( )A ．1±2或0 B.2－52或0C.2±52 D.2＋52或0答案 A解析若A ，B ，C 三点共线，则有k AB ＝k AC ，即a 2－(－a )2－1＝a 3－(－a )3－1，整理得a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.3．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．1.直线的倾斜角与其斜率的关系斜率k k ＝tan α>0 k ＝0 k ＝tan α<0 不存在倾斜角α锐角0°钝角90°2.倾斜角变化时斜率的变化规律根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内，由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π内，由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.如举例说明3.3.三点共线问题若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．如举例说明2.1.直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.0，π4B.3π4，πC.0，π4∪π2，π D.π4，π2∪3π4，π答案 B解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是3π4，π. 2.若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23答案 B解析依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有 ⎩⎨⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.题型二直线方程的求法1.已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上的中线所在的直线方程为________．答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上的中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 2.(1)求过点A (1,3)，且斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程； (2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程．解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1,3)，因此所求的直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求的直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求的直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.条件探究将本例(1)中所求的直线绕点A(1,3)顺时针旋转45°后，求所得直线的方程．解设本例(1)中所求直线的倾斜角为α，则由本例(1)知tanα＝－4 3，所以90°<α<180°，此直线绕点A(1,3)顺时针旋转45°后，所得直线的倾斜角为α－45°，斜率k′＝tan(α－45°)＝tanα－11＋tanα＝－43－11＋⎝⎛⎭⎪⎫－43＝7，点斜式方程为y－3＝7(x－1)，整理得7x－y－4＝0.给定条件求直线方程的思路(1)求直线方程常用的两种方法①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2(1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．(2)设直线方程的常用技巧①已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b.②已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a.③已知直线过点(x0，y0)，且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0)．1.在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A.y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C.y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)答案 D解析因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．故选D.2.求适合下列条件的直线方程：(1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；(2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；(3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解(1)当直线过原点时，方程为y＝32x，即3x－2y＝0.当直线l不过原点时，设直线方程为xa－ya＝1.将P(2,3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.(2)设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tanα＝3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求的直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为x a＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求的直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.题型三直线方程的综合应用角度1由直线方程求参数问题1.若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A.[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C.[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)答案 C解析令x＝0，得y＝b2，令y＝0，得x＝－b，所以所求的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b2|－b|＝14b2，且b≠0，因为14b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]. 角度2与直线方程有关的最值问题2.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．解(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令⎩⎨⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧－1＋2kk ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意，知k ≠0，再由直线l 的方程，得 A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·1＋2k 2k＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．如举例说明2.1.若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A.m ≠－32 B ．m ≠0 C.m ≠0且m ≠1 D ．m ≠1答案 D解析由⎩⎨⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线.2.(2019·济南模拟)已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于点A ，B ，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB→|取得最小值时直线l 的方程．解设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b ＝1. |MA →|·|MB →|＝－MA →·MB → ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.组基础关1.过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A.1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4答案 A解析由题意知4－mm ＋2＝1(m ≠－2)，解得m ＝1.2.(2019·郑州一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A.y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C.y ＝3x ＋12 D ．y ＝－3x ＋2答案 A解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2.3．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2 答案 D解析设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图象知0<α3<α2<π2<α1<π，所以k 1<0<k 3<k 2.4.(2019·沈阳模拟)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A.ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C.ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0答案 A解析由题意，知a ≠0，b ≠0，已知直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，若此直线同时经过第一、二、四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧－a b <0，－cb >0，即ab >0，bc <0.5.直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( ) A.40°B ．50°C．130°D．140°答案 B解析将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.6.(2019·荆州模拟)两直线xm－yn＝a与xn－ym＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是()答案 B解析已知两直线的方程可分别化为l1：xam＋y－an ＝1与l2：xan＋y－am＝1，所以直线l1的横截距与直线l2的纵截距互为相反数；直线l1的纵截距与直线l2的横截距互为相反数，结合四个选项中的图象可知，B符合题意.7.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是()A.－1<k<15B．k>1或k<12C.k>1或k<15D．k>12或k<－1答案 D解析因为直线l过点A(1，2)，在x轴上的截距取值范围是(－3,3)，所以直线端点的斜率分别为2－01－3＝－1，2－01＋3＝12，如图．所以k>12或k<－1.所以D正确.8.若直线l过点(m,3)和(3,2)，且在x轴上的截距是1，则实数m＝________.答案 4解析由在x 轴上的截距是1，得m ≠3，则直线方程为y －23－2＝x －3m －3.当y ＝0时，则x ＝6－2m ＋3＝1，故m ＝4.9.若过点P (1－a,1＋a )与Q (4,2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，39解析设直线的倾斜角为α，斜率为k ，则k ＝tan α＝2a －(1＋a )4－(1－a )＝a －1a ＋3，又α为钝角，所以a －1a ＋3<0，即(a －1)·(a ＋3)<0，故－3<a <1.关于a 的函数m ＝3a 2－4a的图象的对称轴为a ＝－－42×3＝23，所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－4×23≤m <3×(－3)2－4×(－3)，所以实数m 的取值范围是－43，39.10.已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．答案 4x －3y －4＝0解析由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.组能力关1.若3π2<α<2π，则直线x cos α＋ysin α＝1必不经过( ) A.第一象限 B ．第二象限 C.第三象限 D ．第四象限答案 B解析令x ＝0，得y ＝sin α<0，令y ＝0，得x ＝cos α>0，所以直线过点(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．故选B.2.已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为( )A.4B.14 C ．－4 D ．－14答案 A解析 ∵{a n }为等差数列，a 4＝15，S 5＝55，∴a 1＋a 5＝22，∴2a 3＝22，∴a 3＝11，∴k PQ ＝a 4－a 34－3＝4. 3.(2019·成都诊断)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.－1，－12 B ．[－1,0] C.[0,1] D.12，1答案 A解析由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.故选A.4.函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4答案 D解析由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为3π4.故选D.5.设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．答案 5解析动直线x ＋my ＝0(m ≠0)过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0过定点B (1,3)．由题意易得直线x ＋my ＝0与直线mx －y －m ＋3＝0垂直，即P A ⊥PB .所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝|AB |22＝12＋322＝5，即|P A |·|PB |的最大值为5.6.已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.答案 12解析由已知画出简图，如图所示．因为l 1：ax －2y ＝2a －4，所以当x ＝0时，y ＝2－a ，即直线l 1与y 轴交于点A (0,2－a )．因为l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，所以当y ＝0时，x ＝a 2＋2，即直线l 2与x 轴交于点C (a 2＋2,0)．易知l 1与l 2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B (2,2)．则四边形AOCB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △BOC ＝12(2－a )×2＋12(a 2＋2)×2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154≥154.所以S min ＝154，此时a ＝12.7．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当线段AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以线段AB 的中点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．因为P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。

2020高考理科数学一轮复习第九章 1 第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

3.

第九章平面解析几何
[迁移探究 2] (变条件)若将本例(2)中的 B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围．解：如图，直线 PA 的倾斜角为 45°，直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．
第九章平面解析几何
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点 A(－5，2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍； (2)经过点 B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为2xa＋ay＝1，将 (－5，2)代入所设方程，解得 a＝－12，所以直线方程为 x＋2y＋1＝0；
第九章平面解析几何
(教材习题改编)经过点 P0(2，－3)，倾斜角为 45°的直线方程为( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0
D．x－y－5＝0
解析：选 D.由点斜式得直线方程为 y－(－3)＝tan 45°(x－2)
＝x－2，即 y－5＝0，故选 D.
第九章平面解析几何
第九章平面解析几何
则－5k＝2，解得 k＝－25，所以直线方程为 y＝－25x，即 2x＋5y＝0. 故所求直线方程为 2x＋5y＝0 或 x＋2y＋1＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得 y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0.
(x2，y2)
_(_x_1≠__x_2_，__y_1_≠__y2_)_
不含直线 x＝ x1(x1＝x2)和直线 y＝y1(y1＝y2)
第九章平面解析几何

2025版高考数学一轮总复习知识梳理第8章第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程(含答案)

高考数学一轮总复习知识梳理：第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理知识点一直线的倾斜角1．定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的取值范围为 [0°，180°).知识点二直线的斜率1．定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．2．过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.3．直线的方向向量与斜率的关系1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°kk >0且α越大，k 就越大不存在k <0且α越大，k 就越大口诀：斜率变化分两段，直角便是分界线；小正大负皆递增，分类讨论记心中． 2．特殊直线的方程(1)过点P 1(x 1，y 1)垂直于x 轴的直线方程为x ＝x 1； (2)过点P 1(x 1，y 1)垂直于y 轴的直线方程为y ＝y 1； (3)过原点的直线的方程为x ＝my . 3．谨记以下几点(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意．(2)当直线与x 轴不垂直时，可设直线的方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x ＝my ＋b .(3)A ，B ，C 三点共线⇔k AB ＝k AC (或k AB ＝k BC ，或k AC ＝k BC )． (4)直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的一个方向向量a ＝(－B ，A )．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋y b＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二走进教材2．(选择性必修1P 58T7)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3.3．(选择性必修1P 67T7)过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 .[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题组三走向高考4．(2022·北京高考真题)若直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，则a ＝( A )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[解析] 由题意知圆心坐标为(a,0)，又直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以圆心在直线上，即2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.5. (2021·山东高考真题)如右图，直线l 的方程是( D )A.3x －y －3＝0B.3x －2y －3＝0C.3x －3y －1＝0 D ．x －3y －1＝0[解析] 由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率k ＝tan 30°＝33，又直线l 与x 轴的交点为(1,0)，所以直线的点斜式方程可得l ：y －0＝33(x －1)，即x －3y －1＝0.故选D.。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第九章第一节直线的倾斜角斜率与直线的方程pptx课件北师大

(5)过原点且斜率为k的直线方程为y=kx.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(
×)
(2)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( × )
(3)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程
的负半轴上,则直线MN的方程为(
A.3x-y-6=0
B.3x+y+6=0
C.3x-y+6=0
D.3x+y-6=0
)
(2)过点A(1,3),且斜率是直线y=-4x的斜率的
1
3
的直线方程为
(3)过点P(6,-2),且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程
为
.
.
答案 (1)C
(2)4x+3y-13=0 (3)2x+3y-6=0或x+2y-2=0
—
随α的增大而增
大
—
随α的增大而
增大
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
点斜式过点(x0,y0),斜率为k
在y轴上的截距为b,斜
斜截式
率为k
过两点(x1,y1),(x2,y2)
两点式
(其中x1≠x2,y1≠y2)
在x轴、y轴上的截距
截距式
分别为a,b(a,b≠0)
一般式 —
方程
y-y0=k(x-x0)
适用条件
与x轴不垂直的直线
y-y0=k(x-x0)
-1
-1
=
2 -1 2 -1

+ =1

高考数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》真题含答案

高考数学《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》真题含答案一、选择题1．直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率k 为( )A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案：C解析：k ＝0－23－0 ＝－23 .2．直线x ＋ 3 y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．π6B ．π3C ．23 πD ．56 π答案：D解析：由x ＋ 3 y ＋1＝0，得y ＝－33 x －33 ，∴直线的斜率k ＝－33 ，其倾斜角为56 π.3．已知直线l 过点P(－2，5)，且斜率为－34 ，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案：A解析：由点斜式得y －5＝－34 (x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0．4．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3 ”是“k> 3 ”的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：∵当π2 <α<π时，k<0，∴α>π3 D ⇒/k> 3 ；当k> 3 时，π3 <α<π2 ，∴k> 3 ⇒π3 <α<π2 ，∴α>π3是k> 3 的必要不充分条件． 5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ． 3 x －y ＋1＝0B ． 3 x －y － 3 ＝0C ． 3 x ＋y － 3 ＝0D ． 3 x ＋y ＋ 3 ＝0答案：D解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3 .又直线过点(－1，0)，由点斜式可知y ＝－ 3 (x ＋1)，即： 3 x ＋y ＋ 3 ＝0.6．经过点P(1，2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝0答案：D解析：若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P(1，2)在直线上，∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab>0，bc<0B ．ab>0，bc>0C ．ab<0，bc>0D ．ab<0，bc<0答案：A解析：ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b ，又直线过一、二、四象限，∴－a b<0且－c b>0，即ab>0，bc<0. 8．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π C ．⎣⎡⎦⎤0，π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎝⎛⎭⎫π2，π 答案：B解析：设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1，1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ∪⎣⎡⎭⎫34π，π .9．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤34，2B ．⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1，2]答案：B解析：直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P(1，1)，k PA ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34 ∪[2，＋∞).二、填空题10．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a 的值为________．答案：4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4 ＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为________．答案：45°解析：y′＝3x 2－2，当x ＝1时，该曲线的导函数值为1，∴k ＝1，其倾斜角为45°.12．过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率为1，则m ＝________.答案：1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。

第一讲+直线的倾斜角与斜率、直线方程高三数学一轮复习

又直线过点(－ 3，3)，所以所求直线方程为 y－3＝ 3(x＋ 3)，即 3x－y＋6＝0.
③由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为 x＝5.
当直线斜率存在时，设其方程为 y－10＝k(x－5)，即 kx－y＋ (10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得原点到直线的距离为 |101－＋5kk2|＝5，解得 k＝43.此时直线方程为 3x－4y＋25＝0.
【变式训练】 (多选题)如图 7-1-4，直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是( )
A.k1＜k3＜k2
图 7-1-4 B.k3＜k2＜k1 C.α1＜α3＜α2
D.α3＜α2＜α1
解析：如题图，直线l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，倾斜角分别为 α1，α2，α3，则 k2＞k3＞0，k1＜0，故π2＞α2＞α3＞0，且 α1
答案：A
(2)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3 )为端点的线段有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为______________.
解析：设 PA 与 PB 的倾斜角分别为 α，β，直线 PA 的斜率是 kAP＝1，直线 PB 的斜率是 kBP＝－ 3.如图 7-1-3，当直线 l 由 PA 变化到与 y 轴平行的位置 PC 时，它的倾斜角由 α 增至 90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90°增至 β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3].故直线 l 的斜率的取值范围是(－∞，－ 3]∪[1，＋∞).
图 7-1-3 答案：(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)
【题后反思】 (1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数 y＝tan x 在 [0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的. (2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.

高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。

高考数学一轮复习：直线的倾斜角与斜率直线的方程(Word版,含解析)

直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础练一、选择题1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B. 3 C ．－3D ．－332．[2021·秦皇岛模拟]倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝03．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2 4．[2021·河南安阳模拟]若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( )A ．1±2或0B.2－52或0C.2±52D.2＋52或05．[2021·湖南衡阳八中月考]已知直线l 的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝12，则直线l 的方程为( )A.3x －y －2＝0B.3x ＋y －4＝0 C ．x －3y ＝0D.3x ＋3y －6＝0 6．[2021·安徽四校联考]直线l 经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＝0C ．x ＋3y －10＝0D ．x －3y ＋8＝07．一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <08．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝19．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π310．经过点(0，－1)且与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线方程为( ) A ．2x ＋3y ＋3＝0B ．2x ＋3y －3＝0 C ．2x ＋3y ＋2＝0D ．3x －2y －2＝0二、填空题11．若三点A (2,3)，B (3,2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 共线，则实数m ＝________. 12．直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．13．[2021·贵州遵义四中月考]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．14．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．能力练15．[2021·湖北孝感调研]已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 的方程为－kx ＋y ＋k －1＝0，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围为( )A ．k ≥34或k ≤－4 B.k ≥34或k ≤－14C ．－4≤k ≤34D.34≤k ≤416．[2021·山西大同重点中学模拟]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点A (4,0)，B (0,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线方程为( )A ．x －2y ＋3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －2y －3＝0D ．2x －y －3＝0 17．[2021·百所名校单元示范卷]直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)，m ∈R 两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围为________．参考答案：1．解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin30°cos150°＝33.故选A.答案：A2．解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.故选D.答案：D3．解析：由k ＝－3－2y －12－4＝tan 3π4＝－1.得－4－2y ＝2，∴y ＝－3.故选B. 答案：B4．解析：∵平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线， ∴k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.故选A. 答案：A5．解析：∵sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝12，∴cos θ＝－12，θ＝2π3，则tan θ＝－3，直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x ＋y －4＝0，故选B.答案：B6．解析：解法一设直线l 的斜率为k (k <0)，则直线l 的方程为y －3＝k (x －1)．x ＝0时，y ＝3－k ；y ＝0时，x ＝1－3k .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×(3－k )⎝⎛⎭⎫1－3k ＝6，整理得k 2＋6k ＋9＝0，解得k ＝－3，所以直线l 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0，故选A.解法二依题意，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则可得1a ＋3b ＝1且ab ＝12，解得a＝2，b ＝6，则直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0，故选A.答案：A7．解析：因为y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.故选B.答案：B8．解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B.∵1B＝－1，∴B ＝－1，故排除A ，D. 又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－3，故选B. 答案：B9．解析：直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则0≤θ<π，tan θ∈[1，3]．所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.故选B. 答案：B10．解析：∵直线2x ＋3y －4＝0的斜率为－23，与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线的斜率也为－23，∴经过点(0，－1)且斜率为－23的直线，其斜截式方程为y ＝－23x －1，整理得2x ＋3y ＋3＝0，故选A.答案：A11．解析：由题意得k AB ＝2－33－2＝－1，k AC ＝m －312－2.∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ， ∴m －312－2＝－1，解得m ＝92. 答案：9212．解析：如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3，所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)13．解析：当直线过原点时，直线斜率为3－02－0＝32，故直线方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，把(2,3)代入可得a ＝－1，故直线的方程为x －y＋1＝0.综上，所求直线方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0.答案：3x －2y ＝0或x －y ＋1＝014．解析：设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1 ①又因为直线与坐标轴围成的面积为1， ∴12|a |·|b |＝1 ② 由①②得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1ab ＝－2由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2，方程组(2)无解，故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 15．解析：直线l 的方程－kx ＋y ＋k －1＝0可化为k (1－x )＋y －1＝0，∴直线l 过定点P (1,1)，且与线段AB 相交，如图所示．直线P A 的斜率k P A ＝－3－12－1＝－4，直线PB 的斜率k PB ＝－2－1－3－1＝34，则k ≤－4或k ≥34.故选A.答案：A16．解析：∵线段AB 的中点为M (2,1)，k AB ＝－12，∴线段AB 的垂直平分线方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0，∵AC ＝BC ，∴△ABC 的外心，重心，垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x －y －3＝0，故选D.答案：D17．解析：直线l 的斜率存在且k l ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，又直线l 的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α<0或0≤tan α≤1，根据正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象，可得π2<α<π或0≤α≤π4，即倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π。

数学一轮复习练案50理+47文第八章解析几何第一讲直线的倾斜角斜率与直线的方程练习含解析

第八章解析几何第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程A组基础巩固一、选择题1．(2021·浙江衢州质检）直线x＋错误!y＋1＝0的倾斜角是(D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析］由直线的方程得直线的斜率为k＝－错误!，设倾斜角为α，则tanα＝－错误!，又α∈［0，π)，所以α＝错误!.2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1,k2，k3，则（D）A．k1<k2<k3B．k3〈k1〈k2C．k3〈k2〈k1D．k1〈k3〈k2[解析]直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1〈0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3,所以0〈k3〈k2,因此k1〈k3〈k2，故选D．3．直线3x＋2y＝6的倾斜角的余弦值为（B）A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误![解析］记直线3x＋2y＝6的倾斜角为α，则tan α＝－错误!，∴错误!＝错误!错误!,解得cos α＝－错误!，故选B．4．过点M（1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点,若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为（B）A．2x＋y＝0B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0［解析]设P(x0,0），Q（0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点,∴x0＝2，y0＝－4,∴直线PQ的方程为错误!＋错误!＝1，即2x－y－4＝0。

5．(2021·成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小错误!的直线方程是(A)A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2［解析]直线y＝－x－1的倾斜角为错误!,则所求直线的倾斜角为错误!，故所求直线斜率不存在，又直线过点（2，1)，所以所求直线方程为x＝2.6．（2021·重庆巴蜀中学诊断）直线x＋(a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（B)A．错误!B．错误!C．错误!∪错误!D．错误!∪错误!［解析]k＝－错误!∈［－1,0），因此倾斜角的取值范围错误!,选B．7．(2021·重庆一中期中)过点A（1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（D）A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0或x＋y－3＝0D．2x－y＝0或x－y＋1＝0［解析］当直线过原点时方程为y＝2x，即2x－y＝0，当直线不过原点时，设方程为xa＋错误!＝1，代入A的坐标求出a＝－1,方程为x－y＋1＝0，故选D．8．（2021·广东七校联考)若过点P（1－a，1＋a)和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（A) A．（－2，1）B．（－1，2)C．（－∞，0)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析］由题意知k＝错误!〈0，∴（a－1）（a＋2）<0，即－2〈a<1.故选A．9．(2021·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b,c应满足（A)A．ab>0，bc<0B．ab〉0,bc〉0C．ab〈0,bc>0D．ab<0,bc<0［解析］由题意可知直线斜率小于0，纵截距大于0，即错误!，∴错误!,故选A．10．如果A·C〈0，且B·C〈0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(C）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－错误!〉0知,在y轴上的截距－错误!〉0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．11．下列说法正确的是(A)A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．过点(0，2）的直线方程为y＝kx＋2C．过（x1，y1）,(x2，y2)两点的直线方程为错误!＝错误!D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0［解析］A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确,过点（0,2)的直线方程为y＝kx＋2或x＝0,所以B错误，C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误，D选项错误,还有一条截距都为0的直线y＝x。

2024届新高考一轮复习人教A版第八章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件(39张)

,解得 m=.
2.直线 2xcos α-y-3=0(α∈
A.
C.

,

,

B.
D.

,

)的倾斜角的变化范围是( B )

,

,

解析:直线 2xcos α-y-3=0 的斜率 k=2cos α.
由于α∈

, ,所以≤cos α≤ ,因此 k=2cos α∈[1, ].
x=ty+b.

1.(选择性必修第一册 P58 T7 改编)若直线经过两点 A(5,-m),B(-m,2m-1),且倾斜角为,
则 m 的值为( C )
A.2
B.3
C.-1
D.-

-+

--

解析:由题意可知 kAB=
=tan =1,解得 m=-1.

2.过点(1,0)且与直线 y=x-1 倾斜程度相同的直线方程是( A )

A.y=x-
B.y=x+
C.y=-2x+2
D.y=-x+

解析:依题意所求直线方程的斜率为 k= ,因此所求的直线方程为 y-0= (x-1),

即 y= x- .

3.直线-=1 在两坐标轴上的截距之和为( B )
A.1
B.-1
C.7
D.-7
解析:直线在x轴上截距为3,在y轴上截距为-4,因此截距之和为-1.

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配餐作业(五十)直线的倾斜角与斜率、直线方程
(时间：40分钟)
一、选择题
1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3 C.2π3D.5π6
解析由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－3
3
，所以α＝5π
6。

故选D 。

答案 D
2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2
－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )
A ．m ≠－3
2
B ．m ≠0
C ．m ≠0且m ≠1
D ．m ≠1
解析由⎩
⎪⎨⎪⎧
2m 2
＋m －3＝0，
m 2
－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线。

故选D 。

答案 D
3．(2016·德州一模)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π
4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，
则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析当π2<α<π时，tan α<0，即k <0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π
2，所
以p 是q 的必要不充分条件，故选B 。

答案 B
4．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0
D ．ab <0，bc <0
解析由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b 。

易知－a b <0且－c b
>0，故ab >0，bc <0。

故选A 。

答案 A
5．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m
＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )
解析直线方程x m －y
n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m n
x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号。

故选B 。

答案 B
6．(2017·西安模拟)若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值
范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0
解析由题意k PQ ＝0＋1
b 1a
－0
＝a
b ，∵ab <0，∴k PQ <0，直线的倾斜角为α，tan α＝k <0。

∴α
∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，π。