一元二次方程
一元二次方程
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为2（即“次”）的整式方程叫做一元二次方程（英文名：quadratic equation of one unknown）。
一元二次方程的标准形式（即所有一元二次方程经整理都能得到的形式）是ax^2+bx+c=0（a，b，c为常数，x为未知数，且a≠0）。
求根公式：x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
1方程定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程(quadratic equation of one variable 或a single-variable quadratic equation)。
一元二次方程有三个特点：(1)有且只含有一个未知数；(2)且未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。
(两边都是整式）要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。
若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
里面要有等号，且分母里不含未知数。
b^2-4ac求解任何一元二次方程，都可以直接用求根公式x=(-b±√b^2-4ac)/2a。
其中是根的判别式。
也可以用其他特殊方法求根。
2方程形式2.1一般式y=ax²+bx+c（a、b、c是实数，a≠0）配方式a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a两根式a(x-x1)(x-x2)=0公式法x=(-b±√b^2-4ac)/2a求根公式2.2十字相乘法x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）3解法3.1分解因式法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如1.解方程：x²+2x+1=0解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0解得：x1= x2=-12.解方程x（x+1）-2（x+1）=0解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0即x-2=0 或x+1=0∴x1=2，x2=-13.解方程x²-4=0解：（x+2）（x-2）=0x+2=0或x-2=0∴x1=-2，x2= 23.2十字相乘法公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+2b+a-b- 2=ab+a+b²-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)公式法（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b²-4ac<0时x无实数根（初中）2.当Δ=b²-4ac=0时x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b²-4ac>0时x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a来求得方程的根配方法（可解全部一元二次方程）如：解方程：x²+2x－3=0解：把常数项移项得：x²+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4因式分解得：（x+1)²=4解得：x1=-3,x2=1用配方法的小口诀：二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当开方法（可解部分一元二次方程）如：x²-24=1解：x²=25x=±5∴x1=5 x2=-5均值代换法（可解部分一元二次方程）ax²+bx+c=0同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。
一元二次方程公式
一元二次方程公式
一元二次方程的公式是：x=−b±b2−4ac2a(b2−4ac≥0)。
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax+bx+c=0（a≠0）。
其中ax叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。
一元二次方程的求解方法
1、公式法
在一元二次方程y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）中，当△＝b²-4ac＞0时，方程有两个解，根据求根公式x=（－b±√（b²-4ac））／2a即刻求出结果；△＝b²-4ac=0时，方程只有一个解x=-b/2a；△＝b²-4ac＜0时，方程无解。
2、配方法
将一元二次方程化成顶点式的表达式y=a（x-h）²+k（a≠0），再移项化简为（x-h）²=-k/a，开方后可得方程的解。
3、因式分解法
通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，即交点式的表达式y=a（x-x1）（x-x2），再分别令这两个因式等于0，它们的解就是原方程的解。
一元二次方程公式
一元二次方程公式引言一元二次方程是数学中一个重要的概念，在解决实际问题时起到了重要的作用。
本文将介绍一元二次方程的定义、一元二次方程公式的推导和应用实例。
一、定义一元二次方程指的是只含有一个未知数的二次方程。
通常表示为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c是已知的实数系数，且a不等于0，x为未知数。
二、一元二次方程公式的推导为了求解一元二次方程，我们需要先推导出一元二次方程的解的公式。
2.1 完全平方公式我们可以利用完全平方公式推导一元二次方程的解。
设一元二次方程为：ax^2 + bx + c = 0将方程两边移项，得：ax^2 + bx = -c考虑将左侧的二次项进行完全平方操作，即：(ax^2 + bx) + (\\frac{b}{2a})^2 = -c + (\\frac{b}{2a})^2化简得：(ax + \\frac{b}{2a})^2 = \\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}再开平方根得：ax + \\frac{b}{2a} = \\frac{\\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}继续移项可得：ax = -\\frac{b}{2a} \\pm \\frac{\\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}化简得：x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}这就是一元二次方程的解的公式，也被称为一元二次方程公式。
2.2 判别式在一元二次方程的解的公式中，我们还引入了一个判别式，即 b^2 - 4ac。
这个判别式可以进一步判断一元二次方程的解的性质。
•当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；•当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；•当判别式小于0时，方程无实根。
三、一元二次方程的应用实例一元二次方程的应用非常广泛，例如在物理学、经济学等领域都有着重要的应用。
以下是一个简单实例。
3.1 实例描述某公园门票价格为10元，游客数量每天变化不定。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程解法
一元二次方程解法一、知识要点一元二次方程是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。
一般形式为：y=ax2+bx+c=0, (a≠0) 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。
二、方法、例题精讲解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的方程，其解为x=±√n+m . 例1．解方程（1）(3x+1)^2;=7 （2）9x^2;-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2;，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号) ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3 （2）解：9x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=﹙4±√11﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3 2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1：x^2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x²-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2 将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= ? 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=? +(4/6 )² 配方：(x-4/6)²= ? +(4/6 )² 直接开平方得：x-4/6=±√[? +(4/6 )² ] ∴x= 4/6±√[? +(4/6 )² ] ∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。
一元二次方程公式口诀
一元二次方程公式口诀一元二次方程公式口诀：负b加减根号b的平方减4ac，全除以2a一元二次方程公式是数学中的重要概念，通过该公式可以解决各种与二次方程相关的问题。
为了方便记忆和应用，人们总结出了一元二次方程公式的口诀：负b加减根号b的平方减4ac，全除以2a。
这个口诀的简洁明了，通过这个口诀我们可以快速地计算出一元二次方程的解。
让我们来了解一下一元二次方程的基本形式：ax²+bx+c=0。
其中，a、b、c是已知的实数系数，x是未知数。
通过一元二次方程公式，我们可以求解出x的值，从而得到方程的解。
具体的计算步骤是这样的：首先，我们需要计算出方程中b的相反数，即-b。
然后，我们计算出b的平方，也就是b²。
接下来，我们计算出4ac。
将b的平方减去4ac，得到的结果再开平方，即根号b²-4ac。
最后，我们将-b加上或减去根号b²-4ac，最后将结果除以2a，即得到方程的解。
通过这个口诀，我们可以快速地计算出一元二次方程的解，避免了繁琐的计算步骤。
下面，我们通过一个具体的例子来演示一下。
假设我们有一个一元二次方程x²-5x+6=0，我们来求解它的解。
根据口诀，我们可以得出：负(-5)加减根号(-5)的平方减4乘以1乘以6，全除以2乘以1。
根据口诀的指导，我们可以先计算出方程中的各个数值，然后按照公式进行计算。
计算-b，即-(-5)，得到5。
然后，计算b的平方，即(-5)²，得到25。
接下来，计算4ac，即4乘以1乘以6，得到24。
将25减去24，得到1。
再开平方，得到根号1等于1。
最后，将5加上或减去1，得到6或4。
最后将结果除以2，得到3或2。
所以，这个一元二次方程的解是3和2。
通过这个例子，我们可以看到一元二次方程公式的口诀的实际应用价值。
通过几个简单的计算步骤，我们就可以得到方程的解。
这个口诀不仅简单易记，而且能够帮助我们快速地解决一元二次方程问题。
一元二次方程 万能公式
一元二次方程万能公式一元二次方程，这可是中学数学里的一个重要知识点啊！咱们先来说说啥是一元二次方程。
简单来讲，就是形如 ax² + bx + c = 0 （a≠0）这样的式子。
这里面 a 叫二次项系数，b 是一次项系数，c就是常数项。
那这万能公式又是啥呢？它就是 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。
这公式看着有点复杂，但它可厉害了，能帮咱们解出所有一元二次方程的根。
我记得我当年上中学的时候，有一次数学考试，就考到了一元二次方程。
当时有一道题，特别难，好多同学都没做出来。
那道题是这样的：已知方程 x² + 5x + 3 = 0，求它的根。
我一看，嘿，这不是正好能用万能公式嘛！于是我就静下心来，先算出 b² - 4ac 的值，也就是 5² -4×1×3 = 13。
然后把数值代入万能公式，一步一步算，最后算出了两个根。
那次考试，就因为这道题，我的数学成绩在班里名列前茅，可把我高兴坏了。
咱们再仔细瞧瞧这万能公式。
它里面的那个 ±符号很关键，这就意味着方程可能有两个不同的根。
比如说，当 b² - 4ac > 0 的时候，方程就有两个不相等的实数根；当b²- 4ac = 0 的时候，就只有一个实数根；而当 b² - 4ac < 0 时，方程就没有实数根，而是有两个共轭的复数根。
在实际解题中，万能公式真的特别好用。
不管方程的系数有多复杂，咱们只要把 a、b、c 的值找对，然后代入公式，就能求出根来。
不过呢，在计算的时候可得小心，别算错了数，尤其是开根号的时候。
咱们来举几个例子感受感受。
比如说方程 2x² - 3x - 5 = 0 ，这里 a =2 ，b = -3 ，c = -5 。
先算 b² - 4ac = (-3)² - 4×2×(-5) = 9 + 40 = 49 。
1元二次方程
1元二次方程
要解决一个一元二次方程，我们可以使用一些常见的方法，例如配方法、求根
公式或完全平方公式。
我将逐一解释这些方法。
首先，让我们考虑一般形式的一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和
c是已知的实数系数，而x是未知数。
1. 配方法：
配方法是通过将方程转化为一个完全平方的形式来求解。
具体步骤如下：
a) 将方程的左右两边移项，使等式等于零。
b) 如果a不等于1，可以通过将方程两边同时除以a来化简。
c) 将方程的中间项的系数b拆分为两个数的和，这两个数的乘积等于ac。
d) 将方程分解为两个括号的平方和，然后利用零乘积法则求解。
2. 求根公式：
一元二次方程的求根公式是通过使用以下公式来计算方程的解：
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
其中，±表示两个解，即正负号分别取加号和减号。
3. 完全平方公式：
对于特定的一元二次方程，可以使用完全平方公式来求解。
完全平方公式如下：(a ± √b)^2 = a^2 ± 2a√b + b
通过将方程转化为完全平方的形式，我们可以轻松地求解方程。
这些是解决一元二次方程的常见方法。
希望这些解释对你有所帮助。
如果你有
任何进一步的问题，请随时提问。
一元2次方程公式
一元2次方程公式
在数学中，一元二次方程公式是一种非常重要的概念，它可以用
来解决多种问题。
一元二次方程公式通常写成 ax^2 + bx + c = 0 的
形式，其中a、b、c是已知的数（a ≠ 0），x是未知数。
这样的方程也被称为二次方程。
尽管这个公式看起来很简单，但求解它的过程却非常复杂。
首先，我们可以使用这个公式来求解未知数x 的值，从而得出方程的解。
具体来说，我们需要将给定的数a、b和c代入公式，并使用求根公式来
求解x。
如果方程有两个实数解，则表示a、b和c的值满足特定关系。
如果方程没有实数解，则称该方程无解。
另外，我们也可以使用二次方程公式来解决实际生活中的问题。
例如，假设我们知道一个物体从地面上抛出，最高点的高度为h，抛出角度为α，则可以使用二次方程公式计算出物体抛出的初始速度v。
具体来说，我们可以使用以下公式：
v²sin²α/2g = h
其中，v表示物体的初始速度，α表示抛出角度，g表示重力加速度。
通过解这个方程，我们可以计算出初始速度v的值，从而得出物
体的抛出速度。
总的来说，一元二次方程公式是一种非常重要的数学公式，它可以被广泛应用到各个领域。
了解这个公式的意义和用途，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
一元二次方程三种解法
一元二次方程三种解法
一元二次方程是高中数学中比较重要的一个概念，它的解法也有很多种。
在本文中，将介绍三种解一元二次方程的方法。
第一种方法是配方法。
这种方法是将一元二次方程进行配方，将其化为完全平方形式，然后再进行求解。
例如，对于方程 x^2+4x+4=0，我们可以将其配方，得到 (x+2)^2=0，进而解得 x=-2。
第二种方法是公式法。
这种方法是利用一元二次方程的求根公式，直接求得方程的解。
对于方程 ax^2+bx+c=0，求根公式可以表示为：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
例如，对于方程 x^2-2x-3=0，我们可以
利用求根公式，得到 x=3 或 x=-1。
第三种方法是图像法。
这种方法是通过一元二次函数的图像来判断方程的解。
当一元二次函数的图像与 x 轴交于两个点时，方程有
两个实数解；当一元二次函数的图像与 x 轴交于一个点时，方程有
一个实数解；当一元二次函数的图像与 x 轴没有交点时，方程无解。
例如，对于方程 x^2-4x+3=0，我们可以画出其函数图像，发现其与 x 轴交于两个点，因此方程有两个实数解。
以上就是三种解一元二次方程的方法，它们各自有其适用的场合，需要根据实际情况选择合适的方法。
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一元二次方程（续）
问题:
一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少？ 分析：设苗圃的宽为x m ，则长为_______m ．
根据题意，得___________________．
整理，得________________________．
下面哪些数是上述方程的根？
0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？
虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一个答案，即宽为_______。
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的____________的值。
注意：由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解。
例题：
1.已知方程2390x x m -+=的一个根是1，则m 的值是______。
2.若222x x -=，则2243x x -+=_____________。
3.已知m 是方程260x x --=的一个根，则代数式2m m -=________。
4.已知x=-1是方程ax 2+bx+c=0的根（b ≠0），则
a c
b b
+=（ ）．
A ．1
B ．-1
C ．0
D ．2
5.如果x=1是方程ax 2+bx+3=0的一个根，求（a-b ）2+4ab 的值．
6. 在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21x x
-）2-2x 21x x -+1=0，•令21x x
-=y ，则有y 2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法），解决小明给出的问题：在（x 2-1）2+（x 2-1）=0中，求出（x 2-1）2+（x 2-1）=0的根．
7.已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋m 2－1=0有一个根是0，求m 的值．
解一元二次方程
直接开平方法
用平方根的知识求出下列方程的根
①2250x -= ②29160x -= ③
231x =
（2x+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
例题：
1.计算：用直接开平方法解下列方程：
（1）x 2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x 2+6x+9=2
（4）4m 2-9=0 （5）x 2+4x+4=1 （6）3(x-1)2-9=108
（7）(3x －2)(3x ＋2)=8．
（8）.063)4(22=--x
（9）(x －m )2=n ．(n 为正数) （10）9x 2+6x+1=4
2. 填空题
1．若8x 2-16=0，则x 的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．如果a 、b 为实数，满足34a ++b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______．
4.如果2
1=x 是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a 的解是_______
作业:
1.方程x （x-1）=2的两根为（ ）．
A ．x 1=0，x 2=1
B ．x 1=0，x 2=-1
C ．x 1=1，x 2=2
D ．x 1=-1，x 2=2
2.方程ax （x-b ）+（b-x ）=0的根是（ ）．
A ．x 1=b ，x 2=a
B ．x 1=b ，x 2=
1a C ．x 1=a ，x 2=1a
D ．x 1=a 2，x 2=b 2 3.如果x 2-81=0，那么x 2-81=0的两个根分别是x 1=________，x 2=__________．
4．已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________．
5．方程（x+1）2+2x （x+1）=0，那么方程的根x 1=______；x 2=________．
6.计算
3(x-1)2-6=0 x 2-4x+4=5 9x 2+6x+1=4。