启发式搜索
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启发式搜索启发式搜索1. 相关概念在宽度优先和深度优先搜索⾥⾯，我们都是根据搜索的顺序依次进⾏搜索，可以称为盲⽬搜索，搜索效率⾮常低。
⽽启发式搜索则⼤⼤提⾼了搜索效率，由这两张图可以看出它们的差别：什么是启发式搜索（heuristic search）⽤当前与问题有关的信息作为启发式信息，这些信息是能够提升查找效率以及减少查找次数的。
我们定义了⼀个估价函数h(x)。
h(x)是对当前状态x的⼀个估计，表⽰x状态到⽬标状态的距离。
1. h(x) >= 0；2. h(x)越⼩表⽰x越接近⽬标状态；3. 如果h(x) ==0，说明达到⽬标状态。
有了启发式信息还不⾏，还需要起始状态到x状态所花的代价，我们称为g(x)。
g(x)就是我们实际要求解的问题。
⽐如在⾛迷宫问题、⼋数码问题，我们的g(x)就是从起点到 x位置花的步数，h(x)就是与⽬标状态的曼哈顿距离或者相差的数⽬；在最短路径中，我们的g(x)就是起点到x点的最短距离，h(x)就是x点到⽬标结点的最短路或直线距离。
令F(x)=g(x)+h(x)，作为我们的搜索依据。
当F(x) = g(x)的时候就是⼀个等代价搜索，完全是按照花了多少代价去搜索。
⽐如bfs，我们每次都是从离得近的层开始搜索，⼀层⼀层搜；以及dijkstra算法，也是依据每条边的代价开始选择搜索⽅向。
当F(x) = h(x)的时候就相当于⼀个贪婪优先搜索。
每次都是向最靠近⽬标的状态靠近。
⼈们发现，等代价搜索虽然具有完备性，能找到最优解，但是效率太低。
贪婪优先搜索不具有完备性，不⼀定能找到解，最坏的情况下类似于dfs。
这时候，有⼈提出了A算法。
令F(x) = g(x) + h(x)。
（这⾥的h(x)没有限制）。
虽然提⾼了算法效率，但是不能保证找到最优解，不适合的h(x)定义会导致算法找不到解。
不具有完备性和最优性。
⼏年后有⼈提出了A*算法。
该算法仅仅对A算法进⾏了⼩⼩的修改。
并证明了当估价函数满⾜⼀定条件，算法⼀定能找到最优解。
2、启发式搜索
启发式搜索
主要内容
• 搜索及其类型 • 盲目搜索
–宽度优先搜索 宽度优先搜索 –深度优先搜索 深度优先搜索
• 启发式搜索与博弈
搜索及其类型
1、什么是搜索
–人工智能所要解决的问题大部分不具备明确的解题步 人工智能所要解决的问题大部分不具备明确的解题步 而只能是利用已有的知识一步一步地摸索前进。 骤，而只能是利用已有的知识一步一步地摸索前进。 –根据问题的实际情况不断寻找可利用的知识，从而构 根据问题的实际情况不断寻找可利用的知识， 根据问题的实际情况不断寻找可利用的知识 造一条代价较少的推理路线， 造一条代价较少的推理路线，使问题得到圆满解决的 过程称之为搜索 。
– 课件演示
• 8数码问题的宽度优先搜索过程 数码问题的宽度优先搜索过程
宽度优先搜索示例
8数码问题的宽度优先搜索树 数码问题的宽度优先搜索树
盲目搜索
• OPEN表 OPEN表
– 用来存放将要扩展的节点。 用来存放将要扩展的节点。
• CLOSE表 CLOSE表
– 在进行子节点的扩展时，为了避免同一个节点被重复扩展，可以 在进行子节点的扩展时，为了避免同一个节点被重复扩展， 把扩展过一次的节点，记录到CLOSED表中， CLOSED表中 把扩展过一次的节点，记录到CL扩展时的候选对象。
–基本思想 基本思想
• 从初始节点So开始，逐层地对节点进行扩展并考察它是否为 从初始节点So开始， So开始 目标节点，在第n层的节点没有全部扩展并考察之前， 目标节点，在第n层的节点没有全部扩展并考察之前，不对第 n+1层的节点进行扩展 它是一种先生成的节点先扩展 层的节点进行扩展。 先生成的节点先扩展的搜索 n+1层的节点进行扩展。它是一种先生成的节点先扩展的搜索 方法。 方法。
主要内容
• 搜索及其类型 • 盲目搜索
–宽度优先搜索 宽度优先搜索 –深度优先搜索 深度优先搜索
• 启发式搜索与博弈
搜索及其类型
1、什么是搜索
–人工智能所要解决的问题大部分不具备明确的解题步 人工智能所要解决的问题大部分不具备明确的解题步 而只能是利用已有的知识一步一步地摸索前进。 骤，而只能是利用已有的知识一步一步地摸索前进。 –根据问题的实际情况不断寻找可利用的知识，从而构 根据问题的实际情况不断寻找可利用的知识， 根据问题的实际情况不断寻找可利用的知识 造一条代价较少的推理路线， 造一条代价较少的推理路线，使问题得到圆满解决的 过程称之为搜索 。
– 课件演示
• 8数码问题的宽度优先搜索过程 数码问题的宽度优先搜索过程
宽度优先搜索示例
8数码问题的宽度优先搜索树 数码问题的宽度优先搜索树
盲目搜索
• OPEN表 OPEN表
– 用来存放将要扩展的节点。 用来存放将要扩展的节点。
• CLOSE表 CLOSE表
– 在进行子节点的扩展时，为了避免同一个节点被重复扩展，可以 在进行子节点的扩展时，为了避免同一个节点被重复扩展， 把扩展过一次的节点，记录到CLOSED表中， CLOSED表中 把扩展过一次的节点，记录到CL扩展时的候选对象。
–基本思想 基本思想
• 从初始节点So开始，逐层地对节点进行扩展并考察它是否为 从初始节点So开始， So开始 目标节点，在第n层的节点没有全部扩展并考察之前， 目标节点，在第n层的节点没有全部扩展并考察之前，不对第 n+1层的节点进行扩展 它是一种先生成的节点先扩展 层的节点进行扩展。 先生成的节点先扩展的搜索 n+1层的节点进行扩展。它是一种先生成的节点先扩展的搜索 方法。 方法。
第9章启发式搜索案例
通过在Tr中建立从n到M中每个成员的弧生成n的后继。
7)按照任意的模式或启发式方式对列表OPEN重新排序。
8)返回步骤3。
这个算法可用来执行最优搜索、广度优先 搜索或深度优先搜索。
在广度优先搜索中，新节点只要放在OPEN 的尾部即可(先进先出， FIFO)，节点不用重 排。
在深度优先搜索中，新节点放在OPEN的开 始(后进先出， LIFO)。
g(n)
(深度因子)是由A*发现的到节点n的最小代价路径的
代价。在算法A*中，我们用
f
0，就成为相同代价搜索。
引深问题： 如果要搜索的隐式图不是一棵树（有超过一个动作
序列能从开始状态到达相同的环境状态）会怎样呢?
把GRAPHSEARCH中的第6步改为：
的 3)如果OPEN为空，则失败并退出。
图 4)选出OPEN中的第一个节点，并将它从OPEN中移出，
搜 放入CLOSED中，称该节点为n。
索 5)如果n是目标节点，顺着Tr中的弧从n回溯到n0找到 算 一条路径，获得解决方案，则成功退出(弧在第6步产生)。
法 6)扩展节点n，生成n的后继节点集M（放入OPEN）。
A*的可接纳性
对图和 h 施加一些条件可以保证应用到图的算法A* 总能找到最小代价路径。
图的条件是： 1)图中每个节点的后继是有限的(如果有的话)； 2)图中所有弧的代价都大于某个正数ε。
1)假定有一个启发式(评估)函数， 可f以帮助确定下一个要 扩展的最优节点。我们采用一个约定，即 的值f 小表示找到了 好的节点（这个函数基于指定问题域的信息，它是状态描述 的一个实数值函数）。
2)下一个要扩展的节点n是 f值( n最)小的节点(假定节点扩展 产生一个节点的所有后继)。
启发式搜索(共49张PPT)
f(x)=g(x)+h(x)
其中：g(x)——从初始节点S0到节点x的实际代价； h(x)——从x到目标节点Sg的最优路径的评估代价，它体现了问
题的启发式信息，其形式要根据问题的特性确定，h(x)称为启发式 函数。
2022/10/14
6
评估函数
启发式方法把问题状态的描述转换 成了对问题解决程度的描述。
这一程度用评估函数的值来表示。
2022/10/14
7
评估函数
S
搜索图G
2022/10/14
n ng
初始状态节点S
f(n):s-n-ng的估计最小路径代价
g(n):s-n的实际路径代价 h(n): n-ng的估计最小路径代价
节点n
目标状态节点ng
8
启发式搜索A算法
A算法的设计与一般图搜索相同，划分为二个阶段：
IF f(ni)>f(n,ni) THEN 令f(ni)=f(n,ni)
修改指针指向新父结点n
排序OPEN表（f(n)值从小到大排序）
2022/10/14
10
2022/10/14
4功指1搜 未做.若.退针建扩C索nL出从立为展图O，n一S一节到GE个此,目的把点S只这解标已S表放条包是扩节中路到含追展点；径一节起踪，建而个点始图则立得叫表节G有一到中O，点解P个的沿其ES成N叫；的初着的
始为空表；
5.扩展节点n，同时生成不是n的 祖 M2出的.先若；这的OP些那EN成些表员子是作节空为点表n，的的则集后失合继败节M,退点把 添入搜索图G中；对于M中每个 子3把 表.节选中它点f择(，从nnO,称nOi,P计iP)E此EN=算N表节g表:(n上点移,n为的出i) +节并第h放点一(n进in)个；C节LO点SE，
其中：g(x)——从初始节点S0到节点x的实际代价； h(x)——从x到目标节点Sg的最优路径的评估代价，它体现了问
题的启发式信息，其形式要根据问题的特性确定，h(x)称为启发式 函数。
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6
评估函数
启发式方法把问题状态的描述转换 成了对问题解决程度的描述。
这一程度用评估函数的值来表示。
2022/10/14
7
评估函数
S
搜索图G
2022/10/14
n ng
初始状态节点S
f(n):s-n-ng的估计最小路径代价
g(n):s-n的实际路径代价 h(n): n-ng的估计最小路径代价
节点n
目标状态节点ng
8
启发式搜索A算法
A算法的设计与一般图搜索相同，划分为二个阶段：
IF f(ni)>f(n,ni) THEN 令f(ni)=f(n,ni)
修改指针指向新父结点n
排序OPEN表（f(n)值从小到大排序）
2022/10/14
10
2022/10/14
4功指1搜 未做.若.退针建扩C索nL出从立为展图O，n一S一节到GE个此,目的把点S只这解标已S表放条包是扩节中路到含追展点；径一节起踪，建而个点始图则立得叫表节G有一到中O，点解P个的沿其ES成N叫；的初着的
始为空表；
5.扩展节点n，同时生成不是n的 祖 M2出的.先若；这的OP些那EN成些表员子是作节空为点表n，的的则集后失合继败节M,退点把 添入搜索图G中；对于M中每个 子3把 表.节选中它点f择(，从nnO,称nOi,P计iP)E此EN=算N表节g表:(n上点移,n为的出i) +节并第h放点一(n进in)个；C节LO点SE，
第4章+图搜索技术_2(启发式)
g=0
h=3 f=3
A
优先队：FBH
设g 为已搜索的路程代价 h 为将付出的估计代价
F g=1 h=2 f=3 G h=1
B g=1 h=3 f=4
H g=1 h=4 f=5
F
h=3 A
h= 2
h=3
B
h=4
C
初始结点
h=2 h=3
D
h=1 h=2
E
h=0
目标结点
H
I
J
第4章 图搜索技术
(d)
A
算出f值对OPEN表重排序
(3)用于删除节点的选择，即用于决定应删除哪些
无用节点，以免造成进一步的时空浪费。
第4章 图搜索技术
一般来说启发信息过弱，产生式系统在找到一条 路径之前将扩展过多的节点，即求得解路径所需搜索 的耗散值（搜索花费的工作量）较大；相反引入强的 启发信息，有可能大大降低搜索工作量，但不能保证 找到最小耗散值的解路径（最佳路径），因此实际应
模式，需要具体问题具体分析。通常可以参考的思路 有：一个节点到目标节点的某种距离或差异的度量； 一个节点处在最佳路径上的概率；或者根据经验的主 观打分等等。例如，对于八数码难题，用h(x)就可表 示节点x的数码格局同目标节点相比，数码不同的位 置个数。
第4章 图搜索技术
4.启发式搜索算法
启发式搜索要用启发函数来导航，其搜索算法就 要在状态图一般搜索算法基础上再增加启发函数值的 计算与传播过程，并且由启发函数值来确定节点的扩 展顺序。为简单起见，下面我们仅给出树型图的树式 搜索的两种策略。
第4章 图搜索技术
4.1.5 加权状态图搜索
1. 加权状态图与代价树 例4.6 图4—8(a)是一个交通图，设A城是出发地，E 城是目的地，边上的数字代表两城之间的交通费。试 求从A到E最小费用的旅行路线。
人工智能导论-第3章 搜索求解1 - 启发式搜索
个标号为A的结点所对应状态相同，但是这三个
节点在搜索树中却是不同结点，因为它们分别代
表了从初始状态出发到达城市 A 的三条不同路径。
这三个结点表示的路径分别为：A → B → A、
A → D → A和A → E → A。因此需要注意的是，在
搜索树中，同一个标号一定表示相同的状态，其
含义为智能体当前所在的城市，但是一个标号可
达每个状态（城市）的最短路径。在处理通向相同状态的不同路径时，算法会更新当前的
前驱状态。
图3.7 修改后图搜索A*算法扩展A→E→G结点，红色实线表示
当前搜索树中的边，虚线表示不在搜索树中的边
搜索算法：A*算法性能分析
图搜索A*算法满足最优性（方法二）：
要求启发函数满足一致性
引理3.1：启发函数满足一致性条件时，给定一个从搜索树中得到的结点序列，每个结
ถ
=
+
评价函数 起始结点到结点代价
(当前最小代价)
B
5
5
3
D
4
I
C
A
5
7
6
4
E
4
H
G
J
3
3
3
F
7
K
5
6
L
()
ถ
结点到目标结点代价
(后续估计最小代价)
状态
A
h(n)
13 10 6 12 7 8 5 3 6 3 0 6
B C D
E F G H I J K L
A*算法
搜索算法：A*算法
搜索算法：启发函数与评价函数
贪婪最佳优先搜索
所求解问题之外、与所求解
问题相关的特定信息或知识。
节点在搜索树中却是不同结点，因为它们分别代
表了从初始状态出发到达城市 A 的三条不同路径。
这三个结点表示的路径分别为：A → B → A、
A → D → A和A → E → A。因此需要注意的是，在
搜索树中，同一个标号一定表示相同的状态，其
含义为智能体当前所在的城市，但是一个标号可
达每个状态（城市）的最短路径。在处理通向相同状态的不同路径时，算法会更新当前的
前驱状态。
图3.7 修改后图搜索A*算法扩展A→E→G结点，红色实线表示
当前搜索树中的边，虚线表示不在搜索树中的边
搜索算法：A*算法性能分析
图搜索A*算法满足最优性（方法二）：
要求启发函数满足一致性
引理3.1：启发函数满足一致性条件时，给定一个从搜索树中得到的结点序列，每个结
ถ
=
+
评价函数 起始结点到结点代价
(当前最小代价)
B
5
5
3
D
4
I
C
A
5
7
6
4
E
4
H
G
J
3
3
3
F
7
K
5
6
L
()
ถ
结点到目标结点代价
(后续估计最小代价)
状态
A
h(n)
13 10 6 12 7 8 5 3 6 3 0 6
B C D
E F G H I J K L
A*算法
搜索算法：A*算法
搜索算法：启发函数与评价函数
贪婪最佳优先搜索
所求解问题之外、与所求解
问题相关的特定信息或知识。
启发式搜索算法
启发式搜索算法
目录页
Contents Page
1. 启发式搜索算法定义 2. 启发式搜索算法分类 3. 启发式函数的设计与选择 4. A*算法的原理与实现 5. Dijkstra算法的原理与实现 6. 启发式搜索的应用场景 7. 启发式搜索的性能分析 8. 总结与未来展望
启发式搜索算法
启发式搜索算法定义
1.启发式搜索算法的时间复杂度取决于搜索空间的大小、启发 函数的计算复杂度以及搜索策略。 2.在一般情况下，启发式搜索算法的时间复杂度高于普通搜索 算法，因为需要计算启发函数值。 3.通过优化启发函数和搜索策略，可以降低启发式搜索算法的 时间复杂度。
▪ 启发式搜索算法的空间复杂度
1.启发式搜索算法的空间复杂度取决于搜索过程中需要保存的 信息数量。 2.在一般情况下，启发式搜索算法的空间复杂度高于普通搜索 算法，因为需要保存更多的节点和路径信息。 3.通过优化数据结构和搜索策略，可以降低启发式搜索算法的 空间复杂度。
A*算法的未来发展与趋势
1.随着人工智能和机器学习技术的不断发展，A*算法可以与这些技术相结合，进一步提高搜索效率 和精度。 2.未来A*算法的研究可以更加注重实际应用场景，针对具体问题进行优化和改进，提高算法的可靠 性和鲁棒性。 3.A*算法的发展趋势是向着更高效、更精确、更智能的方向发展，为各个领域的问题求解提供更加 优秀的解决方案。
启发式搜索算法分类
▪ 粒子群优化算法
1.粒子群优化算法是一种基于群体行为的启发式搜索算法，通 过粒子间的协作和竞争来寻找最优解。 2.该算法具有较快的收敛速度和较高的搜索效率，适用于处理 连续和多峰值问题。 3.粒子群优化算法需要合理设计粒子行为和更新规则，以提高 搜索性能和精度。
▪ 蚁群优化算法
目录页
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1. 启发式搜索算法定义 2. 启发式搜索算法分类 3. 启发式函数的设计与选择 4. A*算法的原理与实现 5. Dijkstra算法的原理与实现 6. 启发式搜索的应用场景 7. 启发式搜索的性能分析 8. 总结与未来展望
启发式搜索算法
启发式搜索算法定义
1.启发式搜索算法的时间复杂度取决于搜索空间的大小、启发 函数的计算复杂度以及搜索策略。 2.在一般情况下，启发式搜索算法的时间复杂度高于普通搜索 算法，因为需要计算启发函数值。 3.通过优化启发函数和搜索策略，可以降低启发式搜索算法的 时间复杂度。
▪ 启发式搜索算法的空间复杂度
1.启发式搜索算法的空间复杂度取决于搜索过程中需要保存的 信息数量。 2.在一般情况下，启发式搜索算法的空间复杂度高于普通搜索 算法，因为需要保存更多的节点和路径信息。 3.通过优化数据结构和搜索策略，可以降低启发式搜索算法的 空间复杂度。
A*算法的未来发展与趋势
1.随着人工智能和机器学习技术的不断发展，A*算法可以与这些技术相结合，进一步提高搜索效率 和精度。 2.未来A*算法的研究可以更加注重实际应用场景，针对具体问题进行优化和改进，提高算法的可靠 性和鲁棒性。 3.A*算法的发展趋势是向着更高效、更精确、更智能的方向发展，为各个领域的问题求解提供更加 优秀的解决方案。
启发式搜索算法分类
▪ 粒子群优化算法
1.粒子群优化算法是一种基于群体行为的启发式搜索算法，通 过粒子间的协作和竞争来寻找最优解。 2.该算法具有较快的收敛速度和较高的搜索效率，适用于处理 连续和多峰值问题。 3.粒子群优化算法需要合理设计粒子行为和更新规则，以提高 搜索性能和精度。
▪ 蚁群优化算法
《启发式图搜索》课件
启发式图搜索的应用场景
路径规划
游戏AI
在交通网络、通信网络等领域，启发 式图搜索算法可用于寻找最优路径， 如最短路径、最低成本路径等。
在游戏AI中，启发式图搜索算法可用 于实现游戏角色的行为规划、决策制 定等。
社交网络分析
在社交网络分析中，启发式图搜索算 法可用于发现社区结构、传播路径等 。
02 基础知识
启发式函数通常用于评估节点或边的 价值，以便在搜索过程中优先探索更 有希望的节点或边。
为什么我们需要启发式图搜索
解决大规模图搜索问题
启发式图搜索算法能够在大规模图中高效地找到最优路径，适用于诸如社交网络、交通网络等大规模图数据。
提高搜索效率
通过利用启发式信息，启发式图搜索算法可以在搜索过程中避免不必要的节点或边的探索，从而显著提高搜索效 率。
一种用于解决大规模稀疏图中带负权 重的最短路径问题的启发式图搜索算 法。
特点： Johnson算法在处理大规模稀 疏图时具有较好的性能，但在稠密图 或节点间距离变化较大的情况下可能 效果不佳。
Johnson算法通过预处理和后处理两 个阶段来找到最短路径，能够高效地 处理大规模稀疏图。
04 启发式图搜索的性能优化
游戏AI
要点一
总结词
游戏AI是启发式图搜索算法在游戏领域的应用，通过实现 智能决策和路径规划，可以提高游戏的可玩性和挑战性。
要点二
详细描述
在游戏AI中，启发式图搜索算法被用于实现智能决策和路 径规划。在角色扮演游戏、即时战略游戏等类型中，AI需 要能够根据游戏规则和环境信息进行智能决策和行动。通 过使用启发式图搜索算法，AI可以更高效地找到最优策略 和行动路径，提高游戏的可玩性和挑战性。
05 实际应用与案例分析
启发式搜索
搜索状态空间的算法。
例：一字棋游戏
选择“最好优先”算法 每种状态都标记了启发值 简化了搜索过程
启发式搜索和估价函数
在智能活动中使用最多的不是具有完备性的算法，而 是不一定完备的启发式方法。 对问题空间进行搜索时，提高搜索效率需要有和解有 关的大量控制性知识作为搜索的辅助性策略。 控制信息反映在估价函数中。 估价函数的任务就是估计待搜索结点的重要程度。
状态空间
爬山法的变形
随机爬山法 首选爬山法 随机重新开始爬山法
5.2.2 最好优先搜索法
❖ 定义：
Best-first Search (Ordered Search) 在AI图解搜索中，结点扩展的顺序是根据待扩展结点
的评价函数值 f(x)来决定，即将评价函数值最佳的结 点最先扩展，搜索方法是靠 f 值指导搜索顺序的。
启发式搜索
❖ “启发” (heuristic) 是关于发现和发明规则及方法的 研究。在状态空间搜索中,启发式被定义成一系列规 则,它从状态空间中选择最有希望到达问题解的路径。
❖ 有信息的搜索策略——是一种在问题本身的定义之外 还利用问题的特定知识的策略。
启发性信息
❖ 启发性信息的种类 有效地帮助确定扩展节点的信息； 有效的帮助决定哪些后继节点应被生成的信息； 能决定在扩展一个节点时哪些节点应从搜索树上删除的信息。
❖ 如果h(n)=0，g(n)=d(n) 时，就是广度优先搜索法。一般讲在 f(n) 中，g(n)的比重越大，越倾向于广度优先搜索；h(n)的比 重越大，越倾向于深度优先搜索。
❖ 有了f(n)，就可以对各个待扩展结点的价值进行估计，从 OPEN表中选择出最有希望的结点扩展。
5.2.2 最好优先搜索法
f (n) g(n) h(n)
例：一字棋游戏
选择“最好优先”算法 每种状态都标记了启发值 简化了搜索过程
启发式搜索和估价函数
在智能活动中使用最多的不是具有完备性的算法，而 是不一定完备的启发式方法。 对问题空间进行搜索时，提高搜索效率需要有和解有 关的大量控制性知识作为搜索的辅助性策略。 控制信息反映在估价函数中。 估价函数的任务就是估计待搜索结点的重要程度。
状态空间
爬山法的变形
随机爬山法 首选爬山法 随机重新开始爬山法
5.2.2 最好优先搜索法
❖ 定义：
Best-first Search (Ordered Search) 在AI图解搜索中，结点扩展的顺序是根据待扩展结点
的评价函数值 f(x)来决定，即将评价函数值最佳的结 点最先扩展，搜索方法是靠 f 值指导搜索顺序的。
启发式搜索
❖ “启发” (heuristic) 是关于发现和发明规则及方法的 研究。在状态空间搜索中,启发式被定义成一系列规 则,它从状态空间中选择最有希望到达问题解的路径。
❖ 有信息的搜索策略——是一种在问题本身的定义之外 还利用问题的特定知识的策略。
启发性信息
❖ 启发性信息的种类 有效地帮助确定扩展节点的信息； 有效的帮助决定哪些后继节点应被生成的信息； 能决定在扩展一个节点时哪些节点应从搜索树上删除的信息。
❖ 如果h(n)=0，g(n)=d(n) 时，就是广度优先搜索法。一般讲在 f(n) 中，g(n)的比重越大，越倾向于广度优先搜索；h(n)的比 重越大，越倾向于深度优先搜索。
❖ 有了f(n)，就可以对各个待扩展结点的价值进行估计，从 OPEN表中选择出最有希望的结点扩展。
5.2.2 最好优先搜索法
f (n) g(n) h(n)
人工智能、启发式搜索
启发式搜索信息工程学院计算机科学与技术118班路振中一、何谓启发式搜索启发式搜索算法有点像广度优先搜索，不同的是，它会优先顺着有启发性和具体特定信息的节点搜索下去，这些节点可能是到达目标的最好路径。
我们称这个过程为最优（best-first）或启发式搜索下面是其基本思想：(1) 假定有一个启发式(评估)函数ˆf ，可以帮助确定下一个要扩展的最优节点，我们采用一个约定，即ˆf的值小表示找到了好的节点。
这个函数基于指定问题域的信息，它是状态描述的一个实数值函数。
(2) 下一个要扩展的节点n是ˆf(n)值最小的节点(假定节点扩展产生一个节点的所有后继)。
(3) 当下一个要扩展的节点是目标节点时过程终止二、典例A搜索算法描述用最优搜索算法详细说明GRAPHSEARCH。
最优搜索算法根据函数的增加值，(在上述第7步)重排OPEN中的节点。
把GRAPHSEACH的这种算法称为算法A。
下面将会看到，定义使A执行广度搜索或相同代价搜索的函数是可行的。
为了确定要用的函数族，必须先介绍一些其他符号。
设g(n) = 从开始节点n0到节点n的一个最小代价路径的代价。
设h(n) =节点n和目标节点（遍及所有可能的目标节点以及从n到它们的所有可能路径）之间的最小代价路径的实际代价。
那么f(n) = g(n) + h(n)就是从n0到目标节点并且经过节点n的最小代价路径的代价。
注意f(n0)= h(n0)是从n0到目标节点的一个（不受限的）最小代价路径的代价。
对每个节点n，设gˆ(n)（深度因子）是由A*发现的到节点n的最小代价路径的代价，hˆ(n)（启发因子）是h(n)的某个估计。
在算法A中，我们用ˆf(n)= gˆ(n)+ hˆ(n)。
A算法流程：(1)生成一个只包含开始节点n0的搜索图G，把n0放在一个叫OPEN的列表上。
(2)生成一个列表CLOSED，它的初始值为空。
(3)如果OPEN为空，则失败退出。
(4)选择OPEN上的第一个节点，把它从OPEN中移入CLOSED，称该节点为n。
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① n*在到达目标的一条最优路径上 ② A*已经发现了到达n*的一条最优路径 ③ f (n* ) ≤ f* (n*)
最优路径：n0 , n1 , … ,n* , np ,… ,G
n1 n0
n*
np G
引理一证明（ห้องสมุดไป่ตู้）
• 数学归纳法 • 当m=1时，也就在是算法的第一步：仅有初 始结点n0被放入Open表中。令n*= n0, 因为 是n0起点，所以n0必然在从n0到目标的一条 最优路径上,而且g (n0)=0 ， g *(n0)=0 。
启发式搜索
yinbaoyong@
启发式信息加速搜索
• 盲目搜索的缺陷 • 改进： 改进：根据与问题相关的知 识问题，引入启发式信息。 • 策略： 策略：从初始结点S出发， 选择离目标最近 离目标最近的子节点 离目标最近 扩展。 • 定义：f(n)为经过结点n的 定义：f 且从起点到目标的最短路径 长度的估计函数。 f(n)的值 越小，表示路径越短
up down left
1+3 2 8 3 1 4 7 6 5 2+3 2 3 1 8 4 7 6 5
left up right
1+5 2 8 3 1 6 4 7 5 2+4 2 8 3 1 4 7 6 5 3+4 2 3 1 8 4 7 6 5
right
3+3 8 3 2 1 4 7 6 5
3+4 2 8 3 7 1 4 6 5
结点n
目标
如何设计可采纳的启发式函数?
• 组合启发式函数：如果已有h1, h2 ,······, hm等可采纳 启发式函数，那么：
h = max(h1, h2 ,······, hm)
• 从经验中学习：已知某些特征x1与x2和h有关，但 不知道具体的关系，那么可以定义 h=c1x1 +c2x2 通过学习调整c1与c2。 • ABSOLVER程序能自动生成启发式。魔方的第一 个有用的启发式就是它找到的 • 模式数据库
– 由于n*处在从n0到目标的一条最优路径上，所 以它的后继结点中，至少有一个结点np在最优 路径上。所以引理1的结论1成立。 – A*找到了从n0到np的一条最优路径。（反证法） 如果存在一条到达np更好的路径，那么它也是 到达目标的更好路径，这与n*处在最优路径上 矛盾。所以引理1的结论2成立。
A算法——伪代码
1. 2. 3. 4. 5. 6. 初始化open表、closed表为空，定义s为初始状态结点。 计算f(s) := g(s) + h(s)。将s加入到open表中。 如果open表为空，则搜索失败退出， 否则从open表中取出第一个结点n，将n插入到closed表中 如果n是目标结点，搜索成功，返回问题的解 应用每一个可用的算子Opi ，扩展n生成子结点 mi， a) 计算g(mi)=g(n)+ C(n, mi); f=g(mi)+h(mi); b) 如果mi已经存在于open表中或者在closed表中，且先前 计算的g(mi)小于等于当前的g(mi)，那么goto 6。否则从 open表或closed表中取出与mi相同的子结点mi’ c) 令mi ：= mi’ ，将mi的父指针指向n d) 将结点mi插入到open表，然后将open表按f值排序。 7. goto 3
引理一证明（4）
• 引理1的结论3的证明 由结论2可知： g(n*)=g*(n*) 因为 g (np) = g (n*)+cost(n*, np) g*(np) = g*(n*)+cost(n*, np) 所以 g(np)=g*(np) f (np)= g(np) +h(np)= g* (np)+h (np) 又因为h(np) ≤ h* (np) 所以 f (np) ≤ g* (np)+h* (np)= f* (np) f (np) ≤ f* (np) = f* (n0) • 引理1在算法的第m+1步也成立。根据数学归纳法，引理 引理1
A算法——数据结构
• 结点n需要以下属性：
– 用于识别相同结点的标志ID – g, f, h – 指向父结点的指针
• open表用优先级队列实现，并提供以下操作 open
– – – – add_sort (open, n) get_first (open, n) search( open, n) remove(open,n)
3+2 2 3 1 8 4 7 6 5
down
4+1 1 2 3 8 4 7 6 5 5+0 1 2 3 8 4 7 6 5
right
5+1 1 2 3 7 8 4 6 5
down
启发式搜索算法——A算法
• 定义g(n)为已发现 已发现的初始结点到结点n所有 已发现 路径中的最短路径的代价。 • 定义h(n)为结点n到目标结点的最短路径长 度的估计，也称启发式函数。 • f(n) =g(n)+ h(n) • 利用f 加速搜索的算法 • 使用Open表、Closed表
A*算法的灵通性
• 如果A*算法的两个版本A2和A1，其差别在 于，对所有的非目标结点有：h1 < h2，那么 A2比A1更灵通 • 定理二 如果A2比A1更灵通，那么对任意一 个图，如果存在从n 0到目标结点的一条路 径，在搜索终止时，被A2扩展过的结点也 被A1扩展过。
• • • •
最灵通的算法是h≡h* 相同代价搜索h≡0 爬山法 f=h A算法f=g+h
• 定理1：如果图和h(n)具有上述稳定条件 稳定条件，而且 稳定条件 从开始结点n0到目标结点有一条有限代价的路径 有一条有限代价的路径， 有一条有限代价的路径 那么A*算法保证终止于到达目标的一条最小代 最小代 价路径。 价路径
A*算法的可采纳性
• 引理1： 在A*终止前的每一步，总有一个 结点n* ，它在Open表中，并具有一下特 性：
5
2
演示
A搜索过程示意图
广度优先
A搜索
最优搜索算法——A*算法
• A*算法流程与A算法完全一样 • 启发式函数
– A算法对h(n)没有任何要求 – A*算法要求 对每一个节点，h(n) ≤ h*(n)。例如 h(n)=0
• 解的效果
– A算法不保证找到最优解 – A*算法保证找到最优解
A*算法的可采纳性
单调条件演示
A*算法的改进
• 缺陷：
– 有可能反复扩展同一个节点
• 改进：
– 设计满足单调条件的启发式函数 – 修改算法过程
如何设计可采纳的启发式函数?
• 根据问题特征设计h，例如八数码问题
– – – – h1位置不一致的棋子数目 h1 (n)=1+1+0+1+1+0+0+0=4 h2所有棋子到其目标位置的距离和 h2 (n)=1+2+0+1+1+0+0+0=5
h(n)对搜索效率的影响
• 二维地图上的路径规 划
– – – – – h1=0 h2取欧氏距离 h3取城市距离 h4取10倍的欧氏距离 h5取20倍的欧氏距离 h1 h2 h3 h4 h5 代价 136.1 136.1 138.0 304.0 468.5 结点 12002 2045 672 147 131
深度优先
广度优 先 h≡0 h≤h* f=g+h f=h
• 广度优先搜索与相同 代价搜索都是可采纳 的
演示
A*算法的单调条件
• 单调条件（一致性条件） 如果nj是ni的后继，那么 h(ni) - h(nj)≤ c (ni, nj) • 定理三 如果h满足单调条件，那么当A*扩展到结 点n时，它已经找到了到达结点n的一条最优路径 • A*不需要重定向指针，对图的搜索等同于对树的 搜索
g * ( n)
h * ( n)
八数码问题
令g (n)为初始结点到结点n的深度 令h(n)为位置不正确的数字个数
h( n) = 1
1 2 3 8 4 7 6 5
0+4 2 8 3 1 6 4 7 5
left up right
1+5 2 8 3 1 6 4 7 5 2+3 2 8 3 1 4 7 6 5
• 可采纳性
– 对任意的图，当存在初始状态s到目标节点g的 路径的时候，如果搜索算法总是在s到g的最佳 路径上停止搜索，则称该算法是可采纳的。 – A*算法是可采纳的
• A*算法
– 能找到最优解吗？ – 在什么情况下能找到最优解？
A*算法的可采纳性
• 稳定条件
– 图中的每个结点的后继结点是有限的。 – 图中的弧的代价都大于某个正数ε 。 – 对图中的所有结点n， h(n) ≤ h*(n) 。也就是说h (n)决 不会超过实际值h* (n)
引入f(n)的搜索过程 f
S 4 4 4 G 3 3 4 4 4 4
n0 n1
S n
f(n)
nk
G
f(n)＝？
• f(n) =g(n) + h(n) (
– g(n)表示起始结点到n的 ( 最短路径长度的估计 – h(n)表示n到目标结点的 最短路径长度的估计
g (n)
• g=? h=? g=? h=?
•
于是，当算法处在第m+1步时，有两种情况：
– –
最优路径：n0 , n1 , … ,n* , np ,… ,G
第m+1步，n*没有被扩展，结点x被扩展
最优路径：n0 , n1 , … ,n* , np ,… ,G
n1 n0
n*
np G
第m+1步 结点n*被扩展
引理一证明（3）
• n*被扩展：它的所有后继结点都被放入 Open表中。
最优路径：n0 , n1 , … ,n* , np ,… ,G
n1 n0
n*
np G
引理一证明（ห้องสมุดไป่ตู้）
• 数学归纳法 • 当m=1时，也就在是算法的第一步：仅有初 始结点n0被放入Open表中。令n*= n0, 因为 是n0起点，所以n0必然在从n0到目标的一条 最优路径上,而且g (n0)=0 ， g *(n0)=0 。
启发式搜索
yinbaoyong@
启发式信息加速搜索
• 盲目搜索的缺陷 • 改进： 改进：根据与问题相关的知 识问题，引入启发式信息。 • 策略： 策略：从初始结点S出发， 选择离目标最近 离目标最近的子节点 离目标最近 扩展。 • 定义：f(n)为经过结点n的 定义：f 且从起点到目标的最短路径 长度的估计函数。 f(n)的值 越小，表示路径越短
up down left
1+3 2 8 3 1 4 7 6 5 2+3 2 3 1 8 4 7 6 5
left up right
1+5 2 8 3 1 6 4 7 5 2+4 2 8 3 1 4 7 6 5 3+4 2 3 1 8 4 7 6 5
right
3+3 8 3 2 1 4 7 6 5
3+4 2 8 3 7 1 4 6 5
结点n
目标
如何设计可采纳的启发式函数?
• 组合启发式函数：如果已有h1, h2 ,······, hm等可采纳 启发式函数，那么：
h = max(h1, h2 ,······, hm)
• 从经验中学习：已知某些特征x1与x2和h有关，但 不知道具体的关系，那么可以定义 h=c1x1 +c2x2 通过学习调整c1与c2。 • ABSOLVER程序能自动生成启发式。魔方的第一 个有用的启发式就是它找到的 • 模式数据库
– 由于n*处在从n0到目标的一条最优路径上，所 以它的后继结点中，至少有一个结点np在最优 路径上。所以引理1的结论1成立。 – A*找到了从n0到np的一条最优路径。（反证法） 如果存在一条到达np更好的路径，那么它也是 到达目标的更好路径，这与n*处在最优路径上 矛盾。所以引理1的结论2成立。
A算法——伪代码
1. 2. 3. 4. 5. 6. 初始化open表、closed表为空，定义s为初始状态结点。 计算f(s) := g(s) + h(s)。将s加入到open表中。 如果open表为空，则搜索失败退出， 否则从open表中取出第一个结点n，将n插入到closed表中 如果n是目标结点，搜索成功，返回问题的解 应用每一个可用的算子Opi ，扩展n生成子结点 mi， a) 计算g(mi)=g(n)+ C(n, mi); f=g(mi)+h(mi); b) 如果mi已经存在于open表中或者在closed表中，且先前 计算的g(mi)小于等于当前的g(mi)，那么goto 6。否则从 open表或closed表中取出与mi相同的子结点mi’ c) 令mi ：= mi’ ，将mi的父指针指向n d) 将结点mi插入到open表，然后将open表按f值排序。 7. goto 3
引理一证明（4）
• 引理1的结论3的证明 由结论2可知： g(n*)=g*(n*) 因为 g (np) = g (n*)+cost(n*, np) g*(np) = g*(n*)+cost(n*, np) 所以 g(np)=g*(np) f (np)= g(np) +h(np)= g* (np)+h (np) 又因为h(np) ≤ h* (np) 所以 f (np) ≤ g* (np)+h* (np)= f* (np) f (np) ≤ f* (np) = f* (n0) • 引理1在算法的第m+1步也成立。根据数学归纳法，引理 引理1
A算法——数据结构
• 结点n需要以下属性：
– 用于识别相同结点的标志ID – g, f, h – 指向父结点的指针
• open表用优先级队列实现，并提供以下操作 open
– – – – add_sort (open, n) get_first (open, n) search( open, n) remove(open,n)
3+2 2 3 1 8 4 7 6 5
down
4+1 1 2 3 8 4 7 6 5 5+0 1 2 3 8 4 7 6 5
right
5+1 1 2 3 7 8 4 6 5
down
启发式搜索算法——A算法
• 定义g(n)为已发现 已发现的初始结点到结点n所有 已发现 路径中的最短路径的代价。 • 定义h(n)为结点n到目标结点的最短路径长 度的估计，也称启发式函数。 • f(n) =g(n)+ h(n) • 利用f 加速搜索的算法 • 使用Open表、Closed表
A*算法的灵通性
• 如果A*算法的两个版本A2和A1，其差别在 于，对所有的非目标结点有：h1 < h2，那么 A2比A1更灵通 • 定理二 如果A2比A1更灵通，那么对任意一 个图，如果存在从n 0到目标结点的一条路 径，在搜索终止时，被A2扩展过的结点也 被A1扩展过。
• • • •
最灵通的算法是h≡h* 相同代价搜索h≡0 爬山法 f=h A算法f=g+h
• 定理1：如果图和h(n)具有上述稳定条件 稳定条件，而且 稳定条件 从开始结点n0到目标结点有一条有限代价的路径 有一条有限代价的路径， 有一条有限代价的路径 那么A*算法保证终止于到达目标的一条最小代 最小代 价路径。 价路径
A*算法的可采纳性
• 引理1： 在A*终止前的每一步，总有一个 结点n* ，它在Open表中，并具有一下特 性：
5
2
演示
A搜索过程示意图
广度优先
A搜索
最优搜索算法——A*算法
• A*算法流程与A算法完全一样 • 启发式函数
– A算法对h(n)没有任何要求 – A*算法要求 对每一个节点，h(n) ≤ h*(n)。例如 h(n)=0
• 解的效果
– A算法不保证找到最优解 – A*算法保证找到最优解
A*算法的可采纳性
单调条件演示
A*算法的改进
• 缺陷：
– 有可能反复扩展同一个节点
• 改进：
– 设计满足单调条件的启发式函数 – 修改算法过程
如何设计可采纳的启发式函数?
• 根据问题特征设计h，例如八数码问题
– – – – h1位置不一致的棋子数目 h1 (n)=1+1+0+1+1+0+0+0=4 h2所有棋子到其目标位置的距离和 h2 (n)=1+2+0+1+1+0+0+0=5
h(n)对搜索效率的影响
• 二维地图上的路径规 划
– – – – – h1=0 h2取欧氏距离 h3取城市距离 h4取10倍的欧氏距离 h5取20倍的欧氏距离 h1 h2 h3 h4 h5 代价 136.1 136.1 138.0 304.0 468.5 结点 12002 2045 672 147 131
深度优先
广度优 先 h≡0 h≤h* f=g+h f=h
• 广度优先搜索与相同 代价搜索都是可采纳 的
演示
A*算法的单调条件
• 单调条件（一致性条件） 如果nj是ni的后继，那么 h(ni) - h(nj)≤ c (ni, nj) • 定理三 如果h满足单调条件，那么当A*扩展到结 点n时，它已经找到了到达结点n的一条最优路径 • A*不需要重定向指针，对图的搜索等同于对树的 搜索
g * ( n)
h * ( n)
八数码问题
令g (n)为初始结点到结点n的深度 令h(n)为位置不正确的数字个数
h( n) = 1
1 2 3 8 4 7 6 5
0+4 2 8 3 1 6 4 7 5
left up right
1+5 2 8 3 1 6 4 7 5 2+3 2 8 3 1 4 7 6 5
• 可采纳性
– 对任意的图，当存在初始状态s到目标节点g的 路径的时候，如果搜索算法总是在s到g的最佳 路径上停止搜索，则称该算法是可采纳的。 – A*算法是可采纳的
• A*算法
– 能找到最优解吗？ – 在什么情况下能找到最优解？
A*算法的可采纳性
• 稳定条件
– 图中的每个结点的后继结点是有限的。 – 图中的弧的代价都大于某个正数ε 。 – 对图中的所有结点n， h(n) ≤ h*(n) 。也就是说h (n)决 不会超过实际值h* (n)
引入f(n)的搜索过程 f
S 4 4 4 G 3 3 4 4 4 4
n0 n1
S n
f(n)
nk
G
f(n)＝？
• f(n) =g(n) + h(n) (
– g(n)表示起始结点到n的 ( 最短路径长度的估计 – h(n)表示n到目标结点的 最短路径长度的估计
g (n)
• g=? h=? g=? h=?
•
于是，当算法处在第m+1步时，有两种情况：
– –
最优路径：n0 , n1 , … ,n* , np ,… ,G
第m+1步，n*没有被扩展，结点x被扩展
最优路径：n0 , n1 , … ,n* , np ,… ,G
n1 n0
n*
np G
第m+1步 结点n*被扩展
引理一证明（3）
• n*被扩展：它的所有后继结点都被放入 Open表中。