8.3直线的点斜式方程解析
直线的点斜式方程
直线的点斜式方程设直线上一点的坐标为（x₁，y₁），直线的斜率为k。
根据斜率的定义，直线上任意两点的坐标（x₁，y₁）和（x₂，y₂）之间有：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)根据点斜式的定义，直线的点斜式方程可表示为：y-y₁=k(x-x₁)接下来，我们将详细介绍点斜式方程的推导过程，帮助你更好地理解。
1.斜率的定义斜率k表示直线上任意两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
它决定了直线的倾斜程度。
设直线上一点的坐标为（x₁，y₁），直线上任意一点的坐标为（x，y）。
根据斜率的定义，我们可以得到以下关系：k=(y-y₁)/(x-x₁)将上式两边乘以(x-x₁)，得到：k(x-x₁)=y-y₁综上所述，直线的点斜式方程为：y-y₁=k(x-x₁)这就是直线的点斜式方程。
3.点斜式方程的意义点斜式方程可以非常方便地描述直线的特征。
通过直线上一点的坐标和直线的斜率，我们可以唯一确定一条直线。
点斜式方程也可以用来求直线与其他图形的交点、直线的性质等问题。
通过代入坐标，我们可以得到具体的数值，进一步分析直线的性质。
4.点斜式方程的应用点斜式方程可以应用于各种数学问题和实际应用中。
以下是一些常见的应用场景：4.1直线的绘制给定一点和斜率，我们可以使用点斜式方程来绘制直线。
选择一个点，计算出斜率，然后根据点斜式方程的形式，求得直线上其他点的坐标，并连接这些点，得到一条直线。
4.2直线的性质分析通过点斜式方程，我们可以得到直线的斜率，进而分析直线的性质。
斜率可以判断直线的倾斜方向（正斜率对应上升的直线，负斜率对应下降的直线，零斜率对应水平直线）。
同时，斜率的绝对值越大，直线的倾斜程度越大。
4.3直线的交点问题通过点斜式方程，我们也可以求得直线与其他图形的交点。
如果我们已知一条直线和一个图形，可以将直线的方程和图形的方程联立，解方程组，求出两者的交点坐标。
总结：。
8.3.1直线的点斜式方程与斜截式方程
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定， 所以我们把它叫做直线的点斜式方程.
注意：
点斜式方程的形式特点.
点斜式方程
y
l与x轴平行或重合
P0(x0,y0)
y0 l x
倾斜角为0°
斜率k=0
O
直线上任意点 纵坐标都等于y0
y y0 0 ( x x0 )
3 tan 30 3 tan 45 1
tan 60 3
3 tan150 tan 30 3
tan 90不存在
当0< 90时， 0 tan 当90< 180时， 0 tan
斜率小结
1.表示直线倾斜程度的量 0 180 ①倾斜角 ②斜率 2.斜率的计算方法
例二：
写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（ ）y 3 x 2 1 (2) y 3x (3) x 3 y 2
1 2 y x 3 3
思：截距是距离吗？
数学运用：
例三：求过点A（1，2)且与两坐标轴组成一等腰直 角三角形的直线方程。 解：直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 由直线的点斜式方程得： 即：
数学运用：
（3）一直线过点 A1,3 ，其倾斜角等于
3 直线 y x 3
的倾斜角的2倍，求直线 l 的方程.
分析：只要利用已知直线，求出所求直线的斜率 即可.
3 30 则： tan 3 k tan2 tan60 3
3 解： 设所求直线的斜率为k,直线 y x 倾斜角为 3
点斜式方程：y y0 k x x0
P0取0, b
斜截式方程： y kx b
8.3直线的点斜式方程(二)
Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)叫做直线的一般式方程,简称一般式思考：在方程Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 中，1.当A=0，B0≠,C0≠时，方程表示的直线与x轴；2.当时，方程表示的直线与x轴垂直；3.当A=0，B0≠,C=0 时，方程表示的直线与x轴______ ；4.当时，方程表示的直线与y轴重合；5.当时，方程表示的直线过原点.例1 写出下列各直线的方程，并化成一般式方程。
例2 把直线l的方程2x+5y-10=0化成斜截式，求直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画图.直线的一般式方程的斜率和截距的求法：0(,Ax By C A B++=在都不为零时)BAk＝－（1）直线的斜率（2）直线在y轴上的截距b令x=0，解出值，则(3) 直线与x轴的截距a令y=0，解出值，则4.直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则( )(A) A·B>0,A·C>0 (B) A·B>0,A·C<0(C) A·B<0,A·C>0 (D) A·B<0,A·C<05.已知直线l的斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，求直线l的方程6.设直线l：（m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0(m≠-1),根据下列条件分别确定m的值，（1）直线l在x轴上的截距为-3；（2）直线l的斜率为1.课堂小结：作业BCy-=BCb-=ACx-=ACa-=。
直线的点斜式方程(课件)-2022-2023学年高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
三、直线平行与垂直的综合应用
【练2】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)判断直线l1与l2是否能平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
内容
方程
(1) 直 线 的 点斜式方程.
直线L过点P0(x0, y0)，斜率为k， 则它的点斜式方程为：
y - y0 = k(x - x0)
图示
k
P0(x0,y0)
P(x,y)
(2) 直 线 的 斜截式方程.
直线L斜率为k,在y轴上的截 距为b,则它的斜截式方程为：
y=kx+b
k
b
2. 方 法 ：
待定系数法、数形结合思想.
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2.
∴直线 l 的方程为 y＝12x＋2.
二、直线的斜截式方程 【悟】求直线的斜截式方程的策略
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，
因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.
解（1） 当a＝1时，显然两直线不平行.
当 a≠1 时，将方程 ax＋2y＋6＝0 化为 y＝－a2x－3，
将方程 x＋(a－1)y＋a2－1＝化为 y＝1－1 ax－a－1. 若直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，
则－a2＝1－1 a， 解得 a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1与l2平行. －3≠－a－1，
二、直线的斜截式方程
直线点斜式方程公式
直线点斜式方程公式
1 直线点斜式方程
直线点斜式方程是数学中最常用的一种方程，它可以用来表达某
直线上任意一点的位置关系。
它的形式一般如下：
y=kx+b
其中，k是直线的斜率，b是直线的截距。
这是最基本的形式，一
般情况下，还可以写成 Ax+By+C=0的形式，其中A，B，C是常数，如
果A≠0，此方程又叫一般式，而当A＝0时，此方程又叫做点斜式。
2 利用直线点斜式方程解决问题
直线点斜式方程在数学中用的非常多，它有着广泛的应用。
例如，我们常常会用它来解决一段直线的斜率和截距，或者在几何图形中求
出两点之间的距离，或者用它来求出两个向量的和。
另外，直线点斜式方程还被广泛应用于物理学中，例如它可以用
来描述一般情况下的力学运动方程，用来描述两个温度和气压关系，
甚至可以用它来描述电流和电力之间的关系。
3 直线点斜方程的求解
对于一般式Ax+By+C=0；当A，B，C都是已知数时，可以求出斜率
k=–A/B，从而求出截距b=–C/B。
也可以采用数学函数的方法来求解直线点斜式方程，例如当已知两点的坐标时，可以应用函数解题，求出直线上两点的点斜式方程；同样，如果已知一点的坐标，以及其斜率和截距，也可以利用函数求解。
从侧面反映了函数的强大作用。
因此，直线点斜式方程是非常有用的，它不仅广泛应用于数学和物理中，还可以利于求解复杂问题。
《直线的点斜式方程》课件
截距式方程
a * x + b * y = c，其中a、b 、c是已知的常数，且a和b不
同时为零。
直线点斜式方程的拓展应用
解决实际问题的应用
在数学竞赛中的应用
直线点斜式方程可以用于解决许多实 际问题，如物理中的运动轨迹问题、 工程中的线路规划问题等。
直线点斜式方程是数学竞赛中常见的 考点，常用于解决平面几何、代数等 题目。
需要用到该公式。
对其他学科的影响
直线点斜式方程不仅在数学学科 中有重要影响，还对物理学、工 程学、经济学等其他学科产生了 一定的影响，推动了这些学科的
发展。
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《直线的点斜式方程》课件
contents
目录
• 直线的点斜式方程的定义 • 直线点斜式方程的应用 • 直线点斜式方程的推导与证明 • 直线点斜式方程的变种与拓展
01
直线的点斜式方程的 定义
公式表达
01
总结：直线的点斜式方程是用来 描述直线在平面上的一个点及其 斜率的一种方程形式。
02
给定一个点P(x0, y0)和斜率m， 直线的点斜式方程可以表示为 y y0 = m(x - x0)。
几何意义
总结：点斜式方程反映了直线在平面上的一个点及其斜率，通过这个方程可以确 定一条唯一的直线。
在二维坐标系中，给定点P(x0, y0)和斜率m，通过点斜式方程可以确定一条经过 该点的直线，其方向与x轴正方向形成的夹角为α，其中tanα = m。
适用范围
总结：点斜式方程适用于已知直线上 的一个点和该直线的斜率的情况，可 以用来求解直线的方程。
在数学其他领域的应用
直线点斜式方程在解析几何、线性代 数等领域也有广泛的应用，如用于求 解线性方程组、判断线性相关性等。
§8.3.1直线的点斜式方程
第1页/共12页
这是什么？
y=kx+b
函数？
方程？
我们知道，一次函数 y=kx+b的图象是一条直线．
如果把 x、y看作未知数，那么 y=kx+b就是一个方程， 因此 y=kx+b也称为直线的方程．
第2页/共12页
➢确定一条直线的条件是什么？ ➢给定一个角 ＝60．由角 能确定一条直线吗？ ➢我们知道 k＝tan，给定一个斜率 k，由斜率k能
一般式方程：Ax＋By＋C=0 (A、B 不同时为零 ) ✓当B≠0时，斜率k= A . k可以为0.
B
第10页/共12页
P 73 EX
第11页/共12页
谢谢您的观看！
第12页/共12页
确定一直线吗？
y
60 60 60
O
x
第3页Байду номын сангаас共12页
➢如果直线的倾斜角为 60(斜率为 3)，而且经过
点(–1，0)，那么这样的直线是唯一的吗？
✓由点和倾斜角(或斜率)可以确定一条直线．
y
60
O
x
第4页/共12页
若直线 l 经过点 P1(x0，y0)，且斜率为 k ，求 l 方程． 设点 P (x，y) 是直线上不同于点 P1 的任意一点， 根据经过两点的直线的斜率公式得
B
直线 l 过点(2，1)，倾斜角等于直线 3x 3y 4 0 的倾斜角的 43 倍，求直线 l 的方程。
第9页/共12页
点斜式方程 ：y – y0＝k(x – x0) ✓点斜式方程是由一个点的坐标和斜率确定的. ✓点斜式方程 y – y0＝k(x – x0) 表示的直线，不包括 倾斜角为 90 的直线. 不适用于求与 x 轴垂直的直线. ✓当直线 l 的倾斜角为 90°时，直线上每个点的横坐 标都等于x0，直线方程为：x = x0.
直线的点斜式方程
例2:斜率是5,在y轴上的截距是-4的直线方程.
解：由已知得k =5， b= - 4， 代入斜截式方程 y= 5x - 4
1、说出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（１）y 3x 2
(2) y 3x
3， -2
3， 0
2、写出下列直线的斜截式方程： 3 3 x2 （1）斜率是 ，在 y轴上的截距是 2； y 2 2 （2）斜率是 2 ，在 y轴上的截距是 4 ；y 2 x 4
y3
（2）斜率为２时的直线方程；
y 3 2( x 1)
（3）倾斜角为 90 时的直线方程.
x 1 （4）且过原点的直线方程.
y 3 x
巩固练习
1.经过点（- 2 ，2）倾斜角是1500的直线的方程是（ （A）y＋ 2 =－ 3 x－2） （
3 3
C）
ห้องสมุดไป่ตู้
（B）y+2= （x－ 2 ） － 3
[答案](1)过定点(3，－2) (2)(－1,3)
[解析](1)由直线点斜式方程的定义知，不论k取何 实数方程y＋2＝k(x－3)总表示经过点(3,－2)，斜率为 k的直线，所以这些直线的共同特征是过定点(3,－2)． (2)将方程mx－y＋m＋3＝0变形为y－3＝m(x＋1)可 知，不论m取何实数，直线总过定点(－1,3)．
1 1 (1) l1 : y x 3 , l2 : y x 2 2 2 5 3 (2) l1 : y x , l2 : y x 3 5
l1 // l2
l1 l2
条 件 ： 有 斜 率 且 非 零 ！
例、已知直线经过点 P1,3 ，求 （1）倾斜角为 0 时的直线方程；
2、直线的斜截式方程：
直线的点斜式方程 PPT课件-
解：直线的方程： − 3 = + 2
两点确定一条直线，所以再找一个点即可！
直线l上任意点的
坐标都满足方程
y
P1 4
P0
3
2
1
-2 -1 O
-1
1
x
知识小结
斜率存在
斜率不存在
倾斜角为90°，
无点斜式方程
探究新知
探究三：直线的斜截式方程
探究新知
问题4 ：下面我们来看点斜式的一种特殊情况：
直线上任意点
的几何特征
直线的代数表示
探究新知
问题2：直线 经过点P0 x0 , y0 ，且倾斜角为0°时，
直线的方程是什么？
y
P0 x , y l
0
直线上一点
直线得倾斜角
直线的斜率
ห้องสมุดไป่ตู้
直线的点斜式方程
O
0
探究新知
问题3：直线经过点P0 x0 , y0 ，且倾斜角为90°时，
y
直线的方程是什么？
知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识
一次函数 = + ？
直线方程
直线上任意点的
坐标（x，y）所满
足的代数关系式
k：直线的斜率
变量x与y间
的对应关系
一次函数
探究新知
追问3： 你能说出一次函数 = − ， = 及 = − + 图象
的特点吗？
一次函数
(1)经过点A(3，−)，斜率是 ;
(2)经过点B(− ，2)，倾斜角是30°;
(3)经过点C(0，3)，倾斜角是0°;
(4)经过点D −, − ，倾斜角是 .
直线方程的点斜式斜截式ppt课件
注意：不能用点斜式
O
x
8
例：过点A(3,2)，且平行于x轴的直线方程是: y=2
过点A(3,2)，且平行于y轴的直线方程是: x=3
9
例３：求过点A（1，2)且与两坐标轴组成一等腰直角三角形 的直线方程。
解：直线与坐标轴组成一等腰直角三角形
k 1 又直线过点（1，2） 把点和斜率代入点斜式方程得：
18
(x
x0 )
• P0 (x0 , y 0 )
O
x
y y0 k(x x0 )
这个方程由直线上一点和直线的斜率确定的 所以叫直线方程的点斜式
4
例１：已知直线经过点Ｐ（-２，３），斜率为 ２，求这条直线的方程。
解：由直线的点斜式方程，得：
y 3 2(x 2)
即： 2x y 7 0
练习：已知直线经过点Ｐ（4，-1），斜率为 -3，求这条直线的方程。
x2 x1
x1 x2
2
已知直线经过点 A(0,2), B( 3,5) 则直线斜率是( 3 )
倾斜角是( 120o )
3
如图：直线l经过点P。（x。，y。），且斜率 为k，求l的方程。
设点P（x,y）是l上不同于Po的任意点
y
根据经过两点的直线斜率公式：
• P(x, y)
k
y y0 x x0
即
y = k x + b 。 (2)
我们把直线L与y轴的交点的纵坐标b叫做直线的纵截距， 方程﹙２﹚由直线的斜率Ｋ与它的纵截距b确定，所以 方程﹙２﹚叫做直线的斜截式方程。
12
例：
斜率为-2，纵截距为5的直线方程是：
y 2x 5
若直线方程为 y 3x 5
则该直线的斜率是 3 纵截距是 5
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点，因为直线 l 的斜率为k ，由斜率公式得：
即：
y y1 k ， x x1
y y1 k x x1
y
P
P1 O
l
Hale Waihona Puke x直线的点斜式方程 经过点 P ，斜率为 k 直线的方程 1 x1 , y1 为：
y y1 k x x1
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定，
O
x x0 0
或
x x0
x 点斜式的局限性：只适用于斜率存在 的情形。
学以运用
求满足下列条件的直线方程：
1 (1)过点（10， ），平行于 x轴； 2
1 y 2
(2)过点（ 1 ， 4），平行于y轴；
(3)x轴；
x 1
y0
x0
(4) y轴.
典型例题
例3 直线 经过点
线 的方程．
y
.
. Q
k2
1
3– P
y 3 2 x0
l
–
y 3 2(x 0)
－1
o
x
直线与方程有什么联系？
上一页
问题引入
y
方程的
y 3 2(x 0) 解(x,y)
l
.
. Q
k2
1
3– P –
直线 l上的点(x,y)
－1 o
x
结论：如果直线 l 上每个点的坐标都是某个方程 的解；反之，以这个方程的解为坐标的点都在直 线 l上。就称直线 l 是方程的直线，方程是直线 l 的方程。 上一页
, 求直
练习 直线 线 的方程．
经过点
, 求直
课堂练习
1.写出下列直线的点斜式方程 （1）经过点A（3，-1），斜率是
2
（2）经过点B ( 2,2) ，倾斜角是30°
（3）经过点C（0，3），倾斜角是0° （4）经过点D（4，-2），倾斜角是120°
（5）斜率是
3 ，与x轴交点的横坐标为-6 2
2x y 5 0
（3）倾斜角为 0 时的直线方程.
y3
若直线的倾斜角为90°时,直线能否 用点斜式表示？为什么？
坐标轴的直线方程
若直线的倾斜角为90°时,直线能否 用点斜式表示？为什么？
倾斜角为90° 则直线与y轴平行或重合
如图：
y
此时:斜率不存在
l
P0
所以它的方程不能用点斜式表示 直线方程为：
问题引入
在平面直角坐标系内，如果给定
一条直线 l 经过的一个点 P 1 x1 , y1 和斜率 k ，能否将直线上所有的点的
坐标 x, y 满足的关系表示出来呢？
y l
P1 O
x
问题探索
直线经过点 P ，且斜率为 k ， 1 x1 , y1
设点Px, y 是直线上不同于点P1 的任意一
所以我们把它叫做直线的点斜式方程.
典型例题
例1 直线 经过点 ,且斜率为2 ，求
直线 的点斜式方程，并画出直线 ．
例2 直线
经过点
,且倾斜角为45˚ ，
求直线 的点斜式方程 ．
学以运用
已知直线经过点 P1,3 ，求
（1）倾斜角为60 时的直线方程；
3x y 3 3 0
（2）斜率为２时的直线方程；
（5）经过点E(13,1),且平行于x轴
经过点P0 ( x0 , y0 ),且斜率为k的直线l的方程为：
y y0 k ( x x0 )
特殊情况：
(k存在)
x x0 0 或 x x0
(k不存在)
8.3 直线的点斜式方程
复习 一、直线斜率的求解公式：
1)k tan y2 y1 2)k x2 x1
注意：
( 90 )
0
( x2 x1 )
不是所有的直线都有斜率， 斜率不存在的直线为与 x 轴垂直的直线
问题引入
问题：确定一条直线需要知道哪些条件？
例如：一个点 P(0,3) 和斜率为k＝2就能确定一条 直线l . 思考：取这条直线上不同于点P的任意一 点 Q ( x, y )，它的横坐标x与纵坐标y满足什么 关系？