统计物理第八章
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热力学与统计物理第八章
我 经 有们历考的虑所时有间微间实系测统值在，t这意内味变着化，了N在t次内，系于是统
B 1
N
i
Bi
（8.6）
上式中求和是对 内所经历的全部微观状态。这些状态的数目是巨大的，
这个大数量的微观t状态的集合称为时间系综。同一微观状态在时间系
综中可能出现多次，因此系统处于某种微观状态的概率愈大，则出现
s
s
s (t1, t1 t) s (t2 , t2 t)
（8.9）
物理意义：各微观状态上的概率与时间无关。
统计系综：时间系综是在一个时间过程中考察系统出现的微 观状态；现在设想同时考虑大数目的类似系统，每个系统包 含有相同的粒子数，他们都处在同样的外界条件下，但微观 状态一般不同，这些系统各自是独立的。这种类似系统的集 合称为统计系综。
空间，而要用系统（）相空间。直接从整个系统状态出 发，用整个系统的广义坐标和广义动量所张开的空间来描 述系统的状态，这个相空间称为 相空间，其坐标 为{qs , ps} 。
相空间与 相空间的关系： 为子相空间，其中在 相 空
间的N个点对应 相 空间的一个点；两者都表示一个运动 状态，后者是前者的集合。
当粒子之间有很强的相互作用时，粒子除具有独立的动能外，还有相 互作用的势能，这样任何一个微观粒子状态发生变化，都会影响其他粒子 的运动状态。这时某个粒子具有确定的能量和动量这句话的意义已经含糊 不清，因为它随时间变化。结果是粒子不能从整个系统中分离出来。
系综理论
处理粒子间有强相互作用这类问题，不能用分子（）相
态上的平均值为
B(t) Bss (t)
s
B(t) 就是与微观量 B 相应的宏观物理量。
（8.5）
式（8.3）与（8.5）给出宏观物理量与微观物理量的关系，他们是在系综 理论中求宏观量的基本公式。
热学-统计物理8 第8章 液体
近晶型液晶：分子呈棒状，排列成层，各层之间的距离可 以移动，但分子不会往来于层间，只能在本层间移动有序 程度和晶体相近，故称为近晶型。
向列型液晶
胆甾型液晶
近晶型液晶
液晶很早是在1881年由奥地利植物学家——莱尼茨尔
在应用胆甾醇苯酸脂晶体加热到145.5℃到178.5℃时发现
的。1968年人们发现了双折射引起干涉条纹以及动态散射
但是若先在某个中心粒子周围排列五个粒子，然后由 里向外，也按每一个原子周围均有五个近邻粒子那样去排 列，就得到图(b)的图形。分子排列是紧密的，气体d=10-9 m ,液体d～3×10-10 m。相互作用力大，相互作用力与固 体同数量级。但与固体相比，毕竟松散些，而且离开中心 粒子愈远，粒子的排列也愈杂乱，
存在范围：T1（熔点）<T<T2（清亮点）。
2.液晶的分类
{ { 溶致液晶（高分子聚合物溶解于溶剂而成）
分类
向列型
热致液晶（高分子聚合物加热熔化而成） 胆甾型 近晶型
向列型液晶：分子呈棒状，分子排列方式很象一把筷子，
分子沿上下方向排列整齐，但沿前后左右排列可以变动，
不规则。加电压可以有动态散射现象可以制作各种显示器
件， 如仪器上数码文字和图像的显示，电控亮度玻璃窗 等。 胆甾型液晶：它包含许多层分子，每层分子的排列方向相 同 ，但相邻两层分子排列方向稍有旋转夹角约为15分， 这样层层地叠起来形成螺旋结构。这种液晶有显著的温度 效应，随温度变化有选择性的反射光，可探测微电子学中 的热点（短路处）检查致冷机的漏热的，诊断疾病，探测 金属材料的缺陷。
液体中存在一定分子间隔也为单元破坏及重新组建创造
条件。 ③在一定T、P下，在平衡位置振动时间的平均值，称为定
向列型液晶
胆甾型液晶
近晶型液晶
液晶很早是在1881年由奥地利植物学家——莱尼茨尔
在应用胆甾醇苯酸脂晶体加热到145.5℃到178.5℃时发现
的。1968年人们发现了双折射引起干涉条纹以及动态散射
但是若先在某个中心粒子周围排列五个粒子，然后由 里向外，也按每一个原子周围均有五个近邻粒子那样去排 列，就得到图(b)的图形。分子排列是紧密的，气体d=10-9 m ,液体d～3×10-10 m。相互作用力大，相互作用力与固 体同数量级。但与固体相比，毕竟松散些，而且离开中心 粒子愈远，粒子的排列也愈杂乱，
存在范围：T1（熔点）<T<T2（清亮点）。
2.液晶的分类
{ { 溶致液晶（高分子聚合物溶解于溶剂而成）
分类
向列型
热致液晶（高分子聚合物加热熔化而成） 胆甾型 近晶型
向列型液晶：分子呈棒状，分子排列方式很象一把筷子，
分子沿上下方向排列整齐，但沿前后左右排列可以变动，
不规则。加电压可以有动态散射现象可以制作各种显示器
件， 如仪器上数码文字和图像的显示，电控亮度玻璃窗 等。 胆甾型液晶：它包含许多层分子，每层分子的排列方向相 同 ，但相邻两层分子排列方向稍有旋转夹角约为15分， 这样层层地叠起来形成螺旋结构。这种液晶有显著的温度 效应，随温度变化有选择性的反射光，可探测微电子学中 的热点（短路处）检查致冷机的漏热的，诊断疾病，探测 金属材料的缺陷。
液体中存在一定分子间隔也为单元破坏及重新组建创造
条件。 ③在一定T、P下，在平衡位置振动时间的平均值，称为定
第八章_玻色分布和费米分布 ppt课件
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
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第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
统计物理10-第八章
实验结果： 常温下，电子热容量与离子相比可忽略。 实验结果：
三、量子统计
1、金属中自由电子形成强简并费米气体
e
α
V 2meπ kT 3 2 = ( ) = 2.9 × 10 −4 ≪ 1 N h2
电子自旋 自旋量子数等于1/2 1/2，每个电子有两个不同的自旋状态 两个不同的自旋状态。 自旋 1/2 两个不同的自旋状态
熵是系统微观粒子作无规则运动混乱程度的量度。 熵增原理的统计意义
孤立系统中进行的热力学过程总是由包含微观状态数少 （概率小）的宏观态向包含微观状态数多（概率大）的宏 观态进行，相反的过程发生的可能性几乎为零。
能斯脱定理的统计意义
S0 = k ln Ω0 ≈ 0
结论： 结论：
微观粒子系统原则上遵循量子统计分布 1．不确定关系 2．能量量子化 3．全同性原理
ℏω p= c
在体积V 内，在 ω ~ ω + dω 的范围内，光子可能 的微观状态数为： 2 V ω dω 2 3 π c 在体积V 内，在 ω ~ ω + dω 的范围内的光子数为：
∆ωl 1 V ω2 al = 3 ⋅ βε l = 2 3 ℏω kT −1 h e −1 π c e
2、推导普朗克公式 Uω
Ξ = ∏ 1 + Ae −α −βε l
ln Ξ = ∑
l
ωl
A
l
l
(
)
ωl
A
巨配分函数
ln(1 + Ae −α − βε l )
——玻色系统 ——玻色系统 ——费米系统 ——费米系统
ln Ξ = −∑ ωl ln(1 − e −α − βε l ) ln Ξ = ∑ ωl ln(1 + e −α − βε l )
热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计
y
y l
e l • ( ) • ( l )
1
[ y
l
l
ln(1 e l
)]
1
l
l
y 1 e l
l
l l
e l 1 y
Y 1 ln p 1 ln
y
V
N ln
U ln
Y 1 ln
y
dN d ( ln )
dU d ( ln )
Ydy 1 ln dy
U ln ln[ (1 e l )l ]
l
[
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • ( l )
1 e l
l
ll
e l 1
广义力Y是 l 的统计平均值：
y
Y
l
l
y
al
l
l l
e l 1 y
Y也可通过配分函数求得：
Y 1 ln 1 ln[ (1 e l )l ]
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
(dU Ydy dN ) d ( ln ) ln dy d ( ln )
y
d ( ln ) ln • d ln • d ln dy d ( ln ) ln • d ln • d
e l 1
在实际应用中，两种分布的区别在于将和看作已知常量（开系条件
的平均分布），还是将N和U看作已知常量（孤立系统的最概然分布）。
说明： 本节推导玻色系统和费米系统热力学量的 统计表达式时，采用平均分布观点，也就
是将、和y（粒子能量含外参量y）看作 已知参量，而将热力学量表达为、和y的
函数。
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热力学与统计物理第八章ppt
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两种研究方法存在着各自的优缺点，在实际研究中，需要 互为补充，相辅相成。
三.本课程的特点和要求
作为宏观理论与微观理论的结合，热力学与统计物 理学是一个比较好的例子。其中统计物理的部分与当代 物理学前沿的很多内容结合较紧。
数学上不是太难，但是需要补充一些概率论方面的 知识，重要的是把握好物理模型的构建，以及概念之间 的相互关系，学习中重点领会其中的物理思想和物理方 法。
c
c
ab
ab
二、态函数温度
若A与B平衡，则有： f AC ( pA,VA, pC ,VC ) 0 pC FAC ( pA,VA,VC )
B与C平衡，有：
fBC ( pB ,VB , pC ,VC ) 0 pC FBC ( pB ,VB ,VC )
FAC ( pA,VA,VC ) FBC ( pB ,VB ,VC )
第一章 热力学基本定律
特权福利
特权说明
VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能 阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。
年VIP
月VIP
连续包月VIP
VIP专享文档下载特权
享受60次VIP专享文档下载特权，一 次发放，全年内有效。
pdT＋Vdp nRdT 代入前式，得
第8章 玻色统计和费米统计 《热力学统计物理》
第八章 玻色统计与费米统计 8
利用
1 U ln Y ln N ln y
ln ln ln (dU Ydy dN ) d ( ) dy d ( ) y
ln ln ln ln d ( ) d ln d d d ( )
12
2 mkT 3 2 1 g( ) Ve [1 3 2 e ] （8.2. 6） 2 h 2
2V x 32 U g 3 (2mkT) x dx h 1 0 e
32
3 2 mkT 3 2 1 g ( ) VkTe [1 5 2 e ] （8.2. 7） 2 2 h 2
第八章 玻色统计与费米统计 14
(2) 费米系统
引入费米系统的配分函数
l [1 e
l l
l l
]
ln l ln(1 e l )
l
通过和玻色系统相似的运算，得到的热力学量的 统计表达式与玻色系统热力学量的统计表达式完全相 同。
第八章 玻色统计与费米统计 15
第八章 玻色统计与费米统计 23
将玻耳兹曼分布所得的结果
e
N h 32 1 ( ) V 2m kT g
2
2
作为零级近似代入上式，表示为经典极限条件的形式
3 1 1N h 32 U NkT [1 ( ) ] 2 4 2 g V 2m kT
3 1 3 U NkT[1 n ] 2 4 2g
1 (dU Ydy dN ) ds T
ln ln (dU Ydy dN ) d (ln ) ln ln dS kd (ln )
利用
1 U ln Y ln N ln y
ln ln ln (dU Ydy dN ) d ( ) dy d ( ) y
ln ln ln ln d ( ) d ln d d d ( )
12
2 mkT 3 2 1 g( ) Ve [1 3 2 e ] （8.2. 6） 2 h 2
2V x 32 U g 3 (2mkT) x dx h 1 0 e
32
3 2 mkT 3 2 1 g ( ) VkTe [1 5 2 e ] （8.2. 7） 2 2 h 2
第八章 玻色统计与费米统计 14
(2) 费米系统
引入费米系统的配分函数
l [1 e
l l
l l
]
ln l ln(1 e l )
l
通过和玻色系统相似的运算，得到的热力学量的 统计表达式与玻色系统热力学量的统计表达式完全相 同。
第八章 玻色统计与费米统计 15
第八章 玻色统计与费米统计 23
将玻耳兹曼分布所得的结果
e
N h 32 1 ( ) V 2m kT g
2
2
作为零级近似代入上式，表示为经典极限条件的形式
3 1 1N h 32 U NkT [1 ( ) ] 2 4 2 g V 2m kT
3 1 3 U NkT[1 n ] 2 4 2g
1 (dU Ydy dN ) ds T
ln ln (dU Ydy dN ) d (ln ) ln ln dS kd (ln )
统计力学简介
p x i , p y i , pz i
为使问题更加普遍， 为使问题更加普遍，引入广义坐标 和广义动量 N个质点 个质点
q1 , q 2 ,L , qs
p1 , p2 ,L , ps
s = 3N
E = H ( q 1 , q 2 ,L , q s , p1 , p2 ,L ps )
E = H ( q 1 , q 2 ,L , q s , p1 , p2 ,L ps )
微观运动状态
• 微观运动状态即“力学运动状态” 微观运动状态即“力学运动状态”
• 以一维为例解释： 以一维为例解释：
总能量
E =∑
1 2mi
E = K +U
2 2
( px i + p y i + pz i ) + U ( x 1 , y 1 , z 1 ,L x N , y N , z N )
2
E =∑
1 2mi
( px2i + p y2i + pz2i ) + U ( x 1 , y 1 , z 1 ,L x N , y N , z N )
& pz i = mi z i
设质点组是一个保守力系统 势能为
U ( x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 ,L , x N , y N , z N )
作用在第i个质点的力为 作用在第 个质点的力为
∂U Xi = − ∂x i
由牛顿定律可得
∂U Yi = − ∂y i
二、微观状态和宏观状态
• 系统的宏观状态由其宏观性质 ( T、P、V 等) 来描述； 来描述； 、 、 • 系统的微观状态是指体系在某一瞬间的状态； 系统的微观状态是指体系在某一瞬间的状态； – 在经典力学中体系的微观状态用相空间来描述； 在经典力学中体系的微观状态用相空间来描述； – 在量子力学中体系的微观状态用波函数ψ来描述； 在量子力学中体系的微观状态用波函数ψ来描述； • 相应于某一宏观状态的微观状态数（Ω）是个很大的 相应于某一宏观状态的微观状态数（ 则由玻尔兹曼公式： 数，若知体系的 Ω 值，则由玻尔兹曼公式：
热力学与统计物理学第八讲PPT学习教案
2、空窖辐射的平均光子数
在体积为V的空窖内，在p到p+dp的动 量范围 内，光 子的量 子数为 ：
E 将
代入上式可得在体积为V的空窖内， 在
ω到ω+d ω的圆频率内，光子的量子态数为 ：
E cp c(k) Ecpc(k)
cp
8V h3
p 2 dp
c(k)
因此在空窖内，在圆频率d ω范围内的平均光子数为：
光测高温计就是根据这个原理制成的 。
例如;假定太阳是黑体,利用Wien位移 定律 -可求出太阳表面的温度.
m 4.96
kT
m 4.96 h 2 hC 4.96
kT
2 kT mkT
T日
6.63 1034 3 108 4.96 4840 1.38 1023
6000开
第19页/共32页
第八讲 Bose统计和Fermi统计理论
由
可知：
f 1,E0 ; f 0, E0
f
1
E
e kT 1
f
1
μ0是0K时电子的最大能量，可由下式 定出：
第21页/共32页
0K Fermi函数
μ0 E
第八讲 Bose统计和Fermi统计理论
将上式积分，可求出μ0为：
0 4 V ( 2m )2 / 3 E1 / 2dE N
0 h3
h2 3
由上式可知： μ是温度T和电子密度N/V的函数。
4V
(
2m
3
)2
h3
0
1
E 2 dE N
E
e kT 1
讨论：
（1）T=0K的电子分布 我们用μ0表示0K时电子气体的化学势 。
在0K时，
统计物理课件第八章.ppt
E(r )
y
l是y的函数，因此 ln 是，，y的函数 :
d ln ln d ln d ln dy
y
(dU Ydy) d ( ln ) d ln ln d
d ( ln ) d ln d ( ln ) d ( ln )
N ln
dU
Yd y
玻色的这个观念现在被称为玻色-爱因斯坦统计。 这篇论文在开始时未能发表，他把论文直接寄给爱因斯坦。爱因斯坦意 识到这篇论文的重要性，不但亲自把它翻译成德语，还以玻色的名义把论文 递予名望颇高的《德国物理学刊》发表。爱因斯坦也写了一篇支持玻色理论 的论文，递予《德国物理学刊》发表，并要求把这两篇论文一同发表。 爱因斯坦在他的论文中采取了玻色的观念，并把它延伸到原子去。这为 预测玻色-爱因斯坦凝聚的存在铺好了道路。
J U TS N F N
ln
kT ln
ln
ln
ln
J kT ln
七.费米系统
巨配分函数 ：
[1 e l ]l ; ln l ln(1 e l )
l
l
N ln
U ln
Y 1 ;
y
p 1
V
1 ; kT
S
k
ln
ln
1 e l
l
l ln(1 e l )
U ln
三. 广义力和物态方程
Y
l
al
l
y
l
l
l
y
e l 1 e l
1
y
l
l ln(1 e l )
Y 1
y
p 1
V
四.熵， ,的确定
(dU Ydy) (d ln ) ln dy
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l ( e )( ) l l ln l ln(1 e ) l l l l (1 e ) l l e l l (1 e ) l
玻耳兹曼关系
al e l 1 l al l e al e
l
l
al l al
1 e
l
l al
l
玻耳兹曼关系
ln l ln(1 e
l l l l
) l ln
例题
弱简并气体的定容热容量为：
3 1 1 h2 U 3/ 2 CV n( ) Nk 1 T V 2 8 2 g 2 mkT
热力学中熵的积分表达式
CV S dT S0 (V ) T 3 1 1 h2 S Nk ln T Nk n( )3/ 2 S0 (V ) 2 8 2 g 2 mkT
计算求和 求得巨配分函数的对数作为,,y的函数 求得理想玻色（费米）系统的基本热力学函数 确定系统的全部平衡性质
巨热力势
以T、V、为自变量的特性函数是巨热力势
J U TS N
S k ln N U
J U kT ln kT N kT U N 1 U kT ln kT N kT U N kT kT kT ln U N
2 N h n 3 ( )3/ 2 1 V 2 mkT
极限条件下
弱简并气体趋于经典理想气体
例题
5 2 mk 理想气体的熵 S 3 Nk ln T Nk ln V 3 Nk ln 2 2 N 2 3 h
3/ 2
Nk ln T 3/ 2 Nk ln V Nk ln N
3 1 3 统计关联： U NkT 1 n 2 4 2g
第一项：玻耳兹曼分布内能。 第二项：微观粒子全同性原理引入的量子统计关 联附加内能。 量子统计关联作用结果：费米粒子间出现等效排 斥作用，玻色粒子间出现等效吸引作用。
例题
8.3: 求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵 解：弱简并理想费米（玻色）气体的内能
e a
用0级近似，即用玻耳兹曼
N h2 3/ 2 1 ( ) V 2 mkT g
3 1 1N h2 3/ 2 U NkT 1 ( ) 2 4 2 g V 2 mkT 3 1 3 NkT 1 n 2 4 2g
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1 2 mkT g Ve 1 3/ 2 e 2 h 2
3 2
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
2 mkT N g Ve 2 h
3 2 3 2
1 1 3/ 2 e 2 1 1 5/ 2 e 2
统计物理学讲义
第三章 玻色统计和费米统计
第三章 玻色统计和费米统计
1. 热力学量的统计表达式 2. 弱简并理想玻色和费米气体
3. 玻色—爱因斯坦凝聚
4. 光子气体
5. 金属中的自由电子气体
3.1 热力学量的统计表达式
1、玻色系统 巨配分函数 平均粒子数 内能 广义力 熵 玻耳兹曼关系 2、费米系统
al
e
l
l
1
e l 1
N al
l l
l
巨配分函数
l
l 1 e
l l
l
ln l ln(1 e
l
l
)
l ( e )( 1) l l ln l ln(1 e ) l l (1 e ) l l e l l (1 e ) l
熵
ln ln ln dU Ydy d N dy d ( ) d( ) y ln ln ln d d dy y ln ln ln ln d ( ) d d ( ) d ln ln d ln
1 , kT kT
ln ln dS kd ln
ln ln S k ln k ln N U
l
l ln l l ln(l al )
l al
l
N U al al l
l l
al ( l ) al ln
l l l l
l al
al
al ln(l al ) al ln al
系统的平均粒子数
l e l ln l (1 e ) l
N al
l l
e l
l
) ln l 1 l (1 e )
l (e
l
内能
内能：系统中粒子无规运动总能量的统计平均值。
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1 x x e 1 e (1 e x )
1 x 1 e 1 e x
1
e
小， e x 是一个小量
e x (1 e x )
1 e x 1
1/ 2 2V x x 1/ 2 N g 3 (2mkT )3/ 2 x dx e x dx 0 e 0 h 1 2 2V 3 3/ 2 1/ 2 x x x 3/ 2 g 3 (2mkT ) x e (1 e )dx e x dx 0 0 4 h 2V 3/ 2 1/ 2 x 2 g 3 (2mkT ) [e x e dx e x1/ 2e 2 x dx ] 0 0 h
在体积V内，在到+d的能量范围内，分子可能 的微观状态数为：
2 V D( )d g 3 (2m)3/ 2 1/ 2 d h
g：由粒子可能具有自旋而引入的简并度。
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1/ 2 2 V 系统的总分子数：N g 3 (2m)3/ 2 d 0 e h 1
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
3 e , or , n 弱简并即气体：
虽小，但不可忽略。
初步显示玻色气体和费米气体的差异。 有关公式中，上面的符号适用于费米气体，下面 的符号适用于玻色气体。 不考虑分子的内部结构，只有平动能量。
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1 2 2 ( px py pz2 ) 2m
玻耳兹曼关系
S k ln N U
l l
l l
k{ l ln l l ln(l al ) al ln(l al ) al ln al }
第一章推导结果：
ln [l ln(l al ) al ln(l al ) al ln al l ln l ]
3 2 mkT U g VkTe 2 h2 U 3 1 kT 1 e N 2 4 2 3 1 U NkT 1 e 2 4 2
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
可将U第二项中的 e 分布的结果：
l ln
l l
l
(1 e
l
)
1 p ln V
l l ( e l ) l y 1 e l 1 ln l l l y 1 1 ln y
l
S k ln
注意这里是玻色系统的微观状态数ΩB.E.
2、费米系统
巨配分函数
l 1 e
l l
l
l
ln 式完全适用
求解热力学量一般过程
知道粒子的能级和能级的简并度
l ( e )( l ) l l ln l ln(1 e ) l l (1 e ) l l l e l l (1 e ) l
3 1 1N h2 3/ 2 U NkT 1 ( ) 2 4 2 g V 2 mkT
利用理想气体压强与内能的关系
2U p 3V
可以直接求得弱简并气体的压强为
1 1 h2 3/ 2 n=N/V p nkT 1 n( ) 4 2 g 2 mkT 粒子数密度
可确定拉氏乘子
3/ 2 2 V 内能： U g 3 (2m)3/ 2 d 0 e h 1
x
1/ 2 2 V x N g 3 (2mkT )3/ 2 x dx 0 e h 1 3/ 2 2 V x 3/ 2 U g 3 (2mkT ) kT x dx 0 e h 1
l l e l ln l (1 e ) l
U l al
l l
e
l
l l
ln l 1 l (1 e )
l
l e l
广义力
l 广义力：外界对系统的广义作用力Y是 的统 y 计平均值。 l l l Y al l y y e 1 l l e
3.1 热力学量的统计表达式
简并气体：不满足非简并条件的气体。 分别用玻色分布和费米分布处理。
玻耳兹曼关系
al e l 1 l al l e al e
l
l
al l al
1 e
l
l al
l
玻耳兹曼关系
ln l ln(1 e
l l l l
) l ln
例题
弱简并气体的定容热容量为：
3 1 1 h2 U 3/ 2 CV n( ) Nk 1 T V 2 8 2 g 2 mkT
热力学中熵的积分表达式
CV S dT S0 (V ) T 3 1 1 h2 S Nk ln T Nk n( )3/ 2 S0 (V ) 2 8 2 g 2 mkT
计算求和 求得巨配分函数的对数作为,,y的函数 求得理想玻色（费米）系统的基本热力学函数 确定系统的全部平衡性质
巨热力势
以T、V、为自变量的特性函数是巨热力势
J U TS N
S k ln N U
J U kT ln kT N kT U N 1 U kT ln kT N kT U N kT kT kT ln U N
2 N h n 3 ( )3/ 2 1 V 2 mkT
极限条件下
弱简并气体趋于经典理想气体
例题
5 2 mk 理想气体的熵 S 3 Nk ln T Nk ln V 3 Nk ln 2 2 N 2 3 h
3/ 2
Nk ln T 3/ 2 Nk ln V Nk ln N
3 1 3 统计关联： U NkT 1 n 2 4 2g
第一项：玻耳兹曼分布内能。 第二项：微观粒子全同性原理引入的量子统计关 联附加内能。 量子统计关联作用结果：费米粒子间出现等效排 斥作用，玻色粒子间出现等效吸引作用。
例题
8.3: 求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵 解：弱简并理想费米（玻色）气体的内能
e a
用0级近似，即用玻耳兹曼
N h2 3/ 2 1 ( ) V 2 mkT g
3 1 1N h2 3/ 2 U NkT 1 ( ) 2 4 2 g V 2 mkT 3 1 3 NkT 1 n 2 4 2g
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1 2 mkT g Ve 1 3/ 2 e 2 h 2
3 2
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
2 mkT N g Ve 2 h
3 2 3 2
1 1 3/ 2 e 2 1 1 5/ 2 e 2
统计物理学讲义
第三章 玻色统计和费米统计
第三章 玻色统计和费米统计
1. 热力学量的统计表达式 2. 弱简并理想玻色和费米气体
3. 玻色—爱因斯坦凝聚
4. 光子气体
5. 金属中的自由电子气体
3.1 热力学量的统计表达式
1、玻色系统 巨配分函数 平均粒子数 内能 广义力 熵 玻耳兹曼关系 2、费米系统
al
e
l
l
1
e l 1
N al
l l
l
巨配分函数
l
l 1 e
l l
l
ln l ln(1 e
l
l
)
l ( e )( 1) l l ln l ln(1 e ) l l (1 e ) l l e l l (1 e ) l
熵
ln ln ln dU Ydy d N dy d ( ) d( ) y ln ln ln d d dy y ln ln ln ln d ( ) d d ( ) d ln ln d ln
1 , kT kT
ln ln dS kd ln
ln ln S k ln k ln N U
l
l ln l l ln(l al )
l al
l
N U al al l
l l
al ( l ) al ln
l l l l
l al
al
al ln(l al ) al ln al
系统的平均粒子数
l e l ln l (1 e ) l
N al
l l
e l
l
) ln l 1 l (1 e )
l (e
l
内能
内能：系统中粒子无规运动总能量的统计平均值。
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1 x x e 1 e (1 e x )
1 x 1 e 1 e x
1
e
小， e x 是一个小量
e x (1 e x )
1 e x 1
1/ 2 2V x x 1/ 2 N g 3 (2mkT )3/ 2 x dx e x dx 0 e 0 h 1 2 2V 3 3/ 2 1/ 2 x x x 3/ 2 g 3 (2mkT ) x e (1 e )dx e x dx 0 0 4 h 2V 3/ 2 1/ 2 x 2 g 3 (2mkT ) [e x e dx e x1/ 2e 2 x dx ] 0 0 h
在体积V内，在到+d的能量范围内，分子可能 的微观状态数为：
2 V D( )d g 3 (2m)3/ 2 1/ 2 d h
g：由粒子可能具有自旋而引入的简并度。
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1/ 2 2 V 系统的总分子数：N g 3 (2m)3/ 2 d 0 e h 1
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
3 e , or , n 弱简并即气体：
虽小，但不可忽略。
初步显示玻色气体和费米气体的差异。 有关公式中，上面的符号适用于费米气体，下面 的符号适用于玻色气体。 不考虑分子的内部结构，只有平动能量。
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1 2 2 ( px py pz2 ) 2m
玻耳兹曼关系
S k ln N U
l l
l l
k{ l ln l l ln(l al ) al ln(l al ) al ln al }
第一章推导结果：
ln [l ln(l al ) al ln(l al ) al ln al l ln l ]
3 2 mkT U g VkTe 2 h2 U 3 1 kT 1 e N 2 4 2 3 1 U NkT 1 e 2 4 2
3.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
可将U第二项中的 e 分布的结果：
l ln
l l
l
(1 e
l
)
1 p ln V
l l ( e l ) l y 1 e l 1 ln l l l y 1 1 ln y
l
S k ln
注意这里是玻色系统的微观状态数ΩB.E.
2、费米系统
巨配分函数
l 1 e
l l
l
l
ln 式完全适用
求解热力学量一般过程
知道粒子的能级和能级的简并度
l ( e )( l ) l l ln l ln(1 e ) l l (1 e ) l l l e l l (1 e ) l
3 1 1N h2 3/ 2 U NkT 1 ( ) 2 4 2 g V 2 mkT
利用理想气体压强与内能的关系
2U p 3V
可以直接求得弱简并气体的压强为
1 1 h2 3/ 2 n=N/V p nkT 1 n( ) 4 2 g 2 mkT 粒子数密度
可确定拉氏乘子
3/ 2 2 V 内能： U g 3 (2m)3/ 2 d 0 e h 1
x
1/ 2 2 V x N g 3 (2mkT )3/ 2 x dx 0 e h 1 3/ 2 2 V x 3/ 2 U g 3 (2mkT ) kT x dx 0 e h 1
l l e l ln l (1 e ) l
U l al
l l
e
l
l l
ln l 1 l (1 e )
l
l e l
广义力
l 广义力：外界对系统的广义作用力Y是 的统 y 计平均值。 l l l Y al l y y e 1 l l e
3.1 热力学量的统计表达式
简并气体：不满足非简并条件的气体。 分别用玻色分布和费米分布处理。