初二上勾股定理复习(刘丹)
第一章勾股定理复习课教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时能够灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例解释：
-对于实际问题，教师需设计不同难度的题目，如斜边未知、一条直角边未知或者需要用到勾股定理的变形等，帮助学生克服在应用中遇到的困难。
-在证明难点上，教师应详细解释每种证明方法的思路，如几何拼贴法中如何通过面积相等来推导出勾股定理，代数推导法中如何利用平方差公式等。
-对于勾股数的创造性应用，教师可以通过提供不完整的直角三角形信息，让学生尝试用勾股数去补全信息，锻炼学生的思维能力和创新意识。
4.学生小组讨论环节，大家积极分享自己的观点和想法，有助于提高他们的表达能力和思维能力。但在今后的教学中，我需要关注每个学生的参与程度，鼓励他们大胆发表自己的见解，使讨论更加全面和深入。
5.总结回顾环节，学生对勾股定理的理解和掌握程度得到了巩固。但在今后的教学中，我应加强对学生的引导，帮助他们从多个角度理解和运用勾股定理，提高他们的综合运用能力。
五、教学反思
在今天的勾股定理复习课中，我尝试了多种教学方法，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一数学概念。通过教学实践，我发现以下几点值得反思：
1.导入新课环节，以生活中的实际例子引导学生思考，激发了他们的学习兴趣。然而，在今后的教学中，我应更加注重引导学生从实际问题中发现数学规律，提高他们的问题意识。
3.提升学生的数学建模素养，将勾股定理应用于解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力。
教案-初二-勾股定理章节复习(学生版)
勾股定理章节复习一、 上节回顾二、本节内容知识点一：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是： （1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题； （3）求作长度为的线段.题型1：勾股定理的简单应用【例1-1】已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．a b 、c 222a b c +=柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？知识点二：勾股定理逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证与是否具有相等关系，若，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.a b c 、、222a b c +=c 2c 22a b +222a b c +=222x y z +=x y z 、、如果()是勾股数，当t 为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征： 1.较小的直角边为连续奇数； 2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.题型1：勾股定理及逆定理的综合应用【例1-1】如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定△BEF 的形状，并说明理由．【例1-2】如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．(1)如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)a b c 、、at bt ct 、、a b c 、、a b c <<2a b c =+2729123S S S 、、123S S S =+123S S S 、、123S S S 、、(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明．举一反三：1、如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD ＝，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．2、如果ΔABC 的三边分别为，且满足，判断ΔABC 的形状.123S S S 、、123S S S 、、62a b c 、、222506810a b c a b c +++=++三、课堂练习一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3处折断，树顶端落在离树底部4处，则树折断之前高( )A.5B.7C.8D.102．如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )A. B. C.D.3.下列命题中是假命题的是（ ）A.三个内角的度数之比为：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为：：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比：：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点E 、F 是中线AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）．m m m m m m 2123105658113132211．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．12.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．13.如图，圆柱形容器中，高为120cm ，底面周长为100cm ，在容器内壁离容器底部40cm 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 cm ．（容器厚度忽略不计）14．在直角三角形中，一条直角边为11，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10，则其中最大的正方形的边长为______．16．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．a b c 、、222a b c +=cm 2cm cm20.如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，为CD 边上的点，＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B 落在点处，点A 的对应点为，折痕分别与AD ，BC 边交于点M ，N ．求BN 的长.四、课堂小结易错点整理：五、巩固提高一、选择题1.一个直角三角形的斜边长比一条直角边长大2,另一直角边长为6,则斜边长为( ) A.4B.8C.10D.122.已知三角形的三边长之比为1∶1∶,则此三角形一定是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形B 'C B 'B 'A '3.如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为( )A.4B.8C.16D.644.如图,一个高1.5m,宽3.6m的大门,需要在相对的顶点间用一条木板加固,则这条木板的长度是( )A.3.8 mB.3.9 mC.4 mD.4.4 m5.设a,b是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,则ab的值是( )A.1.5B.2C.2.5D.36.如图所示,要在离地面5m处引拉线固定电线杆,使拉线和地面成60°角,若要考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的L1=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m四种备用拉线材料中,拉线AC最好选用( )A.L1B.L2C.L3D.L47.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,AD平分∠BAC交BC于D,则BD的长为( )A. B.C. D.二、填空题8.定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是,它是命题(填“真”或“假”).9.如图所示,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则AE= .10.如图,教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直,点P在墙面上.若PA=AB=5,点P到AD的距离是3,有一只蚂蚁要从点P爬到点B,它的最短行程的平方应该是.11.如图所示,在△ABC中,AB∶BC∶CA=3∶4∶5,且周长为36 cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm 的速度移动;点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动,如果同时出发,则过3s时,△BPQ的面积为cm2.12.在△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=45°,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=90°,连接CD,则线段CD的长为.三、解答题13.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a+b=4,ab=1,c=,试判定△ABC的形状,并说明理由.AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长.(2)求△ADB的面积.。
初二上册数学期中考勾股定理的应用复习要点必考
初二上册数学期中考勾股定理的应用复习要点必考
最让我快乐的是什么?是学习，接上去看看查字典数学网为大家引荐的数学期中考勾股定理的运用温习要点，即使在家里也能快乐的学习呀!
勾股定理的运用
勾股定理运用举例：
1.直角三角形的恣意两边求第三边。
2.直角三角形的恣意一边确定另两边的关系。
3.证明包括平方(算术平方根)关系的几何效果。
4.结构方程(或方程组)计算有关线段的长度，处置消费、生活中的实践效果。
平面展开——最长途径效果求解方法：处置此类效果时，要先确定好该途径的终点终点，以及立方体的平面展开图，借助勾股定理来求得途径的长度。
由于展开的方法可以多种，因此关于途径的求解也是有多种方法，在这里肯定有一个最小值，此值为最长途径。
1.勾股数的定义：可以成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数。
2.罕见的勾股数有哪些：
(1)3,4,5
(2)6,8,10
(3)8,15,17
(4)7,24,25
(5)5,12,13
(6)9,12,15。
3.勾股数组的规律：
(1)假设a为一个大于1的奇数，b、c是两个延续自然数，且,那么a,b,c 为一组勾股数;
(2)假设a,b,c为一组勾股数，那么na,nb,nc也是一组勾股数，其中
n(n≥1)为自然数;
如今是不是觉得查字典数学网为大家预备的数学期中考勾股定理的运用温习要点很关键呢?欢迎大家阅读与选择!。
八(上)勾股定理复习回顾(复习课)
勾股定理复习回顾（复习课）班级：姓名：〖学习目标〗1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.〖导学流程〗浅层加工一、考点梳理1．勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝_______.勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两条边，求第三边；(2)已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系；(3)证明带有平方关系的问题；(4)把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题．2．勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是________三角形．勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数．二、必会的2 个方法1．面积法用面积法证明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用面积法．即利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到证明的结论．2．数形结合思想在一些实际问题中，如解决立体图形侧面两点的距离问题，折叠问题，航海问题，梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理，在解决这些问题时，充分体现了数形结合思想，是中考的热点考题．三、小题热身学海拾贝总结纠错1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3B ．a ＝2，b ＝3，c ＝4C ．a ＝2，b ＝4，c ＝5D ．a ＝3，b ＝4，c ＝52．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，斜边AB 的长为2 cm ，则AC 长为( ) A ．4cmB ．2cmC ．1cmD ．12cm 3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10 cm ，点D 为AB 的中点，则CD ＝____cm ．深度建构【考点一】勾股定理的简单应用例1.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E ，交BC 于点D ，CD ＝3，则BC 的长为 ( )A ．6B ．63C ．9D ．33练习1. 如图，在△ ABC 中，∠ A=90°，点D 为AB 上一点，沿CD 折叠△ABC ，点A 恰好落在BC 边上的A ’处，AB=4，AC=3，求BD的长 ．【考点二】勾股定理与拼图例2．如图是“赵爽弦图”，△ABH ，△BCG ，△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝10，EF ＝2，那么AH 等于_______．CABDA练习2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形7都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是______．【考点三】勾股定理逆定理例3．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连结AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝__________.练习3. 如图，已知AB＝4，BC＝3，AD＝12，DC＝13，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为_______.【考点四】勾股定理的应用例4. 如图，在C港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度前进，1小时后甲船到达B岛，乙船到达A岛，且A岛与B岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向航行吗？练习4．如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动（）A．11米B．12米C．13米D．14米【考点五】平面展开最短线段问题例 5.如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm ，底面周长为10 cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 ．练习5．如图是一块长、宽、高分别是6 cm ，4 cm 和 3 cm 的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 点相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 ．自我提升一、检测拓展1．如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在边BC 的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，则EC 的长为 cm ．2．如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为a ，b ，c ，A ，B ，N ，E ，F 五点在同一条直线上，则c ＝__________ (用含有a ，b 的代数式表示)．3.已知a ，b ，c 是△ABC 三边的长，且满足关系式 0222=-+--b a b a c ，则△ABC 的形状为__________．4.有两棵树，一棵高12 m，另一棵高6 m，两树相距8 m．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_______m．5．如图2，为一圆柱体工艺品，其底面周长为60 cm，高为25 cm，从点A出发绕该工艺品侧面一周镶嵌一根装饰线到点B，则该装饰线最短长为_______cm．6．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 019的值为．7.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是______尺．二、总结反思1.你学到了什么知识2.你学到了哪些数学思想方法3.你还有哪些困惑？（错题收集）。
八年级数学勾股定理期末复习
【典例精析】 如图,将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD,绕 点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE,连接AF.通过用不同 方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理,请你写出验证 的过程.
【思路点拨】梯形的面积可用(上底+下底)×高× 1 来表示,或用三个直角三
2
角形△ABC,△CEF,△ACF的面积和表示,整理可得.
【方法归纳】翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换.折叠前后图形的形 状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.解题时,我们常常设要求的线段 长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度,选择 适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时,应 认真审题,设出正确的未知数.
圆柱侧面展开图是
()
解:选B.因圆柱的展开面为长方形,AC展开应该是两线段,且有公共点C.
2.如图,将一根长为8 cm(AB=8 cm)的橡皮筋水平放置在桌面上,固定两端A和B,
然后把中点C竖直地向上拉升3 cm至D点,则拉长后橡皮筋的长度为
()
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm
解:选B.在Rt△ACD中,AC= 1AB=4 cm,CD=3 cm;
2
根据勾股定理得:AD2=AC2+CD2=25,AD=5 cm;
同理可得BD=5 cm,
∴AD+BD=10 cm,
故拉长后橡皮筋的长度为10 cm.
考点四 勾股定理与折叠问题 【典例精析】 如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点D与点B重合,点C落在C′的位置上. (1)若∠BFE=65°,求∠AEB的度数. (2)若AD=9 cm,AB=3 cm,求DE的长.
初中八年级上册数学 期末总复习 勾股定理期末复习
C B
A
例3、在正方形ABCD中， A E
D
E是AD的中点，点F在DC 上DF且= 14 DC
F
，试判断BE与EF的位
置关系，并作出说明.
B
C
例4、在△ABC中，a=m2-n2,b=m2+n2，c=2mn, 其中m,n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是 否为直角三角形.
练一练： 1、若三角形三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n= 时，这个三角形是直角三角形.
c=
.
③ 分不清直角边、斜边. 例3、在直角三角形中，已知两边的长分别为
3和4，求第三边长的平方.
错解：设第三边的长为x，由勾股定理，得 x2=32+42=25.
④ 考虑不周，忽略钝角三角形的情形. 例4、在△ABC中，AB=15，AC=13，高
AD=12，求△ABC的周长.
用“勾股”解“折叠”两类题
二、直角三角形的判定
例1、已知△ABC中，
A
AB=17cm,BC=30cm,BC边 上的中线AD=8cm,求
17
8
证:△ABC为等腰三角形.并 B
C
求△ABC的面积.
D
例2、如图，一块四边形菜地
ABCD的示意图，∠B=90
°,AB=4m，BC=3m， CD=12m,DA=13m,求四边 D
形的面积.
用反证法证明
例1、已知△ABC，求证：在∠A、 ∠B、 ∠C这三 个内角中，至少有两个锐角.
例2、已知m为整数，m2为偶数,求证：m为偶数.
例3、如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB 边的中点，BD ≠CE.求证:AB ≠AC.A
E
D
(整理版)八年级数学上册《勾股定理》复习
八年级数学上册《勾股定理》复习学习目标1.理解勾股定理的内容，直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此根底上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半局部学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：二、例如类型一 两边求第三边例1．在直角三角形中,假设两边长分别为1cm ，2cm ，那么第三边长为_____________． 类型二 构造Rt △，求线段的长例2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，求EB 的长．CP AB C D E A B C D E F B A例3．如图，P 为边长为2的正方形ABCD 对角线AC 上一动点，E 为AD 边中点，求EP +DP 最小值。
例4、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是_____________ dm .类型三 判别一个三角形是否是直角三角形 例5、如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE =14BC ．你能说明∠AFE 是直角吗？F E DC B A类型四 实际运用例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国局部地区频频遭受沙尘暴的侵袭。
近日，A 城气象局测得沙尘暴中心在A 城的正西方向240km 的B 处，以每时12km 的速度向北偏东 60度方向移动〔如图〕，距沙尘暴中心150km 的范围为受影响区域。
①A 城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②假设A 城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？ 东西北A B类型五、拼图例6、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如下图)．斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，那么S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______．三. 课堂检测1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距〔 〕A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm2．A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，假设 a ＝5，b ＝12，那么 c ＝＿＿＿4．等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，那么它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为＿＿＿．6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，那么它的面积是＿＿＿7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，门宽4尺．求竹竿高与门高．8．如图3杆底部8m 处，旗杆原长16m ，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？ l321S 4S 3S 2S 18m图3。
八年级数学上册 第14章 勾股定理小结与复习课件
第二十二页，共二十九页。
方法总结
勾股定理及其逆定理均体现了数形结合思想.勾股定理是由图形的特 征（三角形中有一个角是直角）得到数量之间的关系（三角形的三
边 长 a ， b ， c 满 足 a2+b2=c2 ） ; 勾 股 定 理 的 逆 定 理 由 数 量 之 间 的 关 系 （a2+b2=c2）得到图形的特征（以a，b，c为三边长的三角形是直角三角
因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过．
答：卡车可以通过，但要小心．
第十七页，共二十九页。
考点四 本章数学思想和解题方法
u方程(fāngchéng)思想
例5 如图，有一张直角(zhíjiǎo)三角形纸片，两直角(zhíjiǎo)边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD 的长． 【解析】 欲求的线段CD在Rt△ACD中，但此三角形
斜边为c ，那么一定有
a.2＋b2＝c2
勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2, b2＝c2－a2，
ca 2 b 2 ,a c 2 b 2 ,b c 2 . a 2 勾股定理分类计算(jì suàn)：如果已知直角三角形的两边是a、b(
且a＞b)，那么，当第三边c是斜边时，c＝_________；a 2当ab是2 斜边
在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰．
针对训练
1．已知一个(yī ɡè)直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边
长的平方是（ ）D
A.25
B.14
C.7
D.7或25
第八页，共二十九页。
考点二 勾股定理的逆定理与勾股数
例2 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别(fēnbié)是a，b ，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC是否为直角
初二数学章节复习梳理：第一讲 勾股定理(学生版)—精品文档
初二数学章节复习梳理：第一讲勾股定理【知识梳理】1、勾股定理:（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形2、勾股定理的逆定理:3、勾股数：满足222cba=+的三个正整数a，b，c，称为。
常见的勾股数有：……规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。
即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2那么a,b,c就是一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……（2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……（2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上的高线/周长/面积……（3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2角，a2 +b2=c2角，a2 +b2＜c2角判定直角三角形：a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.确定形状（4）构建直角三角形解题【典型例题】例1.已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。
求直角三角形的两直角边。
例2. 如图（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？例3. 如图所示的一块地，AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
第14章勾股定理-复习讲义-数学八年级上册
勾股定理一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 )( 8，15，17 )(9，12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、经典例题：1、利用勾股定理求线段的长b c例1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为、、．（1）已知＝2，＝3，求；（2）已知，＝32，求、． 解：（1）∵ ∠C ＝90°，＝2，＝3，∴ ； （2）设，．∵ ∠C ＝90°，＝32， ∴ ．即． 解得＝8．∴ ，．对应练习：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC cm =，4BC cm =，求AD ，CD 的长．解：90ACB ∠=︒，3AC cm =，4BC cm =， 5AB cm ∴=．根据直角三角形的面积公式，得 2.4AC BCCD cm AB==． 在RtACD ∆中， 1.8AD cm2、利用勾股定理说明边的关系b c a :3:5a c =ba c bc a ==3a k =5c k =b 222a b c +=222(3)32(5)k k +=k 33824a k ==⨯=55840c k ==⨯=例2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，试说明．解：∵MN ⊥AB ，所以，，∴． ∵AM 是中线，所以MC ＝MB ．又∵∠C ＝90°，∴在Rt △AMC 中，，∴．3、利用勾股定理求面积例3、如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以AC 、BC 为直径作半圆1S 和2S ，且122S S π+=，则AB 的长为( )A ．16B ．8C ．4D ．2解：由勾股定理得，222AC BC AB +=，2222111()()()222228AC BC AC BC ππππ⨯+⨯=⨯+=， 解得，2216AC BC +=，222AN BN AC -=222AN MN AM +=222BN MN MB +=2222AN BN AM BM -=-222AM MC AC -=222AN BN AC -=则22216AB AC BC =+=， 解得，4AB =， 故选：C ．对应练习：如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若1S ，2S ，3S ，4S 和S 分别代表相应的正方形的面积，且14S =，29S =，38S =，410S =，则S 等于()A ．25B ．31C ．32D ．40解：如图，由题意得：21213AB S S =+=，23418AC S S =+=， 22231BC AB AC ∴=+=， 231S BC ∴==．故选：B ．4、利用勾股定理解直角三角形折叠问题例4、长方形纸片ABCD 中，AD=4cm ，AB=10cm ，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求DE 的长．解：设DE=xcm ，则BE=DE=x ，AE=AB ﹣BE=10﹣x ，△ADE 中，DE 2=AE 2+AD 2，即x 2=（10﹣x ）2+16． ∴x=（cm ）．答：DE 的长为cm.对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合，求BDE ∆的面积．解：6AC cm =，8BC cm =10AB cm ∴==将纸片沿AD 折叠，直角边AC 恰好落在斜边上，且与AE 重合， 6AC AE cm ∴==，90DEB ∠=︒ 1064BE cm ∴=-=设CD DE x ==，则在Rt DEB ∆中，2224(8)x x +=-解得3x =， 即DE 等于3cmBDE ∴∆的面积14362=⨯⨯=答：BDE ∆的面积为26cm5、判断直角三角形例5、在以线段a ，b ，c 的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是( ) A ．4a =，5b =，6c =B ．::5:12:13a b c =C ．a =b =cD ．4a =，5b =，3c =解：A 、222456+≠，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；B 、设三角形三边为5k ，12k ，13k ，2(5)(k +2212)(13)k k =，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、(2(+2(=2，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、222345+=，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A ．对应练习：）如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2．求BC 边上的高及△ABC的面积．解：∵AD ⊥BC ，∠C=45°，∴△ACD 是等腰直角三角形，∵AD=CD ． ∵AC=2，∴2AD 2=AC 2，即2AD 2=8，解得AD=CD=2． ∵∠B=30°， ∴AB=2AD=4， ∴BD===2，∴BC=BD+CD=2+2，∴S △ABC =BC •AD=（2+2）×2=2+2．6、最短距离问题例6、如图①，有一个圆柱，它的高等于12，底面半径等于3，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)解：如图②所示，由题意可得：， 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 则AB ＝15．所以需要爬行的最短路程是15．cmcm 12AA '=12392A B π'=⨯⨯=22222129225AB AA A B ''=+=+=cm cm对应练习：如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是()A B．10厘米C．厘米D．8厘米解：如图所示：最短路径为：P A'→，将圆柱展开，'=，PA cm10'=．故选：B．最短路程为10PA cm。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7
1524
25
2071520
24
25
157
25
20
24
2572024
15
(A)
(B)(C)(D)初二（上）数学期末专题复习——《勾股定理》
班级 姓名 学号
一、选择题(每题3分）
1．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（ ）A ．7,24,25a b c ===
B ． 1.5,2, 2.5a b c ===
C ．25,2,3
4
a b c ===
D ．15,8,17a b c ===
2．小强量得家里彩电荧屏的长为cm 58，宽为cm 46，则这台电视机尺寸是（ ） A ．9英寸（23cm ） B ．21英寸（54cm ） C ．29英寸（74cm ） D ．34英寸（87cm ） 3．等腰三角形腰长10cm ，底边16cm ，则面积 （ ）
A ．296cm
B ．248cm
C ．224cm
D ．232cm
4．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积为( ) A ．4πcm 2
B ．6πcm 2
C ．12πcm 2
D ．24πcm 2
5．在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，若DC ＝3，BC ＝6，AD ＝5，则AB 长为( ) A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为AC 上一点，且DA ＝DB ＝5，又△DAB 的面积为10，那么DC 的长是 ( ) A ．4 B ．3 C ．5 D ．4.5
7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其
中正确的是（ ）
8.如图一直角三角形纸片，两直角边cm BC cm AC 8,6==，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使
它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cm B ．3cm C ．4cm D ．5cm 9.直角三角形边长为b a ,，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ） A 、2h ab =
B ．2222h b a =+
C ．h
b
a
111=+ D ．2
22111h
b a =+
10．在我国古算书《周髀算经》中有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图(a)是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．
图(b)是由图(a)放入长方形内得到的，∠BAC ＝90°，
AB ＝3，AC ＝4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上， 则长方形KLMJ 的面积为( ) A ．90
B ．100
C ．110
D ．121
A
E
B
D
C
第8题图
C O
A B
D
E
F 16题图
二、填空题(每题3分）
11.若三角形三边分别为5，12，13，那么它最长边上的中线长是
12.已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则以第三边长为边长的正方形面积是 13.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积________．
14.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，AB ＝10㎝，AC ＝6㎝，△BDE 的周长为 ㎝。
17题图 18题图 20题图 15.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是
16.如图，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离之和为 cm 。
17．如图，P 是正△ABC 内一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P 与P'之间的距离为PP'＝_______，∠APB ＝_______度． 18．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，△AEH 、△BDC 、△GFI 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝_______．
19.在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，现将它折叠，使B 点与C 点重合，则折痕的长是 ． 20.如图，已知点P 是边长为4的正方形ABCD 的AD 边上一点，AP=1，BE ⊥PC 于E ，则BE=______. 三、解答题
21.如图，已知△ABC 的三边长为别为5，12，13，分别以三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。
22.如图所示，四边形ABCD 中，3,4,13,12,AB cm AD cm BC cm CD cm ====
090A ∠=求四边形ABCD 的面积．
23.如图，在△ABC 中，AB=17 cm ，BC=16 cm ，BC 边上的中线AD=15cm ，△ABC 是等腰三角形吗?为什么? A C E D B A
D
C
B
24.在△ABC 中，AB=10,AC=17,BC 边上的高AD=8,求BC 长。
25．如图，已知M 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，CD=BM ，DM 与CB 的延长线交于点E 。
求证：∠E=12
∠A ．
26.如图，一块长方体砖宽AN ＝5 cm ，长ND ＝10 cm ，CD 上的点B 距地面的高BD ＝8 cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
27.一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？
28.如图所示，15只空油桶（每只油桶底面直径均为60cm ）堆在一起，要给它盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？ （结果保留3个有效数字） A A ′
B B ′
O
B
E A
C D
M
29.如图，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P,能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.
30.距沿海某城市A 正南220千米的B 处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动,且台风中心风力不变,若城市受到的风力达到或超过四级,则称受台风影响. (1) 该城市是否会受到这次台风的影响？受到台风影响的最大风力为几级？ (2) 若受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长？
31.探索与研究：
方法1：如图(a)，对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 面积相等，而四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和，根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图(b)，是任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？
A B
C。