乐乐课堂八年级下册数学一次函数与方程丶不等式
乐乐课堂八年级下册数学一次函数与方程丶不等式
一、一次函数的概念与性质
一次函数是指一般式为y=ax+b的函数，其中a和b为实数，a不为0。一次函数的图像为一条直线，斜率为a，截距为b。一次函数还有一些重要的性质，例如：
1. 如果a>0，则函数图像是向上的，如果a<0，则函数图像是向下的。
2. 如果b>0，则函数图像在y轴上的截距为b，如果b<0，则函数图像在y轴下方与y轴相交，截距的绝对值为|b|。
二、一次方程的解法
一次方程是指一般式为ax+b=0的方程，其中a和b为实数，a不为0。解一次方程有几种方法，具体如下：
1. 移项法：将方程两侧的项移项，使得方程变为ax=-b的形式，然后将等式两侧都除以a即可求出x的值。
2. 等比例法：将一次方程的两侧同时乘以同一个非零实数k，则得到的方程仍然是一次方程，但是方程的解发生了变化。
3. 图解法：将一次方程表示出来，在坐标系上绘制函数图像，然后找
到函数图像与x轴的交点即可得到方程的解。
三、一次不等式的解法
一次不等式是指一般式为ax+b<0或ax+b>0的不等式，其中a和b为实数，a不为0。解一次不等式有两种方法，具体如下：
1. 区间法：将一次不等式表示成解集的形式，例如ax+b<0的解集为{x | x<（-b/a）}，这样就可以通过求出解集的方式来求得不等式的解。
2. 分类讨论法：将一次不等式分成两种情况来讨论，例如ax+b<0可以分为a>0和a<0两种情况，结合一次函数的性质来分析不等式解的情况，最终求得不等式的解。
总之，一次函数、一次方程和一次不等式是初中数学中的重要内容，在学习中需要多做习题和练习，掌握解题的方法和技巧，提高自己的数学能力。
人教版数学八年级下册：《19.2.3一次函数与方程、不等式》同步练习题含答案
19.2.3一次函数与方程、不等式同步练习题 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,?2)，则不等式2x
A. x ＜ 13 B. －13＜x ＜0 C. 0＜x ＜2 D. －1 3 ＜x ＜2 6．如图，已知直线11y k x m =+和直线22y k x n =+交于点()1,2P -，则关于x 的不等式()12k k x m n ->-+的解是（ ）． A. 2x > B. 1x >- C. 12x -<< D. 1x <- 7．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 8．如图，平面直角坐标系中，经过点B （﹣4，0）的直线y=kx+b 与直线y=mx+2相交于点A(- 3 2 ,-1)，则不等式mx+2＜kx+b ＜0的解集为_____． 9．函数y=kx+b 的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为________，不等式kx+b>0的解集为_________，不等式kx+b －3>0的解集为________．
乐乐课堂八年级下册数学一次函数与方程丶不等式
乐乐课堂八年级下册数学一次函数与方程丶不等式 一、一次函数的概念与性质 一次函数是指一般式为y=ax+b的函数，其中a和b为实数，a不为0。一次函数的图像为一条直线，斜率为a，截距为b。一次函数还有一些重要的性质，例如： 1. 如果a>0，则函数图像是向上的，如果a<0，则函数图像是向下的。 2. 如果b>0，则函数图像在y轴上的截距为b，如果b<0，则函数图像在y轴下方与y轴相交，截距的绝对值为|b|。 二、一次方程的解法 一次方程是指一般式为ax+b=0的方程，其中a和b为实数，a不为0。解一次方程有几种方法，具体如下： 1. 移项法：将方程两侧的项移项，使得方程变为ax=-b的形式，然后将等式两侧都除以a即可求出x的值。 2. 等比例法：将一次方程的两侧同时乘以同一个非零实数k，则得到的方程仍然是一次方程，但是方程的解发生了变化。 3. 图解法：将一次方程表示出来，在坐标系上绘制函数图像，然后找
到函数图像与x轴的交点即可得到方程的解。 三、一次不等式的解法 一次不等式是指一般式为ax+b<0或ax+b>0的不等式，其中a和b为实数，a不为0。解一次不等式有两种方法，具体如下： 1. 区间法：将一次不等式表示成解集的形式，例如ax+b<0的解集为{x | x<（-b/a）}，这样就可以通过求出解集的方式来求得不等式的解。 2. 分类讨论法：将一次不等式分成两种情况来讨论，例如ax+b<0可以分为a>0和a<0两种情况，结合一次函数的性质来分析不等式解的情况，最终求得不等式的解。 总之，一次函数、一次方程和一次不等式是初中数学中的重要内容，在学习中需要多做习题和练习，掌握解题的方法和技巧，提高自己的数学能力。
人教版八年级数学下《一次函数与一元一次不等式》知识全解
《一次函数与一元一次不等式》知识全解 课标要求 理解一次函数与一元一次不等式的关系，会用一次函数及其图像解决一元一次不等式的问题，会用一元一次不等式解决实际问题。 知识结构 一次函数与一元一次不等式的关系 同一次函数与一元一次方程一样，一次函数y=ax+b（a,b为常数，a≠0）与一元一次不等式：ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数）之间也有密切联系。由于任何一个一元一次不等式都可以化为一般形式ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数），所以解一元一次不等式可以转化为求：当一次函数y=ax+b中，函数值y大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围。从图象上看，相当于直线y=ax+b在x轴上方（或下方）时，x的取值范围。 解关于x的不等式kx+b>mx+n有两种转化方式，分别为： （1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方． （2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理） 内容解析 求一次函数y=ax+b中，当自变量在什么范围取值时，函数值y＞0。这个问题即为当x 取何值时ax+b＞0，正好是求一元一次不等式的解集；而从图象上看，因为纵坐标大于0的点都在x轴上面，所以求函数y=ax+b的函数值大于0时，自变量x的范围，就相当于求已知直线y=ax+b在x轴上面的图象所对应的横坐标的范围。 用一次函数图象来解一元一次不等式．虽说方法未必简单，但我们从函数的角度来重新认识不等式，发现了一次函数、一元一次不等式之间的联系，能直观看到怎样用图形来表示不等式的解，对我们以后学习很重要． 重点难点 本节的重点是：用一次函数及其图象来解决一元一次不等式的问题 难点是：正确理解一次函数与一元一次不等式的转化关系，并能用它们解决实际问题。教法引导 通过举例，让学生体会一次函数与一元一次不等式的转化关系。通过让学生动手画函数图象，掌握用图象来解决一元一次不等式的方法.
初中数学八年级下册《一次函数与一元一次方程、不等式》优秀教学设计
19．2.3一次函数与方程、不等式 第1课时一次函数与一元一次方程、不等式 【学习目标】 1．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程和一元一次不等式的求解问题． 2．学习用函数的观点看待方程及不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想． 【学习重点】 用一次函数解一元一次方程、一元一次不等式． 【学习难点】 理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系． 情景导入生成问题 1．已知直线经过点A(2，4)和点B(0，－2)，那么这条直线的解析式是( ) A．y＝－2x＋3B．y＝3x－2 C．y＝－3x＋2 D．y＝2x－3 2．一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过点(2，1)；②当x>0时，y随x 的增大而减小，这个函数的解析式为(写出一个即可) 自学互研生成能力 一．阅读教材P96思考，完成下列内容： 1．一元一次方程kx＋b＝0的解就是一次函数的图象与轴交点的坐标． 2．已知一次函数y＝ax＋3与x轴的交点的横坐标为－4，则一元一次方程ax＋3＝0的解为． 二．合作探究
一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为() A．x＝－1B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3 归纳：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值． 三．自主探究 阅读教材P96思考，完成下列问题： 1．一次函数与一元一次不等式的关系：一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集，就是一次函数的图象在x轴方(或方)相应的自变量x的取值范围． 2．已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，则不等式kx＋b≤0的解集是． 四．合作探究 对照图象，请回答下列问题： (1)当x取何值时，2x－5＝－x＋1? (2)当x取何值时，2x－5>－x＋1?
一次函数与方程、不等式教案
《19.2 一次函数》教学设计 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第1课时一次函数与一元一次方程、不等式教材分析 本节内容是在学生已有对一元一次方程、一元一次不等式的认识之后，从变化和对应的角度，对一次函数进行更深入的讨论，是站在更高起点上的动态分析．通过讨论一次函数与一元一次方程及不等式的关系，用函数的观点加深对这些已经学习过的内容的认识，加强知识间的横向和纵向联系，发挥函数的统领作用． 备课素材 一、新知导入 【复习导入】 （1）按照“列表——描点——连线”的步骤画出一次函数y＝2x－3的图象； （2）观察一次函数y＝2x－3的图象与x轴的交点，指出当y＝0时，自变量x的取值是多少？它与方程2x－3＝0的解相同吗？它们之间有什么联系？ （3）观察一次函数y＝2x－3的图象在x轴上方的部分，这些点的纵坐标的符号是怎样的？ （4）观察一次函数y＝2x－3的图象在x轴下方的部分，这些点的纵坐标的符号是怎样的？ 【说明与建议】说明：复习一次函数图象的画法，把所列表格中的数据与函数图象中点的坐标结合起来，分析函数值的不同符号特征，与方程、不等式建立起联系．建议：用描点法画一次函数图象时，可以多列出几组数对，在x＝1的左右两侧分别列出3～4组对称的数对，再将其与函数图象对照，发挥数形结合思想的优势，使函数值的符号特征更加明显． 二、命题热点 命题角度1 利用一次函数图象求一元一次方程的解 1.一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则方程ax＋b＝0的解为（A） A．x＝－2 B．y＝－2 C．x＝1 D．y＝1 第1题图第2题图 2.一次函数y＝kx＋b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx＋b
人教版八年级数学下《一次函数与二元一次方程(组)》知识全解
《一次函数与二元一次方程（组）》知识全解 课标要求 理解一次函数与二元一次方程组的联系，用一次函数的观点认识二元一次方程组，会应用它们解决实际的问题。 知识结构 一次函数与二元一次方程的关系 任何一个关于x,y的二元一次方程ax+by=c，都可以化为一个一次函数一般形式y=kx+m 的形式。我们也可以理解为二元一次方程就是一个一次函数，只不过不是一次函数的一般形式。既然每个二元一次方程都对应着一个一次函数，那么也就对应着一条直线，直线上每个点地横、纵坐标都是方程的一组解。 一次函数与二元一次方程组的关系 明白了一次函数与二元一次方程的关系，我们很容易知道，二元一次方程组中的两个方程对应着两条直线，这两条直线的交点既在第一条直线上，又在第二条直线上，那么点的坐标应该满足两个解析式都成立，即为方程组的解。 内容解析 一次函数和二元一次方程式互相统一的，二者的关系较之一次函数与一元一次方程及一元一次不等式更为密切。每一个二元一次方程都是一个一次函数，所以每一个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这个值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。 用函数观点看方程（组）与不等式是数形结合思想的又一体现，它教给我们从另一个方位来思考方程（组）与不等式的问题，让人耳目一新，让我们领略了数学思维的多元性，进一步体验了数形结合思想的重要性。 重点难点 本节的重点是：用一次函数的观点重新认识二元一次方程（组），将二者统一运用到解决有关问题中。 难点是：能把它们统一起来．解决有关问题时，又能根据具体情况灵活地应用这些方法。教法引导 通过举例，让学生体会一次函数与二元一次方程（组）的统一关系。通过让学生动手画
2020版八年级数学下册第十九章一次函数19.2一次函数19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时)教案(新版)
19.2.3一次函数与方程、不等式 第1课时 【教学目标】 知识与技能: 认识一次函数与一元一次方程之间的联系.会用函数观点解释一元一次方程的意义. 过程与方法: 经历用函数图象表示一元一次方程解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想,进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想. 情感态度与价值观: 培养数形结合的数学思想,积极参与交流,积极发表意见,让学生体会数学的应用价值. 【重点难点】 重点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解. 难点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解. 【教学过程】 一、创设情境,导入新课 我们来看下面两个问题: 1.解方程2x+20=0. 2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0? 这两个问题之间有什么联系吗? 我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法. 二、探究归纳 活动1: 一次函数与一元一次方程的关系 1.问题:填空:(1)解方程2x+6=0,得x=________. (2)从函数图象上看,直线y=2x+6与x轴交点的坐标为________ ,这也说明函数 y=2x+6值为________,对应的自变量x为__________,即方程2x+6=0的解是 ________. 答案:(1)-3(2)(-3,0)0 -3x=-3 2.思考:直线y=2x+6与x轴的交点坐标和方程2x+6=0的解有什么关系? 提示:直线y=2x+6与x轴的交点的横坐标,就是方程2x+6=0的解. 3.归纳:一次函数与一元一次方程的关系
(1)由于任何一个以x为未知数的一元一次方程都可转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式.所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时,求自变量x的值. (2)一元一次方程ax+b=0的解,是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标值. 活动2:例题讲解 【例1】利用函数图象解下列方程: (1)0.5x-3=1. (2)3x-2=x+4. 分析:将方程转化为kx+b=0的形式,画出y=kx+b的图象,由直线与x轴的交点坐标确定原方程的解. 解:(1)原方程可化为0.5x-4=0. 画出一次函数y=0.5x-4的图象, 由图象看出直线y=0.5x-4与x轴的交点为(8,0), 所以方程0.5x-3=1的解为x=8. (2)原方程可化为2x-6=0. 画出一次函数y=2x-6的图象, 由图象看出直线y=2x-6与x轴的交点为(3,0), 所以方程3x-2=x+4的解为x=3. 总结:一次函数与一元一次方程的关系 一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值.即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数. 【例2】甲、乙两地距离300 km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,根据图象,解答下列问题:
专题08 一次函数与方程、不等式的综合问题-2023年初中数学8年级下册同步压轴题(学生版)
专题08 一次函数与方程、不等式的综合问题 类型一、一次函数与方程综合 例．如图，一次函数y kx b =+的图像与x 轴的交点坐标为()2,0-，则下列说法正确的有( )． A ．y 随x 的增大而减小 B ．0k >，0b < C ．当2x >-时，0y < D ．关于x 的方程0kx b +=的解为2x =- 【变式训练1】直线y ＝ax +b (a ≠0)过点A (0，2)，B (1，0)，则关于x 的方程ax +b ＝0的解为( ) A ．x ＝0 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝3 【变式训练2】如图，直线y ＝kx +b (k ≠0)与x 轴交于点(﹣5，0)，下列说法正确的是( ) A ．k ＞0，b ＜0 B ．直线y ＝bx +k 经过第四象限 C ．关于x 的方程kx +b ＝0的解为x ＝﹣5 D ．若(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线y ＝kx +b 上的两点，若x 1＜x 2， 则y 1＞y 2
【变式训练3】如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()0,4，则下列结论正确的是( ) A ．图像经过一、二、三象限 B ．关于x 方程0kx b +=的解是4x = C ．0b < D ．y 随x 的增大而减小 【变式训练4】一次函数(0)y kx b k =+≠的图象如图所示，则关于x 的不等式20kx b +>的解集是( ) A ．2x >- B ．2x <- C ．2x < D ．2x > 类型二、一次函数与不等式综合 例．如图，已知函数y ＝3x +b 和y ＝ax ﹣3的图象交于点P (﹣2，﹣5)，则根据图象可得不等式3x +b ＞ax ﹣3的解集是( ) A ．x ＞﹣2 B ．x ＜﹣2 C ．﹣2＜x ＜0 D ．x ＞0
《一次函数与方程、不等式》教案
《一次函数与方程、不等式》教案 【教学目标】 1.知识与技能 （1）理解一次函数与方程、不等式的关系； （2）会根据一次函数的图象解决问题。 2.过程与方法 通过探索，初步掌握用函数的观点看待方程的方法。 3.情感态度和价值观 实例引入，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学、探索数学奥秘的意愿。 【教学重点】 一次函数与方程、不等式的关系。 【教学难点】 利用图象解决方程、不等式的问题。 【教学方法】 自学与小组合作学习相结合的方法。 【课前准备】 教学课件。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、情景导入 【过渡】上节课我们学习了一次函数的相关性质。现在，我有一个问题，想要考一下大家。 （1）解方程5x+10=0。 （2）当自变量x为何值时，函数y=5x+10的值为0？ 【过渡】这两个问题其实都特别简单，大家观察这两个问题，有什么发现吗？这两个问题有什么联系呢？ （学生回答） 【过渡】其实，这两个问题在本质上是一样的问题，这就展示了方程与函数的关系，今天我们就来探究一下函数与方程及不等式之间的关系。 二、新课教学 1．一次函数与方程
【过渡】经过刚刚的问题，我们再来看一下课本P96的思考题。 仔细观察这三个方程，你能发现什么？ 这三个方程等号左边都是2x+1，等号右边分别是3、0、-1。 【过渡】结合我们之前学习的一次函数，你能发现这两者之间有什么联系吗？ （学生回答） 【过渡】通过对比，我们发现，这三个方程可以看做是一次函数y=2x+1函数值分别为3，0，-1的情况，即当y分别等于3、0、-1时，x的取值。而这三个方程的解则分别对应着此时自变量的值，即图象上A，B，C三点的横坐标。 因此，我们做出函数图象，能够得到与方程的解相同的数，即是方程的解。这也就是一次函数与一元一次方程的关系。 【过渡】对于任何的一元一次方程来说，一元一次方程都可以转化为kx+b=c的形式。求解方程的解时，也就是求y=kx+b，当y=c时，自变量x的值。对于任意一个一元一次方程ax+b=0(a≠0)，它有唯一解，我们可以把这个方程的解看成函数y=ax+b的函数值为0时，与之对应的自变量的值，也就是函数与x轴的交点。因此，从不同的角度，我们可以总结一元一次方程与一次函数的关系：从数的角度看：求ax+b=c的解，就是求x为何值时，y=ax+b的值 从图象的角度看：方程的解是函数图象与x轴交点的横坐标。 【过渡】学习了一次函数与方程的关系之后，我们再来看一次函数与不等式之间的联系。 讲解课本思考内容。 【过渡】我们同样发现，不等式的求解，同样可以与一次函数相联系： 对于任意一个一元一次不等式ax+b>0(a≠0)，我们可以把这个不等式的解集看成函数y=ax+b当y>0时自变量x的取值范围． 从数的角度看：求ax+b＞0或ax+b＜0的解,也就是,x为何值时，函数y=ax+b的值大于或小于0; 从图象的角度看: 求ax+b＞0就是自变量x为何值时直线y=ax+b的图象在x轴上方; 求ax+b＜0就是自变量x为何值时直线y=ax+b的图象在x轴下方。 【过渡】这种一元一次方程可以通过一次函数的关系求解，那么对于二元一次方程来说，是否有同样的练习呢？ 【过渡】我们先来看课本的问题3。 【过渡】通过题意，我们能够知道气球上升的时间在0与60min之间，即x的取值范围，两个气球的关系式都能够很轻易的写出。 对于第二个问题，对于到达同一高度，我们能够很简单的想到，两个函数解析式的函数值相等就是达到同一高度。我们需要同时求出x和y的值。大家第一时间想到的是什么方法呢？
八年级数学下册第19章一次函数 一次函数与一元一次方程不等式说课稿新版新人教版
一次函数与一元一次方程、不等式 一、教材分析 1、地位和作用 本大节内容是在学生已有对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组等的认识之后,从变化和对应的角度,对一次运算进行更深入的讨论,是站在更高起点上的动态分析。通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系,用函数的观点加深对这些已经学习过的内容的认识,加强知识间的横向和纵向联系,发挥函数的统领作用,构建和发展相互联系的知识体系。本节课的主要内容是对前两小节内容的复习,但不是简单的回顾复习,而是居高临下的进行动态分析,使新旧知识融会贯通,加大学生对已经学习过的相关内容之间联系的认识,进一步体验函数的重要性,提高灵活分析问题和解决问题的能力。 2、教材的重点与难点： 本节的教学重点是巩固一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系；由于从图象的角度认识方程及不等式涉及到变化、对应以及数形结合的思想,这对学生来说有一定困难,所以本节的教学难点为从函数图象的角度认识一元一次方程及一元一次不等式。 二、目标分析： 1、知识技能：充分利用图象巩固一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系。 2、数学思考：通过对一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系的探究及相关实际问题的解决,体会数形结合的思想。 3、解决问题：能利用一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系,解决实际问题。 4、情感态度：（1）、通过对一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系的探索,培养学生的探究精神,体会事物之间的相互联系；（2）、通过利用一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的联系解决实际问题,进一步感受数学的价值。 三、学法分析 1、学生自主探索,思考问题,获取知识,掌握方法,真正成为学习的主体。 2、学生在小组合作学习中体验学习的快乐。合作交流的友好氛围,让学生更有机会体验自己与他人的想法,从而掌握知识,发展技能,获得愉快的心理体验。 四、教法分析 本节课以启发激励为主,让学生在习题的逐层升华中乐学、会学、善学。 五、教学过程设计 （一）、温故知新,开启思维 1．一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看求ax+b=0(a, b是常数,a≠0)的解就是求x为何值时y= ax+b的值为0；从形的角度看求ax+b=0(a, b是常数,a≠0)的解就是求直线y= ax+b与X轴交点的横坐标。 2．一次函数与一元一次不等式的关系：从数的角度看求ax+b＞0或ax+b < 0 (a, b是数,a
人教版初中数学八年级下册19.2.3 一次函数与方程、不等式-说课材料
19.2.3 一次函数与方程、不等式 1. 教材分析 （1）内容、地位、联系：《一次函数与方程、不等式》是人教版数学八年级下册第十九章第二节的内容。本节课的主要内容是对之前学过的知识进行回顾复习的同时，着重建立了一次函数与一元一次方程、一次不等式和二元一次方程组的有效联系，站在更高的角度进行动态分析，利用一次函数的图象求一元一次方程的解、一次不等式的解集和二元一次方程组的解，使新旧知识融会贯通，加大学生对已经学过的相关内容之间联系的认识，进一步体验函数的重要性，发挥函数对相关内容的统率作用，其中渗透了数形结合的思想，为后继学习奠定了基础，在初中学段有很重要的地位和作用。 （2）课标要求： 理解一次函数与一元一次方程、一次不等式和二元一次方程组的关系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义。 2. 教材处理 把教材问题3的内容放到开始位置，处理意图是激发学生的学习兴趣，轻松引入课题。 3. 教学目标 （1）学情分析 从认知状况来说，学生在此之前已经掌握了一次函数的概念和解析式的一般形式，会画一次函数的图象，而且通过前面的学习学生能够初步建立一次函数模型来解决一些简单的数学问题，但是把一元一次方程、一次不等式的联系和二元一次方程组利用函数图象联系在一起，结合数形结合的思想，来理解它们之间的关系，这对于我们的学生来说，会有点困难。 （2）教学目标制定 结合学情我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为： <1>理解一次函数与一元一次方程、一次不等式和二元一次方程组的关系，鼓励学生积极主动地参与讨论，感受发现问题和解决问题带来的愉悦。 <2>能根据一次函数的图象求一元一次方程的解、一次不等式的解集和二元一次方程组的解，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义。经历用函数图象表示方程和不等式的过程，进一步体会“以形表数，以数释形”的数形结合思想，鼓励学生积极与他人交流、合作，从而激发学生探究数学知识的兴趣。 （3）教学重点难点 重点：理解一次函数与一次方程、一次不等式和二元一次方程组的关系。 难点：根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一次不等式的解集，发展学生数形结合的思想和辩证思维能力。 二、说教法 本节课，我准备用“探索发现、合作探究、引导归纳、巩固练习”的模式展开。引导学生从已有的知识经验出发，提出问题，让学生自己动手操作，发现问题，解决问题，从而归纳出解决问题的一般方法。在教学中鼓励学生积极合作，充分交流，制造良好的学习氛围。本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用类比归纳的思想，由浅入深，让学生自主探究，分析、整理一元一次方程与一次函数的关系．并通过逐步深入的课堂练习，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．
八年级下册数学一次函数与方程不等式
八年级下册数学一次函数与方程不等式八年级下册数学一次函数与方程不等式 一、一次函数的概念 一次函数是指函数中只含有一次项的函数。它的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数，k表示斜率，b则表示截距。一次函数的图像是一条直线，而且直线的斜率越大，直线就越陡峭。 二、一次函数的性质 1.斜率正负问题 当k>0时，函数图像是上升的直线；当k<0时，函数图像是下降的直线。斜率为0的情况下，函数图像就是水平的直线。 2.截距问题 当b>0时，函数图像与x轴的交点为正值；当b<0时，函数图像与x 轴的交点为负值；当b=0时，函数图像就是经过原点的直线。 3.函数图像关系 如果两个函数图像的斜率是相等的，那么它们是平行的；如果两个函
数图像的斜率相乘为-1，那么它们是垂直的。 三、一次方程的概念 一次方程是指最高次项为1的等式。一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a和b为已知常数，x为未知数。 四、一次方程的解法 1.移项法 首先将等式两边的同类项合并，然后将未知项移到等式一边，已知项移到另一边。最后将未知项的系数化为1，就可以解出未知数的值了。 2.消元法 将含有未知数的项相加或相减，使得方程中只剩下一个未知数的项和已知数。最后将未知项的系数化为1，就可以求出未知数的值。 五、不等式的概念 不等式是指一个式子中包含了大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）或小于等于（≤）等符号的式子，且其中至少含有一个未知数。 六、不等式的解法
1.缩项法 将不等式中的同类项合并成一项，得到一个简单的不等式，然后解出 未知数的值。 2.绝对值法 当不等式中含有绝对值的时候，需要分两种情况讨论，得到不等式的解。 3.区间法 将不等式中未知数的取值范围确定下来，根据不等式符号的变化求出 未知数的取值范围。 七、总结 一次函数、一次方程和不等式是初中数学中非常重要的概念和知识点。要掌握好这些知识，不仅需要理解概念和性质，还需要掌握相关的解 法和应用技巧。充分掌握这些知识，不仅有助于学生在学习成绩上取 得更好的成绩，也对以后的学习和生活有着重要的指导意义。
《一次函数与方程、不等式》--说课稿1
19.2.3《一次函数与方程、不等式》第一课时 说课稿 一、教材分析 1、说教材地位和作用 本课内容是初中数学人教版八年级下册第19章第2.3节第一课时，它是学生在学习一次函数的基础上，从运动变化的角度，用函数的观点来认识已学习的一次函数与方程、不等式的知识，发挥函数的统领作用，构建和发展相互联系的知识体系。提高灵活分析问题和解决问题的能力。 2、教材的重点与难点 教学重点：理解一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的关系。 教学难点：从函数图像的角度认识一元一次方程及一元一次不等式。 （由于从图像的角度认识方程与不等式涉及到变化、对应以及数形结合的思想，对学生来说有一定困难。） 二、说教学目标 知识目标： （1）理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。会根据一次函数的图像解决一元一次方程、一元一次不等式的问题。 （2）学习用函数的观点看待一元一次方程、一元一次不等式的方法，理解函数的统领作用。 （3）经历方程与函数问题的探讨，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。技能目标： 初步培养学生的观察、想象、分析、概括的能力 过程与方法目标： 培养学生思维的严谨性、灵活性、深刻性，从特殊到一般的认识观。 态度与情感目标： （1）通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系的探索，培养学生的探究精神，体会事物之间的相互联系； （2）通过利用一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系解决实际问题，进一步感受数学的价值。增强学生学数学、用数学、探索数学奥妙的愿望。
三、说教学理念 培养学生的合作探究精神，自主学习、创新精神是新课程标准的重要理念。课堂教学中渗透了数学的转化思想，数形结合思想、分类讨论思想。体现新课程标准的知识与能力、过程与方法、情感与态度的三统一。 四、说学情分析 （1）从知识掌握上看，学生刚学习变量与函数，对函数及一次函数的概念理解不一定深刻。再来学习用函数的观点看一元一次方程与一元一次不等式，容易造成迷茫，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。 （2）从学习能力看，八年级学生具备一定的分析问题、解决问题的能力，所以在教学中要创造机会和条件，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。 （3）从学习情感来看，八年级学生是渴望成功而又面临着学习上的各种困难，也是学生最明显产生两极分化的时期，教师要抓住学生渴望进步的因素，积极保持学生学习数学的兴趣。努力减少或推迟学生的两极分化。 （4）从逻辑思维看，八年级的学生思维已初步达到从直观的形象思维向抽象的逻辑思维的过渡，而且具备一定的信息收集能力，具有较好的合作意识。 五、学法与教法分析 （一）学法分析 1、学生自主探索，思考问题，获取知识，掌握方法，真正成为学习的主体。 2、学生在小组合作学习中体验学习的快乐。合作交流的友好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心理体验。（只有自己探究出的东西才能更便于记忆和掌握。） （二）教法分析 1、知识方法 教学过程中，主要从以下两个角度探讨一次方程一元一次不等式与一次函数的关系。 因为任何一个一元一次方程都能写成ax+b=0（a≠0）的形式，而此式的左边与一次函数y=kx+b的右边一致，所以从变化与对应的观点考虑问题，解一元一次方程可归结为两种认识： （1）从函数（值）的角度看，解方程ax+b=0（a≠0）就是求一次函数y=kx+b
一次函数与方程、不等式详细教案
《19.2.3一次函数与方程、不等式》教学设计 王萌
（-3，0）,而-3正是方程2x+6=0的解。 一般的，一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数 y=kx+b 中y=0 时的x 的值。从图象上看，就是一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标的值。 练习：1.已知一次函数y=0.8x-2与x 轴交点为（2.5,0），你能说出0.8x-2=0的解么？ 2.已知一次函数y=kx-5与x 轴交点为（-3,0），那么你能说出kx-5=0的解么？ 3. 已知一次函数y=kx+b 与x 轴交点为（2,0），那么你能说出一次方程kx+b=0的解么？ 知识点二.一次函数与一元一次不等式 （一）讨论、交流 根据上面一次函数y=2x+6的图象，你能说出一元一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？ (二)归纳 当2x+6>0,就是函数y=2x+6中函数值y>0，观察图象可知，当图象 在x 轴上方时y>0；同样地，图象在x 轴下方时y<0。 因为函数y=2x+6的图象与x 轴交于点（-3，0）所以，要使y>0， 即2x+6>0,应有x>-3；要使y<0,即2x+6<0,应有x<-3 从图象上看kx+b>0的解集是使直线y=kx+b 位于x 轴上方相应x 的取值范围， kx+b<0的解集是使直线y=kx+b 位于x 轴下方相应x 的取值范围。 练习： 1.一次函数y=-x+2的图象如图，你能说出-x+2<0的解集么？ 2.一次函数y=kx+b 的图象如图，你能说出kx+b<0的解集么？ 应用拓展 例题：画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）求方程-3x+6=0的解; （2）求不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （3）当x 取何值时，y<3 ? 知识点三.一次函数与二元一次方程（组） 观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与y= 的图像 两条直线的交点坐标是＿＿ 方程组 的解是_____ 学生分组讨论 教师巡视 启发学生 学生代表发言，师生共同评价 学生自主完成 教师巡视指导 学生回答 师生评价 教师组织学生根据自己所画图象思考，并分组讨论、交流，然后请学生代表发言，师生共同评价 师生共同归纳 学生回答 师生点评 4分钟 3分钟 4分钟 3分钟 58 53+-x
人教版八年级数学RJ下册精品教案 第19章 一次函数 一次函数 19.2.3 一次函数与方程、不等式
19.2.3 一次函数与方程、不等式 教师备课素材示例 ●类比导入问题1 (1)解方程3x－6＝0； (2)当自变量x为何值时，一次函数y＝3x－6的函数值为0? (3)从上述两个问题中，你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗？ (4)画出函数y＝3x－6的图象，并确定它与x轴的交点坐标． 从数的角度看：一元一次方程3x－6＝0的解是一次函数y＝3x－6的函数值为__0__时x的值． 从形的角度看：一元一次方程3x－6＝0的解是一次函数y＝3x－6的图象与__x__轴交点的横坐标． 问题2 (1)解不等式：3x－4>0； (2)当自变量x为何值时，一次函数y＝3x－6的函数值大于0? (3)观察函数y＝3x－6的图象，回答问题： 当x__＞2__时，y＝3x－6>0，当x__＜2__时，y＝3x－6<0. 从数的角度看：一元一次不等式3x－6>0的解集是一次函数y＝3x－6中函数值__大于__0时x的取值范围． 从形的角度看：解一元一次不等式3x－6>0(或3x－6<0)可以看作是求一次函数y＝3x－6的图象在x轴的__上方__(或__下方__)时点的__横__坐标的取值范围． 从以上过程中可以看出，一次函数与方程、不等式有着密切的关系，这就是我们这节课要学习的内容——一次函数与方程、不等式．【教学与建议】教学：类比方程、不等式与函数，找到方程、不等式和函数之间的联系．建议：在比较方程、不等式和函数时，要从数与形两个角度去比较，同时可以借助几何画板直观演示函数图象． ●复习导入(1)按照“列表——描点——连线”的步骤画出一次函数y＝x＋2的图象； (2)观察一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点，指出当y＝0时，自变量x的取值是多少？它与方程x＋2＝0的解相同吗？它们之间有什么联系？ (3)观察一次函数y＝x＋2的图象在x轴上方的部分，这些点的纵坐标的符号是怎样的？
八年级下册数学-一次函数与二元一次方程组、不等式
第17讲 一次函数与二元一次方程组、不等式 知识导航 二元一次方程组的解实质是求组成方程组的两个方程的公共解，也可以看作是求两条直线的交点坐标. 1.一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，因而也对应两条直线；从数的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；从形的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标. 2.二元一次方程组的解法有代入法，加减消元法和图象法，图象法只是直观地反映了二元一次方程组的解在相应的一次函数图象上的点的坐标之间的关系. 3.解一元一次不等式ax ＋b ＞0或ax ＋b ＜0（a ≠0），相当于是某个一次函数y ＝ax ＋b 的值大于0或小于0时，求自变量x 的取值范围. 【板块一】一次函数与一元一次方程 方法技巧 由于任何一元一次方程都可转化为kx ＋b ＝0（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为： 当一次函数值为0时，求相应的自变量的值；从图象上看，这相当于已知直线y ＝kx ＋b 确定它与x 轴交点的横坐标的值. 题型一 直线与坐标轴的交点 【例1】(1)直线y ＝kx ＋b 过点A （0,－3）和点B （2，0），则关于x 的方程kx ＋b ＝0的解是（ ) A .x ＝2 B .x ＝－2 C .x ＝3 D .x ＝－3 (2)直线y ＝k 1x ＋1和直线y ＝k 2x －3的交点在x 轴上，则1 2 k k ＝（ ） A . 13 B .－3 C .1 3 D .3 【例2】(1)关于x 的方程x ＋b ＝－2的解为x ＝1，则函数y ＝x ＋b ＋2与x 轴交点坐标为______________； (2)一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A （2，1），则直线y ＝kx ＋b －1与x 轴交点B 的坐标是______________. 针对练习1 1.一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则关于x 的方程kx ＋b ＝0的解是_____________，关于x 的方程kx
八年级数学下册第十九章一次函数19.2.3一次函数与方程不等式第1课时一次函数与一元一次方程不等式同
19.2.3 一次函数与方程、不等式 第1课时一次函数与一元一次方程、不等式 知识点 1 一次函数与一元一次方程 1．(1)一元一次方程－2x＋4＝0的解是________． (2)函数y＝－2x＋4，当x＝________时，函数值为0. (3)直线y＝－2x＋4与x轴的交点坐标是________． (4)由上述问题可知，一元一次方程ax＋b＝0的解就是一次函数y＝ax＋b当y＝0时所对应的________的值；从图象上看，就是一次函数y＝ax＋b的图象与________轴交点的________．2．一次函数y＝kx＋b的图象如图19－2－25所示，则关于x的方程kx＋b＝0的解为( ) A．x＝2 B．y＝2 C．x＝－1 D．y＝－1 3．已知关于x的方程mx＋n＝0的解为x＝－3，则直线y＝mx＋n与x轴的交点坐标是________． 图19－2－25 图19－2－26 4．如图19－2－26，已知直线y＝ax－b，则关于x的方程ax－1＝b的解为________． 5．如图19－2－27是函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)的图象，利用图象直接写出： (1)方程kx＋b＝0的解； (2)方程kx＋b＝－2的解； (3)方程kx＋b＝－3的解． 图19－2－27 6．用图象法解方程：2x－6＝0. 知识点 2 一次函数与一元一次不等式 7．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图19－2－28所示，当y>0时，x的取值范围是( ) A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2
图19－2－28 图19－2－29 8．直线y＝kx＋b与两坐标轴的交点如图19－2－29所示，当y＜0时，x的取值范围是( ) A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．x＜－1 9．如图19－2－30，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象相交于点P(1，3)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是( ) A．x＞－2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1 10．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(0，1)，B(2，0)两点，则当x________时，y≤0. 19－2－30 19－2－31 11．如图19－2－31，直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点为(2，0)，与y轴的交点为(0，3)，则关于x的不等式0＜kx＋b＜3的解集是________．
八年级学而思 第9讲 一次函数与方程、不等式
第9讲一次函数与方程、不等式 考点·方法·破译 1．一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y＝0时则为一元一次方程．2．一次函数与二元一次方程(组)的关系： ⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝ a c x b b -+的形式，因而每个二元 一次方程都对应一个一次函数； ⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标． 3．一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b 为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围． 经典·考题·赏析 【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为() A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A． 【变式题组】 01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x ＞k1x＋b的解集为________． 第1题图第2题图第3题图第4题图 02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 03．如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________． 04．(武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式 1 2x＞kx＋b＞－2的解集为_________．【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足 x y > ⎧ ⎨ > ⎩ ，从而求出m的取值范围．解： 2 3 y x y mn =- ⎧ ⎨ =- ⎩ ，∴ 5 1 32 1 x m m y m ⎧ = ⎪⎪+ ⎨ - ⎪= ⎪+ ⎩ ，∵ x y > ⎧ ⎨ > ⎩ ，∴ 5 1 32 1 m m m ⎧ > ⎪⎪+ ⎨ - ⎪> ⎪+ ⎩ ，即 10 320 m m +> ⎧ ⎨ -> ⎩ ，∴－1＜m＜ 3 2 ． 【变式题组】 01．如果直线y＝kx＋3与y＝3x－2b的交点在x轴上，当k＝2时，b等于()