一次函数与一元一次方程不等式
数学集体备课教案
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
三、互学展示
例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3?
做一做
如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（）
归纳总结
求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集,从“函数值”看y=kx+b的值大于(或小于)0时，x的取值范围
求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集, 从“函数图象”看确定直线y=kx+b在x轴上方(或下方)的图象所对应的x 取值范围
四、帮学提升
1．一次函数y=kx+3的图象如图所示，则方程kx+3=0的解为 .
2.学习之友p60第2题学生自行回答
组内练习，组长帮助组员解决问题
x −3
y
一次函数与一元一次方程、不等式、二元一次方程组知识总结
知识点一 一次函数与一元一次方程的关系 一般地，一元一次方程0=+b kx 的解就是一次函数b kx y +=的图像与x 轴的交点的横坐标。 提示：直线与坐标轴的交点坐标的求法，令00==y x 或，解一次方程得出另一个，与x 轴的交点?? ? ??-0,k b ，与y 轴的交点()b ,0。 知识点二 一次函数与一元一次不等式的关系 由于任何一个一元一次不等式都可化简为()0,00≠<+>+k b k b kx b kx 为常数，或的形式，而()0,≠+=k b k b kx y 为常数，可以看做自变量为x 的一次函数，于是有以下结论： ⑴一般地，一元一次不等式()00<+>+b kx b kx 或的解集，就是使一次函数b kx y +=的函数值大于0 （或小于0）时自变量x 的取值范围。 ⑵ 从图像上看，0>+b kx 的解集是直线b kx y +=位于x 轴上方的部分对应的自变量x 的取值范围； 0<+b kx 的解集是直线b kx y +=位于x 轴下方的部分对应的自变量x 的取值范围。 知识点三 二元一次方程组与一次函数的关系 任何一个一次函数()0y ≠+=k b kx 都可以化成以自变量x 和函数y 为未知数的二元一次方程b y kx -=-形式，于是有下面结论： ⑴一次函数b kx y +=图像上任意一点的坐标都是二元一次方程b y kx -=-的一组解。 ⑵以二元一次方程b y kx -=-的解为坐标的点都在一次函数b kx y +=的图像上。 ⑶对已同一个数学模型()0y ≠+=k b kx ，若将若将其中的x,y 看做变量，则它表示一个一次函数， 若将其中的x,y 看做未知数，则它就是一个二元一次方程，二则本质相同。 知识点四 二元一次方程组与一次函数的关系 两条直线()0:1111≠+=k b x k y l ，()0:2222≠+=k b x k y l 的交点坐标就是关于x,y 的 方程组? ??+=+=2211b x k y b x k y 的解。 提示：通常我们可以用解方程组的方法求两直线的交点坐标，也可以通过话图像，利用两直线的交点坐标得出方程组的解。 知识点五 用图像法解方程组和不等式 画出方程组中两个一次函数的图像，找出它们的交点，即可得到相应二元一次方程组的解，这种解方程组的方法叫做二元一次方程组的图像解法，同时，利用图像还可以得出相关不等式的解集。
一次函数与方程、不等式
第9讲一次函数与方程、不等式 考点·方法·破译 1．一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b 为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y ＝0时则为一元一次方程． 2．一次函数与二元一次方程(组)的关系： ⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝ a c x b b -+ 的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数； ⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3．一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b ＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围． 经典·考题·赏析 【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为() A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A． 【变式题组】 01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为________． 第1题图第2题图第3题图第4题图02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a ＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 03．如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________． 04．(武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式 1 2x＞kx＋b＞－2的解集为_________． 【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．
一次函数与方程不等式
一次函数与方程不等式
一次函数与方程、不等式 要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b + +＜0或ax b +＞0或ax b ≥0或ax b +≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于x的一元一次不等式ax b +＞0（a≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x轴（即直线y＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点二、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点三、如何确定两个不等式的大小关系 =+的函数值大于 ac≠）的解集?y ax b +>+（a≠c，且0 ax b cx d =+在直线y cx d =+的y cx d =+的函数值时的自变量x取值范围?直线y ax b 上方对应的点的横坐标范围． 类型一、一次函数与一元一次不等式 例题1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A（－3，0）、B（0，5）两点，则不等式kx b --＜0的解集为（） A．x＞－3 B．x＜－3 C．x＞3 D．x ＜3
【答案】B ； 【解析】从图象上看x k b x k 21>+的解，就是找到1l 在2l 的上方的部分图象，看这 部分图象自变量的取值范围.当1-
一次函数与方程不等式知识点汇总
一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k - 就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 若直线(2)6y m x =--与x 轴交于点()60， ，则m 的值为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 【例2】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 【巩固】已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ， ，则a b +=______． 知识点睛 例题精讲 一次函数与方程、不等式综合
二、一次函数与一元一次不等式综合【例3】已知一次函数25 y x =-+． （1）画出它的图象； （2）求出当 3 2 x=时，y的值； （3）求出当3 y=-时，x的值； （4）观察图象，求出当x为何值时，0 y>，0 y=，0 y< 【例4】当自变量x满足什么条件时，函数23 y x =-+的图象在： （1）x轴下方；（2）y轴左侧；（3）第一象限．【巩固】当自变量x满足什么条件时，函数41 y x =-+的图象在： （1）x轴上方；（2）y轴左侧；（3）第一象限．
一次函数与一次方程一次不等式
13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系． 2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方 法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性． 3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可 以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以 解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象 在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集. ◆典型例题 例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜O B．m＞0C．m＜D．m＞ 答案：D． 例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________. 分析： 本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x＝6时，y＝－2，把它们代入y＝kx＋b中可得 ∴∴函数解读式为y＝x－4．
一次函数与一次方程,一次不等式的关系
一次函数与一次方程,一次不等式的关系 知识点： 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y=kx+b （k ≠0）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0（k ≠0）的解。求直线y=kx+b 与x 轴交点时，可令y=0，得到方程kx+b=0，解方程得x=-b/k 。直线y=kx+b 交x 轴于（-b/k ，0），-b/k 就是直线y=kx+b 与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为ax=b>0或ax=b<0 (b a 、为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 三、一次函数与二元一次方程（组）的关系 一次函数的解析式y=kx+b （k ≠0）本身就是一个二元一次方程，直线y=kx+b （k ≠0）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y=kx+b （k ≠0），因此二元一次方程的解也就有无数个。 例题解析 一、一次函数与一元一次方程综合 已知直线y=(3m-2)x+2和y=-3x-2交于x 轴上同一点，m 的值为______ 已知一次函数y=-x+a 与y=x-b 的图象相交于点(m,8)，则b-a=______． 二、一次函数与一元一次不等式综合 1.已知一次函数y=-2x+525y x =-+． （1）画出它的图象； （2）求出当x=3/2时，y 的值； （3）求出当y=-3时，x 的值； （4）观察图象，求出当x 为何值时，y>0，y<0,y=0 2.当自变量x 满足什么条件时，函数y=-4x+1的图象在： （1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限． 3.已知直线A 为y=x+5，直线B 为y=-2x-6．当A>B 时，x 的取值范围是_____ 4.已知一次函数y=-2x+3 （1）当x 取何值时，函数y 的值在-1与2之间变化? （2）当x 从-2到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少? 5.直线A:y=Mx+b 与直线B:y=Nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式Nx>Mx+b 的解集为______． 6.当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方． 7.如图，直线y=kx+b （k ≠0）经过A(5,1)，B(-2,-3)两点，则不等式0.5x> kx+b>-3的解集为______． 5题图 7题图 8已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求： （1）当x=2时，y 的值； （2）x 为何值时，y<0？ （3）当-2 《一次函数与一元一次不等式》知识全解 课标要求 理解一次函数与一元一次不等式的关系，会用一次函数及其图像解决一元一次不等式的问题，会用一元一次不等式解决实际问题。 知识结构 一次函数与一元一次不等式的关系 同一次函数与一元一次方程一样，一次函数y=ax+b（a,b为常数，a≠0）与一元一次不等式：ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数）之间也有密切联系。由于任何一个一元一次不等式都可以化为一般形式ax+b＞0（或ax+b＜0）（a,b为常数），所以解一元一次不等式可以转化为求：当一次函数y=ax+b中，函数值y大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围。从图象上看，相当于直线y=ax+b在x轴上方（或下方）时，x的取值范围。 解关于x的不等式kx+b>mx+n有两种转化方式，分别为： （1）当自变量x取何值时，直线y=（k-m）x+b-n上的点在x轴的上方． （2）求当x取何值时，直线y=kx+b上的点在直线y=mx+n上相应的点的上方．（不等号为“<”时是同样的道理） 内容解析 求一次函数y=ax+b中，当自变量在什么范围取值时，函数值y＞0。这个问题即为当x 取何值时ax+b＞0，正好是求一元一次不等式的解集；而从图象上看，因为纵坐标大于0的点都在x轴上面，所以求函数y=ax+b的函数值大于0时，自变量x的范围，就相当于求已知直线y=ax+b在x轴上面的图象所对应的横坐标的范围。 用一次函数图象来解一元一次不等式．虽说方法未必简单，但我们从函数的角度来重新认识不等式，发现了一次函数、一元一次不等式之间的联系，能直观看到怎样用图形来表示不等式的解，对我们以后学习很重要． 重点难点 本节的重点是：用一次函数及其图象来解决一元一次不等式的问题 难点是：正确理解一次函数与一元一次不等式的转化关系，并能用它们解决实际问题。教法引导 通过举例，让学生体会一次函数与一元一次不等式的转化关系。通过让学生动手画函数图象，掌握用图象来解决一元一次不等式的方法. 19.2.3 一次函数与方程、不等式 第1课时一次函数与一元一次方程、不等式 基础题 知识点1 一次函数与一元一次方程 1．(1)一元一次方程－2x＋4＝0的解是； (2)函数y＝－2x＋4，当x＝时，函数值y＝0； (3)直线y＝－2x＋4与x轴的交点坐标是； (4)由上述问题可知，一元一次方程ax＋b＝0的解就是一次函数y＝ax＋b当y＝0时所对应的的值；从图象上看，就是一次函数y＝ax＋b的图象与轴交点的． 2．已知关于x的方程mx＋n＝0的解为x＝－3，则直线y＝mx＋n与x轴的交点坐标是．3．如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是． 4．如图所示，已知直线y＝ax－b，则关于x的方程ax－b＝1的解是． 5．若一次函数y＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)中x 与y的部分对应值如下表，则方程ax＋b＝0的解是( ) x －2 －1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 －2 －4 C．x＝2 D．x＝3 6．已知方程kx＋b＝0的解是x＝3，则函数y＝kx ＋b的图象可能是( ) A B C D 7．已知关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx＋b的图象一定过点( ) A．(3，0) B．(7，0) C．(3，7) D．(7，3) 知识点2 一次函数与一元一次不等式(组) 8．如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，(0，3)，则关于x的不等式kx＋3>0的解集是( ) A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x≤2 9．(2019·遵义)如图所示，直线l1：y＝ 3 2 x＋6与直线l2：y＝－ 5 2 x－2交于点P(－2，3)，则不等式 3 2 x＋6＞－ 5 2 x－2的解集是( ) A．x＞－2 B．x≥－2 C．x＜－2 D．x≤－2 10．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象分别与x 轴、y轴交于点(2，0)、点(0，3)．有下列结论：①关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2；②当x＞2时，y＜0； ③当x＜0时，y＜3.其中正确的是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．(2020·遵义)如图，直线y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为． 一次函数与一元一次方程（不等式） 何庆秋 一、学习目标： 理解运用一次函数知识来解决一元一次方程(或不等式)的知识。 二、学习重难点：培养和提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力． 三、学习过程 知识点：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 （一）用含x 的代数式表示点的坐标 1、已知一次函数22y x =+，请根据条件写出以下点的坐标。 ①A （1， ） ②B （-2， ） ③C （0， ） ④D （a ， ） ⑤E （m ， ） ⑥F （x ， ） 2、已知一次函数y kx b =+，若点A 在直线上，则点A 的坐标是（x ， ）。 （用含x 的式子表示） （二）根据函数图象，写出一元一次方程和一元一次不等式的解（集） 1、二元一次方程2y x -=可以转化为y = ，当0y =时，x = 。 2、已知一次函数2+=x y ，函数图象与x 轴交点坐标 ，与y 轴交点坐 标 。 画出函数图象，看图回答下列问题： （1）当x = 时，y =0。 （2）当x = 时，y =2。 （3）当x = 时，y =3。 （4）当x 时，0 4、练习： （1）如图是一次函数y kx b =+的图象，请根据图象写出： ①当y=0时，x的取值范围：； ②当y>0时，x的取值范围：； ③当y<0时，x的取值范围：；（2）如图是一次函数y kx b =+的图象，请根据图象写出： ①当y=0时，（或______0 =），则x ； ②当y>0时，（或______0 >），则x ； ③当y<0时，（或______0 <），则x ； （3）如图是一次函数y kx b =+的图象，请根据图象写出： ①当y=0时，（或______0 =），则x ； ②当y>0时，（或______0 >），则x ； ③当y<0时，（或______0 <），则x ； （4）如图是直线y kx =的图象，请根据图象写出： ①当y=0时，（或______0 =），则x ； ②当y>0时，（或______0 >），则x ； ③当y<0时，（或______0 <），则x ； （5）如图是直线y kx =的图象，请根据图象写出： ①当y=0时，（或______0 =），则x ； ②当y>0时，（或______0 >），则x ； ③当y<0时，（或______0 <），则x ； 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与一元一次方程的关系： 一般的一元一次方程0kx b +=的解就是一次函数y kx b =+的图象与*轴交点的横坐标。 直线与坐标轴的交点坐标的求法： （1）直线y kx b =+与y 轴交点的横坐标是0，当*=0时，一次函数y kx b =+的函数值y b =，b 就是交点的纵坐标，即直线y kx b =+与y 轴的交点为〔0,b 〕 ； （2）直线y kx b =+与*轴交点的纵坐标是0，故令y=0，得到方程0kx b +=，解方程得 b x k =-，b k -就是直线y kx b =+与*轴交点的横坐标，即直线y kx b =+与*轴的交点为 (,0)b k -. 一次函数与一元一次不等式的关系： （1）一般的，一元一次不等式0(0)kx b kx b +>+<或的解集，就是使一次函数y=kx+b 的函数值大于0〔或小于0〕时自变量*的取值围。 （2）从图象上看，一元一次不等式0kx b +>的解集是直线y=kx+b 位于*轴上方的局部所对应的自变量*的取值围；一元一次不等式0kx b +<的解集是直线y=kx+b 位于*轴下方的局部所对应的自变量*的取值围； 一次函数与二元一次方程的关系： 〔1〕一次函数y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx y b -=-的一组解； （2）以二元一次方程kx y b -=-的解为坐标的点都在一次函数y kx b =+的图象上 （3）对于同一个数学模型()y=kx+b k 0≠，假设将其中的*、y 看做变量，则它表示一个一次函数；假设将*、y 看做未知数，则它就是一个二元一次方程，二者本质一样 一次函数与二元一次方程组的关系： 两条直线1l ：11y k x b =+()10k ≠，2l ：22y k x b =+()20k ≠的交点坐标就是关于*、y 的 方程组11 22 y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解 用图象法解方程组： 画出二元一次方程组中的两个一次函数的图象，找出他们的交点，该交点坐标就是二元一次方程组的解。 二元一次方程组的解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系： 一次函数、一次方程和一元一次不等式（基础） 责编：杜少波 【学习目标】 1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想． 2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题． 【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次方程 一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）.当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值. 要点二、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 要点三、一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 要点四、如何确定两个不等式的大小关系 ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围． 【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次方程 1、若直线y kx b =+与x 轴交于（5，0）点，那么关于x 的方程0kx b +=的解为______. 【答案】5x = 【解析】kx b +＝0的解是直线y kx b =+与x 轴交点横坐标. 【总结升华】当函数0y =时，就得到了一元一次方程kx b +＝0，此时自变量x 的值就是 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 一、知识点归纳 一次函数相对来说不是很难，但是对于初次接触一次函数题目的同学来说因为是首次用数形结合来解决问题，对坐标轴不是很熟悉，所以一时找不到解题方法。不过不用担心，随着数形结合题目练习量的增加，肯定会掌握这种方法，而且能掌握这种方法，到时就会觉得一次函数还是比较简单的。 另外一个难点是出现了字母常量，即不仅仅局限于数字的运算，要逐渐熟悉字母的运算，这也是应该重点掌握的，中考大题难题都会用到字母运算。在此再简单概括一下。 例1：已知一次函数的表达式为y kx b =+，求该一次函数与x 轴和y 轴的交点坐标。 解：设一次函数与x 轴的交点为（x ，0），根据题意得 0k x b +=， ∴kx b =-，b x k =- ， ∴一次函数与x 轴的交点为（b k - ，0）。 设一次函数与y 轴的交点为（0，y ），根据题意得 0k b y ⨯+= ∴b y =， ∴一次函数与y 轴的交点为（0，b ）。 这个结论一定要记住，推导过程也要熟练掌握。 另外还有数形结合的题目，这里就不举例了，还是看真题吧，真题也有详细的讲解。能把下面的题目和讲解看懂就行了，慢慢就会独立解这类题目了。 二、练习与提高 1. （2015江苏盐城10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数x y 4 3 =与一次函数7+-=x y 的图像交于点A . （1）求点A 的坐标； （2）设x 轴上一点P （a ，0），过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧）， 分别交34y x =和7+-=x y 的图像于点B 、C ，连接OC ，若BC =5 7 OA ,求△OBC 的面积. 一次函数 ——一次函数与方程、不等式综合 知识点睛 一、一次函数与一元一次方程的关系 直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =- ，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。 二、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大〔小〕于0时，求自变量相应的取值围。 三、一次函数与二元一次方程〔组〕的关系 一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）本身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有无数个。 例题精讲 一、一次函数与一元一次方程综合 【例1】 直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为〔〕 A ．2- B ．2 C ．1- D ．0 【例2】 一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，那么a b +=______． 【例3】 一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，那么不求k b ， 的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______． 二、一次函数与一元一次不等式综合 【例4】 一次函数25y x =-+． 〔1〕画出它的图象； 〔2〕求出当3 2 x = 时，y 的值； 〔3〕求出当3y =-时，x 的值； 〔4〕观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y < 【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：〔〕 〔1〕x 轴上方；〔2〕y 轴左侧；〔3〕第一象限． 【例6】 15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值围是〔〕 A ．5x > B ．1 2 x 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型 【题型1 一次函数的与一元一次方程】 【例1】（2020秋•包河区期中）根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：（1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【变式1-1】（2021秋•泰兴市校级期末）已知一次函数y＝kx+1与y=−1 2x+b的图象相交于点（2，5）， 求关于x的方程kx+b＝0的解． 【变式1-2】一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝4的解为多少？ 【变式1-3】已知一次函数y＝kx﹣6的图象如图 （1）求k的值； （2）在图中的坐标系中画出一次函数y＝﹣3x+3的图象（要求：先列表，再描点，最后连线）； （3）根据图象写出关于x的方程kx﹣6＝﹣3x+3的解． 【题型2 一次函数的与一元一次不等式（数形结合）】 【例2】（2021春•高明区期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集 是x≥4；④a﹣c=1 4（d﹣b），其中正确的是（） A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④ 【变式2-1】（2021•安徽模拟）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3．当x＜2时，y1＞y2，则k的取值范围是（） A．﹣2≤k≤1且k≠0B．k≤﹣2 C．k≥1D．﹣2＜k＜1且k≠0 【变式2-2】（2021春•盐湖区校级期末）我们知道，若ab＞0．则有{a＞0 b＞0 或{ a＜0 b＜0 ．如图，直线y＝kx+b 与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集是（） A．x＞2B．﹣0.5＜x＜2 C．0＜x＜2D．x＜﹣0.5或x＞2 【变式2-3】（2021春•中山市期末）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法： ①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而减小； ②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；人教版八年级数学下《一次函数与一元一次不等式》知识全解
一次函数与一元一次方程、不等式
一次函数与一元一次方程(不等式)
一次函数及方程不等式的关系
一次函数、一次方程和一元一次不等式(基础)知识讲解
一次函数、一元一次方程和一次一元不等式
一次函数与不等式、方程组
【八上】一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型(含答案)