高中数学 第1章 数列 3.1 等比数列 第2课时 等比数列的性质教案 高二数学教案

第2课时 等比数列的性质阅读教材P 23思考交流以下P 24例3以上部分，完成下列问题．对于等比数列{a n }，通项公式a n ＝a 1·q n －1＝a 1q·q n.根据指数函数的单调性，可分析当q ＞0时的单调性如下表：思考：(1)若等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝2，则数列{a n }的单调性如何？[提示] 递减数列．(2)等比数列{a n }中，若公比q ＜0，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 数列{a n }不具有单调性，是摆动数列． 2．等比中项阅读教材P 25练习2以上最后两段部分，完成下列问题． (1)前提：在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列．(2)结论：G 叫作a ，b 的等比中项． (3)满足关系式：G 2＝ab ．思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？[提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a ，b 存在等比中项，唯一吗？[提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．12D [由a 5＝a 2q 3，得q 3＝a 5a 2＝142＝18，所以q ＝12，故选D ．]2．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…，则此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列 C ．公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列B [由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1×a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N ＋，所以{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B ．]3．等比数列{a n }中，若a 1＝2，且{a n }是递增数列，则数列{a n }的公比q 的取值范围是________．(1，＋∞) [因为a 1＝2＞0，要使{a n }是递增数列，则需公比q ＞1.]4．4－23与4＋23的等比中项是________． 2或－2 [由题意知4－23与4＋23的等比中项为 ±4－234＋23＝±16－12＝±2.]等比中项及应用x ＝_____________.(2)设a ，b ，c 是实数，若a ，b ，c 成等比数列，且1a ，1b ，1c成等差数列，则c a ＋ac的值为________．(1)－4 (2)2 [(1)由题意得(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，x 2＋5x ＋4＝0，解得x ＝－1或x ＝－4，当x ＝－1时，2x ＋2＝0，不符合题意，舍去， 所以x ＝－4.(2)由a ，b ，c 成等比数列，1a ，1b ，1c成等差数列，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝ac ，2b ＝1a ＋1c，即4ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c 2，故(a －c )2＝0， 则a ＝c ，所以c a ＋ac＝1＋1＝2.]应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三数a ，G ，b 成等比数列，只需证明G 2＝ab ，其中a ，b ，G 均不为零．(2)已知等比数列中的相邻三项a n －1，a n ，a n ＋1，则a n 是a n －1与a n ＋1的等比中项，即a 2n ＝a n －1·a n ＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程．1．(1)已知1既是a 2与b 2的等比中项，又是1a 与1b的等差中项，则a ＋ba 2＋b2的值是( ) A ．1或12B ．1或－12C ．1或13D ．1或－13(2)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.(1)D(2)4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1[(1)由题意得，a 2b 2＝(ab )2＝1，1a ＋1b＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－1，a ＋b ＝－2.因此a ＋b a 2＋b 2的值为1或－13.(2)由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)， 解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.]等比数列的设法与求解【例2】 已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为________．1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8 [由题意设此四个数分别为b q，b ，bq ，a ，则b 3＝－8，解得b ＝－2，q 与a 可通过解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80求出，即为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52，所以此四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.]灵活设项求解等比数列的技巧(1)三个数成等比数列设为aq，a ，aq .(2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3.(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a ，aq ，aq 2，aq 3.2．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为________．－25，1，－52 [设这三个数分别为aq，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a ＋aq ＝－32，解得a ＝1，q ＝－52，所以这三个数依次为－25，1，－52.]等比数列的性质及应用[探究问题]1．在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？[提示] a n ＝a m ·qn －m.2．在等差数列{a n }中，由2a 2＝a 1＋a 3,2a 3＝a 2＋a 4，…我们推广得到若2p ＝m ＋n ，则2a p ＝a m ＋a n ，若{a n }是等比数列，我们能得到什么类似的结论．[提示] 若2p ＝m ＋n ，则a 2p ＝a m ·a n .3．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比这个性质，若{a n }是等比数列，有哪个结论成立？[提示] 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .【例3】 (1)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 3·a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________.(2)设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 018和a 2 019是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 030＋a 2 031＝________.(3)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比q 为整数，则a n ＝________.思路探究：利用等比数列的性质求解．(1)128 (2)2·312 (3)－(－2)n －1[(1)a 3a 5＝a 24＝4，又a n＞0，所以a 4＝2，a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1·a 7)·(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 24·a 4＝a 74＝27＝128.(2)解方程4x 2－8x ＋3＝0得x 1＝12，x 2＝32，因为q ＞1，故a 2 019＝32，a 2 018＝12，故q ＝3， ∴a 2 030＋a 2 031＝a 2 018q 12＋a 2 019·q 12＝(a 2 018＋a 2 019)q 12＝2·312.(3)在等比数列{a n }中，由a 4a 7＝－512得a 3a 8＝－512， 又a 3＋a 8＝124，解得a 3＝－4，a 8＝128或a 3＝128，a 8＝－4，因为公比q 为整数，所以q ＝5a 8a 3＝－51284＝－2， 故a n ＝－4×(－2)n －3＝－(－2)n －1.]1．(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8”，求a 1＋a 10.[解] 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， 当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7q 3＝－7，当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7q 3＝－7.故a 1＋a 10＝－7.2．(变结论)例3(3)题的条件不变，求log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9|.[解] 因为a 4a 7＝－512，所以a 2a 9＝a 3a 8＝－512， 故log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9| ＝log 4(|a 2a 9|·|a 3a 8|)＝log 45122＝log 229＝9.等比数列的常用性质性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N ＋)．性质2：若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .特别的，若k ＋φ＝2m (m ，k ，φ∈N ＋)，则a k ·a φ＝a 2m .性质3：若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．性质4：在等比数列{a n }中，序号成等差数列的项仍成等比数列．性质5：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1⇔{a n }递增；⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，0＜q ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，q ＞1⇔{a n }递减；q ＝1⇔{a n }为常数列；q＜0⇔{a n }为摆动数列．1．解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式，前n 项和公式，等差中项，等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．( ) (2)等比数列{a n }中，a 1＞1，q ＜0，则数列|a 1|，|a 2|，|a 3|，…，|a n |，…是递增数列．( )(3)若G 是a ，b 的等比中项，则G 2＝ab ，反之也成立．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× [提示] (1)正确；(2)不正确，如a 1＝2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则|a n |＝2×12n －1＝12n －2是递减数列；(3)不正确，当G 是a ，b 的等比中项时，G 2＝ab 成立，但当G 2＝ab 时，G 不一定是a ，b 的等比中项，如G＝a ＝b ＝0.2．在等比数列{a n }中，a 4＝6，则a 2a 6的值为( ) A ．4 B ．8 C ．36D ．32C [因为{a n }是等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝36.]3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝_____________.3 [因为a 891＝a 888q891－888＝a 888q 3，所以q 3＝a 891a 888＝813＝27.所以q ＝3.]4．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．[解] 在等比数列{a n }中，由a 3a 4a 5＝a 34＝8，得a 4＝2，又因为a2a6＝a3a5＝a24，所以a2a3a4a5a6＝a54＝25＝32.。