福建省莆田市荔城区莆田第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷
福建省莆田市2019年数学高二年级上学期期末检测试题
福建省莆田市2019年数学高二年级上学期期末检测试题一、选择题1．已知命题p ：0x R ∃∈,01cos 2x ≥-，则p ⌝是 A ．0x R ∃∈,01cos 2x ≤- B ．0x R ∃∈,01cos 2x <- C ．x R ∀∈,1cos 2x ≤-D ．x R ∀∈,1cos 2x <-2．某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。
如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人3．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．A.4B. C.2D.4．已知m ， n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若 //m α， //n α则 //m nB ．若 m α⊥， m n ⊥则//n αC ．若 m α⊥， n α⊂则 m n ⊥D ．若 //m α， m n ⊥则 n α⊥5．已知直线的参数方程是，则直线的斜率为A. B. C.1 D.6．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加2.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少2.5个单位D ．y 平均减少2个单位7．定义在区间[0,1]上的函数()f x 的图象如图所示，以A(0,?f(0)),?B(1,?f(1)),?C(x,?f(x))为顶点的△ABC 的面积记为函数()S x ，则函数()S x 的导函数()S x '的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．8．若函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列四个命题中正确的是（ ）． （1）l m αβ⇒⊥ （2）l m αβ⊥⇒ （3）l m αβ⇒⊥ （4）l m αβ⊥⇒A ．（1）与（2）B ．（3）与（4）C ．（2）与（4）D ．（1）与（3）10．若复数1z i =+，则1zz =+（ ） A ．1355i --B ．1355i - C ．3155i - D ．3155i -- 11．已知函数()ln f x x x =+，则()1f '的值为（ ） A.1B.-2C.-1D.212．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为12，且彼此相互独立，若X 为4名同学通过测试的人数，则D （X ）的值为（） A.1 B.2C.3D.4二、填空题13．函数()212log 23y x x =+-的单调递减区间是_____ ．14．已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若12.0MF MF <，则0y 的取值范围是_______________．15．已知圆()()222:10C x y r r -+=>与直线:3l y x =+，且直线l 有唯一的一个点P ，使得过P 点作圆C 的两条切线互相垂直，则r =_____；设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点,2Q EQF π∠≥，则EF 的最小值_____．16．在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）.三、解答题17．如图,等腰直角三角形直角顶点位于原点,另外两个顶点，在抛物线上,若三角形的面积为16.（Ⅰ）求的方程;(Ⅱ)若抛物线的焦点为,直线与交于，两点,求的周长.18．如图，在三棱柱中，侧面底面，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，且与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值．19．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值.20．已知函数.（1）若函数在上单调递增的，求实数的取值范围；（2）当时，求函数在上的最大值和最小值.21．某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费（单位：万元）对年销量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响.对近6年宣传费和年销量的数据做了初步统计，得到如下数据：经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式即，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：售量低于20吨的概率.（Ⅱ）根据所给数据，求关于的回归方程；（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），2019年该公司计划投入万元宣传费，你认为该决策合理吗？请说明理由.（其中为自然对数的底数，）附：对于一组数据，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为．22．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21x xf x x =-+. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题13．(1,)+∞14．(15．4 16．240 三、解答题 17．(Ⅰ)的方程为;(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由对称性可知关于轴对称，结合题中面积可得，代入抛物线即可； （Ⅱ）直线与抛物线联立得，设，，由抛物线定义得，结合韦达定理即可得解.试题解析：（Ⅰ）由已知得等腰直角三角形的底边长为8，由对称性可知关于轴对称，所以抛物线过点代入可得，所以的方程为.（Ⅱ）由消去，得.设，，则，，由抛物线的定义，得，，，，以周长为.18．（1）见解析；（2）余弦值为.【解析】分析：（1）由四边形为菱形，得对角线,由侧面底面，, 得到侧面，从而，由此能证明平面；（2）由题意易知为等边三角形，以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的平面角的余弦值．详解：（Ⅰ）由已知侧面底面，, 底面,得到侧面，又因为侧面,所以,又由已知，侧面为菱形，所以对角线,即，，,所以平面.（Ⅱ）设线段的中点为点，连接,，因为，易知为等边三角形，中线,由（Ⅰ）侧面，所以,得到平面，即为与平面所成的角， ,,, ,得到;以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，,,,,,,，由（Ⅰ）知平面的法向量为，设平面的法向量，, 解得,,二面角为钝二面角，故余弦值为.点睛：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质、向量法等知识点的合理运用，是中档题.19．(1) 见解析(2)【解析】试题分析：（1）推导出BC⊥BD，PD⊥BC，从而BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．（2）由BC⊥平面PBD，得∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即，从而BD=，PD=，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值．试题解析：（1）∵,∴又∵底面，∴，又∵，∴平面而平面，∴平面平面.（2）由（1）所证，平面所以即为二面角的平面角，即.而，所以因为底面为平行四边形，所以，分别以为轴建立空间直角坐标系则，所以设平面的法向量为，则即令，则，所以∴与平面所成角的正弦值.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20．(1) (2)【解析】试题分析：（1）若函数f（x）在（，+∞）上是增函数，⇔f′（x）≥0在（，+∞）上恒成立．利用二次函数的单调性即可得出；（2）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．试题解析：（1）若函数在上是增函数，则在上恒成立，而，即在上恒成立，即.（2）当时，.令，得.当时，，当时，，故是函数在上唯一的极小值点，故.又，，故.点睛：点睛：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论（1）若在内，则在上单调递增（减）．（2）在上单调递增（减）（）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）21．（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）不合理【解析】【分析】(Ⅰ)利用组合知识，根据古典概型概率公式可得结果；（Ⅱ）对两边取对数得，令得，根据所给的数据，求出变量的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；（Ⅲ）设该公司的年利润为，由利润=销售收入-总成本，求得的解析式，由二次函数的性质求得时，取最大值，从而可得结果.【详解】(Ⅰ)记事件A表示“至多有一年年销量低于20吨”，由表中数据可知6年中有2年的年销量低于20吨，故（Ⅱ）对两边取对数得，令得，由题中数据得：，，，，所以，由,得,故所求回归方程为.（Ⅲ）设该公司的年利润为，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知,当即时，利润取得最大值500（万元），故2019年该公司计划投入万元宣传费的决策不合理. 【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.22．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）21'()2ln 2(1)x f x x =-+. 【解析】 【分析】(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x. (2)f(x)=1x x +-2x =1-11x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2xln 2.【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.。
福建省莆田市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析
福建省莆田市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知复数11iz i+=-，则复数z 的模为（ ） A ．2 B ．2C ．1D ．0【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出z i =，然后再求出||||1z i ==即可． 【详解】由题意得21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+， ∴||||1z i ==． 故选C ． 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数z ，属于基础题． 2．函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 函数在上不单调，即在内有极值点，由，结合二次函数的性质，即可求出实数的取值范围. 【详解】，函数在上不单调，即在内有极值点，因为，且，所以有，即，解得.故答案为D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了二次函数的性质，考查了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.3．目前，国内很多评价机构经过反复调研论证，研制出“增值评价”方式。
下面实例是某市对“增值评价”的简单应用，该市教育评价部门对本市70所高中按照分层抽样的方式抽出7所(其中，“重点高中”3所分别记为,,A B C ,“普通高中”4所分别记为,,,d e f g ),进行跟踪统计分析，将7所高中新生进行了统的入学测试高考后，该市教育评价部门将人学测试成绩与高考成绩的各校平均总分绘制成了雷达图.M 点表示d 学校入学测试平均总分大约520分，N 点表示A 学校高考平均总分大约660分，则下列叙述不正确的是（ ）A ．各校人学统一测试的成绩都在300分以上B ．高考平均总分超过600分的学校有4所C ．B 学校成绩出现负增幅现象D ．“普通高中”学生成绩上升比较明显 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】A. 各校人学统一测试的成绩都在300分以上，根据图像知，正确B. 高考平均总分超过600分的学校有4所，根据图像知，只有ABC 三所，错误C. B 学校成绩出现负增幅现象，根据图像，高考成绩低于入学测试，正确D. “普通高中”学生成绩上升比较明显，根据图像，“普通高中”高考成绩都大于入学测试，正确. 故答案选B 【点睛】本题考查了雷达图的知识，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.4．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治3班A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.5．设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上去，且其经度差为，则，两地的球面距离是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，根据地球纬度的定义，算出小圆半径，由两地经度差为，在中算出，从而得到，利用球面距离的公式即可得到两地球面的距离.详解：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，则平面， 在中，，同理，两地经度差为，， 在中，，由此可得是边长为的等边三角形，得，两地球面的距离是，故选C.点睛：本题考查地球上北纬圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题.6．已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，2y x z =-+，可知截距越大z 值越大，根据图象得出最优解为(1,0)，则2z x y =+的最大值为2，选B.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． 7．空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，点N 是OB 的中点，则MN =u u u u r（ ）A ．212323a b c +-r r rB ．212323a b c -+r r rC ．112323a b c -+-r r rD ．111323a b c +-r r r【答案】C 【解析】分析：由空间向量加法法则得到MN MO ON MA AO ON =+=++u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，由此能求出结果．详解：由题空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，点N 是OB 的中点，则()221,,332MA CA OA OC ON OB ==-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v MN MO ON MA AO ON =+=++u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()2132a c a b =--+v v v v 112 .323a b c =-+-r r r故选C.点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．从2018名学生志愿者中选择50名学生参加活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每人入选的概率（ ） A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为140D ．都相等，且为251009【答案】D 【解析】 【分析】根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断出每个人入选的概率. 【详解】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除时，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以，每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的， 因此，每个人入选的概率为502520181009=. 故选：D. 【点睛】本题考查简单随机抽样和系统抽样方法的应用，也考查了概率的意义，属于基础题. 9．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（ ） A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于1【答案】D 【解析】分析:对每一个选项逐一判断得解.详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则112a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则21a b =>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b cb c a<<<，则3,3a b c a b c b c a b c a ++<++≥=Q ，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<10．双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°．若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝（ ） A ．1143+ B ．1353+ C ．1663- D ．19103-【答案】D 【解析】 【分析】设22BF m =，根据2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o，以及双曲线的性质可得212(33),2(23)AF a AF a =-=-，再根据勾股定理求得,a c 的关系式，即可求解.【详解】由题意，设22BF m =，如图所示，因为2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=o， 由212AF AF a -=，所以132AF m a =-， 由212BF BF a -=，所以122BF m a =-，所以11AF BF AB +=，即3222m a m a m -+-=， 所以2(31)m a =-，所以232(31)2(33)AF a a =⋅-=-，12(33)22(23)AF a a a =--=-， 在直角12F AF ∆中，222124AF AF c +=，即222224(33)4(23)4a a c -+-=，整理得22(19103)a c -=，所以22219103c e a==-，故选D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．.11．函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，再根据sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，即可判断出结果. 【详解】∵22()sin()ln(1)(sin ln(1))()f x x x x x f x -=-+=-+=-，∴()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，故()f x 的图像应为含有多个零点的奇函数图像.故选B. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数性质即可，属于常考题型.12．函数()f x lnx ax =-在区间()1,5上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(,1]-∞C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1(]5-∞，【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，由题意可得()0f x '≥恒成立，转化求解函数的最值即可． 【详解】由函数()ln f x x ax =-，得1()f x a x'=-， 故据题意可得问题等价于()1,5x ∈时，1()0f x a x'=-≥恒成立， 即1a x ≤恒成立，函数1y x =单调递减，故而15a ≤，故选D.【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，函数恒成立的等价转化，属于中档题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．某旋转体的三视图如图所示，则该旋转体的侧面积是________.主视图 左视图 俯视图 10π 【解析】 【分析】根据已知可得该几何体是一个圆锥，求出底面半径和母线长，代入侧面积公式，可得答案． 【详解】解：由已知有可得：该几何体是一个圆锥， 底面直径为2，底面半径r ＝1， 高为3，故母线长l 223110=+= 故圆锥的侧面积S ＝πrl 10π=， 10π 【点睛】本题考查的知识点是空间几何体的三视图，圆锥的体积和表面积，难度不大，属于基础题．14．已知曲线C 的方程为0(),F x y =，集合{(,)|(,)0}T x y F x y ==，若对于任意的11(,)x y T ∈，都存在22(,)x y T ∈，使得12120x x y y +=成立，则称曲线C 为∑曲线.下列方程所表示的曲线中,是∑曲线的有__________（写出所有∑曲线的序号）①2212x y +=；②221x y -=；③22y x =；④||1y x =+ 【答案】①③ 【解析】 【分析】将问题转化为：对于曲线C 上任意一点()11,P x y ，在曲线上存在着点()22,Q x y 使得OP OQ ⊥，据此逐项判断曲线是否为∑曲线. 【详解】①2212x y +=的图象既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，且图象是封闭图形， 所以对于任意的点()11,P x y ，存在着点()22,Q x y 使得OP OQ ⊥，所以①满足；②221x y -=的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90︒的区域，当,P Q 在双曲线同一支上，此时90POQ ∠<︒，当,P Q 不在双曲线同一支上，此时90POQ ∠>︒， 所以90POQ ∠≠︒，OP OQ ⊥不满足，故②不满足；③22y x =的图象是焦点在x 轴上的抛物线，且关于x 轴对称，连接OP ，再过O 点作OP 的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q 点，所以90POQ ∠=︒，所以OP OQ ⊥，所以③满足；④取()0,1P ，若OP OQ ⊥，则有20y =，显然不成立，所以此时OP OQ ⊥不成立，所以④不满足. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查曲线与方程的新定义问题，难度较难.(1)对于新定义的问题，首先要找到问题的本质：也就是本题所考查的主要知识点，然后再解决问题；(2)对于常见的12120x x y y +=，一定要能将其与向量的数量积为零即垂直关系联系在一起.15．已知函数f(x)=kx 3+3(k-1)x 2-k 2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，则实数k 的取值范围是____________ 【答案】1(0,]3. 【解析】分析：先求导，再根据导函数零点分布确定不等式，解不等式得结果.详解：因为2()36(1)0(0,4)f x kx k x x =+-∈'=， ，所以2(1)k x k-=因为函数f(x)=kx 3+3(k-1)x 2-k 2+1(k>0)在（0,4）上是减函数， 所以2(1)1400.3k k k k -≥>∴<≤Q 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.16．复数z 满足21z i -+=，则z 的最小值是___________．1 【解析】 【分析】点z 对应的点在以()2,1-为圆心，1为半径的圆上，要求||z 的最小值，只要找出圆上的点到原点距离最小的点即可，求出圆心到原点的距离，最短距离要减去半径即可得解. 【详解】解：Q 复数z 满足21z i -+=，∴点z 对应的点在以()2,1-为圆心，1为半径的圆上，要求||z 的最小值，只要找出圆上的点到原点距离最小的点即可，11【点睛】本题考查复数的几何意义，本题解题的关键是看出复数对应的点在圆上，根据圆上到原点的最短距离得到要求的距离，属于基础题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，211(2)n n S a n n -=++≥． （1）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明；（2）令11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）25a =，37a =，49a =，21n a n =+，N n +∈，见解析；（2）69n n T n =+ 【解析】【分析】 （1）计算2a ，3a ，4a ，猜想可得n a ，然后依据数学归纳法的证明步骤，可得结果.（2）根据（1）得n b ，然后利用裂项相消法，可得结果.【详解】（1）当2n =时，22121S a =++，即238a +=，解得25a =当3n =时，23231S a =++，即33515a ++=，解得37a =当4n =时，24341S a =++，即435724a +++=，解得49a =猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明：当1n =时，12113a =⨯+=，猜想成立假设当()N n k k +=∈时， 猜想成立，即21k a k =+，2(321)22k k k S k k ++==+， 则当1n k =+时，21(1)1k k S a k +=+++，21(1)1k k k S a a k +∴+=+++，21(1)1k k k a a k S +∴=+++-，()22121(1)122(1)1k a k k k k k +=++++-+=++所以猜想成立．综上所述， 对于任意N n +∈，21n a n =+均成立．（2）由（1）得1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭则数列{}n b 的前n 项和1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111232369n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查数学归纳法证明方法以及裂项相消法求和，熟练掌握数学归纳法的步骤，同时对常用的求和方法要熟悉，属基础题.18．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ()4πθ-＝.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．【答案】（1）2213x y += （2） 【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C 的普通方程．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线l 的距离的最大值．试题解析：⑴由cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()cos sin 4ρθθ+=， ∴:l 40x y +-=由x y sin θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得:C 2213x y += ⑵在:C 2213x y +=上任取一点),sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为2sin 432d πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==≤ ∴当sin =3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭－1，即56=-θπ时，max d = 考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，2.点到直线距离公式.19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是,(),,x y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()4cos πρθ+=．(Ⅰ)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；；(Ⅱ)已知点A B 、为直线l上的两个动点，且AB =点P 为曲线C 上任意一点，求PAB ∆面积的最大值及此时点P 的直角坐标．【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析.【解析】【分析】 (Ⅰ)由参数方程利用22cos sin 1αα+=消去α，得到普通方程，由222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩把极坐标化为普通方程。
福建省莆田市2019-2020学年数学高二上学期理数期末考试试卷C卷
福建省莆田市2019-2020学年数学高二上学期理数期末考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 若p：∀x∈R，sinx≤1，则（）A . ¬p：∃x∈R，sinx＞1B . ¬p：∀x∈R，sinx＞1C . ¬p：∃x∈R，sinx≥1D . ¬p：∀x∈R，sinx≥12. （1分）若等差数列{an}满足a12+a102=10，则S=a10+a11+…+a19的最大值为（）A . 60B . 50C . 45D . 403. （1分）(2018·成都模拟) 已知椭圆，则下列结论正确的是（）A . 长轴长为B . 焦距为C . 短轴长为D . 离心率为4. （1分） (2016高一下·普宁期中) 若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A . （﹣∞，+∞）B . （﹣2，+∞）C . （0，+∞）D . （﹣1，+∞）5. （1分） (2015高三上·秦安期末) 设双曲线 =1的两条渐近线与直线x= 分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A . （1，）B . （，2）C . （1，2）D . （，+∞）6. （1分） (2016高一下·大同期中) 如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是（）A . ﹣ =B . + =C . + + =D . + = +7. （1分） (2019高三上·赤峰月考) 已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，，接着下一项是2，接着三项是，，，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前项和为，则满足的最小的正整数的值为（）A . 65B . 67C . 75D . 778. （1分） (2018高二上·南阳月考) 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（）A .B .C . 6D .9. （1分）设，则是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （1分）在正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC 与平面PAC的夹角是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°11. （1分）在△ABC中，E，F分别为AB，AC中点，P为EF上任意一点，实数x,y满足，设△ABC，△PCA，△PAB的面积分别为S,S2,S3 ，记,则取得最大值时，2x+3y的值为（）A .B .C .D .12. （1分）已知双曲线的离心率，则它的渐近线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·唐山模拟) 已知变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x+y的最小值为﹣5，则实数a=________．14. （1分）命题“若，则”的否命题是________.15. （1分） (2016高二上·吉林期中) 抛物线x2=3y上一点A的纵坐标为，则点A到此抛物线焦点的距离为________．16. （1分） (2016高二上·平阳期中) 已知在三棱锥A﹣BCD中，AB=CD，且点M，N分别是BC，AD的中点．若直线AB⊥CD，则直线AB与MN所成的角为________．三、解答题 (共7题；共14分)17. （2分） (2016高一下·溧水期中) 解答题（1）在等比数列{an}中，a5=162，公比q=3，前n项和Sn=242，求首项a1和项数n．（2）有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数．18. （2分） (2016高二上·抚州期中) 设M={x| }，N={x|x2+（a﹣8）x﹣8a≤0}，命题p：x∈M，命题q：x∈N．（1）当a=﹣6时，试判断命题p是命题q的什么条件；（2）求a的取值范围，使命题p是命题q的一个必要但不充分条件．19. （2分） (2017高二上·江苏月考) 已知椭圆：的离心率为，其中左焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的中点在圆上，求的值．20. （2分）(2018·保定模拟) 如图，四棱台中，底面，平面平面为的中点.（1）证明：；（2）若，且，求点到平面的距离.21. （2分） (2018高二下·永春期末) 设抛物线C：的焦点为F ，过F 且斜率为的直线l 与 C交于A ，B 两点，（1）求 l的方程；（2）求过点A ，B 且与 C的准线相切的圆的方程．22. （2分）(2017·锦州模拟) 已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．23. （2分） (2017高二下·吉林期末) 已知，为不等式的解集.（1）求；（2）求证：当时， .参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1、答案：略2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共14分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
福建省莆田市2020 高二 数学 上学期期末考试 理 新人教A版
莆田一中高二上学期期末数学理试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内．每题5分，共计50分．） 1．“a 和b 都不是偶数”的否定形式是 （ ）A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数2. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若=，=，=1则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A. c b a +--2121B.c b a ++2121 C. ++-2121 D.+-21213.设P ：52)(23+++-=mx x x x f 在(－∞，＋∞)内单调递减，q ：43m <-， 则P 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．椭圆2211612x y +=的长轴为1A 2A ，短轴为1B 2B ，将椭圆沿y 轴折成一个二面角，使得1A 点在平面1B 2A 2B 上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（ ）.A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°5．已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且AF AK 2=，则AFK ∆的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ． 16 6.已知函数2()=-f x x cos x ，则(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是( ) A 、(0)<(0.6)<(-0.5)f f f B 、(0)<(-0.5)<(0.6)f f f C 、(0.6)<(-0.5)<(0)f f f D 、(-0.5)<(0)<(0.6)f f f7、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论：C1①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 所成的角为60°； ④AB 与CD 所成的角为60°．其中错误．．的结论是------------（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④8．曲线ln(21)y x =-上的点到直线082=+-y x 的最短距离是（ ） A ．5 B ．25 C ． 35D ． 09.若命题“∀[]1x ∈，4时，240x x m --≠”是假命题，则m 的取值范围( ) A. [4,3]-- B. [4,0]- C. [4,)-+∞ D. ()-∞,-410.已知函数 f （x ）的定义域为R ，其导函数f ＇（x ）的图象如图所示，则对于任意122,,,(x x x R x x ≠∈)，下列结论正确的是( )①()0f x <恒成立；②1212()[()()]0x x f x f x --<； ③1212()[()()]0x x f x f x -->；④122x x f 骣+琪琪桫 > 12()()2f x f x +； ⑤122x x f 骣+琪琪桫< 12()()2f x f x +． A ．①③ B ．①③④ C ．②④ D ．②⑤二、填空题（请把答案填在答题卷中相应的横线上，每题4分，共计20分．） 11．已知函数2()()f x x x c =-在1x =处有极大值,则常数____.C =12.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是__________.13．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积为27π，且用料最省，则此圆柱的底面半径为____________.14．已知点(22,0)Q 及抛物线24x y =上的动点(,)P x y ，则||y PQ +的最小值为______.N MB 1A 1C 1D 1BDC A15. 已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16、（本小题满分13分）已知函数()()()32211,,3f x x ax a x b a b R =-+-+∈，其图象在点()()1,1f 处的切线方程为30x y +-= (1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间，并求出()f x 在区间[－2,4]上的最大值．17、（本小题满分13分）已知命题p ：()3213f x x mx x =-+在),0(+∞上是增函数；命题:q 函数32()(6)1g x x mx m x =++++存在极大值和极小值。
福建省莆田市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学(理)试题Word版含解析
福建省莆田市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意1.在等差数列中，如果，那么（）A. 95B. 100C. 135D. 80【答案】B【解析】【分析】根据等差数列性质可知：，，构成新的等差数列，然后求出结果【详解】由等差数列的性质可知：，，构成新的等差数列，故选【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。
2.已知等差数列中，，，则的值为（）A. 15B. 17C. 22D. 64【答案】A【解析】等差数列中，.故答案为：A.3.设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：因该函数的对称轴,结合二次函数的图象可知当,即时,单调递增,应选C.考点：数列的单调性等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助二次函数的对称轴进行数形结合,合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴放在的左边而得,而得的答案.这是极其容易出现的错误之一.4.下列命题中正确的是（_____）A. 若，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】A,当c=0时，，故不正确；B，若则，则举例说明：a=3,b=2,c=-1,d=-2,则，故选项不正确。
D，若，则有故不正确；故选C；5.已知数列为等比数列，且首项，公比，则数列的前10项的和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件可以判定数列也是等比数列，然后求出前10项的和【详解】数列代表奇数项的和，已知数列为等比数列，故奇数项也是等比数列，公比为，首项为，每项和为：故选【点睛】本题主要考查了等比数列的求和，只需按照题意运用公式即可求出结果，较为基础。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则（）A． B. C. D.2.若，则向量与的夹角为（）A． B. C. D.3.若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则（）A．8 B. C. D.4.下列说法中正确的是（）A．命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则”的否命题是真命题B．若命题，则；C．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；D．方程有唯一解的充要条件是5．一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．6. 函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．7．点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．8.对某同学的6次物理测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12.其中，正确说法的序号是( )A. ①②B.③④C. ②④D.①③9．若方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误．．的是（）A．D1O∥平面A1BC1 B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于45°11. 在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．12.是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．给出下列说法:①不可能是型函数；②若函数是型函数, 则，；③设函数是型函数, 则的最小值为；④若函数是型函数, 则的最大值为．下列选项正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④2019-2020年高二上学期期末考试数学理含答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列{a n}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.14.已知，过点作一直线与曲线相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知，过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为__________15.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则________________.16．给出如下五个结论：①若为钝角三角形，则②存在区间（）使为减函数而＜0③函数的图象关于点成中心对称④既有最大、最小值，又是偶函数⑤最小正周期为π其中正确结论的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：已知“足球社”社团抽取的同学8人.（Ⅰ）求样本容量的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；（Ⅱ）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率.18．(本小题满分10分)已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.19. (本小题满分12分)已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.20．（本小题满分12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD-EFGH材料切割成三棱锥H-ACF.(1)若点M ，N ，K 分别是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？21．（本小题满分13分） 已知函数和．（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值． 22．（本小题满分13分）已知椭圆经过点，且离心率为. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若是椭圆内一点，椭圆的内接梯形的对角线与交于点，设直线在轴上的截距为，记，求的表达式(3) 求的最大值.临川一中xx 学年度上学期期末考试高二数学试卷答题卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的.）题 号一二三总 分17 18 19 20 21 22得 分题号123456789101112考号___________________……………………线……………………………………二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分；把正确答案填在横线上.）13._________________________；14._________________________；15._________________________；16._________________________；三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}，共6种故至少有1名女同学被选中的概率1-=． .…………10分 18：（1）设等比数列的公比为 ,由是和的等差中项 …….. 5分 （2）21(11)(32)(52)(212)n n S n -∴=++++++⋅⋅⋅+-+．21[135(21)](1222)n n -=+++⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅+.... 10分 19解：（1）若为真：解得或 若为真：则 解得或 若“且”是真命题，则解得或 …… 6分 （2）若为真，则，即 由是的必要不充分条件， 则可得或即或 解得或 ……12分20(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC .∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK ∥平面ACF ，又MG ⊂平面MNK ，故MG ∥平面ACF .(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ，∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ， ∴e ＝12bc 1－d 2＝12AC ·AF ·sin ∠CAF ＝S △ACF . 又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF＝V 三棱锥HACF . ∵三棱锥HACF 为将长方体ABCDEFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得，∴V 三棱锥HACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.22.（1）椭圆的标准方程为，……………..3分（2）由已知得不垂直于轴（否则由对称性，点在轴上）设直线的方程为，直线的方程为将代入得，设点，由韦达定理得，…………..5分同理设点，由韦达定理得由三点共线A C A C C A C A A C C A y x y x y x y x y x y x 2222)21)(1()21)(1(++-=++-⇒---=---⇒同理由三点共线B D B D D B D B y x y x y x y x 2222++-=++-⇒两式相加结合的方程，得)(24)(2)()(24)(2)()(2)(242)(2)()(2)(242)(2)(D C B A D C B A D C B A B D A C D B B A D C D B C A D B D C B A x x m m x x k x x x x n n x x k x x m kx x m kx x m y x x x k x x n kx x n kx x n y x x x k x x ++++++-=++++++-+++++++++-=+++++++++-利用得，由得，…………..7分由及直线不过点得且 又点到直线的距离是，故32621222323848221)(22--=-⨯-⨯⨯==∆m m m m S m f PAB（且）…..10分 (3)=3225]2)415(4[721)415(472165922222224=-+≤-=+-m m m m m m (也可用导数求解)当且仅当即时，上式等号成立，故的最大值为.…………..13分。
2019—2020学年第一学期普通高中期末质量检测高二数学试题—附答案
高二数学试题 第1页 （共4 页）2019—2020学年第一学期普通高中期末质量检测高二数学试题本试卷共4页．满分150分． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．已知直线l 的倾斜角为45︒，则l 的斜率为AB ．1 C．2 D2. 已知i 为虚数单位，则复数2i1i=+ A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --3. 计算138(3π)()27--=A. 7π3-B. 23-C. 12-D. 134．以(1,2)为圆心且过原点的圆的方程为A. 22(1)(2)x y -+-=B. 22(1)(2)x y +++=C. 22(1)(2)5x y -+-=D. 22(1)(2)5x y +++=5．双曲线2214y x -=的渐近线方程为A. 14y x =±B. 12y x =± C. 2y x =± D. 4y x =±6．函数21y x x=-的图象大致是A B C D高二数学试题 第2页 （共4 页）7．若ππ,[,]22x y ∈-，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是 A ．x y < B ．x y > C ．x y < D ．x y >8．已知直线:l ()(||2)y t k x t t -=->与圆22:4O x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则||||log log t t M m +的值为A ．1B ．0C ．1-D ．2||22log ()4t t t -二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．已知方程221(,)mx ny m n +=∈R ，则A ．当0mn >时，方程表示椭圆B ．当0mn <时，方程表示双曲线C ．当0m =时，方程表示两条直线D ．方程表示的曲线不可能为抛物线 10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，15,4,3AB AD AA ===，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A.点1B 的坐标为()4,5,3B.点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3-C.点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3D.点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0 11．下列说法正确的是A ．命题“若x y ≠且x y ≠-，则||||x y ≠”为真命题B ．“若直线10ax y +-=与直线20x ay ++=平行，则1a =”的逆命题是真命题C ．若p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：x ∀∈R ，使得210x x +->D ．“{ln(1)}x x y x ∈=-”是“[1,)x ∈+∞”的充要条件12．已知函数3()e x f x x =⋅，则以下结论正确的是A.()f x 在R 上单调递增B.125(log 2)<(e )<(ln π)f f f -C ．方程()1f x =-有实数解D ．存在实数k ，使得方程()f x kx =有4个实数解高二数学试题 第3页 （共4 页）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线:210l x y +-=，则过点()1,2-且垂直于l 的直线方程为 ． 14．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次．记“甲得第一名”为p ，“乙得第一名”为q ，“丙得第一名”为r ，若p q ∨是真命题，p r ⌝∨（）是真命题，则得第一名的是 ． 15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，32()23f x x x a =-+，则(2)f -= ；曲线()y f x =在点(2,(2))f --处的切线方程为 ． (第一空2分，第二空3分)16．设过原点的直线与双曲线2222:1y x C a b -=(0,0)a b >>交于P ，Q 两个不同点，F 为C 的一个焦点，若4tan 3PFQ =∠,||5||QF PF =,则双曲线C 的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知i 是虚数单位，复数()2i 42i i z =-+-． （1）求复数z 的模||z ；（2）若13i z mz n ++=+（,m n ∈R ，z 是z 的共轭复数），求m 和n 的值．18．（12分）已知函数2, 0,()log ,0,x ax f x x x ⎧≤=⎨>⎩且[(2)]1f f -=-．（1）求实数a 的值；（2）当[2,2)x ∈-时，求()f x 的值域．19．（12分）已知动点P 在y 轴的右侧，且点P 到y 轴的距离比它到点()1,0F 的距离小1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设斜率为1-且不过点(1,2)M 的直线交C 于,A B 两点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值．高二数学试题 第4页 （共4 页）AB CDPO20．（12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//,AB CD ACBD O =，22AO OC ==，PA PB AB AC PB ===⊥．（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PD B --的余弦值．21．（12分）阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,0)P 的直线l 与C 交于不同的两点A ，B ，求OAB △面积的最大值.22．（12分）已知函数()ln ()f x x ax a =-∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有极值点0x ，有两个零点12,x x ，且()120120x x mx x x ++<恒成立，求实数m 的取值范围．高二数学试题答案 第1页 （共5页）高二数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2019-2020学年福建省莆田市数学高二第二学期期末考试试题含解析
2019-2020学年福建省莆田市数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( ) A ．2000元B ．3200 元C ．1800元D ．2100元2．设集合{}2|log (1)1M x x =-<，{|2}N x x =≥|，则M N ⋃=（） A ．{|23}x x ≤< B ．{|2}x x ≥C ．{|1}x x >D ．3|}1{x x ≤<3．设(){},|0,01A x y x m y =<<<<，s 为()1ne +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），nm s =,若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ） A ．2eB ．1eC ．1e e- D ．2e e- 4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8.28.610.011.311.9支出y （万元） 6.27.5 8.0 8.5 9.8根据表中数据可得回归直线方程$$0.76y x a=+，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为( ) A ．15.2B ．15.4C ．15.6D ．15.85．曲线sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．2B ．2πC ．πD ．46．函数()f x 在其定义域内可导，其图象如图所示，则导函数()'y f x =的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．7．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ）A ．（2，+∞）B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）8．在（x －3）10的展开式中，6x 的系数是（ ） A ．－27510CB ．27410CC ．－9510CD ．9410C9．函数()1ln1x f x sin x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的图象大致为 A ． B ．C ．D ．10．已知i 为虚数单位，15zi i =+，则复数z 的虚部为( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i11．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ） A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对12．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()21f x x =+，则()1f -= A ．1B ．1-C ．2D ．2-二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为25； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627. 其中所有正确结论的序号是________．14．复数z 满足21z i -+=，则z 的最小值是___________．15．设随机变量ξ服从二项分布16,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～ ，则()3P ξ≤等于__________16．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A 的概率分别为56、78、34，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A 的概率为____三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[]50,100，按照区间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；(2)从乙班[)70,80，[)80,90，[]90,100分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)80,90发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望. 18．已知121211151034.z i z i z zz z =+=-=+，，，求 19．（6分）某手机代工厂对生产线进行升级改造评估，随机抽取了生产线改造前、后100个生产班次的产量进行对比，改造前、后手机产量（单位：百部）的频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件：“改造前手机产量低于5000部”，视频率为概率，求事件A 的概率；（2）填写下面22⨯列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为手机产量与生产线升级改造有关：手机产量5000<部 手机产量5000≥部 改造前 改造后（3）根据手机产量的频率分布直方图，求改造后手机产量的中位数的估计值（精确到0.01）.参考公式：随机变量2K 的观测值计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：20()P K k ≥ 0.1000.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.82820．（6分）如图，三棱柱ABC-111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，AC ⊥AB ，AB=AC=2，C 1C =4，D 为BC 的中点（I ）求证：AC ⊥平面AB 11B A ； （II ）求证：1A C ∥平面AD 1B ；（III ）求平面1ADB 与平面11ACC A 所成锐二面角的余弦值21．（6分）已知函数32()10f x x mx nx =+++有两个极值点1-和3.(1)求m ，n 的值；(2)若函数()f x 的图象在点(1,(1))P f 的切线为l ，切线l 与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，点O 为坐标原点，求AOB ∆的面积.22．（8分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-（Ⅰ）解不等式()()216f x f x ++≥；（Ⅱ）对()1,0a b a b +=>及x R ∀∈，不等式()()41f x m f x a b---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从30到36中选1个号有7种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有151071050⨯⨯=注,故至少要花105022100⨯=,故选D. 2．C 【解析】 【分析】解出集合M 中的不等式即可 【详解】因为{}{}2|log (1)1|13M x x x x =-<=<<，{|2}N x x =≥ 所以M N ⋃={|1}x x > 故选：C 【点睛】本题考查的是解对数不等式及集合的运算，属于基本题. 3．D 【解析】分析：由已知求得m ，画出A 表示的平面区域和满足ab ＞1表示的平面区域，求出对应的面积比即可得答案．详解: 由题意，s=0n nn C e e =，∴e =，则A={（x ，y ）|0＜x ＜m ，0＜y ＜1}={（x ，y ）|0＜x ＜e ，0＜y ＜1}， 画出A={（x ，y ）|0＜x ＜e ，0＜y ＜1}表示的平面区域， 任取（a ，b ）∈A ，则满足ab ＞1的平面区域为图中阴影部分， 如图所示：计算阴影部分的面积为S 阴影=11(1)edx x-⎰=（x ﹣lnx ）1|e=e ﹣1﹣lne+ln1=e ﹣1．所求的概率为P=e-2=S S e阴影矩形， 故答案为：D ．点睛：（1）本题主要考查几何概型，考查定积分和二项式定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(1)解答本题的关键是利用定积分求阴影部分的面积. 4．C 【解析】 【分析】由于回归直线方程过中心点(,)x y ，所以先求出,x y 的值，代入回归方程中，求出$a，可得回归直线方程，然后令20x =可得结果 【详解】 解：因为1(8.28.610.011.311.9)105x =⨯++++=， 1(6.27.58.08.59.8)85y =⨯++++=所以$80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为0.760.4y x =+$所以当20x =时，$0.76200.415.6y =⨯+= 故选： C 【点睛】此题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属于基础题 5．D 【解析】 【分析】曲线sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积，根据正弦函数的对称性，就是求正弦函数sin y x =在[]0,π上的定积分的两倍． 【详解】解：曲线sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积为：[]002sin 2(cos )|2cos (cos0)4xdx x πππ=-=---=⎰．故选：D ． 【点睛】本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，求解定积分问题，关键是找出被积函数的原函数，属于基础题． 6．C 【解析】 【分析】函数的单调性确定()f x '的符号，即可求解，得到答案． 【详解】由函数()f x 的图象可知，函数()f x 在自变量逐渐增大的过程中，函数先递增，然后递减，再递增，当0x >时，函数()f x 单调递增，所以导数()f x '的符号是正，负，正，正，只有选项C 符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数符号之间的关系，其中解答中由()f x 的图象看函数的单调性，得出导函数()f x '的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 7．B 【解析】 【分析】根据题意分析()f x 的图像关于直线1x =对称，即可得到()f x 的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x 的取值范围。
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数学试卷满分 150分 考试时间 120分钟一、选择题(本大题共有12小题，每小题5分，共60分，其中第12题为多选题，少选得3分，选错不得分;其他11小题在给出的四个选项中，只有一项符合题意)1、复数242ii+-(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A.-2iB.2iC.8-103iD.103i -2、某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理这四门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ）A.8种B.12种C.16种D.20种3、某几何体的三视图如图所示，其俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（ ）A.10πB.12πC.16πD.8π4、已知正四面体ABCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ）A.214a B.2aC.212a D.23a 5、设43()23f x x x =-++，在[],ab 上，以下结论正确的是 ( )A. ()f x 的极值点一定是最值点B.()f x 的最值点一定是极值点C.()f x 在[],a b 上可能没有极值点D.()f x 在[],a b 上可能没有最值点6、已知曲线cos )xf x x=（在点(,0)M π处的切线与直线60ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ）A.-πB.2-πC.π2D.π7、函数2()ex x f x -=的图象是( )A. B. C. D.8、已知函数3()1f x x ax =--，则()f x 在（-1,1）上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A.[]03a ∈，B.0,5a ∈（）C.0,3a ∈（）D.1,3a ∈（）9、10名同学合影，站成前排4人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A.2263C AB.2666C AC.2266C AD.2265C A10、已知函数31()2+1x x f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若2(3)(21)2f a f a +-≥，则实数a 的取值范围是（ ）A.2-1,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.1-1,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C.(]2--1+3⎡⎫∞⋃∞⎪⎢⎣⎭，，D.(]1--1+3⎡⎫∞⋃∞⎪⎢⎣⎭，， 11、已知点P 是曲线24y x =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线x y e =上任意一点，则|PH|+|PQ|的最小值为（ ）3+1B.2+1312112、（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）A.32+4y x x = B.sin()y x x =+- C.2log y x =D.22x x y -=-二、填空题(本大题共有4个小题，每题5分，共20分)13、复数z=5+20i 在复平面内对应的点的坐标是 .14、若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的余弦值是15、定义在[1,1]-的函数32()310f x x x =--的最大值为 .16、已知直线y kx =与双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>相交于不同的两点A 、B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足3AF BF =，|OA|=b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤．)17、(本小题满分10分)已知函数x x x f ln 2+=)(（1）经过点（0,-2）作函数)(x f 图像的切线，求切线的方程；（2）设函数)(21=)(2x f x x g -，求)(x g 的极值。
18、(本小题满分12分) 一个正方形花圃被分成5份.（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?（2）若将6个不同的盆栽都摆放入这5个部分，且要求每个部分至少有一个盆栽，问有多少种不同的放法?19、(本小题满分12分) 已知三棱锥M-ABC 中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且BC BN 32=.（1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N-AM-C 的正弦值.20、(本小题满分12分) 已知函数()(1)ln ,0.af x a x x a x=-++<（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：()21,,()x f x a a ∀∈+∞>--21、(本小题满分12分) 如图，已知椭圆C ：在x 轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且右焦点坐标为)03(，.（1）求椭圆C 的方程;（2）设直线l 与圆222=+y x 相切,和椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，线段OA ，OB 分别和圆222=+y x 交于C ，D 两点，设△AOB ，△COD 的面积分别为21,S S ,求21S S 的取值范围。
22、(本小题满分12分) 已知函数()()2211ln ,()2,.2f x x m x m xg x x mx m R =-++=-∈.(1)当[)2,x ∈+∞时，函数()y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象的下方，求m 的取值范围；(2)若函数()f x 恰有2个不相等的零点，求实数m 的取值范围.ACB答案1、选择题2、填空题13、（5,20）； 14、66； 15、10-； 16、3 3、解答题17、（10分）解：（1）设切线斜率为k ，切点为00(,)P x y ， ································1分2'()1f x x=+，则002'()1k f x x ==+. ·······························2分 故切线方程为：00002(2ln )(1)()y x x x x x -+=+-，将点（0,-2）代入切线方程得01x =·······3分所以，切线方程为320x y --= ·························4分（2）易得()21()2ln ,0,2g x x x x x =--∈+∞，2(2)(1)'()1x x g x x x x-+=--= ·················5分 令12'()01,2g x x x ==-=得·····················6分 当x 变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表：所以，函数()g x 在2x =时取得极小值(2)2ln 2g =-，无极大CA 值。
·····················8分18、（12分）解：(1)先对E部分种植，有4种不同的种植方法；··········1分再对A部分种植，又3种不同的种植方法；·····················2分对C部分种植进行分类：①若与A相同，D有2种不同的种植方法，B有2种不同的种植方法，共有432248⨯⨯⨯=（种），····················4分②若与A不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，B有1种不同的种植方法，共有4321124⨯⨯⨯⨯=（种），·····················6分综上所述，共有72种种植方法。
·····················7分(2)将6个盆栽分成5组，则2-1-1-1-1，有26C种分法；·····················9分将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有2565=1800C A（种）放法，·····················11分综上所述，答案：1800种不同的放法。