模型降阶方法综述
基于遗传算法的时频域模型降阶方法
３ 遗传算法设计及求解步骤
本文将模型降阶问题转化为下述优化问
很准确 尤其幅频特性误差较大 本文将遗传算法[2] 时域法和频域法三者有机结合 Simulink 专用功能的调用 型降阶方法 效智能等特点而且工程性强 问题较好的解决方案 提出了一种新的常规模 是目前时域模型降阶
克服了原来方法的不足
Min J 1 = J 1 (a 2 , a1 , τ ) , J 2 s . t . a1L ≤ a1 ≤ a1H a 2 L ≤ a 2 ≤ a2 H τL ≤ τ ≤ τH
添加微变异种 腾出适当比 微变异种群 该空间将
群的策略在维持种群数不变的情况下 例人口数给微变异种群并传至下一代 得的数值空间 拓展系数记为 dither
2
点之分 无延时 主要用于检验无超调的高阶系统 的降阶效果 ωc =0.509343 结果为
的变异范围取为当代最佳染色体向左右两边拓展所
0.03906 e −1 .9889 S 2 1.060 s + 2.060s + 1 E =0.017923 Ja =0.0147 Gr ( s ) =
ˆ2 = a ln 2 σ % π + ln 2 σ%
2
随最佳染色体的变化而变化 型定义的空间 4 这样做
但不允许超过优化模
既克服常规遗传算法局部
ˆ a 1 =
π
2 (t p − Td ) 1 − a ˆ2
τ ˆ = Td
求精能力弱的缺陷 又不太多增加算法的复杂性 采用双代价函数后 优化问题变成了多目 标的优化问题 一般采用了 Pareto 方法来解决 本 文认为 J 1 和 J 2 本质上不是一对矛盾的指标 因此采 用了一种新的染色体选择和评价策略 即奇数代以 J 1 为评价函数 偶数代以 J 2 为评价函数 轮番择优 筛选 最后再从奇偶代染色体中挑选一综合指标具 佳的染色体
大规模动力系统的模型降阶方法
大规模动力系统的模型降阶方法
大规模动力系统的模型降阶方法是指将复杂的电力系统模型通
过一系列数学方法和技术手段，将其简化为较小规模的模型，以便更好地进行分析和计算。
这种方法可以大幅度降低模型的维度和计算量，提高计算效率和准确性，同时还可以更好地展现系统的特性和行为。
目前，大规模动力系统的模型降阶方法主要包括基于系统结构的方法、基于电力网络拓扑的方法、基于模态分析和特征值分解的方法、基于模型约简和投影方法的方法等。
其中，基于系统结构的方法主要关注电力系统的物理结构和运行特性，通过简化电力系统的结构和减少节点数来实现模型的降阶；基于电力网络拓扑的方法则侧重于电力系统的拓扑结构，通过划分电力系统的电网结构和合并节点等方式实现模型的降阶。
基于模态分析和特征值分解的方法则是通过对电力系统的特征
值和模态进行分析，筛选出对系统动态响应影响最大的模态，并将其保留在简化模型中，从而达到降阶的目的。
而基于模型约简和投影方法的方法则是通过对电力系统的数学模型进行约简和投影，将其转换成较小规模的模型，以实现降阶和提高计算效率。
综上所述，大规模动力系统的模型降阶方法是电力系统研究中非常重要的一部分，它可以大幅提高研究的效率和准确性，为电力系统的研究和运行提供了有力支持。
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模型降阶方法pdf
模型降阶方法pdf近年来，随着机器学习、深度学习等技术的快速发展，人们对模型的准确性和复杂性要求越来越高。
但是，随着模型越来越复杂，模型也越来越难以解释，计算量也越来越大，不利于模型的应用和优化。
因此，模型降阶也成为了研究热点之一。
模型降阶，就是将高维度的复杂模型降低至更简单的低维度模型。
模型降阶的好处有很多。
首先，对于一些需要实时处理的数据，降阶可以大大减少计算量，提升模型的响应速度和效率。
其次，由于降阶后的模型更加简单，所以更容易解释和理解，方便我们对模型进行优化和改进。
常见的模型降阶方法包括主成分分析（PCA）、独立成分分析（ICA）、因子分析（FA）等。
这些方法的具体应用取决于模型降阶的目的和数据的情况。
以PCA为例，是一种常用的数据降阶方法。
它通过对原始数据进行线性变换，将高维度的数据降低到低维度，从而减少数据的冗余信息。
PCA在各种领域都有广泛的应用，如图像处理、金融领域的数据分析等。
在使用PCA进行数据处理时，我们首先需要对数据进行预处理，如中心化和标准化等操作。
接着，我们需要计算数据的协方差矩阵，并对其进行特征值分解。
通过计算特征值和特征向量，我们可以得到降低后的数据，保留了原始数据的主要信息，同时减少了数据的冗余。
通过模型降阶，我们可以更好地理解模型，提高模型的应用效果和计算效率。
然而，在使用模型降阶方法时，我们需要注意数据的特点和目的，在选择合适的方法时，要考虑计算效率、模型准确性等综合因素。
总之，模型降阶是一种非常实用的数据处理方法，可以帮助我们解决高维度数据带来的种种问题，同时也可以优化模型。
通过对各种降阶方法的研究和应用，我们可以更好地利用数据，为实际应用提供更好的支持和帮助。
【论文】模型降阶方法的研究
摘 要在控制系统设计时，需要研究被控对象的特性，对其建立数学模型是主要工具。
然而利用各种建模方法建立的模型可能阶次很高，不适用于实际的控制应用，有必要对高阶模型进行降阶处理。
根据简便性和稳定性的原则，选择了skogestad折半规则方法、 Pade逼近法和连分式法对高阶模型进行简化。
具体利用上述三种方法分别对稳定系统和不稳定系统进行模型降阶的研究。
结果表明，三种方法都可实现模型降阶，并保证系统的稳定性不变。
其中采用Pade逼近法，误差最小，效果最好，连分式法误差最大，效果最差。
关键词：模型降阶，skogestad折半规则方法， Pade逼近法，连分式法AbstactIn the control system design, need to study the characteristics of controlled object, its mathematical model is the main tool. However, using a variety of modeling methods to establish the order of the model may be very high, does not apply to the actual control applications, it is necessary to deal with high-end model reduction. According to the principles of simplicity and stability, the rules selected skogestad half rule method, Pade approximation and continued fractions method to simplify the high-end model. The specific use of the above three methods to stabilize the system and the instability of the system model reduction. The results showed that three methods can be realized model reduction, and to ensure stability of the system unchanged. One use of Pade approximation method, the error is smallest, the effect is best, the continued fractions error is biggest, the effect is worst.Keywords: model reduction, skogestad half rule method, Pade approximation, continued fractions目录第一章 前 言 (1)1.1模型降阶的背景 (1)1.2模型降阶的意义 (1)1.3模型降阶遵循的原则 (2)1.4现有模型降阶的方法 (2)1.5 研究内容 (4)第二章 选用的模型降阶的方法 (5)2.1 Skogestad折半规则 (5)2.2 Pade逼近法 (5)2.3 用连分式法 (8)2.4利用阶跃响应建立模型 (9)第三章模型降阶方法的仿真与分析 (11)3.1 稳定系统的模型降阶研究 (11)3.1.1 稳定系统的模型 (11)3.1.2 skogestad 折半规则 (12)3.1.3 Pade逼近法 (14)3.1.4 连分式法 (17)3.1.5 小结 (20)3.2 不稳定系统 (22)3.2.1 不稳定系统的模型 (22)3.2.2 skogestad 折半规则 (23)3.2.3 逼近法 (25)3.2.3 连分式法 (26)3.3 利用阶跃响应建立模型 (28)III第四章 结论与展望 (30)参 考 文 献 (31)致 谢 (32)声 明 (33)IV第一章 前 言1.1模型降阶的背景【1】模型降阶，就是指将一个高阶模型转化为一个低阶模型，使得后者比前者更容易处理而又能够满足精度要求。
油藏数值模拟模型降阶方法研究及应用
油藏数值模拟模型降阶方法研究及应用
近年来，随着我国油气勘探开发技术的不断提高，油藏数值模拟模型成为油气勘探与开发过程中应用最为广泛的分析工具。
然而，在实际应用过程中，数值模拟模型运算量巨大、计算时间长，使得模拟计算过程耗费大量的资源和精力，从而影响油藏成熟度的判断、油田开发的效率，降低石油行业的竞争力。
为此，针对传统数值模拟模型，研究者们开展了大量的降阶方法研究，试图通过合理的降低模型运算量的同时，保留对油藏参数的准确性和准确性，以提高油藏勘探开发效率。
在降阶方法研究中，研究人员提出了许多新的技术方法，包括基于物理学的降阶方法、流体统计物理学方法、网格降阶方法等，以及一系列优化技术和技术组合。
物理学方法通过对几何模型和流体物理学规律进行有效的数值处理和近似处理，实现模型运算量的降低，但不影响模拟结果的准确性。
流体统计物理学方法利用统计手段处理地面应力场及其关联的流体力学场，同时对油藏属性变化进行建模，实现模型数量的降低，同时保持模拟结果的准确性。
网格降阶方法则是以不同的网格计算元作为数值算法的基础，使用积分、微分等运算，在保持计算精度的前提下，降低计算复杂度，提高模型运算效率。
油藏数值模拟模型降阶方法的研发和应用，对提高油藏勘探开发的效率，提升油藏的开发效益，具有重要意义。
在实际应用中，研究者们还需要积极完善和发展这些方法，使其可以更好地应用于油藏开发过程中，推动油藏勘探开发技术更快、更有效地向前发展。
总之，随着技术水平的不断提高，油藏数值模拟模型降阶方法研究及应用将不断发展，为油藏勘探开发过程中提供更有效的技术支持，促进油藏勘探开发的顺利实施和深入发展。
非侵入式模型降阶方法
非侵入式模型降阶方法摘要：一、非侵入式模型降阶方法简介二、降阶方法分类及原理1.线性降阶方法2.非线性降阶方法三、常见非侵入式模型降阶算法介绍1.平衡矩阵分解法2.奇异值分解法3.矩阵变换法四、降阶方法在实际应用中的优势与局限五、未来发展展望与建议正文：一、非侵入式模型降阶方法简介非侵入式模型降阶方法是一种在不改变原始模型结构的基础上，通过简化模型参数或数据处理技术，降低模型复杂度，提高计算效率和模型泛化能力的方法。
这种方法在众多领域中都有着广泛的应用，如控制系统、信号处理、图像处理等。
二、降阶方法分类及原理1.线性降阶方法线性降阶方法主要是通过线性变换将高阶模型转化为低阶模型。
这类方法包括平衡矩阵分解法、奇异值分解法等。
它们的基本原理是将原始矩阵进行分解，得到一个低阶矩阵和一个映射矩阵，从而实现降阶。
2.非线性降阶方法非线性降阶方法主要针对非线性模型，通过一定的数学变换将非线性模型转化为线性模型。
这类方法包括矩阵变换法、神经网络降阶法等。
它们的核心思想是将非线性模型进行局部线性化，得到一个低阶线性模型。
三、常见非侵入式模型降阶算法介绍1.平衡矩阵分解法平衡矩阵分解法是一种基于矩阵对角化的降阶方法。
它通过将原始矩阵表示为两个平衡矩阵的乘积，实现对原始矩阵的降阶。
该方法适用于对称正定矩阵，具有计算简便、精度较高的优点。
2.奇异值分解法奇异值分解法是一种基于矩阵特征值分解的降阶方法。
它将原始矩阵分解为三个矩阵的乘积，得到一个低阶矩阵和一个映射矩阵。
该方法适用于任意矩阵，但计算复杂度较高。
3.矩阵变换法矩阵变换法是一种基于线性变换的降阶方法。
它通过设计一个线性变换矩阵，将原始矩阵转化为一个低阶矩阵。
该方法适用于线性时不变系统，具有计算简便、精度较高的优点。
四、降阶方法在实际应用中的优势与局限1.优势非侵入式模型降阶方法在实际应用中的优势主要体现在以下几点：- 不改变原始模型结构，保持模型性能；- 计算简便，降低计算成本；- 提高模型泛化能力，减小过拟合风险；- 适应性强，可应用于不同领域和问题。
参数系统的模型降阶方法
参数系统的模型降阶方法参数系统的模型降阶方法是一种通过减少系统的自由度来减小系统模型的复杂度的技术。
降阶方法可以将高维度的系统模型转化为低维度的简化模型，以提高系统分析和控制的效率。
在实际应用中，降阶方法可以用于电力系统、机械系统、流体系统等领域中对模型进行简化和近似处理。
常见的参数系统的模型降阶方法包括：1. 模态截断法（Modal truncation method）：该方法通过对系统的模态函数进行截断，仅保留部分重要的模态。
具体来说，首先通过模态分析得到系统的本征模态，然后根据模态频率和振幅的大小选择保留的模态，将被截断的模态去除，从而减少系统的自由度。
该方法适用于线性系统的降阶。
2. 局部模型投影方法（Local model projection method）：该方法通过将原始系统中的一些状态量进行投影来降低系统的维度。
具体来说，首先将原系统的状态向量分解为使用主分量分析（PCA）或奇异值分解（SVD）等方法得到的一组基函数的线性组合，然后根据模态频率和振幅的大小选择保留的基函数，将被投影的基函数去除，从而实现系统的降阶。
该方法适用于非线性系统的降阶。
3. 有限元法（Finite element method）：该方法将连续域系统分割为离散域，然后使用有限元方法对每个离散域进行建模，最后将各个离散域的模型组合起来得到整个系统的模型。
通过调整离散域的数量和形状，可以对系统的模型进行降阶。
有限元法适用于结构动力学和流体力学等领域中的系统降阶。
4. 幂迭代法（Power iteration method）：该方法通过迭代计算系统的特征值和特征向量，然后根据特征值的大小进行选择和截断，从而实现系统的降阶。
幂迭代法适用于大规模系统和稀疏矩阵的降阶。
5. 模型适应方法（Model fitting method）：该方法通过将原始系统的模型与一个较低阶的模型进行参数匹配，从而实现系统的降阶。
具体来说，可以使用系统辨识方法对原始系统进行建模，然后调整模型的参数，使得较低阶的模型能够与原始系统的输出尽可能地拟合。
大系统的模型降阶研究
大系统的模型降阶研究大系统是指由多个子系统所组成的系统，其复杂性较高。
大系统常常涉及到众多因素之间的互动和影响，因此其研究难度较大。
面对这样的复杂性，通常情况下人们不会用完整的方式来描述大系统。
相反，会将其分解成多个次级系统，然后对每个系统进行分析。
这种方法被称为分级分解分析。
然而，分级分解分析也存在一定的问题。
因为子系统之间的相互作用非常复杂，可能导致所得的结果不够准确。
而且，在进行系统分析时，通常需要考虑到较多的因素，因此研究对象会很大，计算难度会增大。
模型降阶研究就是为了解决系统分析中的这些问题而提出的。
它的基本思想是通过适当降低模型的级别和复杂度，来大幅度减少对对象的研究和计算难度，同时保证研究结果的准确性。
模型降阶的方法有很多，下面来介绍一些比较常见的方法。
1. 线性化方法线性化方法是一种将非线性系统转化为线性系统的方法。
前提是要求非线性函数在某个点附近的导数存在，而导数是线性的，因此可以将非线性函数线性化。
线性化后的模型比非线性模型简单，并且通常有很好的数学性质，易于分析和计算。
2. 组合方法组合方法是一种将多个互播影响的子系统组合成一个整体系统的方法。
组合后的系统可能比原来的系统简化，但通常需要考虑到子系统之间的相互作用和影响。
3. 模型简化方法模型简化方法是一种通过适当简化模型来减少计算难度的方法。
比如可以采用维数约束、参数约束、粗粒化等方法来简化模型。
简化后的模型可能会失去一些细节信息，但通常可以以较小的代价来获得相对准确的结果。
总之，模型降阶研究为解决大系统分析中的问题提供了一条新的途径。
不仅可以减小研究和计算难度，而且还可以保证研究结果的准确性，具有广泛的应用前景。
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模型降阶方法综述
大系统模型降阶是一个活跃的研究领域，比较成熟的经典降阶方法主要有：Pade逼近法，时间矩法，连分式法，Routh逼近法及棍合法等。
本文综述了这一领域的现有文献，介绍了每种降阶方法的基本思想、优缺点和适用范围，特别指出了一些新的经典模型降阶方法的进展。
文中最后提出了模型降阶方法的可能研究方向。
一、Pade逼近法
Pade逼近法是大系统模型简化中最早出现的一种经典降阶方法。
到目前为止，人们仍然公认它是一种行之有效的传递函数降阶法。
Pade逼近法是泰勒级数展开理论的应用，适用于传递函数可表示成有理多项式分式(或传递函数阵为有理分式阵)的场合。
降阶方法简单，易于编制上机程序，低频(稳态)拟合性能好。
但是，Pade逼近法的高频(动态)拟合性能较差且不能保证降阶模型的稳定性。
因而在模型降阶方法中，很少单独使用Pade逼近法。
为了弥补Pade逼近法的不足，Brown等引入了使降阶模型稳定的补充性能准则，但却提高了降阶模型的阶次；Rossen等把造成降阶模型不稳定的极点隔离开来，并用任意稳定极点取代，可以防止降阶模型不稳定，但加大了计算量；Chuang和Shamash先后提出在和附近交替展成Pade近似式，可获得有较好动态拟合性能的降阶模型；Shih等采用线性变换方法将中不稳定的极点映射到另一平面，以扩大Pade展开式的收敛域，并由此选出稳定的降阶模型。
为了克服泰勒级数收敛慢的弱点，Calfe等提出了切比雪夫多项式模型降阶方法，可获得稳定的降阶模型；Bistritz等提出了广义切比雪夫一Pade逼近法，即Darlington多项式展开法。
这两种降阶方法均可使降阶模型在预定的区间上既稳定又具有最小相位，但计算量大，仅适用于单变量系统。
二、时间矩法
时间矩法首先由Paynter提出，采用与Pade逼近法类似的方法，把高阶系统和降阶模型都展成多项式，再令时间矩对应项相等，可以求得降阶模型的各系数。
因此，时间矩法本质上仍是Pade遏近法，其优缺点也相似。
有的学者从时间矩或马尔可夫参数组成的Hankel阵出发，提出了相应的模型降阶方法，但本质上仍属于时间矩法的范畴。
三、连分式法
连分式是函数论中研究得比较深入的课题。
1974年左右，开始应用连分式进行模型降阶，5年后，又推广于多变量系统降阶。
连分式降阶法的基本出发点是：将真有理传递函数G(s)在附近展成连分式，然后截取前面起主要作用的若干项(也称偏系数)构成降阶模型。
由于连分式比其他多项式或幂级数展开式收敛快，少量偏系数就能反映原系统的主要信息，所以连分式法是一种很有效的频域模型降阶方法，至今仍被广泛应用。
在降阶过程中，常用的连分式有：Cauer一I型，Cauer一II型，Cauer一III型，修正Cauer型和Jordan型等。
在现代频域降阶法中，连分式法的计算量最少，数学和物理概念直观，降阶手法灵活且易掌握。
连分式降阶法的拟合优度不亚于时域最优化法，但后者的寻优程序十分复杂。
此外，连分式降阶法也不必求取系统的本征值，因此不但工程技术人员乐于接受，也引起了控制学界的广泛注意，纷纷从函数结构、近似理论、时矩理论和级数理论等不同角度探讨连分式降阶的机理，在理论和实践中都取得了若干进展。
连分式降阶法还存在一些不足的方面：首先是不能保证降阶模型的稳定性；其次是动态拟合精度较差；再次是在多变量系统降阶时要求输入和输出同维。
应当指出，到不久之前，
上述几方面的不足得到了一定程度的克服。
例如：采用Chen和Tsay的平方幅度连分式展开法，可以保证降阶模型的稳定性：把Cauer一I型与Cauer一II型结合起来，或直接用Cauer II型、修正Ceuer型，可得动态拟合优度相当好的降阶模型；利用矩阵分块算法后，矩阵连分式法适用于任意输入、输出维数的多变量系统降阶。
当然，连分式降阶法还有不少值得深入研究的课题，如：偏系数或偏商矩阵取多少才算合适？有无统一的准则？对降阶模型的稳定性有什么影响等。
四、Routh逼近法
Hutton等提出了一种混合型的连分式降阶法，其降阶模型的分母直接取决于原系统分母多项式的系数(或系数阵)，而与分子多项式系数(或系数阵)无关。
所以，只要原系统稳定，就能保证降阶模型也是稳定的。
由于在计算展开式各系数(或系数阵)时利用了Routh表，故得名为Routh逼近降阶法。
在Routh逼近法中，所用连分式形式为展开和展开，其收敛速度较快。
有时，也将Routh逼近法称为部分Pade法。
Routh逼近法最初出现在频域，后来又发展成时域Routh逼近法。
Shamash先把时域中的状态方程变换为等价的频域形式，然后分母用Rouht法，分子用Pade法进行降阶，最后再反变换到时域，得到降维的状态方程。
因此，Shamash方法本质上是一种混合法。
Routh逼近法计算过程比连分式法复杂，计算量大，而且数理概念不如连分式法清晰。
但从应用情况看，Routh逼近法还是可行的。
后来，Krishnamurthy等提出了简化Routh逼近法，完全撇开展开式，根据Routh稳定判据思想，分别由Routh表取得降阶模型的分子多项式和分母多项式系数，并能推广用于不稳定系统的降阶，但缺乏严密的数学论证，没有实用结沦。
五、混合降阶法及其他
近年来，许多学者针对各种经典降阶方法的长处与不足，加以适当组合和改进，提出了不少混合降阶方法，取得了较好的降阶效果。
此外，还提出了一些新降阶法的基本思想，引起了控制学界的注意。
1950年，Shamash撰文指出：当原系统存在相近的零极点时，Routh逼近法、稳定方程降阶法及Rouht一Hurwitz降阶法的逼近程度差，拟合精度低；相比之下，Pade 逼近法的降阶效果尚好。
从而提出了各种模型降阶法的适用范围问题。
1982年，Ashoor等也指出：如果初始马尔可夫参数失配，则Pade逼近法的动态拟合精度很差；如果同时考虑时间矩与马尔可夫参数的匹配，可以提高逼近度，且匹配参数越多，逼近程度越好。
但是，究竟取多少参数匹配量较合适Ashoor未作深入探讨。
1984年，Alexandro提出了稳定偏Pade 逼近降阶法，可以提高降阶模型的拟合精度，获得稳定的降阶模型，并可确定偏Pade逼近法的系数对降阶模型极点的影响。
但这一方法似乎很难推广于多变量系统降阶。
1982年，Bistritz等针对离散多变量系统，采用广义最小部分实现算法，提出了最小阶Pade稳定降阶法，效果较好。
1983年，Sinha等将Pade逼近法和Routh逼近法结合起来，在时域中进行模型降阶，利用时域马尔可夫参数匹配，得到稳定的降阶模型，且稳态及动态拟合精度较高。
1954年，Hwang将一般的状态空间模型转换为Cauer一I型和Cauer一II型标准连分式展开形式，建立了相似变换矩阵，并给出了逐次递推结果；次年，又将这一结果用于模型降阶，提出了一种新的偏连分式降阶方法，可以保证降阶模型具有较好的动态和稳定拟合精度。
1952年，Lepschy等提出了一种Routh一Pade混合模型降阶方法，可以得到稳定的降阶模型，并具有适当的稳定裕度，但要求原系统是稳定的；次年，他们又提出了Pade法和微分方程法的混合降阶法王，可以保证降阶模型的稳定性及较高的拟合精度，且计算简单。
1986年，Yung等提出了Cauer连分式扩展法，在和附近作连分式展开，可以得到动态及稳态拟合精度均较高的降阶状态空间模型。
这一方法的实质是对时间矩加权，可以选择某一频带内的拟合精度。
1985年，Shoji等分析了Pade逼近法与连分式展开法之间的内在联系，找出了同一性，提出
了模型的奇异性条件，说明并非所有的高阶系统都能进行降阶，从而提出了模型可简化性问题。
遗憾的是，目前尚未发现这一问题的理论分析结果。
1984年，Wilson撰文指出：在使方程误差为最小的模型降阶方法中，即使原系统是可控的和渐近稳定的。
降阶模型却不一定是可控的和渐近稳定的，必须谨慎地选择降阶模型的状态变量。
Wilson的工作表明，模型降阶的机理研究尚待深化。
1986年，Lamba等提出了一种修正Routh逼近法，利用模型与原系统阶跃响应之差作为性能指标，然后使响应差极小以求取降阶模型参数，从而提高了降阶模型的动态拟合精度，同时也提出了模型降阶的性能准则问题。
1986年，Liaw等提出了一种散度分析与连分式相结合的传递函数混合降阶法，从能量贡献的大小确定降阶模型的阶次，再用连分式法确定模型参数。
这一方法可以保证降阶模型的稳定性，具有良好的动态和稳态拟合精度。
Liaw的能量法别具一格，颇有新意。
1988年，笔者将Liaw的方法加以改进，把能量法与Pade逼近法结合起来，用于多变量系统降阶；同年，在能量法的基础上，笔者又提出了一种基于主导能量最优逼近的模型降阶方法，获得了连续和离散多变量系统均可适用的统一降阶模式，可以确保降阶模型的稳定性，并具有良好的动态和稳态拟合精度。