【公开课】三角恒等变换(一)
简单的三角恒等变换 课件(经典公开课)
.
2.在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限?
提示:θ所在的象限由a和b的符号确定.
3.辅助角公式 asin x+bcos x= + sin(x+φ)= + cos
(x-θ).其中 cos φ=
+
+1,
-
∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
-
+1
(2)当 f(x)取得最大值时,sin -
=1.
故 2x- =2kπ+(k∈Z),即 x=kπ+(k∈Z).
因此,所求 x 的取值集合为
= +
,∈ .
探究四 三角恒等变换在实际问题中的应用
【例4】 如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样
截取,才能使△OAB的周长最大?
解:设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α.
∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R= Rsin + +R.
∵0<α<,∴<α+ <
∴当 α+ = ,
.
即 α=时,l 取得最大值 R+R=( +1)R.
公式,若用α替换2α,则结果怎样?
提示:结果是 cos
2
α=2cos -1
2
2
三角恒等变换(1)-PPT课件
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
高中数学3.2 简单的三角恒等变换精品公开课ppt课件
课堂小结
半角公式：
sin α = 1 - cosα
(2)sinθ + sinφ = 2sin θ + φ cos θ - φ
2
2
证明：(1)∵ sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
将上两式相加得
sin(α + β) + sin(α - β) = 2sinαcosβ
cos α 2sin α
2
2
2
= sinα 1 + cosα
= 1 - cosα sinα
代数变换与三角变换的不同：
代数变换往往着眼于式子结构形式的变换。
三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的 各个角之间的关系，并以此为依据选择可以 联系它们的适当公式。
例2：求证：
(1)sinαcosβ = 1 [sin(α + β) + sin(α - β)] 2
注意：
（1）sin α 、cos α 、tan α 的符号有 α 所在的象限决定。
2
2
2
2
(2)正切半角公式的推导：
tan α 2
=
sin α 2
cos α
=
sin α 2cos α
2
2
cos α 2cos α
2
2
2
tan α 2
=
sin α 2
cos α
=
sin α 2sin α
2
2
和最小值；并写出该函数在 0，π 上的单调递增区间。
简单的三角恒等变换(一)(可编辑修改word版)
， §3.2 简单的三角恒等变换（一）学习目标：⒈熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用．⒉能灵活应用和（差）角公式、二倍角公式进行简单三角恒等变形．教学重点：以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．教学方法：讲练结合． 教具准备：多媒体投影． 教学过程：（Ⅰ）复习引入：师：前面一段时间，我们学习了三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等十一个公式，请同学们默写这些公式．生：（默写公式）．师：学习了上述公式以后，我们就有了研究三角函数问题的新工具，从而使三角函数的内容、思路和方法更加丰富，为我们提高推理、运算能力提供了新的平台本节课我们将利用已有的这十一个公式进行简单的三角恒等变换，了解三角恒等变换在数学中的应用．（Ⅱ）讲授例题：例 1 试以cos 表示sin 2 ， c os 2 tan 2 ． 2 2 2 分析：是的二倍角，因此在仅含的正弦、余弦的二倍角公式C 中， 2 以代替就可以得到sin 2 、cos 2 (2) 2 得tan 2 ．2解：略．，然后运用同角三角函数的基本关系可 2 2 师：例 1 的结果还可以表示为：sin = ± 1- c os， c os = ± 1+ c os ， t an = ± 1- cos ， 2 2 2 2 2 1+ cos 有些书上称之为半角公式，其符号由角终边的位置确定．2师：由例题 1 和以往的经验，你认为代数式变换与三角变换有什么不同？ 生：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．三角恒等变换常常首先 寻找式子所包含的角之间的联系．师：由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此以式子所包含的角之间的关系为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点．例 2 求证：⑴sin cos = 1 [sin(+ ) + sin(- )]；2 ⑵sin + sin = 2 sin + - cos ． 2 2 分析：对于⑴我们可以从其中右式出发，利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出左式．我们也可以从两个式子结构形式的不同点考虑，发现sin cos 与和（差）的正弦公式之间的联系．记sin cos = x ， cos sin = y ， 则有 x + y = sin(+ ) ， x - y = sin(- ) ，由此解出 x ，即求出了sin cos ． ⑵的证明可以直接利用⑴的结果，令+ =，- =，解出、后 代如即可．证明：略师：在此例中，如果不利用⑴的结果，怎样证明⑵？大家可以从角与角之间的关系入手考虑． 生：将= + - + - + ，= - 2 2 2 2 代入左边，然后利用和（差）的 正弦公式展开、合并即可得出右式．师：在例2 的证明中，把sin cos 看成 x ， cos sin 看成 y 把等式看作 x ，y 的方程，通过解方程组求得 x ，是方程思想的体现；把+ 看作，-看作，从而把包含、的三角函数式变换成、的三角函数式，是换元思想的应用．（Ⅲ）课后练习：课本 P 155 练习（Ⅳ）课时小结:⑴对于例 1 和例 2，不应只看重它的结果，而要从得到结果的过程中体会三角恒等变换的途径和思想方法．⑵进行三角恒等变换的大致过程是：分析题意，明确思维起点；选择公式， 把握思维方向；实施变换，运用数学思想．（Ⅴ）课后作业：⒈课本 P 156 习题 3.2 A 组 ⒈⑵⑶⑸⑹⑻ B 组 ⒈⒉预习课本 P 154 ～ P 155 ，思考问题：形如 y = a sin x + b cos x 的函数怎样转化为 y = A sin(x +) 的形式？转化过程体现了怎样的思想？板书设计：教学后记: §3.2 简单的三角恒等变换（一） 例 1 例 2 小结预习提纲。
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
《-简单的三角恒等变换(第一课时)》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】全
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角α及β，
而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，
借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式；
第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是sin α与cos β的乘积，
简单的三角恒等变换
第一课时
高中数学人教A版必修第一册（新课标）
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
例1 试以cos α表示 ．
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？
这两种思考方法是本质上是一致的．
新知探究
你能根据你发现的不同点借助相关公式设计变换过程吗？
问题3 （1）中式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
新知探究
问题4 注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有何区别？两个等式之间有什么联系？
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β，
新知探究
（1）
例2 求证：
新知探究
（1）
（2）
例2 求证：
在变换中经常用到化归思想、转化思想、方程思想以及换元法．
回顾小结
问题5 我们在进行三角恒等变换时，应该怎样进行分析？在变换中经常会用到哪些数学思想或方法？
求证：
3
谢谢大家
再见
作业：教科书习题5.5第9，10，11，19题．
作业布置