三角恒等变换教案(优质课教案)
三角函数恒等变换教案
复杂恒等变换问题解析
01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
02
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多项式型恒等式
对于包含多个三角函数项 的多项式型恒等式，通过 分组、提取公因式、配方 等方法进行化简和证明。
分式型恒等式
对于分式形式的恒等式， 通过通分、约分、分子有 理化等手段进行化简和证 明。
含有参数的恒等式
对于含有参数的恒等式， 先对参数进行讨论，再根 据不同情况选择合适的方 法进行证明。
正弦为负，余弦、正切为 正。
诱导公式及周期性
诱导公式
通过加减整数倍的$pi/2$或$pi$，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数 值。例如，$sin(pi - x) = sin x$，$cos(pi - x) = -cos x$等。
周期性
正弦、余弦函数的周期为$2pi$，正切函数的周期为$pi$。即对于任意整数$k$， 有$sin(x + 2kpi) = sin x$，$cos(x + 2kpi) = cos x$，$tan(x + kpi) = tan x$。
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典型例题解析与讨论
简单恒等变换问题解析
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利用基本恒等式进行变换 通过观察和运用基本的三角函数恒等式，如正弦、 余弦、正切的和差公式，将表达式化简为更简单 的形式。
角度变换 利用角度的加减、倍角、半角等关系，将复杂的 三角函数表达式转换为更易于处理的形式。
3
引入辅助角 通过引入辅助角，将原表达式转换为与辅助角相 关的三角函数形式，从而简化计算过程。
角的变换技巧
利用$sin(A+B)$、$cos(A+B)$等公式将 复杂角拆分为简单角。
倍角公式
如$sin 2A = 2sin A cos A$，用于将倍 角转换为单角。
三角恒等变换备课教案
三角恒等变换备课教案备课教案：三角恒等变换一、引言三角恒等变换是高中数学中的重要内容，对于学生深入理解三角函数的性质和应用具有重要意义。
本教案将通过引导学生发现和探究三角恒等变换的规律，帮助学生理解和掌握相关的变换技巧。
二、知识背景1. 三角函数的基本关系：(1) 正弦函数：sinθ = 对边/斜边(2) 余弦函数：cosθ = 邻边/斜边(3) 正切函数：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的周期性：(1) 正弦函数、余弦函数的周期是2π(2) 正切函数的周期是π3. 三角函数的基本恒等式：(1) 余弦函数的平方与正弦函数的平方和为1：cos^2θ + sin^2θ = 1(2) 正切函数与余切函数的乘积始终等于1：tanθ · cotθ = 1(3) 正弦函数与余切函数、余弦函数与正切函数的关系：sinθ/cotθ = cosθcosθ/tanθ = sinθ三、教学过程1. 引入：通过提问的方式引导学生回顾三角函数的基本关系和周期性规律。
2. 发现：给出一个具体的三角函数等式，例如sinθ = cos(π/2 - θ)，请学生尝试寻找与之相关的恒等式。
3. 探究：根据学生的发现，引导学生使用初等三角函数的定义和已知的三角函数恒等式，进行推导和证明，找出恒等式的变换规律。
4. 总结：整理学生的发现和推导过程，总结三角恒等变换的基本规律，并给出示例进行演示和讲解。
5. 练习：提供一些练习题，让学生运用所学的三角恒等变换规律，解决相关的三角函数等式和问题。
四、教学评价1. 通过观察学生的推导过程和解题思路，评价他们对三角恒等变换规律的理解和掌握情况。
2. 提供针对性的反馈和指导，帮助学生纠正错误和加深对知识点的理解。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和解题过程，培养他们的合作和思考能力。
五、课后作业1. 题目一：证明sin(π/2 - θ) = cosθ。
2. 题目二：利用三角恒等变换，化简并求解tanθ + 1 = secθ的解。
三角恒等变换教案
三角恒等变换教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解三角恒等变换的概念和意义；（2）掌握三角恒等变换的基本公式；（3）能够运用三角恒等变换解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角恒等变换的规律；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和探究欲望；（2）培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
二、教学内容1. 三角恒等变换的概念和意义；2. 三角恒等变换的基本公式；3. 三角恒等变换的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角恒等变换的概念和意义；（2）三角恒等变换的基本公式；（3）三角恒等变换的运用。
2. 教学难点：（1）三角恒等变换公式的灵活运用；（2）解决实际问题时的变形和计算。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角恒等变换的规律；2. 通过示例讲解，让学生掌握三角恒等变换的基本公式；3. 利用练习题和小组讨论，提高学生的实际应用能力和团队合作意识。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关三角函数知识；（2）提问：什么是三角恒等变换？为什么学习三角恒等变换？2. 知识讲解：（1）讲解三角恒等变换的概念和意义；（2）介绍三角恒等变换的基本公式；（3）示例讲解：如何运用三角恒等变换解决实际问题。
3. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4. 小组讨论：（1）让学生分组讨论，分享解题心得和经验；5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调三角恒等变换在数学和实际生活中的重要性。
6. 课后作业：（1）布置巩固练习题；（2）鼓励学生自主学习，深入探究三角恒等变换的运用。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答的正确性以及与同学的合作情况。
2. 练习作业评价：检查学生作业的完成质量，包括答案的正确性、解题方法的合理性以及书写的规范性。
高中数学人教版A版精品教案《三角恒等变换》
三角恒等变换【第1课时】【教学过程】一、新知初探二、初试身手1．in14°co16°＋in76°co74°＝（）A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!答案：B解析：∵in14°＝co76°，co74°＝in16°，∴原式＝co76°co16°＋in76°in16°＝co（76°－16°）＝co60°＝错误!．2．co（－15°）的值是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案：D解析：co（－15°）＝co15°＝co（45°－30°）＝co45°co30°＋in45°in30°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!．3．co65°co2021in65°in2021________．答案：错误!解析：co65°co2021in65°in2021co（65°－2021＝co45°＝错误!．三、合作探究给角求值问题类型1例1：（1）co错误!的值为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．－错误!（2）求下列各式的值：①co75°co15°－in75°in195°；②in46°co14°＋in44°co76°；③错误!co15°＋错误!in15°．答案：（1）Dco错误!＝co错误!＝－co错误!＝－co错误!＝－co错误!co错误!－in错误!in错误!＝－错误!×错误!－错误!×错误!＝－错误!．（2）解：①co75°co15°－in75°in195°＝co75°co15°－in75°in（180°＋15°）＝co75°co15°＋in75°in15°＝co（75°－15°）＝co60°＝错误!．②in46°co14°＋in44°co76°＝in（90°－44°）co14°＋in44°co（90°－14°）＝co44°co14°＋in44°in14°＝co（44°－14°）＝co30°＝错误!．③错误!co15°＋错误!in15°＝co60°co15°＋in60°in15°＝co（60°－15°）＝co45°＝错误!．规律方法1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：（1）同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．（2）把所得的积相加．跟踪训练1．化简下列各式：（1）co（θ＋21°）co（θ－24°）＋in（θ＋21°）in（θ－24°）；（2）－in167°·in223°＋in257°·in313°．解：（1）原式＝co[θ＋21°－（θ－24°）]＝co45°＝错误!．（2）原式＝－in（180°－13°）in（180°＋43°）＋in（180°＋77°）·in（360°－47°）＝in13°in43°＋in77°in47°＝in13°in43°＋co13°co43°＝co（13°－43°）＝co（－30°）＝错误!．给值（式）求值问题类型2探究问题1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求coα的值？提示：coα＝co[（α＋β）－β]＝co（α＋β）coβ＋in（α＋β）inβ．2．利用α－（α－β）＝β可得coβ等于什么？提示：coβ＝co[α－（α－β）]＝coαco（α－β）＋inαin（α－β）．例2：（1）已知inα－inβ＝1－错误!，coα－coβ＝错误!，则co（α－β）＝（）A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误!（2）已知in错误!＝错误!，α∈错误!，求coα的值．求co（α思路点拨：（1）先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C（α－β）－β）．（2）由已知角错误!＋α与所求角α的关系即α＝错误!－错误!寻找解题思路．答案：（1）D因为inα－inβ＝1－错误!，所以in2α－2inαinβ＋in2β＝错误!2，①因为coα－coβ＝错误!，所以co2α－2coαcoβ＋co2β＝错误!2，②①，②两式相加得1－2co（α－β）＋1＝1－错误!＋错误!＋错误!所以－2co（α－β）＝－错误!所以co（α－β）＝错误!．（2）解：∵α∈错误!，∴错误!＋α∈错误!，∴co错误!＝－错误!＝－错误!＝－错误!．∵α＝错误!－错误!，coα＝co错误!＝co错误!co错误!＋in错误!in错误!＝－错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!．母题探究1．将例2（2）的条件改为“in错误!＝错误!，且错误!4ac0，in错误!＝错误!＝错误!．3．已知2π＜θ＜4π，且inθ＝－错误!，coθ＜0，则tan错误!的值等于________．答案：－3解析：由inθ＝－错误!，coθ＜0得coθ＝－错误!，∴tan错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－3．三、合作探究化简求值问题类型1例1：（1）设5π＜θ＜6π，co错误!＝a，则in错误!等于（）A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!（2）已知π<α<错误!，化简：错误!＋错误!．思路点拨：（1）先确定错误!的范围，再由in2错误!＝错误!得算式求值．（2）1＋coθ＝2co2错误!，1－coα＝2in2错误!，去根号，确定错误!的范围，化简．答案：（1）D∵5π＜θ＜6π，∴错误!∈错误!，错误!∈错误!．又co错误!＝a，∴in错误!＝－错误!＝－错误!．（2）解：原式＝错误!＋错误!．∵π＜α＜错误!，∴错误!＜错误!＜错误!，∴co错误!＜0，in错误!＞0，∴原式＝错误!＋错误!＝－错误!＋错误!＝－错误!co错误!．规律方法1．化简问题中的“三变”（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路（1）看角：看已知角与待求角的2倍关系．（2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan错误!＝错误!＝错误!，涉及半角公式的正、余弦值时，常利用in2错误!＝错误!，co2错误!＝错误!计算．（4）下结论：结合（2）求值．提醒：已知coα的值可求错误!的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．跟踪训练1．已知coθ＝－错误!，且180°<θ<270°，求tan错误!．解：法一：∵180°<θ<270°，∴90°<错误!<135°，即错误!是第二象限角，∴tan错误!<0，∴tan错误!＝－错误!＝－错误!＝－2．法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，∴inθ＝－错误!＝－错误!＝－错误!，∴tan错误!＝错误!＝错误!＝－2．三角恒等式的证明类型2例2：求证：错误!＝错误!in2α．思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：co2α不变，直接用二倍角正切公式变形．证明：法一：用正弦、余弦公式．左边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝in错误!co错误!coα＝错误!inαcoα＝错误!in2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝错误!＝错误!co2α·错误!＝错误!co2α·tanα＝错误!coαinα＝错误!in2α＝右边，∴原式成立．规律方法三角恒等式证明的常用方法1．执因索果法：证明的形式一般化繁为简；2．左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；3．拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；4．比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；5．分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．跟踪训练2．求证：错误!＝错误!．证明：左边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝右边．所以原等式成立．恒等变换与三角函数图象性质的综合类型3例3：已知函数f（）＝错误!co错误!－2inco．（1）求f（）的最小正周期．（2）求证：当∈错误!时，f（）≥－错误!．思路点拨：错误!→错误!→错误!→错误!解：（1）f（）＝错误!co错误!－2inco＝错误!co2＋错误!in2－in2＝错误!in2＋错误!co2＝in错误!，所以T＝错误!＝π．（2）证明：令t＝2＋错误!，因为－错误!≤≤错误!，所以－错误!≤2＋错误!≤错误!，因为＝in t在错误!上单调递增，在错误!上单调递减，所以f（）≥in错误!＝－错误!，得证．规律方法三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成＝a inω＋b coω＋的形式，借助辅助角公式化为＝A in（ω＋φ）＋或＝A co（ω＋φ）＋的形式，将ω＋φ看作一个整体研究函数的性质．跟踪训练3．已知函数f（）＝错误!in错误!＋2in2错误!（∈R）．（1）求函数f（）的最小正周期；（2）求使函数f（）取得最大值的的集合．解：（1）∵f（）＝错误!in错误!＋2in2错误!＝错误!in错误!＋1－co错误!＝2错误!错误!＋1＝2in错误!＋1＝2in错误!＋1，∴T＝错误!＝π．（2）当f（）取得最大值时，in错误!＝1，有2－错误!＝2π＋错误!，即＝π＋错误!（∈Z），∴所求的集合为错误!．三角函数在实际问题中的应用类型4探究问题1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响．2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？提示：化成＝A in（ω＋φ）＋b的形式．例4：如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？思路点拨：错误!→错误!→错误!解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为，则AB＝R inα，OB＝R coα，∴＝OA＋AB＋OB＝R＋R inα＋R coα＝R（inα＋coα）＋R＝错误!R in错误!＋R．∵0<α<错误!，∴错误!<α＋错误!<错误!，∴的最大值为错误!R＋R＝（错误!＋1）R，此时，α＋错误!＝错误!，即α＝错误!，即当α＝错误!时，△OAB的周长最大．母题探究1．在例4条件下，求长方形面积的最大值．解：如图所示，设∠AOB＝α错误!，则AB＝R inα，OA＝R coα．设矩形ABCD的面积为S，则S＝2OA·AB，∴S＝2R coα·R inα＝R2·2inαcoα＝R2in2α．∵α∈错误!，∴2α∈（0，π）．因此，当2α＝错误!，即α＝错误!时，S ma＝R2．这时点A，D到点O的距离为错误!R，矩形ABCD的面积最大值为R2．2．若例4中的木料改为圆心角为错误!的扇形，并将此木料截成矩形，（如图所示），试求此矩形面积的最大值．[解]如图，作∠a＝（2－错误!）R2．规律方法应用三角函数解实际问题的方法及注意事项1．方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．2．注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借助平面几何性质，寻找数量关系．②注意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误．四、课堂小结1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．研究形如f（）＝a in＋b co的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如in±co＝错误!in错误!；in±错误!co＝2in错误!等．五、当堂达标1．思考辨析（1）co错误!＝错误!．（）（2）存在α∈R，使得co错误!＝错误!coα．（）（3）对于任意α∈R，in错误!＝错误!inα都不成立．（）（4）若α是第一象限角，则tan错误!＝错误!．（）提示：（1）×．只有当－错误!＋2π≤错误!≤错误!＋2π（∈Z），即－π＋4π≤α≤π＋4π（∈Z）时，co 错误!＝错误!．（2）√．当coα＝－错误!＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．（3）×．当α＝2π（∈Z）时，上式成立，但一般情况下不成立．（4）√．若α是第一象限角，则错误!是第一、三象限角，此时tan错误!＝错误!成立．[答案]（1）×（2）√（3）×（4）√2．若f（）＝co－in在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．错误!B．错误!C．错误!D．π答案：C解析：f（）＝co－in＝错误!co＋错误!．当∈[0，a]时，＋错误!∈错误!，a＋错误!，所以结合题意可知，a＋错误!≤π，即a≤错误!，故所求a的最大值是错误!．故选C．3．函数f（）＝in2的最小正周期为________．答案：π解析：因为f（）＝in2＝错误!，所以f（）的最小正周期T＝错误!＝π．4．北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，求co2θ．解：由题意，5coθ－5inθ＝1，θ∈错误!，所以coθ－inθ＝错误!．由（coθ＋inθ）2＋（coθ－inθ）2＝2，所以coθ＋inθ＝错误!，所以co2θ＝co2θ－in2θ＝（coθ＋inθ）（coθ－inθ）＝错误!．。
三角恒等变换 高中数学获奖教案
5.5.2三角恒等变换（第2课时）(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第五章)一、教学目标1. 会将形如的函数转化成形式，并能用来解决周期、最值等问题；2. 可以使用三角函数解决简单的应用问题． 二、教学重难点1. 理解归纳辅助角公式中的推导过程及相关辅助角的理解；2. 尝试以角为自变量建立函数模型求解问题． 三、教学过程 1.问题引入 学习了两角和(差)公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，三角恒等变换不仅能解决倍角问题还能解决三角函数升降幂的问题，同时三角恒等变换在化简三角函数式中的也有着重要的作用,．那请大家思考以下问题：问题1：若已知，你能求函数的周期，最大值和最小值吗？ 【活动预设】给学生留出时间，让学生思考问题，教师暂不给出提示．追问1：观察例题中两个函数式，如果研究它们的周期和最大、最小值，要将函数式转化为的形式才可以使用正弦函数的性质去判断，那我们要如何利用三角函数公式进行变换呢？你能说出理由吗？【活动预设】教师提出问题，激发学生的求知欲，引导学生能够积极思考并尝试回答． 【设计意图】引导学生思考问题，发现学习辅助角公式的必要，从而产生学习辅助角公式的需求，顺利引入新课．2.例题探究例1.求下列函数的周期，最大值和最小值：=sin cos y a x b x +=sin y A x ωϕ+()=sin y A x ωϕ+()=cos y x x +=sin y A x ωϕ+()（1）； （2）．【活动预设】根据问题2的思考学生自主解决例1（1），教师引导学生能够积极思考并尝试回答例1（2）．问题2：在第（2）问的式子中提取何值可以使其构成正弦的和差公式呢？如果提取后两项系数不是三角函数特殊值怎么办呢？（2）设，则 ． 于是 ，， 于是 ， 所以 ．取A =5， 则 ，其中，， 即 ．因此，所求周期为，最大值为5，最小值为-5．【活动预设】学生思考后尝试分析回答，教师适当引导（1）式中可利用正弦的和角公式，所以要将函数式提取一个常数，使两项的系数可分别写为同一个角的余弦值和正弦值，这样就配凑成两角和的正弦公式，逆用公式即可写为的形式．（2）式中，由于，因此提取后要将两项的系数构成平方和是1的形式才能分别看成同一个角．=sin y x x +=3sin 4cos y x x +3sin 4cos =sin x x A x ϕ++（）3sin 4cos =sin cos cos sin x x A x A x ϕϕ++cos =3A ϕsin =4A ϕ2222cos +sin =25A A ϕϕ2=25A 34=5sin cos 55y x x +()=5sin cos cos sin x x ϕϕ+()=5sin x ϕ+()3cos =5ϕ4sin =5ϕ4tan =3ϕ2π=sin y A x ωϕ+()22sin cos =1αα+=5【设计意图】师生一起探究变形的过程，使学生明确公式的来龙去脉，从具体问题入手方便学生理解，为后面的辅助角公式的一般性推导打下基础．追问2：你能归纳一下怎样将转化为的形式吗？ 【活动预设】学生独立尝试，教师适当引导，最后归纳得出结果： ，其中． 【设计意图】本例是三角恒等变换在数学应用中的举例，归纳得到一般情况，我们称它为辅助角公式，它使得三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．追问3：类似的，是否可以写成余弦形式呢？ 【活动预设】教师引导学生得到结论 ，其中． 【设计意图】对于辅助角公式的余弦表示形式也给出推导过程，拓宽学生的思路，提升逻辑推理的数学素养．sin cos a xb x +sin Ax ωϕ+()sin cos a x b x +=x x +）=x ϕ+（）tan =b aϕ=sin y A x ωϕ+()sin cos a x b x +=x x +）=cos cos sin sin x x ϕϕ+）=x ϕ-（）tan =abϕ 例2如图5.5-2，已知OPQ 是半径为1，圆心角为的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记，求当角取何值时，矩形ABCD 面积最大？并求出这个最大面积．问题3：认真审题后思考，我们解题的思路是怎样的？需要使用什么数学知识与方法来解决问题？ 分析：可先建立矩形ABCD 的面积S 与之间的函数关系，再求函数的最大值．解：在中，，． 在中，． 所以 ， ． 设矩形ABCD 的面积为S，则π3=POC α∠αα=S f α()=S f α()RtOBC △=cos OB α=sin BC αRt OAD △=tan 60=DAOA︒===OABC α==cos AB OB OA αα--=S AB BC ⋅=cos sin ααα()2=sin cos ααα- 由，得，所以当，即时， ． 因此，当时，矩形ABCD【活动预设】找S 与之间的函数关系可以让学生自己尝试解决，教师启发引导，适时点拨．之后提醒学生，自变量的取值范围是，则的范围是，因此当，即时，，其中是将看成一个整体，利用正弦函数的图象性质求函数的最大值，蕴含了换元思想．【设计意图】由以上两道例题可以看出，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程中蕴含了化归思想．追问4：引申思考，本题可以去掉“”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，该如何解题？【活动预设】学生尝试解决，教师点拨提示，这时对自变量可多种选择，如设，则，尽管对所得函数暂时还无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，使学生感受到以角为自变量解决问题的优点．【设计意图】教师点拨，学生动手，增强学生解题的能力，提升数学运算素养．3.初步应用求下列函数的周期，最大值和最小值．1=sin 21cos22αα-)1=sin 22αα+-1=2cos22αα+）π=26α+-（π0<<3αππ5π<2<666α+ππ2=62α+π=6α==S 最大π=6αααπ0 3（，）π26α+π5π66（，ππ2=62α+π=6αS π26α+=sin cos y a x b x +=sin y A x ωϕ+()=POC α∠=AD x =S x x )（1）； （2） 【预设的答案】（1）解：（方法一） ，其中，，即 ． 因此，所求周期为，最大值为13，最小值为-13． （方法二）， 其中，，即 ． 因此，所求周期为，最大值为13，最小值为-13． （2）解：，其中，．因此，所求周期为，最小值为． 【活动预设】学生独立完成，教师对过程进行分析评价，并鼓励学生选择不同的三角恒等变换公式进行一题多解． 【设计意图】对三角公式的应用进行练习巩固，并用一题多解发散思维，提高分析和运算能力．4归纳小结教师引导学生回顾本节课的学习内容，并思考回答下面的问题：把形如的三角函数式转化为一个角的一个三角函数的形式，进而求解周期与最值问题．大家思考在这其中都使用了哪些数学思想方法呢？=5cos 12sin y x x -=cos +2sin y x x 512=13cos sin 1313y x x -()=13sin cos cos sin x x ϕϕ-()=13sin x ϕ-()=13sin x ϕ--()5sin =13ϕ12cos =13ϕ5tan =12ϕ2π512=13cos sin 1313y x x -()=13cos cos sin sin x x ϕϕ-()=13cos x ϕ+()5cos =13ϕ12sin =13ϕ12tan =5ϕ2π=y x x +)=cos cos sin sin x x ϕϕ+)=x ϕ-()cos =ϕsin =ϕtan =2ϕ2π=sin cos y a x b x +【活动预设】教师引导学生归纳：1．三角变换要考虑包含的角的不同、三角函数的种类差异，三角函数式的结构差异等多个因素，因此在三角恒等变换的过程中应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适的公式，进行恒等变形．还要思考一题多解、一解多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，逆用公式等；2．在使用辅助角公式时要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．【设计意图】回顾本节课例题中展现的思维过程，以及主要体现的数学思想方法，在总结中调动学生积极性，锻炼学生归纳总结及语言表达能力．四、课外作业教材第229页，习题5.5第11，12题．。
高中必修第一册《55三角恒等变换》优质课教案
02
知识回顾与铺垫
Chapter
三角函数基本概念回顾
任意角的概念及弧度制
01
理解任意角、正角、负角、零角的概念，掌握弧度制与角度制
的换算。
三角函数的定义
02
回顾正弦、余弦、正切函数的定义，理解三角函数在各象限的
符号。
三角函数的诱导公式
03
掌握利用单位圆和周期性推导出的三角函数诱导公式。
三角函数性质及图像复习
指出了在应用三角恒等变换时需要注意的一些细节和易错点，如公式使用的条件、 符号的变换等。
布置针对性作业，要求学生按时完成并提交
针对本节课所学内容，布置了相应的 练习题和思考题，要求学生按时完成 并提交。
鼓励学生相互交流和讨论作业中遇到 的问题，促进彼此之间的学习和进步 。
提醒学生在完成作业时要注意细节和 规范性，如书写工整、步骤清晰等。
三角恒等变换的基本公式及其应用。
教学方法与手段
教学方法
本节课采用讲解、示范、练习相结合的教学方法。通过讲解 帮助学生理解三角恒等变换的基本公式和几何意义；通过示 范使学生掌握运用三角恒等变换解决三角函数问题的方法； 通过练习巩固所学知识，提高解题能力。
教学手段
使用多媒体辅助教学，展示三角恒等变换的公式推导过程、 几何意义以及典型例题的解析过程，增强教学的直观性和生 动性。
03
新课导入与探究
Chapter
两角和与差公式推导及应用举例
公式推导
通过向量的数量积和三角函数的 定义，推导两角和与差的余弦、 正弦公式。
应用举例
解决三角形中的角度问题，如已 知两边和夹角求第三边等。
倍角公式推导及应用举例
公式推导
利用三角函数的和差公式，推导二倍 角的正弦、余弦、正切公式。
简单的三角恒等变换(教案)
简单的三角恒等变换(一)张掖中学 宋娟一、教学目标知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用；过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点教学重点：利用公式进行简单的恒等变换；教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容复习引入(学生组织完成)问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222ααα、、？分析：观察α与2α的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的变形公式.解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 12sin 2αα=-，所以21cos sin 22αα-=； ①在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 2cos 12αα=-，所以21cos cos 22αα+=. ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得21cos tan 21cos ααα-=+.思考2：若已知cos α，如何计算sincos tan 222ααα、、？sincos tan 222ααα=== (半角公式) 强调：“±”号由2α所在象限决定. 例1：已知5sin 13α=，且2παπ<<，求tan 2α的值.解512sin cos 13213,tan24222tan tan 522πααπαππαπααπαα=<<∴=-<<∴<<∴>=====因为且又由公式例2 求证sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+ 证明22sin sin2cossin sin 222tan21cos cos cos 2cos 2cos 2222sin sin 2sin 2sin1cos 2222tan2sin sin coscos2sin222αααααααααααααααααααααα⋅====+⋅⋅-====⋅利用例2的结论，再做一下例1，比较两种方法.例3 已知3sin 25θ=，022πθ<<，求22cos sin 12)4θθπθ--+.分析：由降幂公式知22cos 1cos 2αα=+，故有cos sin cos sin θθθθ-=+原式 ﹡ 此处有两种处理方法：方法一、由已知求出cos sin θθ、的值，带入﹡式计算，即可得到结果; 方法二、由﹡继续变形，将半角化为倍角进行计算. 解法一22cos sin......cos sin020cos0,sin02434sin2,02cos2525cos212sin2cos1sin121010θθθθππθθθθπθθθθθθθθ-=*+<<∴<<∴>>=<<==-=-∴==**==原式由由得又带入式得解法二222cos sincos sin(cos sin )(cos sin)(cos sin)12sin cos1sin2......cos sin cos234sin2,02cos252532115544255θθθθθθθθθθθθθθθθπθθθ-=+-=+---==*-=<<=*-*==原式由得带入式得=小结：对于例3，我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再带入求值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中,正所谓“条条大路通罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题.万丈高楼平地起，在此告诫同学们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的，所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定的解题理论，那就是我们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题目如何变化，我们都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”.下面我们来分小组讨论一下这一个问题：(练一练)化简22221sin sin cos cos cos2cos22αβαβαβ⋅+⋅-⋅.分析：1.从“角”入手,倍角化半角;2.从“幂”入手,利用降幂公式将次;3.从“形”入手,利用配方法.本题目至少有6种解法，请同学们讨论完成.课堂小结三个数学方法1.从“角”入手,倍角化半角(半角化倍角);2.从“幂”入手,利用降幂公式将次(利用升幂公式升次);3.从“形”入手,利用配方法(分母有理化、分子有理化).两个人生哲理1.条条大路通罗马;2.咬定青山不放松，任尔东南西北风.布置作业习题3.2A组1(1)、(2)、(4)、(5)课后反思。
三角恒等变换教案优质课教案
三角函数的图像与变换
三角函数的基本图像
01
正弦、余弦、正切函数在坐标系中的图像及其特点。
图像的平移与伸缩
02
通过平移和伸缩变换，可以得到不同振幅、周期和相位的三角
函数图像。
图像的对称与周期性
03
三角函数图像具有对称性和周期性，可以通过这些性质进行图
像分析和变换。
三角函数的和差化积与积化和差公式
和差化积公式
05
06
$tan(A - B) = frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}$
倍角公式与半角公式
倍角公式 $sin 2A = 2sin A cos A$
$cos 2A = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A$
解释三角恒等变换在几何图形中的应用，如角度、边长等的计算。
02
三角恒等变换在物理中的应用
阐述三角恒等变换在物理学中的应用，如振动、波动等问题的分析。
03
三角恒等变换在工程学中的应用
介绍三角恒等变换在工程领域中的应用，如建筑设计、机械制造等。
拓展：三角恒等变换在其他领域的应用
三角恒等变换在数学分析中的应用
三角恒等变换在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，是解决实际问题的重要 工具之一。
掌握三角恒等变换的方法和技巧，对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有 重要意义。
课程目标与要求
知识与技能目标
掌握三角恒等变换的基本方法和技巧， 能够熟练地进行三角函数的化简和计 算。
过程与方法目标
情感态度与价值观目标
将两个角的三角函数和差转化为 单个角的三角函数形式，便于计
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（2）计算
155
sin 155cos 20sin 110sin 22-的值为（ ） A.23- B.23 C.21- D.2
1 （3）化简
40sin 125cos 40cos -等于（ ）
A.1
B.3
C.2
D.2
（4）()
=+ 10tan 3150sin 【规律方法】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
题型2 给值求值问题(已知某角的三角函数值，求另一角的三角函数值)
“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
【例2】（1）（教材课后练习）已知()5330sin =
+α ， 15060<<α，则=αcos （2）已知534sin 6cos =+⎪⎭⎫
⎝⎛-απα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+67sin πα的值是 （3）已知παπβ<<<<20，且912cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，3
22sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα，则()βα+cos 的值为
（4）已知α、β为锐角，7
1cos =α，()1435sin =+βα，则=βcos （5）（10月月考）已知1028cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πα，α为锐角，则=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-42cos πα。