大学线性代数模拟题
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第一套线性代数模拟试题解答
一、填空题(每小题4分，共24分)
1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12
i j =
=。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。(知识点：行列式的逆序数)
2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =
(1)n D
- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D
-。
3、设1101A ⎛⎫=
⎪
⎝⎭
, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。 23111112121113,,
010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====
⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可得
4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1
5n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。答案应该为5的n 次方 5、A 为n 阶方阵,T
AA E =且=+ 由已知条件：2 11,1T T T AA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0T T A E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。 6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫ ⎪ = ⎪ ⎪⎝⎭ 可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。 可逆，则行列式不等于零：200 2(32)032023 A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。 二、单项选择题(每小题4分，共24分) 7、设033 32 31 232221 131211 ≠=M a a a a a a a a a ，则行列式=---------2322213332 3113 1211222222222a a a a a a a a a A 。 A ．M 8 B ．M 2 C ．M 2- D ．M 8- 由于 ()()111213 111213111213 3 31 32 3331323321 2223212223 21 22 23 31 32 33 22222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=--- 8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。 A ．n D 中有两行(或列)元素对应成比例 B ．n D 中有一行(或列)元素全为零 C ．n D 中各列元素之和为零 D ．以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 9、对任意同阶方阵,A B ，下列说法正确的是 C 。 A .111 ) (---=B A AB B .B A B A +=+ C . T T T A B AB =)( D .AB BA = 10、设,A B 为同阶可逆矩阵，0λ≠为数，则下列命题中不正确的是 B 。 A .11 () A A --= B .11()A A λλ--= C .111()AB B A ---= D .11()()T T A A --= 由运算法则，就有1 11 ()A A λλ --= 。 11、设A 为n 阶方阵，且0A a =≠，则A *= C 。 A ．a B ． 1a C ．1n a - D ．n a 因为1 1 111n n n A A A A A A A A A A A --* -*--=⇒===⋅=。 12、矩阵12103102122a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭ 的秩为2，则a = D 。 A . 2 B . 3 C .4 D .5 通过初等变换，由秩为2可得：12101210310207321220500a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎝⎭ 三、计算题(每小题7分，共42分) 13、计算行列式： 4111 141111411114 。 解：341117111111111111411 741114110300==== ====7 =====7 =73=189 11417141114100301114 7114 1114 0003 ⨯各列加到第一列提第一行乘-1到外面第一列上加到各行上 。 14、计算行列式： 4 4 332211 00000 00a b a b b a b a 。 解：先按第一行展开，再按第三行展开，有： 4 4 33221 10 00 00 000a b a b b a b a =2222 133 331414232344 1()()a b a b a b a b b a a a b b a a b b a b -=--。 15、问λ取何值时，齐次线性方程组12312312 3(1)2402(3)0(1)0 x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪ +-+=⎨⎪++-=⎩有非零解。 解：齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零： ()()23 13 2 1232(1)12 4034(1)0=231=====011+232,0,2,31 1 1111r r r r λλλλ λλλλλλλλλ λ -----------=---⇒===-- 16、设矩阵2011,3125A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，计算2211 ()B A B A ---。 解：因为2,7A B ==-，所以都可逆，有 2 2 1 1 2 2 1 2 311152()()1425919B A B A B A A B B AB B A B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ -=-=-=-== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 。