大学线性代数模拟题
线性代数模拟试题1
2、设 ，则 ___ __________.
3、已知3元非齐次线性方程组 的增广矩阵 经初等行变换化为： ，若方程组无解，则 的取值为____0________.
4、要使矩阵 的秩取得最小值，则 ______ ______.
5、已知 阶矩阵 有一个特征值为2，则 阶矩阵 必有一个特征值为_____-1______.
6、设 , 为 中元素 的代数余子式，则 _____0_______.
得分
评阅人
三、判断正误（共5小题，每题2分，共计10分）
1、若行列式 中每个元素都大于零，则 . ( X )
2、零向量是任一向量组的线性组合. ( )
3、任意 个 维向量必线性相关. （ ）
4、若 为可逆矩阵 的特征值，则 的特征值为 （ X ）
线性代数模拟试卷一
得分
评阅人
一、选择题（共6小题，每题3分，共计18分）
1、排列32514的逆序数为（ B ）
A． B． C． D．
2、设 ，则 （B）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
3、设 是方阵且可逆，若 ,则必有（ A ）
A． B． C． D．
4、设 为3阶方阵， ，则其行列式 （ D ）
A． B． C． D．
5、设矩阵 与矩阵 相似，则 . ( )
得分
评阅人
四、计算题（共5小题，每题8分，共计40分）
1、计算行列式
解： (3分)
2、设 ,且 ,求
解：矩阵方程可化为： （2分）
,（3分）
3、解线性方程组 ，要求利用导出组的基础解系表示其通解.
解： （3分）
相应的方程组 ， （2分）
相应的齐次方程组 ， （2分）
线性代数模拟试卷及答案
线性代数(文)模拟试卷(一)参考答案一。
填空题(每小题3分，共12分）1.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111c b a c b a c b a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，2=A ,3=B ，则B A -2=1. 解 B A -2=3332221113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=---=12=-B A .2。
已知向量)3,2,1(=α，)31,21,1(=β,设βαT A =，其中T α是α的转置，则n A =A n 13-.解 注意到3321)31,21,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T βα,故n A =βαβαβαβαT n T T T 个)())((=ββαβαβααβαTn T T T T 个)1()())((-=A n T n 1133--=βα。
注 若先写出A ，再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间.3。
若向量组T )1,0,1(1-=α，T k )0,3,(2=α，T k ),4,1(3-=α线性相关，则k =3-.解 由1α,2α,3α线性相关，则有321,,ααα=k k 0143011--=1043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k 。
由此解得3-=k .4。
若4阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为21，31，41,51,则行列式E B --1 =24.解 因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值，从而E B --1有特征值1，2，3,4。
故2443211=⋅⋅⋅=--E B . 注 本题解答中要用到以下结论:(1)若A 可逆,A 的特征值为λ,则1-A 的特征值为λ1。
(2)若λ是A 的特征值，则)(A f 的特征值为)(λf ，其中)(x f 为任意关于x 的多项式。
大学数学线性代数期末复习模拟测试试卷(含答案)
线性代数期末模拟测试试卷（含答案）班别 姓名 成绩一、选择题1．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t2.已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-53．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关4．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x5．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ）A.4,221==λλB.4,221-=-=λλC.4,221=-=λλD.4,221-==λλ二、填空题.答题要求：将正确答案填写在横线上6．三阶行列式ij a 的展开式中，321123a a a 前面的符号应是 。
7．设123221,343A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ij A 为A 中元ij a 的代数余子式，则111213A A A ++= 。
8．设n 阶矩阵A 的秩1)(-<n A r ，则A 的伴随矩阵A *的元素之和∑∑===n i nj ij A 11。
9．三阶初等矩阵()1,2E 的伴随矩阵为 。
10．若非齐次线性方程组AX B =有唯一解，则其导出组0AX =解的情况是 。
11．若向量组11121233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性相关，则向量组112222,a b a b αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的线性关系是 。
线性代数模拟题
线性代数模拟题(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--线性代数模拟题A一．单选题.1.下列（ A ）是4级偶排列．（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=， 那么=1D （ B ）．（A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D) 24-．3. 设A 与B 均为n n ⨯矩阵，满足O AB =，则必有（ C ）．（A ）O A =或O B =； （B ）O B A =+；（C ）0=A 或0=B ； （D ）0=+B A ．4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而*A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有()*kA 等于（ B ）．（A ）*kA ； （B ）*1A k n -； （C ）*A k n ； （D ）*1A k -． 5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ C ） （A ）s ααα,....,,21中有一零向量(B) s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例 (C) s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ B ） (A) 2)(2121211ββααα-+++k k ; (B) 2)(2121211ββααα++-+k k(C) 2)(2121211ββββα-+++k k ; (D) 2)(2121211ββββα++++k k7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－1的一个特征值是（ B ）(a)4/3 (b)3/4 (c)1/2 (d)1/48. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-I|=( B )(a)0 (b)24 (c)60 (d)1209. 若A 是（ A ），则A 必有A A ='．（A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A 为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确．（A ）()A A '='22； (B) ()1122--=A A ；(C) [][]111)()(---''='A A ； (D) [][]'=''---111)()(A A ． 二．计算题或证明题1. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3241223k kA (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵(2)求出P 及相应的对角矩阵。
线性代数总复习模拟试卷1
线性代数总复习模拟试卷1一、选择题()()121.,1.s n s ααα> 一个维向量,, 线性相关的充要条件是()A 含有零向量()B 有两个向量的对应分量成比例()C 有一个向量是其余向量的线性组合()D 每一个向量是其余向量的线性组合C答案：()()()22.21,101.f x x x A f A =---已知方阵的特征值为,,,则的特征值为()2,1,2A --()2,1,2B ---()2,1,2C -()2,0,2D -A答案：()()3.,,.ij s n A B C AC CB C c A B ⨯==已知矩阵满足，其中，则与分别为(),s s n n A A B ⨯⨯(),s n n sB A B ⨯⨯(),n s n nC A B ⨯⨯(),s s s nD A B ⨯⨯A答案：()()4.,.n A B AB 设为同阶方阵，则为()n n A A B ()1n n B AB A -()n n C B A ()D ABAB ABD 答案：()5.,.A B 设为同阶可逆矩阵，则()A AB BC=()1,B n P P AP B-=存在阶矩阵使得(),T C n P P AP B=存在阶矩阵使得()D A B可用初等行列变换把变为D答案：二、填空题121.,.n βααα 设向量可由向量,,线性表示，则表示方法唯一的充要条件是 12,n ααα 答案：,,线性无关()2..n AX r A n AX ββ==设元线性方程组有解，则当时，有无穷多个解<答案：1123.,,,.n n A A λλλ- 已知阶矩阵的特征值为都不为零，则的特征值为12111,,,nλλλ 答案：4.1,,.T A n n A d A >==设为阶矩阵，且d 答案：5.,,.A B n P B A B =设为阶矩阵，若存在满秩矩阵使，则称与合同T P AP 答案：三、解答题[][][][]1231231.2,3,53,7,81,6,17,2,.αααλβλααα===-=-已知,,,求使可由,,线性表示15λ=答案：00100010002..100000001000001A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求矩阵的秩()5r A =答案：[][][]1231233.1,2,33,1,22,3,,.αααλλααα==-=已知,,,问取何值时，,线性相关5λ=答案：4234.110,2,.123A AX A X X ⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设且求矩阵386296.2129X --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦答案：()225.,4.f x y x xy y C =-+用配方法把二次型化为标准型，并求变形矩阵()223.f ξηξη=-答案：，1212126.,αααααα+-设是某个齐次线性方程组的基础解系，问,2是否也可构成该方程组的基础解系？.答案：可以2001007.22020,.31100A B a b b α--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦已知与相似，求0, 2.a b ==-答案：四、证明题1.2,2.A A E A λ<+设是实对称矩阵，且的任意特征值满足条件证明：是正定矩阵12..A n B n ABA -设是阶正定矩阵，为阶对称矩阵,证明：是对称矩阵。
线性代数模拟题一及参考答案
《线性代数》模拟题（一）及参考答案一、填空题1. 行列式3465202081001000D == .2. 若行列式1112132122233132332a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233623623623a a a a a a a a a a a a ++=+ . 3. 设三维向量(3,1,2)T α=-，(3,1,4)T β=，若向量γ满足23αγβ+=，则γ= .4. 设A 是三阶方阵，将A 的第一行与第二行交换得到矩阵B ，则||A B -= .5. 三阶方阵A 的逆矩阵的行列式的值为6，则行列式|2|A -= .6. 设200020102A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，矩阵X 满足关系式2AX E A X +=+，则X = .7. 设4阶方阵520021000012011A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则A 的逆阵1A -= .8. 设A 是43⨯矩阵，且A 的秩()2R A =，又102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R AB = .9. 设n 阶矩阵A 中所有元素都为(0)a a ≠，则()R A = .10. 已知1(1,4,3)T α=，2(2,,1)T t α=-，3(2,3,1)T α=-线性相关，则t = .11. 设P 是n 阶正交阵，x 是n 维单位向量，则向量y Px =的长度||||Px = .12. 设1(1,1,1)T α=，2(1,0,1)T α=-，3α是正交向量组，则3α= . 13. 若λ是n 阶方阵A 的特征值，则23A E -的特征值是 .14.设三阶方阵A 有三个不同的特征值，其中两个特征值分别为2,3，已知||48A =，则A 的第三个特征值为 . 15. 已知四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为2,3,4,5，E 为四阶单位矩阵，则||B E -= .16. 设二阶实对称矩阵A 的特征值为2,2-，则2A = .17.设A 为三阶实对称矩阵，1(1,2,3)T α=和2(2,2,)T k α=分别为A 的对应于不同特征值的特征向量，则数k = . 18.已知三阶实对称矩阵A 的特征多项式为||(1)(2)(5)E A λλλλ-=-+-，则二次型123(,,)T f x x x x Ax =的正惯性指数为 . 19. 二次型222(,,)(1)2f x y z x a y z yz =+++-为正定，则a 应满足条件 .20. 设三阶实对称矩阵A 满足22A A O +=，且()2R A =，若kE A +为正定矩阵，则数k 应满足的条件是 . 二、单项选择题1. 设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是()A T A A -. ()B (T CAC C 为任意n 阶方阵). ()C T AA . ()D ()(T AA B B 为n 阶方阵). 答 【 】2. 设,A B 是两个n 阶方阵，则下列结论中正确的是()A ()k k k AB A B =. ()B ||||A A -=. ()C ()T T T BA B A =. ()D 22()()E A E A E A -=-+. 答 【 】3. 设齐次线性方程组55510A x ⨯⨯=有非零解，则必有()A ()1R A =. ()B ()5R A =. ()C ||0A =. ()D ||0A ≠. 答【 】 4.设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是()A 123,2,3ααα. ()B 122331,,αααααα---.()C 1123,2,αααα-. ()D 1223123,,2ααααααα+-+-. 答【 】 5.设向量组1(1,2,3)T α=，2(0,1,2)T α=，3(0,0,1)T α=，(1,3,6)T β=，则下列结论中正确的是()A 123,,,αααβ线性无关. ()B β不能由123,,ααα线性表示.()C β能由123,,ααα线性表示，且表示法唯一. ()D β能由123,,ααα线性表示，但表示法不唯一. 答 【 】 6. 设有向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,14)T α=，4(1,2,2,0)T α=-，5(2,1,5,10)T α=，则该向量组的最大无关组是()A 123,,ααα. ()B 124,,ααα. ()C 125,,ααα. ()D 1245,,,αααα. 答 【 】7. 设A 是正交矩阵，j α是A 的第j 列，则j α与j α的内积等于()A 0. ()B 1. ()C 2. ()D 3. 答【 】 8. 设三维列向量组123,,ααα线性无关，则123(,,)A ααα=是()A 奇异矩阵. ()B 对称矩阵. ()C 正交矩阵. ()D 可逆矩阵. 答【 】 9. 设二阶矩阵A 满足|2|0E A +=，|3|0A E -=，则||A =()A 32-. ()B 23-. ()C 23. ()D 32. 答【 】 10. 设矩阵10000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与对角阵10000001y ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则参数,x y 的值分别为()A 0,1x y ==. ()B 1,0x y ==. ()C 0,1x y ==-. ()D 1,0x y =-=. 答【 】 11. 设11012021A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是正定矩阵，则a 的取值范围是()A 5a <. ()B 5a >. ()C 5a <-. ()D 5a >-. 答 【 】12. 设111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有一个非零特征值为()A 1. ()B 2. ()C 3. ()D 4. 答 【 】 13.设202A ⎛= ⎝⎭，则行列式2|22|A A E --的值为()A 0. ()B 4. ()C 16. ()D 32. 答【 】14. 设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵211()3A -有一个特征值等于()A43. ()B 34. ()C 12. ()D 14. 答 【 】 15. 设222123123121323(,,)224f x x x x x x x x x x x x =+-+--，令123P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则f 经线性变换x Py =后所得到的二次型为 ()A 222123121323494624y y y y y y y y y +-+--. ()B 2221231323264y y y y y y y +---. ()C 22121213446y y y y y y ++-. ()D 222123132349624y y y y y y y +---. 答 【 】 二、计算题：1. 计算下列四阶行列式：(1) 101221010101142D --=--. (2) x a a aax a a D a ax a a a ax=.2. 已知矩阵(2,1,0)A =，(1,2,3)B =，2()51f x x x =-+，求T A B 及()T f A B .3. 设B 为三阶矩阵，且满足2AB A B =+，又301030103A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B .4. 求解齐次线性方程组12341234123420,3630,51050.x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩5. 设有非齐次线性方程组123412342341,23,3,x x x x x x x x t x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩问t 取何值时，方程组有解？在方程组有解时，求其通解.6. 已知向量组:A 1(1,2,3)T α=-，2(0,2,5)T α=-，3(1,0,2)T α=-，（1）求该向量组的秩，判别向量组的线性相关性，并求一个最大无关组.（2）将3α表为12,αα的线性组合. 7.设三阶方阵A 的特征值为11λ=，20λ=，31λ=-，所对应的特征向量分别为1(1,2,2)T p =，2(2,2,1)T p =-，3(2,1,p =-- 2)T ，求A .8. 设011101110A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1) 求一个可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ为对角阵. (2) 写出A 对应的二次型123(,,)f x x x .9. 设二次型22212312323(,,)4332f x x x x x x x x =+++. (1) 用矩阵记号写出二次型f ； (2) 求一个正交变换，把二次型化为标准形；(3) 判别二次型的正定性.10. 已知2221231231213(,,)4222f x x x x x x tx x x x =+++-为正定二次型， (1) 确定t 的取值范围； (2) 写出f 的规范形.11. 求二次型2212312121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x =--++的规范形. 四、证明题：1. 设123,,ααα是齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系，证明：122331,,αααααα+++也是该方程组的一个基础解系.2. 证明：三维向量空间3R 中向量集合{(,,)|0}TV x y z x y z =++=是向量空间，并求出它的维数和一个基. 3. 设α是n 阶矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，证明：1P α-一定是1P AP -的属于特征值λ的特征向量.《线性代数》模拟题（一）参考答案一、填空题1.10.2.36.3.(3,5,8)T .4.0.5.43-.6.300030103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.7.12002500001230011-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 8.2. 9.1. 10.3-. 11.1. 12.(1,2,1)(0)T k k -≠. 13.23λ-. 14.8. 15.24. 16.4004⎛⎫⎪⎝⎭. 17.2-. 18.1. 19.0a >. 20.2k >.二、单项选择题1.C .2.D .3.C .4.A .5.C .6.B .7.B .8.D .9.B . 10.A . 11.B . 12.C . 13.B . 14.B . 15.A . 二、计算题：1.解(1) （法一）（展开法则）221210121121122101221(1)202202(1)(1)22200256142506142D ++-----==⨯--=-=-⨯-=---.(法二)（上三角）10121012101210120125012501250125222112201010026001300130054005400540011D --------=====⨯=-------.(2) 333003000(3)00(3)()300003000x a a a a x a a a a x a x ax a a x a D x a x a x a x a x a ax a x a a x ax a a axx a++-+-===+-=+-+--+-.2.解 22461(1,2,3)1230000T A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记T C A B =，则2()()5T f A B f C C C E ==-+，其中2()()()T T T T C A B A B A BA B === ()44T T T BA A B A B C ==，故100246146()45010123113001000001T f A B C C E E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-+=-=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.解 （法一）由题设，得2AB B A -=，即(2)A E B A -=，其中1012010101A E ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭，220A E -=≠，知1(2)A E --存 在，则1(2)B A E A -=-.又*101(2)020101A E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，从而1*10111(2)(2)02022101A E A E A E --⎛⎫ ⎪-=-= ⎪- ⎪⎝⎭.故 10130120110200300302101103102B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（法二）由题设，得2AB B A -=，即(2)A E B A -=，其中1012010101A E ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭.由101301101301101301100201(2,)010030~010030~010030~010030101103002204001102001102A E A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知2A E -可逆，且1201(2)030102B A E A --⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭.4.解 1211121112013613~0040~00105101500400000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则124223442,,0,,x x x x x x x x =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故通解为12122110(,)0001x c c c c R -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 5.解 111111111111111(,)2311~01112~01112011130111300001B A b t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1t =时，()()2R A R B ==，方程组有无穷多解.此时1111110224~01113~011130000000000B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1342343344224,3,,,x x x x x x x x x x =--+⎧⎪=+-⎪⎨=⎪⎪=⎩故通解为1212224113(,)100010x c c c c R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.6.解 （1）设123101(,,)220352A ααα-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，则101101~022~011055000A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，知()23R A =<，故该向量组的秩为2，123,,ααα线性相关.由于12(,)2R αα=，即12,αα线性无关，故12,αα即为所求的一个最大无关组.（2）若令31122k k ααα=+，则由101~011000A -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，知121,1k k =-=.故所求的表示式为312ααα=-+.7.解 因A 的特征值互不相等，所以A 与对角阵101⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪-⎝⎭相似，即有可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ，其中123(,,)P p p p = 122221212-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭.故1122112210212210211122102212012210129932121212202212220A P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=Λ=---=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 8.解 (1)由22111101001111111(1)(2)(1)(2)111112A E λλλλλλλλλλλλλλλλ------=--=--=---=-+-=--+---，求得A 的 特征值为12λ=-，231λλ==.当12λ=-时，解(2)0A E x +=.由2111012121~011112000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1111ξ-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.当231λλ==时，解()0A E x -=.由111111111~000111000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得基础解系为2110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3101ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故所求的一个可逆矩阵为123111(,,)110101P ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，并使1211P AP --⎛⎫ ⎪=Λ=⎪ ⎪⎝⎭. (2) 123121323(,,)222f x x x x x x x x x =-++. 9.解 (1) 112323400(,,)031013T x f x Ax x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2) 2240031031(4)(4)(68)(2)(4)13013A E λλλλλλλλλλλλ---=-=-=--+=-----，求得A 的特征值为12λ=，234λλ==.当12λ=时，解(2)0A E x -=.由2001002011~011011000A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得基础解系为1011ξ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，将1ξ单位化，得1011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭. 当234λλ==时，解(4)0A E x -=.由0000114011~000011000A E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得基础解系为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，将23,ξξ单位化，得2(1,0,0)T p =，3T p =.故正交矩阵为123010(,,)00P p p p ⎛⎫ ==- ⎝，并使1244P AP -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭.所求的一个正交变换为11223301000x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，标准形为222123244f y y y =++. (3) 由于f 的标准形的三个系数全为正（或f 的矩阵A 的特征值全为正），故f 为正定二次型. 10.解 (1) f 的矩阵1140102t A t -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则21404t t t =->，211111||404242042102100t t t A t t t t t -===-=->--，即有 22t -<<及t <<t的取值范围为t <<(2) 由于三元二次型f 为正定二次型，所以f 的正惯性指数为3，f 的规范形为222123f y y y =++. 11.解 222222221231231223123232231232233(,,)2()32[()]()32[()]44f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =---+=-----+=---+- 2212323()(2)x x x x x =-+--，据此知原二次型的规范形为2212f y y =-.注 本题中二次型的标准形（即合同标准形）也是2212f y y =-.四、证明题：1. 证明 （法一）设有数123,,k k k ，使112223331()()()0k k k αααααα+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.因123,,ααα线性无关，所以1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 此方程组的系数行列式为10111020011=≠，则方程组只有零解，即1230k k k ===.因此122331,,αααααα+++线性无关.依题设知123,,ααα是0Ax =的三个线性无关的解向量，则依解向量的性质知12,αα+2331,αααα++也是该方程组的三个解向量.因122331,,αααααα+++是0Ax =的三个线性无关的解向量，故1223,αααα++31,αα+是该方程组的一个基础解系.（法二）122331123101(,,)(,,)110011ααααααααα⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭，记为B AK =.因20K =≠，知K 可逆，所以()()R B R A =.因矩阵A 的列向量组123,,ααα线性无关，则()3R A =，从而()3R B =.故B 的列向量组122331,,αααααα+++线性无关. 依题设知123,,ααα是0Ax =的三个线性无关的解向量，则依解向量的性质知122331,,αααααα+++也是该方程组的三个解 向量.因122331,,αααααα+++是0Ax =的三个线性无关的解向量，故122331,,αααααα+++是该方程组的一个基础解系. 2.解 证明：因齐次线性方程组0x y z ++=的系数矩阵的秩()13R A =<，知0x y z ++=有非零解，所以集合V 是由x y ++0z =的所有解向量构成的非空集合.又根据齐次线性方程组的解向量的性质知，对,a b V ∀∈，有a b V +∈；k R ∀∈，有ka V ∈，即集合V 对向量的加法及乘数封闭，故集合V 是向量空间.因为0x y z ++=的系数矩阵的秩()1R A =，所以0x y z ++=的基础解系中有312-=个线性无关的解向量，即向量空间V 的基中含有2个向量，故向量空间V 的维数dim 2V =.由此知0x y z ++=的任两个线性无关的解向量都是V 的基.3.证明 依题设，有A αλα=，则11P A P αλα--=，即111P APP P αλα---=，111()()P AP P P αλα---=，故依特征值和特征 向量的定义，1P α-一定是1P AP -的属于特征值λ的特征向量.。
XXXX大学《线性代数》模拟试卷答案(A卷)
RAb RA 2 4,故原方程组有无穷多个解.………………………6 分
导出组的基础解系为
ξ1
112
;
0
0
1
1
ξ2
2 0
，原方程组的一个 特解为
η
2 0
0
0
1
0
所以，原方程组的通解可表示为：
x t1ξ1 t2ξ2 η，其中t1和t2为任意常数. ………………………………12 分
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2 111
2.
求 n阶行列式
Dn
1
2
1
1.
1 112
1 1 1 1
解:
1 Dn [2 (n 1)]
2
1
1 ……………………………………6 分
1 1 1 2
1 1 1 1
n
1
0
21
0
0
0 0 0 21
(n 1) 1n n 1 ……………………………………………12 分
2 2
.
3 3
0
作正交变换 x py 把原二次型化为标准型 f 3 y12 3 y32 .……………12 分
四．证明题(共 1 小题,共 10 分)
已知向量组, , 线性无关，证明向量组 , , 2 3 也线 性无关.
证：令 k1 k2( ) k3 2 3 0
1 2
3 0
0
2 1 1 3 2 3 3 3
1
2 2
可得特征值： 1 3, 2 0, 3 3 .……………………………………6 分
对于特征值
1
3
，由 A
3E x
0 得其特征向量为1
线性代数模试题试题库(带答案)
,
A= 2−1
1 1
−2 −1
1
=
13
−1
3
2 3
1
3
解：
= A−1
= A01−1 A02−1
1
−2
0
0
−2 5 0 0
0 0 13 −1 3
0
0
2 3
1 3
四、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
19、设 n 阶方阵 A 满足 ( A + E )3 = 0 ，证明矩阵 A 可逆，并写出 A 逆矩阵的表达式。
即行列式 D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以 D = (−1)n D 。
3、设
A
=
1 0
1 1 ,
则
A100
=
1 0
100
1
。
= A2
1 0
= 11 10 11
= 10 12 , A3
1 0
= 12 10 11
因为： A∗ =A A−1 =−2A−1 ⇒ 4A−1 + A∗ =4A−1 − 2A−1 =2A−1 =8 A−1 =−4 。
1 0 2 2、 A 为 5×3 矩阵,秩( A )=3, B = 0 2 0 ,则秩( AB )= 3 。
0 0 3 因为 B 可逆， AB 相当于对 A 作列初等变换，不改变 A 的秩。
C.5
D.6
1 2 1 0 1 2 1 0
通过初等变换，由秩为 2 可得： 3
−1 0
2
0
−7
−3
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第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12i j ==。
令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。
(知识点：行列式的逆序数)2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D =(1)n D- 。
即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D-。
3、设1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 则100A =110001⎛⎫ ⎪⎝⎭。
23111112121113,,010*********A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =15n +。
由矩阵的行列式运算法则可知：1555n n A A +==。
答案应该为5的n 次方 5、A 为n 阶方阵,TAA E =且=+<E A A 则,0 0 。
由已知条件：211,1T T TAA E AA A A A E A A =⇒====⇒=±⇒=-， 而 ：0TTA E A AA A E A A A E A E A E +=+=+=+=-+⇒+=。
6、设三阶方阵2000023A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆，则,x y 应满足条件32x y ≠。
可逆，则行列式不等于零：2002(32)032023A x y x y x y ==⨯-≠⇒≠。
二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、设0333231232221131211≠=M a a a a a aa a a ，则行列式=---------232221333231131211222222222a a a a a a a a a A 。
A ．M 8B ．M 2C ．M 2-D ．M 8-由于 ()()111213111213111213331323331323321222321222321222331323322222228(1)8222a a a a a a a a a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a ------=-=--=---8、设n 阶行列式n D ，则0n D =的必要条件是 D 。
A ．n D 中有两行(或列)元素对应成比例B ．n D 中有一行(或列)元素全为零C ．nD 中各列元素之和为零 D ．以n D 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 9、对任意同阶方阵,A B ，下列说法正确的是 C 。
A .111)(---=B A AB B .B A B A +=+ C . T T T A B AB =)( D .AB BA =10、设,A B 为同阶可逆矩阵，0λ≠为数，则下列命题中不正确的是 B 。
A .11()A A --=B .11()A A λλ--=C .111()AB B A ---=D .11()()T T A A --=由运算法则，就有111()A A λλ--=。
11、设A 为n 阶方阵，且0A a =≠，则A *= C 。
A ．a B ．1aC ．1n a -D ．n a 因为11111n n n AA A A A A A A A AA--*-*--=⇒===⋅=。
12、矩阵12103102122a ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩为2，则a = D 。
A . 2B . 3C .4D .5通过初等变换，由秩为2可得：12101210310207321220500a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭三、计算题(每小题7分，共42分)13、计算行列式：4111141111411114。
解：341117111111111111411741114110300========7=====7=73=18911417141114100301114711411140003⨯各列加到第一列提第一行乘-1到外面第一列上加到各行上。
14、计算行列式：443322110000000a b a b b a b a 。
解：先按第一行展开，再按第三行展开，有：4433221100000000a b a b b a b a =22221333314142323441()()a b a b a b a b b a a a b b a a b b a b -=--。
15、问λ取何值时，齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解。
解：齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为零：()()231321232(1)124034(1)0=231=====011+232,0,2,3111111r r r r λλλλλλλλλλλλλλ-----------=---⇒===-- 16、设矩阵2011,3125A B -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算2211()B A B A ---。
解：因为2,7A B ==-，所以都可逆，有22112212311152()()1425919B A B A B A A B B AB B A B -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-== ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
17、解矩阵方程AX B X +=，求X ，其中A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---350211,101111010B 。
解：1()()AX B X A E X B X A E B -+=⇒-=-⇒=--,102313()1231301313A E ---⎛⎫ ⎪⇒-=--⇒ ⎪ ⎪-⎝⎭ 131()2011X A E B --⎛⎫⎪=--= ⎪⎪-⎝⎭。
18、设5200210000120011A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪⎝⎭，利用分块矩阵计算1A -。
解：111111221111205212121323,021251113112002500000132300011A A A A A A A A ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭四、证明题(每小题5分，共10分)19、设n 阶方阵A 满足()30A E +=，证明矩阵A 可逆，并写出A 逆矩阵的表达式。
化简方程证明：因为()3322330(33)A E A A A E A A A E E +=+++=⇒++=-，从而212(33)33A A A E EA A A E ----=-⇒=---。
20、若矩阵TA A =-，则称矩阵A 为反对称矩阵，证明奇数阶反对称矩阵一定不是满秩矩阵。
证明：设A 为n 阶反对称矩阵，n 为奇数，则 (1)0TT n T A AA A A AA =-⇒=-=-=-⇒=，所以A 不可逆，即A 不是满秩矩阵。
第二套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分)1、 A 为3阶方阵,且2,A =-*A 是A 的伴随矩阵,则1*4A A -+= -4 。
因为：11111112442284A A A A A A A A A A *---*----==-⇒+=-===-。
2、A 为5×3矩阵,秩(A )=3,B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201,则秩(AB )= 3 。
因为B 可逆，AB 相当于对A 作列初等变换，不改变A 的秩。
3、12123,,,,ααβββ均为4维列向量，1123(,,,)A αβββ=，2123(,,,)B αβββ=，1A =，4B = ，则A B += 40 。
()12123121231212311232123(,2,2,2)(,2,2,2)8,,,)8,,,,,,8(14)40A B A B ααβββααβββααβββαβββαβββ+=+⇒+=+=+=+=+=。
4、121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，32t β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且4Tαβ=，则t = -4 。
()121362442Tt t t αβ⎛⎫⎪==++=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭。
5、如果n 元非齐次线性方程组AX B =有解，()R A r =，则当 n 时有唯一解；当 < n 时有无穷多解。
非齐次线性方程组有解的定义。
6、设四元方程组AX B =的3个解是123,,ααα。
其中1231213,1415ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，如()3R A =，则方程组AX B =的通解是01112131k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
因为()3R A =，所以0AX =的基础解系含4-3=1个解向量；又2131,αααα--都是0AX =的解，相加也是0AX =的解，从而可得0AX =的一个解为：()()()213123121031122412513ξααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是AX B =的通解为：101112131X k k ξα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
二、单项选择题(每小题4分，共24分)7、对行列式做 D 种变换不改变行列式的值。
A .互换两行 B .非零数乘某一行C .某行某列互换D .非零数乘某一行加到另外一行8、n 阶方阵,,A B C 满足ABC E =，其中E 为单位矩阵，则必有 D 。
A .ACB E = B .CBA E = C .BAC E = D .BCA E =矩阵乘法不满足变换律，而D 中11ABC E A ABCA A EA BCA E --=⇒=⇒=。
9、矩阵121031021122t ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭的秩为2，则t = D A . 3 B . 4 C .5 D .6通过初等变换，由秩为2可得：121012103102073211220600t t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭。
10、若方阵n n A ⨯不可逆，则A 的列向量中 C 。
A . 必有一个向量为零向量B . 必有二个向量对应分量成比例C . 必有一个向量是其余向量的线性组合D . 任一列向量是其余列向量的线性组合 方阵n n A ⨯不可逆，则A 的列向量线性相关，，由定义可得。
11、若r 维向量组m ααα 21,线性相关，α为任一r 维向量，则 A 。
A . αααα,,21m 线性相关B . αααα,,21m 线性无关C . αααα,,21m 线性相关性不定D . m ααα 21,中一定有零向量 由相关知识可知，个数少的向量组相关，则个数多的向量组一定相关。