一般矩阵的性质

⎛ 5 − 1⎞ A=⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ , ⎝ ⎠
⎛ − 2 1⎞ B=⎜ ⎜ 0 4⎟ ⎟ , ⎝ ⎠
⎛a c ⎞ C =⎜ ⎜b d ⎟ ⎟ ， ⎝ ⎠
计算 A + B ；若已知 C = A + B ， 求出 a, b, c, d .
22
负矩阵
设 A = {aij }m× n ，称矩阵
− A = {− a ij } 为矩阵 A 的负矩阵。
2.1
知识点：矩阵的定义，一些特殊矩阵 定义 1（矩阵）
矩阵
由 m × n 个实数 aij 排成的一个 m 行 n 列的矩形数表
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ a21 a22 ⎜L L ⎜ ⎜a ⎝ m1 am 2
称之为 m × n 矩阵，位置（ 矩阵可简记为
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ ， L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
表示（强调两个足标的意义） 。
i , j ）上的元素，一般用 aij
或
Am×n
A = {a ij }
或
A = {aij }m× n .
如
⎛ 2 − 1 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 − 3 0⎟ ⎜1 3 1 1⎟ ⎝ ⎠
例1
含有 n 个未知数 x1 , x2 , L, xn 、m 个方程的线性方程组
例 8
设矩阵 A 、 B 是上（下）三角矩阵，则
AB 亦是上（下）三角矩阵；且 AB 的对
角元素等于 A 、 B 对角元素的乘积。特别，对角矩阵的积仍是对角矩阵。
证明：记
C = AB ，则
cij = ∑ aik bkj ，只要证明 cij = 0 , i > j ，并 cii = aiibii 。
µ 是数） ：
λ ( A + B ) = λA + λB
(λ + µ ) A = λA + µA (λµ ) A = λ ( µA)
0⋅ A=O
23
例3
设
⎛3 −1 2 ⎞ ⎛7 5 − 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜1 5 7 ⎟ ， B = ⎜5 1 9 ⎟ ⎜ 5 4 − 3⎟ ⎜3 − 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎧ a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 ⎪ a x + a x +L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ L L L ⎪ ⎪ ⎩am1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = bm
20
把 aij 和 bi 按原顺序可以组成一个 m × ( n + 1) 矩阵：
⎛ λa11 λa12 ⎜ λa22 ⎜ λa C = {cij } = λA = Aλ = ⎜ 21 L L ⎜ ⎜ λa ⎝ m1 λam 2
L λa1n ⎞ ⎟ L λ a2 n ⎟ 。 L L ⎟ ⎟ L λamn ⎟ ⎠
由定义，数乘运算满足下列运算法则（设 A , B , O 是同型矩阵， λ , （1） 数对矩阵的分配律 （2） 矩阵对数的分配律 （3） 结合律 （4）
具有相同行数和相同列数的矩阵，称之为同型矩阵。 若 同 型 矩 阵 A = {aij }m × n 和 B = {bij }m× n 在 对 应 位 置 上 的 元 素 都 相 等 ， 即
a ij = bij , i = 1, L , m ; j = 1, L , n,
零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作 O；或 Om×n . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。 三角矩阵 设 A = {a ij } 是 n 阶矩阵。
且 A + 2 X = B, 求矩阵 X .
三、 乘法 定义 4 （矩阵乘法） 设 A = {a ij } 是一个 m × s 矩阵， B = {bij } 是一个 s × n 矩阵，A 与 B 的乘法，记作 AB，定义为一个 m × n 的矩阵 C = AB = {cij } ，其中
cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + L + ais bsj = ∑ aik bkj
( B + C ) A = BA + CA 。
( AB)C = A( BC ) 。
λ ( AB) = (λA) B = A(λB) , 其中 λ 是一个数。
AI = IA = A 。
证明矩阵相等的方法：(I) 左右矩阵为同型；(II) 左右矩阵在对应位置 (i, （2）的证明
j ) 上的元素相等。
设 A = {a ij } 是 m × s 矩阵， B = {bij } 是 s × t 矩阵， C = {c ij } 是 t × n 矩阵，
例7
设矩阵
⎛ 2 − 2⎞ ⎛ 2 4⎞ A=⎜ ⎜−1 1 ⎟ ⎟ , 求 AB 和 BA . ⎜1 2⎟ ⎟, B = ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
解
4 ⎞ ⎛0 0⎞ ⎛2 ⎟ ⎜ = AB = ⎜ ; BA ⎜0 0⎟ ⎜ −1 − 2⎟ ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
；即使 AB 和 BA 都 上述几个例子显示，当 AB 有意义时， BA 不一定有意义（例 4） 有意义（例 6） ，且有相同的矩阵阶数（例 7） ， AB 和 BA 也不一定相等。因此矩阵乘法不 满足交换律(对一般情况而言)。 若两个矩阵 A 和 B 满足 则称矩阵 A 和 B 是可交换的，如 1）单位矩阵与任何（同阶）矩阵可交换，即成立 AI = IA 。 2）任何两个对角矩阵也都是可交换的。 （作为习题） 3）一个矩阵与任何（同阶）矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。 （作为习题）
19
第二章
要求：
矩阵
1） 理解矩阵的概念。掌握一些特殊矩阵及其性质，如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、三角 矩阵、对称矩阵等； 2） 掌握矩阵的基本运算及其运算规则，如线性运算、乘法运算、矩阵行列式运算等； 3） 理解逆矩阵概念，掌握逆矩阵性质及矩阵可逆的充分必要条件，了解伴随矩阵概念； 4） 掌握矩阵的分块运算。 5） 掌握矩阵的初等变换，了解初பைடு நூலகம்矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆 矩阵的方法。
k =1
s
( i = 1, 2 , L , m ;
由定义，不难看出（强调） ：
j = 1, 2 , L , n ) .
（1） 只有在左矩阵 A 的列数和右矩阵 B 的行数相等时，才能定义乘法 AB； （2） 矩阵 C=AB 的行数是 A 的行数，列数则是 B 的列数； （3） 矩阵 C=AB 在 的乘积之和。
1）若 A 的元素满足 2）若 A 的元素满足
a ij = 0 , ∀ i > j ，称 A 是上三角矩阵； a ij = 0 , ∀ i < j
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L ann ⎟ ⎠
称 A 是下三角矩阵；
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ 0 a22 A=⎜ L L ⎜ ⎜0 0 ⎝
AB = BA
例 7 还显示，当 AB = O 时，不能推出 A ≠ O 或 B ≠ O 。进一步，当 AB = AC ， 且 A ≠ O 时，推不出 B = C 。这表明矩阵乘法也不满足消去律。 但矩阵乘法仍满足分配律和结合律：
25
（1） 分配律 （2） 结合律 （3） 数乘结合律 （4）
A( B + C ) = AB + AC ；
，
A = diag{a11 , a 22, L , a nn } = diag{a ii } .
数量矩阵：对角元素为常数的对角矩阵，记作 K， 即 K = diag ( k ) 单位矩阵 对角元素为 1 的对角矩阵，记作
I
或 I n （ n 阶） ，即
⎛1 ⎜ ⎜0 I =⎜ M ⎜ ⎜0 ⎝
0 1 M 0
L
。 由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中 A, B, C , O 为同型矩阵） （1） 交换律 （2） 结合律 （3） （4）
A+ B= B+ A
( A + B) + C = A + ( B + C )
A+O= A A− A=O
二、 数乘 定义 3 （矩阵数乘） 数 λ 与矩阵 A = {aij }m× n 的乘积（称之为数乘） ，记作 λA 或 Aλ ，定 义为一个 m × n 的矩阵
则 D = {d ij } = AB 是 m × t 矩阵，且 d ik =
t
∑a
l =1
s
il
blk ；而 E = {eij } = BC 是 s × n 矩阵，且
elj = ∑ blk c kj
k =1
，从而
A( BC ) 和 A( BC ) 都是 m × n 矩阵。再记
即可。 ■
P = ( AB)C = DC ， Q = A( BC ) = AE 。只需证故 pij = qij
对角矩阵 若元素满足
⎛ a11 0 ⎜ ⎜ a21 a22 和 A=⎜ L L ⎜ ⎜a ⎝ n1 an 2
0 ⎞ ⎟ L 0 ⎟ 。 L L⎟ ⎟ L ann ⎟ ⎠ L
a ij = 0 , ∀ i ≠ j ；其形状是
21
⎛ a11 0 ⎜ ⎜ 0 a22 A=⎜ L L ⎜ ⎜0 0 ⎝
记作
0 ⎞ ⎟ L 0 ⎟ L L⎟ ⎟ L ann ⎟ ⎠ L
⎛ a11 + b11 a12 + b12 ⎜ a22 + b22 ⎜a +b C = {cij } = A + B = ⎜ 21 21 L L ⎜ ⎜a + b ⎝ m1 m1 am 2 + bm 2
例2 设
a1n + b1n ⎞ ⎟ L a2 n + b2 n ⎟ . L L ⎟ ⎟ L amn + bmn ⎟ ⎠ L