解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题
解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一 真题链接1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1•x2=a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．2.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x 的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k 的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值例 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 22212121212||()()4(2)4(2007)22008x x x x x x x x -=-=+-=---=说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。
例 解方程组 x+y=5Xy=6解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3x 2=3,y 2=2 显然，此法比代入法要简单得多。
（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。
解：设此三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 为的两根，则c=2由题意知△＝k 2-4×2×2≥0，k ≥4或k ≤-4∴ 为所求。
三 典题示例例1 已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值． (1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是120x x =>，二是12x x -=，所以要分类讨论．解：(1) ∵方程两实根的积为5∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩ 所以，当4k =时，方程两实根的积为5． (2) 由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故302k ∆=⇒=； ②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，由于302k ∆>⇒>，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =． 说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0∆≥．例2 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立． ∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴ 222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <．∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---． 说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．(2) 本题综合性较强，要学会对41k +为整数的分析方法．四 巩固强化1. （2011湖北潜江，17，6分）若关于x 的一元二次方程x 2—4x ＋k —3＝0的两个实数根为x 1、x 2，且满足x 1＝3x 2，试求出方程的两个实数根及k 的值．2. （2011•南充，18，8分）关于的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2． （1）求k 的取值范围；（2）如果x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1且k 为整数，求k 的值． 3. （2011•湖南张家界，23，8）阅读材料：如果x 1、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么， 12b x x a +=-，12cx x a⋅=．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题： 已知m 与n 是方程2x 2﹣6x+3=0的两根 （1）填空：m+n= ，m•n= ； （2）计算nm 11+的值． 4. （2011湖北孝感，22，10分）已知关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若|x 1+x 2|=x 1x 2﹣1，求k 的值．5. （2011•玉林，20，6分）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1的两个实数根． 求：（x 1+x 2）2÷（2111x x +）的值． 6. （2011贵州遵义，24，10分）有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、－1、－2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b 、c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字。
（1）用列表法求关于x 的方程02=++c bx x 有实数解的概率； （2）求（1）中方程有两个相等实数解的概率。
7.（2011广西防城港 20，6分）已知：x1、x2是一元二次方程x2－4x ＋1＝0的两个实数根．求（x1＋x2）2÷)11(21x x +的值．8. （2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田，17，6分）若关于x 的一元二次方程0342=-+-k x x 的两个实数根为1x 、2x ，且满足213x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值.9. （2011江苏苏州，15，3分）巳知a 、b 是一元二次方程x2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a+b －2）+ab 的值等于____． 10. （2011江苏镇江常州，12，3分）已知关于x 的方程x2+mx ﹣6=0的一个根为2，则m= ，另一个根是 ．11. （2011山东日照，14，4分）如图，在以AB 为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF ，则以AC 和BC 的长为两根的一元二次方程是 如：x2﹣5x+1=0 ．12. （2011•德州，14，4分）若x1，x2是方程x2+x ﹣1=0的两个根，则x12+x22= ． 13.（2011四川眉山，17，3分）已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为 ﹣1 ．14. （2011四川泸州，16，3分）已知关于x 的方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为 ． 15. （2011四川遂宁，12，4分）若x1、x2是方程x2﹣2x ﹣5=0的两根，则x12+x1x2+x22= ．五 参考答案真题链接答案： 1.2.3.①解：由△=4（a2-3）2-4（a2-7a-b+12）=0得：a+b-3=0， 又2a-b=0， ∴a=1，b=2．设这个方程的解为x1、x2， 则x1+x2=-2（a-3）=4＞0， x1•x2=a2-7a-b+12）=4＞0， ∴x1、x2均为正根；②∵a=1，b=2，∴y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12可化为：y=x2-4x+4=（x-2）2， 将此图象向下移动3个单位，得：y=（x-2）2-3， 顶点（2，-3），对称轴为x=2． 4.巩固强化答案1.考点：根与系数的关系。
专题12 韦达定理及其应用(解析版)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面： （1）验根；（2）已知方程的一根，求另一根； （3）求某些代数式的值； （4）求作一个新方程。
【例题1】（2020•泸州）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ． 【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解． 【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7 所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝（x 1+x 2）2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．4 D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，=−2．∴x1•x2=ca∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
数学解题方法谈9：韦达定理及应用
数学解题方法谈9：韦达定理及应用一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0),当△≥0时，两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2=－b a x 1·x 2=c a 常称作韦达定理。
反之以x 1、x 2为根的一元二次方程是: x 2＋(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2=0(亦须验证△≥0)一、构造一元二次方程解题：例1、已知a 、b 、c 是不等的实数，且a 2=5－3a b 2=5－3b 求a 3＋b 3的值.解：由已知⎩⎨⎧a 2＋3a －5=0 (1)b 2＋3b －5=0 (2) ∴a 、b 是方程m 2＋3m －5=0的两根由韦达定理可知a ＋b=－3 ab=－5a 3＋b 3=(a ＋b)3－3ab(a ＋b)=(－3)2－3×(－5) ×(－3)=－72例2、已知a 2＋2a －1=0 b 4＋2b 2－1=0且 1－ab 2≠0求⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 2＋b 2＋1a 2006的值 解：∵a≠0 故由已知得: ⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－2a －1=0 (1)(b 2)2－2b 2－1=0 (2)∴1a 和b 2是方程m 2－2m －1=0的两根由韦达定理知：1a ＋b 2=2 1a ×b 2=－1故⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 2＋b 2＋1a 2006=⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋b 2a ＋1a =(2－1)2006=1例3、解方程2x 2－7x ＋1－2x 2－9x ＋4=1解：设y 1=2x 2－7x ＋1－2x 2－9x ＋4=1y 2=2x 2－7x ＋1＋2x 2－9x ＋4=1则y 1＋y 2=22x 2－7x ＋1 y 1y 2=2x －3∴则y 1、y 2是方程y 2－22x 2－7x ＋1＋2x －3=0的两根 ∵y 1=1 ∴1－22x 2－7x ＋1＋2x －3=0得2x 2－7x ＋1=x －1两边平方整理得：x 2－5x=0 ∴x 1=0 x 2=5经检验知x 1=0是增根, x 2=5是原方程的根.例4、解方程： x 2＋x －1－x 2－x ＋1=12解：用题上方法可得y 1＋y 2=2x 2＋x －1 y 1y 2=2x ∴y 1、y 2是方程y 2－22x 2＋x －1 ＋2x=0的两根 ∵y 1=12代入化简可得：x 2=516 ∴x=±54经检验知x=－54是增根x=54是原方程的根二、巧解一元二次方程一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有一根是1的重要条件是a ＋b ＋c=0，反之a ＋b ＋c=0则方程有一个棂是1例1、解方程(7－43)x －7x ＋43=0)解：∵方程的各项系数的和是0，即7－43－7＋43=0∴x 1=1是方程的根∵x 1x 2=437＋43 ∴x 2=437＋43=48＋283 例2 、已知方程(b －c)x 2＋(C －a)X ＋(a －b)=0 有等根求证a ＋c=2b证明：∵(b －c)＋(C －a)＋(a －b)=0 ∴1是方程的根得 令x 1=1∵方程有等根， ∴x 1x 2=1即 a －b b －c=1 a －b=b －C 得证： a ＋c=2b 三、解一些综合性的题:例1、设关于x 的方程x 2－(2a ＋1)x ＋(a －3)=0的两实根为x 1、x 2，且x 1、x 2是一个Rt △的的两直角边，已知这个Rt △的斜边上的中线长为372，求实数a 的值.解: ∵ x 的方程x 2－(2a ＋1)x ＋(a －3)=0的两实根，为x 1＋x 2=2a ＋1，且x 1x 2=a －3又这个Rt △的斜边上的中线长为372，∴斜边长为37∴ x 12＋x 22=(37)2 ∴(x 1＋x 2)2－2x 1x 2=(37)2=63(2a ＋1) 2－(a －3)－63=0 整理得∶2a 2＋a －28=0∴ (2a －7) (a ＋4)=0 ∴a 1= 72 a 2=－4又 △= (2a ＋1) 2－4(a －3)=4a 2＋4a ＋1－4a ＋12=4a 2＋12＞0当a 1= 72时，x 1＋x 2=2a ＋1=2×72＋1=8＞0 x 1x 2=a －3=72－3=12＞0a 2=－4时，x 1＋x 2=2a ＋1=2×(－4)＋1=－7＜0x 1x 2=a －3=－4－3=－7＜0但x 1、x 2是一个Rt △的的两直角边，故x 1x 2＞0 ∴a=72 例2、已知∶x 1、x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)=－32成立?若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由.(2)求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数k 的整数值.解∶(1) ∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1=0的两个实数根.则有k ≠0且△=(－4k) 2－4×4k(k ＋1)=16k ≥0 ∴k ＜0又x 1、x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1=0的两个实数根∴ x 1＋x 2=1 x 1·x 2=k ＋14k(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)=2(x 12＋x 22)－5x 1·x 2=2(x 1＋x 2)2－9x 1·x 2=－k ＋94k 要使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)=－32 则－k ＋94k =－32 ∴k=95而k ＜0 ∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)=－32成立(2) ∵ x 1x 2＋x 2x 1－2 = x 12＋x 22x 1·x 2－2=(x 1＋x 2)2x 1·x 2－4=4k k ＋1－4=－4k ＋1 ∴要使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数，只须k ＋1能整除4，故k ＋1只能取±1、±2、±4∵k ＜0 ∴k ＋1＜1 ∴k 只能取－1，－2，－4，∴要使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数，k 的取值为－2，－3，－5.(说明∶由于网络显示原因,个别要拉长的大中括号可能无法显示出来,只要下载了文档，文章就可完整显示.。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程摘要：一、韦达定理简介二、韦达定理经典例题1.例题一2.例题二3.例题三三、韦达定理解题过程1.确定韦达定理的应用条件2.分析题目中给出的方程3.应用韦达定理求解方程4.总结解题过程并得出答案正文：一、韦达定理简介韦达定理，又称Vieta 定理，是一元二次方程根与系数关系的定理。
它指出，对于一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），其两个根x1 和x2 的和与积分别等于方程中一次项系数和常数项系数的相反数和倒数。
具体来说，韦达定理有以下两个公式：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a二、韦达定理经典例题1.例题一题目：已知一元二次方程x-3x-4=0，求该方程的两个根。
2.例题二题目：已知一元二次方程2x-5x+3=0，求该方程的两个根。
3.例题三题目：已知一元二次方程x+2x-3=0，求该方程的两个根。
三、韦达定理解题过程假设我们有一个一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0），我们想要求出它的两个根x1 和x2。
1.确定韦达定理的应用条件首先，我们需要确保方程有两个实数根，即b-4ac≥0。
如果b-4ac<0，则方程没有实数根。
2.分析题目中给出的方程对于每一个例题，我们首先需要将方程写成标准形式ax+bx+c=0。
然后，我们可以根据韦达定理的公式x1 + x2 = -b/a和x1 * x2 = c/a来求解。
3.应用韦达定理求解方程对于每一个例题，我们分别代入方程的系数，计算出x1 和x2 的值。
4.总结解题过程并得出答案最后，我们将求得的x1 和x2 的值代入原方程，验证它们是否是方程的根。
如果是，我们便成功求解了该方程。
综上所述，韦达定理是一种非常有用的解一元二次方程的方法。
韦达定理的应用 讲义及练习
韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
韦达定理(精品讲解与专题练习)
x1 ●2= 3k x1 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
1、韦达定理及证明
2、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件： 根的判别式△ ≥0
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1, 19 则x1+1= 3 , ∴ x1=
韦达定理
韦达（1540－1603） 法国数学家 十六世纪最有影响的 数学家之一，被尊称为 “代数学之父”。 他是第一个引进系统的 代数符号，并对方程论 做了改进的数学家。
韦达定理
一：思考、发现， 噢，是这样哎！
二：疑问，为什么会是这样呢？能证明吗？
三：疑问，我学习它有什么用呢？
第一段
做准备：
1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
b b 2 4ac 2a
X=
2.方程合家欢，（
十字相乘 ）
是首选。
第一段
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+3x-4=0 两根 x1 x2 4 -4
1 2
(3) 2x2+3x-2=0 两根和 X1+x2 7 -3 3 - 2 两根积 x 1x 2 12 -4 -1
又x1 1=
●
m 3
16 3,
,
∴ m= 3x1 = 16 x1+x2= - 2 , x1 · x2=
3 2 3 )+1= 2
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
解： 由韦达定理，得
中考数学解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题(含解析)
解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。
韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。
历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。
国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。
消息传开，数学界为之震惊。
同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。
你能利用韦达定理解决下面的问题吗？一 真题链接1.（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1•x2=a c把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．2.（2010•娄底）阅读材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据上述材料填空：已知x1，x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则3.已知关于x 的方程x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0． ①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．②若将y=x2+2（a-1）x+a2-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：根据该材料填空：若关于x 的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1+x2=x1•x2．则k 的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
初中数学韦达定理专项
2. 二、韦达定理的推导求根公式法推导一元二次方程²的求根公式为ax ²+bx +c =0 (a≠0)的求根公式为aac b b x 242-±-= 那么两个根aac b b x 2421-+-= aac b b x 2422---=+a ac b b 242---=a b 22-=ab -×a ac b b 242---=2224)4()(a ac b b ---=ac 三、韦达定理的应用1.已知方程求两根之和与两根之积例如，对于方程2x ²-5x +3=0，这里a =2，b =-5，c =3根据韦达定理，两根之和x 1+x 2 =a b -=25232.已知两根之和与两根之积构造方程若已知两根之和为m ，两根之积为n ，则可构造方程x ²-mx +n =0。
比如，两根之和为 4，两根之积为 3，那么构造的方程为x ²-4x +3=0。
3. 不解方程求与两根有关的代数式的值例如，求(x 1-x 2)²的值。
(x 1-x 2)²=(x 1+x 2)²-4x 1x 2 ，已知两根之和与两根之积，代入即可求解。
4. 利用韦达定理判断方程根的情况由韦达定理可知，当b ²-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时两根之和与两根之积均有确定的值。
当b ²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，两根之和为-当b ²-4ac ＜0时，方程无实数根，韦达定理在这种情况下无意义。
四、韦达定理的注意事项1. 韦达定理只有在一元二次方程有实数根的情况下才成立。
2. 在应用韦达定理时，要先确定方程中a 、b 、c 的值，且a ≠0。
3. 对于一些特殊的一元二次方程，如缺项方程（如ax ²+c =0），也可以利用韦达定理求解，但要注意分析具体情况。
五、韦达定理的典型例题及讲解 1.已知方程的一根，求另一根及字母系数的值例题：关于x 的一元二次方程02)1(2=---x x m ，若x=-1是方程的一个根，求m 的值及另一个根。
专题4：韦达定理应用探讨
专题4：韦达定理应用探讨一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。
典型例题：例1：（2012湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【】A．－2 B．2 C．3 D．1【答案】C。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3。
故选C。
例2：（2001湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1·x2的值是【】A.4.B.3.C.－4.D.－3.【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得12c3x x===3a1。
故选B。
例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，且x1+x2=﹣ba=﹣4。
据此逐一作出判断：A．x2+2x﹣4=0：△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣ba=﹣2，所以本选项不合题意；B．x2﹣4x+4=0：△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣ba=4，所以本选项不合题意；C．x2+4x+10=0：△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；D．x2+4x﹣5=0：b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣ba=﹣4，所以本选项符号题意。
故选D。
例4：（2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】A ．－2B ．0C ．1D ．2【答案】A 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
韦达定理的应用专题(供初三复习用)
韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。
韦达定理练习题
韦达定理练习题韦达定理练习题韦达定理是数学中的一个重要定理，它描述了一个三角形内部的一条线段与三边的长度之间的关系。
通过韦达定理，我们可以解决一些有关三角形的问题，比如求解三角形的面积、判断三角形的形状等等。
在本文中，我们将通过一些练习题来巩固和应用韦达定理的知识。
练习题一：求解三角形的面积已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的面积。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC其中A、B、C分别为三角形的内角。
现在我们要求解三角形的面积，可以使用海伦公式：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中s为三角形的半周长，可以通过三边长求得：s = (a + b + c) / 2练习题二：判断三角形的形状已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，判断该三角形的形状（等边三角形、等腰三角形、直角三角形或一般三角形）。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC首先，我们可以通过比较三边长的大小来判断是否为等边三角形。
如果a=b=c，则为等边三角形。
其次，我们可以通过比较两条边的长度来判断是否为等腰三角形。
如果a=b或a=c或b=c，则为等腰三角形。
然后，我们可以通过判断三个内角的大小关系来判断是否为直角三角形。
如果A=90°或B=90°或C=90°，则为直角三角形。
最后，如果以上条件都不满足，则为一般三角形。
练习题三：求解三角形的高已知一个三角形的三边长分别为a、b、c，求解该三角形的高。
解答：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC现在我们要求解三角形的高，可以使用以下公式：h = 2S / a其中S为三角形的面积，可以通过海伦公式求得。