3、3 正弦电路中的电阻、电感、电容元件

U = 220∠60
= U = 220∠60 = 3.5∠ 30 A I jX L j 62.8
Q L = IU = 3.5 × 220 = 770 var
（2）f=5000Hz时 X L = ωL = 2π × 5000 × 0.2 = 6.28 × 103
= U = 220∠60 = 3.5 × 10 2 ∠ 30 A I jX L j 6.28 × 10 3
(d)
电感的功率： 电感的功率： 设 i=
2 I sin ωt
u O
P.u.i p i
u = 2U sin(ωt + 90 ) = 2U cos ωt
p = u i = 2UI sin ωt cos ωt = UI sin 2ωt
π
2
ωt
1 P= T
∫
1 pdt = T
∫
T
0
UI sin 2ωtdt = 0
i 电流、 电流、电压的瞬时值为 ： = 0.984 2 sin( 314t 33.4 ) A
u R = 98.4 2 sin( 314t 33.4 )V u L = 196.8 2 sin( 314t + 56.6 )V
UR I
3、5 阻抗与导纳
一、 阻抗 一个包含电阻、电感、电容的无源二端电路N， 一个包含电阻、电感、电容的无源二端电路 ，定义其等效阻抗为 U I Z= I I
3 、3
正弦电路中的电阻、电感、 正弦电路中的电阻、电感、电容元件
i
U = RI ψ u = ψ i
u
一、 电阻元件的交流电路
i = 2 I sin(ωt + ψ i ) u = 2 RI sin(ωt + ψ i ) = 2U sin(ωt +ψ u ) I = I∠ψ U = U∠ψ
i
u, i i
③ U = U∠θ u → u ( t ) ④必要时作相量图
I = I∠θ i → i( t )

例： 在图3.4.2(a)所示电路中 已知 u S = 220 2 sin( 314t + 30 )V 所示电路中,已知 在图 所示电路中 R=100 ，L=0.639H，求电流 i、uR及uL。 ， 、 解:先画出电路的相量模型 先画出电路的相量模型
3 、4
基尔霍失定律的相量形式
一、 KCL的相量形式 n 的相量形式 对某一结点， 对某一结点，有 ik = 0
∑ i = ∑ I [ 2I e
h n k m k k =1 k =1
j (ωt +ψ k )
∑ ]= ∑ I [ 2 I e ] =
k =1
n m k jω t k =1
i k = I m [ 2 I k e j (ωt +ψ k ) ]
∑
k =1
n k =1
n
Ik = U
+j
∑Y
k =1
n k =1
k
Yk = G k + jBk
4.导纳的串联 导纳的串联
1 1 1 1 = + + + = Y Y1 Y2 Yn
Y=
∑G
I
k
∑B
Z2
k
∑
1 Y k =1 k
n
a +
U
Z1
Zn
计算等效阻抗和导纳， 计算等效阻抗和导纳，串联时使 用阻抗， 用阻抗，并联时使用导纳较方便
2Im e
[
jω t
ΣI k
]
∑i
k =1
n
k
=0
∑
k =1
n
Ik = 0
二、KVL的相量形式 的相量形式 设对某一回路， 设对某一回路，有
∑u
∑
k =1
n
k
=0
k =1 n
同理可得
Uk = 0
三、相量分析法 1.条件：线性电路在同频率正弦量激励下的稳态响应 条件： 条件 2.方法 ①电路中所有正弦量用其对应的相量表示 方法: 方法
i = 3.5 × 10 2 2 sin(3.14 × 10 4 t 30 ) A
QL = IU = 3.5 × 10 2 × 220 = 7.7 var
三、 电容元件的交流电路
u = 2U sin(ωt + ψ u )
i C
ψu ψi
i
du + = 2ωCU cos(ωt + ψ u ) i=C u dt = 2ωCU sin(ωt + ψ u + 90 )
i
+
u
L
u,i i
ψi ψu
u
-
电感电压的相位超前电流90° 电感电压的相位超前电流 ° = U∠ψ = ωLI∠(ψ + 90 ) = ωLI∠90° (a) U u i
+ U -
I
(b)
U I
jωL 令 XL=ωL 则 U=XLI XL称为电感元件的电抗，简称感抗 称为电感元件的电抗，简称感抗 (c) ω→∞时，XL→∞，电感相当于开路 时 ， ω=0时，XL=0，电感相当于短路， 时 ，电感相当于短路， 对直流电， 对直流电，电感相当于短路 1 1 感抗的倒数称为感纳 感纳， 感抗的倒数称为感纳，用BL表示 B L = X = ωL L
1 YR = G = R
YL = 1 jω L
1 I Y= = Z U
Y = G + jB
Y的实部 称为电导，Y的虚部 称为电纳 的实部G称为电导， 的虚部 称为电纳 的虚部B称为 的实部 称为电导
= jB L YC = jωC = jBC
三、 阻抗与导纳的串并联 1.阻抗的串联 Z = Z1 + Z 2 + + Z n = ∑ Z k 阻抗的串联
U s = 220∠30 V X L = ωL = 314 × 0.639 = 200
+
i
I
+
R L
uR
+
uS
-
UR +UL = US U R = RI = 100I U L = jωLI = j 200 I 得
100I + j 200I = 220∠30
由
uL
-
+ US -
QC = UI = I 2 X C
的电容。 例： 一正弦电流 i = 2 2 sin( 314t + 60 ) A 通过 ，通过10F的电容。 的电容 （1）求电容电压及电容的无功功率； ）求电容电压及电容的无功功率； （2）当电流频率提高一倍时，电容电压的有效值如何改变？ ）当电流频率提高一倍时，电容电压的有效值如何改变？ 解：（1）
u
π
2π
ωt
+
u
(a)
R
O
(b)
U = RI∠ψ i = RI
电阻元件的瞬时功率为
+ p = u i = 2UI sin(ωt + ψ u ) sin(ωt + ψ i ) U 1 T 1 T P= pdt = UI [1 cos 2(ωt + ψ i )]dt = UI
T
I I
R (c) (d)
+ R UR + jω L U L -
220∠30 220∠30 = I= 100 + j 200 5 × 100∠63.4
U R = 100 I = 98.4∠ 33.4 V
= 0.984∠ 33.4 A UL US
U L = j 200I = 196.8∠(90 33.4 ) = 196.8∠56.6 V
jψ z
+ U -
=| Z | ∠ψ Z 极坐标形式为 Z =| Z | e Z的模 称为阻抗模，Z的辐角 Z称为阻抗角 的模|z|称为阻抗模 的辐角ψ 的模 称为阻抗模， 的辐角 U | z |= , ψ Z = ψ u ψ i I Z的直角坐标形式为 Z=R+jX 的直角坐标形式为
电阻 Z R = R 电感 Z L = jωL = jX L 1 = jX C 电容 Z C = j ωC
+
N
U
Z
-
R称为电阻或交流电阻；X称为电抗 阻抗三角形 称为电阻或交流电阻； 称为电抗 称为电阻或交流电阻 称为 对Z X=0，电阻性 电阻性 X>0, 电感性 X<0，电容性 电容性
对R、L、C串联电路 串联电路 U 1 Z = = R + j ( X L X C ) = R + j (ωL ) ωC I 二端电路是电阻性的； 当XL=XC时，二端电路是电阻性的； 二端电路是电感性的，简称感性； 当XL>XC时，二端电路是电感性的，简称感性； 二端电路是电容性的， 当XL<XC时，二端电路是电容性的，简称容性 二、 导纳 阻抗Z的倒数为导纳， 阻抗 的倒数为导纳，用Y表示 的倒数为导纳 表示
电感是储能元件， 电感是储能元件，它在电路中的作用与电源或外电路进行能量 变换，这种能量交换规模的大小， 变换，这种能量交换规模的大小，我们用瞬时功率的最大值来 衡量并称为无功功率 无功功率， 衡量并称为无功功率，用QL表示
Q L = UI = I 2 X L
单位是乏 var
的电感线圈， 例：一个0.2H的电感线圈，电阻忽略不计，将它接在电压 一个 的电感线圈 电阻忽略不计， u = 220 2 sin(314t + 60 ) 的交流电源上。 的交流电源上。 （1）求线圈中的电流相量和无功功率 L ）求线圈中的电流相量和无功功率Q （2）若将电源的频率改变为 ）若将电源的频率改变为5000Hz，其它不变，求i和QL。 ，其它不变， 和 解：(1) X L = ωL = 314 × 0.2 = 62.8