广东省汕头市金山中学2021届高三年级上学期联考数学试题含答案解析
2021届广东省汕头市金山中学高三上学期开学摸底考试数学文试题Word版含答案
2021届广东省汕头市金山中学上学期开学摸底考试高三数学文试题—、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1. 复数z=1-i,则z z+1对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象跟 D.第四象限2. 若集合}822|{2≤<∈=+x Z x A ，}02|{2>-∈=x x R x B ，则)(B C A R 所含的元素个数为A. OB. 1C. 2D. 33. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐 与健康”的调查，为此将学生编号为1、2、…、60，选取的这6名学生的编号可能是A. 1,2,3,4,5,6B. 6，16，26，36，46，56C. 1,2，4，8，16，32D. 3,9,13 ,27,36,544 已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y=0,则 该双曲线的标准方程为A. 116922=-y xB. 191622=-y xC. 116922=-x yD. 191622=-x y5.设l 、m 是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面,有下列命题：①l//m,m ⊂a,则l//a ② l//a,m//a 则 l//m ③a 丄β，l ⊂a ，则l 丄β ④l 丄a ，m 丄a,则l//m其中正确的命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 46.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是 A ．6 B ．10 C ．91 D ．927. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值 为A. 4B. 6C. 8D. -98. 设曲线2()1cos ()f x m x m R =+∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为9. 巳知点(x,y)在ΔABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若B(3,25)是使得z=ax-y 取得最大值的最优解,则实数a 的取值范围为 A. 21-≥a B. 0≥a C. 21-≤a D. 021≤≤-a10. 已知函数|)62sin(|)(π-=x x f ，下面说法正确的是A.函数的周期为4πB.函数图象的一条对称轴方程为3π=x C.函数在区间]65,32[ππ上为减函数 D 函数是偶函数11. 已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为 A 4π B, 12πC.316π D. 364πBCDAPFE12. 已知函数2(1)(0)()2x f f f x e x x e '=⋅+⋅-，若存在实数m 使得不等式 2()2f m n n ≤-成立，则实数n 的取值范围为A. [)1-,1,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B. (]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1-,0,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a13.已知向量(1,2),(,1)a b x ==，2,2u a b v a b =+=-,且 u ∥v ，则实数x 的值是____14.若⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)1(2)1(1)(2x x x x f x ，则21(log 6)f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=________15. 已知点P (x ,y )在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P 引圆21)41()21(22=++-y x 的切线，则此切线段的长度为_______16. 已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点,P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P 作12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，若2122PMPF PF =⋅，则该椭圆的离心率为三 、解 答 题 : 本大题共6小 题 ，共 70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足（1）求角C 的大小；（2）若bsin （π﹣A ）= acosB ，且，求△ABC 的面积．18. (本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADC=90°，AD ∥BC ，BC=CD=AD=1，PA ⊥平面ABCD ，PA=2AD ，E 是线段PD 上的点，设PE=λPD ，F 是BC 上的点，且AF ∥CD（Ⅰ）若λ=，求证：PB ∥平面AEF（Ⅱ）三棱锥P ﹣AEF 的体积为时，求λ的值．19. (本小题满分12分）已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出吨该商品可获利润万元，未售出的商品，每吨亏损万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了吨该商品．现以（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量的平均数与中位数的大小；（结果精确到小数后1位）（Ⅱ）根据直方图估计利润不少于57万元的概率.20. (本小題满分12分）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1,0)，过F1作与x轴不重合的直线l交椭圆于A,B两点.(I)若ΔABF2为正三角形，求椭圆的标准方程；(II)若椭圆的离心率满足215 0-<<e,O为坐标原点，求证：AOB∠为钝角.（可供参考：351 32-<）21 (本小题满分14分）已知函数f（x）=x2+1，g（x）=2alnx+1（a∈R）（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极值；（2）当a=e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤ kx+m ≤f（x）恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．请考生在22〜23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中 ，以 原 点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为:θθρcos sin 2=(I)求曲线C 的直角坐标方程；(II)若直线l 的参数方程为22222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|的值。
广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期末考试试题 文.doc
广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期末考试试题 文一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．) 1．已知集合，Q ={1，2，3，4}，则（∁R P ）∩Q =（ ） A ．{1，4} B ．{2，3} C ．{2，3，4} D ．{x |1≤x ＜4}2. 已知复数21z i=-，则下列结论正确的是（ ） A ．的虚部为iB ．2z = C ．的共轭复数1z i =-+ D ．为纯虚数3. 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．在等差数列中，前项和满足，则（ ）A ． 7B ． 9C ． 14D ． 185. 已知0.223log 7,log 8,0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 6. 定义在R 上的奇函数满足，且当时，，则（ ）A ．B ．C ．D ．17.在中，为边上的中线，点满足，则（ ）A ．5166AC AB - B ．5166AC AB + C ．1566AC AB -D ． 1566AC AB + 8. 已知，则（ ）A. B. C. D.9. 函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.将函数 的图象向左平移个单位得到函数的图象D.若方程在上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个三棱锥的三视图， 则该三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 设数列{}n a 满足12a =，且，若[]x 表示不超过x 的最大整数，（例如[][]1.61, 1.62=-=-）则＝（ ）A ．2021B ．2021C ．2021D ．202112. 已知函数方程有5个不同的实根，则取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 已知曲线 在处的切线过点，那么实数 _______．14. 设向量且，则向量在向量方向上的投影是 .15.如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 .16. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a ，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，则 （1）；（2）如果对恒成立，那么线段的长度a 的取值范围是_______.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数f (x )＝12x 2＋12x 的图像上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：T n < 34.18.（本小题满分12分） 如图，三棱柱的所有棱长都是2，面，分别是的中点.（1）求证：平面; （2）求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分） 汕头市有一块如图所示的海岸，，为岸边，岸边形成角，现拟在此海岸用围网建一个养殖场，现有以下两个方案： 方案l ：在岸边，上分别取点，用长度为的围网依托岸边围成三角形. 方案2：在的平分线上取一点，再从岸边，上分别取点，使得，用长度为的围网依托岸边围成四边形.记三角形的面积为，四边形. 请分别计算的最大值，并比较哪个方案好.D EA 1AC 1CB 1 B20.（本小题满分12分）设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心．（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．21. （本小题满分12分）已知函数， g(x)＝x2e ax (a∈R).（1）证明：的导函数在区间上存在唯一零点；（2）若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.注：复合函数y=e ax的导函数=a e ax.请考生从第22、23两题中任选一题作答。
广东省汕头金山中学2021届高三上学期期末考试（文数）word版
金山中学2011届高三上学期期末考试 文科数学试题一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分）1．已知53)2sin(=+απ，则αcos 的值是 （ ）A ．53-B ．53±C ．54D ．532．已知集合为则N M x x x N x x M ⋂>--=≤≤-=},06|{},74|{2（ ）A ．}7324|{≤<-<≤-x x x 或B ．}7324|{<≤-≤<-x x x 或C ．}32|{>-≤x x x 或D ．}32|{≥-<x x x 或3．在ABC ∆中，“0>⋅AC AB ”是“ABC ∆为锐角三角形”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）A ．64B ．81C ．128D ．2435．设向量a b 与的模分别为6和5，夹角为120︒，则||a b +等于（ ）A ．23 B ．23- C ．91 D ．31 6．数列{}n a 中，23n a n =+，前n 项和2(*)n S an bn c n N =++∈，a 、b 、c 为常数，则a -b +c =（）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-7．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x b b =++为常数），则(1)f -=（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．38．已知)3sin(3)3cos()(ϕϕ+-+=x x x f 为偶函数，则ϕ可以取的一个值为（ ）A ．π6B ．π3C ．－π6D ．－π39．对于任意实数a ，b ，定义, ,min{,}, .a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是 （ ）A ． 0 B.1 C.2 D.310．已知()f x 为偶函数，且(1)(3),20,()3xf x f x x f x +=--≤≤=当时,若*2011,(),n n N a f n a ∈==则 （ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．3二、填空题（每小题5分，共20分）11．已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+=.12．在ABC ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是.13．设a a b +-113和是的等比中项，则b a 3+的最大值为.14．给出下面的四个命题：①函数sin(2)3y x π=+的最小正周期是2π; ②函数3sin()2y x π=-在区间3[,]2ππ上单调递增; ③54x π=是函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴．④函数)sin(2)(x x f ω=在]4,3[ππ-上是增函数，ω可以是1或2。
广东省汕头市金山中学2020-2021学年高三上学期期末数学(理)试题
17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的取值范围．
18．已知 为等差数列，前n项和为 ， 是首项为2的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
19．如图，在四棱锥 中，平面ABCD平面PAD， ， ， ， ，E是PD的中点．
当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；
2．D
【分析】
利用向量加法和减法运算，求得 的表达式.
【详解】
依题意 .
故选：D.
【点睛】
本小题主要考查向量加法和减法运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．
【详解】
记每天走的路程里数为{an}，
对于命题 ，由于 ，所以 ，所以 .
所以 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围.考查存在性问题和恒成立问题的求解策略，属于基础题.
6．A
【分析】
对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．
【详解】
当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；
③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．
④化基本量求和．直接将基本量代入前 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．
4．D
【分析】
根据三视图判断出几何体的结构，由此计算出几何体的体积.
广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
2021-2021学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三〔上〕期中数学试卷〔文科〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．假设集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，那么集合A可能是〔〕A．{1，2}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1}D．R2．复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．平面向量、满足•〔+〕=5，且||=2，||=1，那么向量与夹角的余弦值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣4．执行如下图的程序框图，假设输入的a值为1，那么输出的k值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．在?张邱建算经?中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日〞，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的〔〕A．33% B．49% C．62% D．88%6．某几何体的三视图如下图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的体积为〔〕A． B．C． D．7．为了得到y=cos2x，只需要将y=sin〔2x+〕作如下变换〔〕A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．假设A为不等式组表示的平面区域，那么当a从﹣2连续变化到1时，那么直线x+y=a扫过A中的那局部区域的面积为〔〕A．1 B．C．D．9．A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，假设三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，那么球O的体积为〔〕A．81πB．128π C．144π D．288π10．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1〔a＞b＞0〕，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．11．函数f〔x〕=，那么关于方程f〔|x|〕=a，〔a∈R〕实根个数不可能为〔〕A．2 B．3 C．4 D．512．函数f〔x〕=Asin〔2x+φ〕〔|φ|≤，A＞0〕局部图象如下图，且f〔a〕=f〔b〕=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，假设f〔x1〕=f〔x2〕，有f〔x1+x2〕=，那么〔〕A．f〔x〕在〔﹣，〕上是减函数B．f〔x〕在〔﹣，〕上是增函数C．f〔x〕在〔，〕上是减函数D．f〔x〕在〔，〕上是增函数二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，总分值20分〕13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为．14．x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，那么+的最小值是．15．抛物线y2=2px〔p＞0〕上一点M〔1，m〕到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，假设双曲线一条渐近线与直线AM垂直，那么实数a=．16．设函数f〔x〕=，g〔x〕=，对任意x1，x2∈〔0，+∞〕，不等式≤恒成立，那么正数k的取值范围是．三、解答题〔本大题共5小题，共70分．〕17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．〔1〕求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；〔2〕设a n b n=，S n为数列{b n}的前n项和，假设不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．18．国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n〔单位：百人〕的关系有如下规定：当n∈[0，100〕时，拥挤等级为“优〞；当n∈[100，200〕时，拥挤等级为“良〞；当n∈[200，300〕时，拥挤等级为“拥挤〞；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤〞．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：〔Ⅰ〕下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；游客数量[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400]〔单位：百人〕天数 a 10 4 1频率 b〔Ⅱ〕某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率．19．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH〔1〕求证：平面AGH⊥平面EFG〔2〕假设a=4，求三棱锥G﹣ADE的体积．20．椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+〔y﹣b〕2=a2相切．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；〔3〕在〔2〕的条件下求△AMN面积的最大值．21．函数f〔x〕=a〔x﹣1〕〔e x﹣a〕〔常数a∈R且a≠0〕．〔Ⅰ〕证明：当a＞0时，函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕存在两个极值点x1，x2，证明：0＜f〔x1〕＜且0＜f〔x2〕＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：〔t为参数〕，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．〔1〕写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；〔2〕设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|2x﹣a|+|2x+3|，g〔x〕=|x﹣1|+2．〔1〕解不等式|g〔x〕|＜5；〔2〕假设对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，求实数a的取值范围．2021-2021学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三〔上〕期中数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．假设集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，那么集合A可能是〔〕A．{1，2}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1}D．R【考点】子集与真子集．【分析】集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，那么故A⊆B，进而可得答案．【解答】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中{1，2}满足要求，应选：A2．复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===的共轭复数为在复平面上对应的点为在第四象限．应选：D．3．平面向量、满足•〔+〕=5，且||=2，||=1，那么向量与夹角的余弦值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行向量数量积的运算便可得出，从而得出向量夹角的余弦值．【解答】解：根据条件，=；∴．应选：C．4．执行如下图的程序框图，假设输入的a值为1，那么输出的k值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的a值为1，那么b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，应选：B5．在?张邱建算经?中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日〞，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的〔〕A．33% B．49% C．62% D．88%【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n}，且a1=5，a30=1，设公差为d，那么1=5+29d，解得d=﹣．∴S10=5×10+=．S30==90．∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的×≈0.49=49%．应选：B．6．某几何体的三视图如下图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的体积为〔〕A． B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一局部，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一局部，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．应选：D．7．为了得到y=cos2x，只需要将y=sin〔2x+〕作如下变换〔〕A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=sin〔2x+〕=cos〔2x﹣〕=cos2〔x﹣〕的图象向左平移个单位，可得y=cos2x的图象，应选：C．8．假设A为不等式组表示的平面区域，那么当a从﹣2连续变化到1时，那么直线x+y=a扫过A中的那局部区域的面积为〔〕A ．1B ．C ．D ．【考点】简单线性规划．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x +y=a 的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB ，动直线x +y=a 〔即y=﹣x +a 〕在y 轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC 是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC 是直角边为1等腰直角三角形， 所以区域的面积S 阴影=S △ADC ﹣S △EOC =×3×﹣×1×1= 故答案为：D ．9．A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=60°，C 为该球面上的动点，假设三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，那么球O 的体积为〔 〕 A ．81π B ．128π C ．144π D ．288π 【考点】球的体积和外表积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为18，求出半径，即可求出球O 的体积．【解答】解：如下图，当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB =，故R=6，那么球O 的体积为πR 3=288π， 应选D ．10．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1〔a＞b＞0〕，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=〔a+a+2c〕•r=•〔2a+2c〕×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案选：C．11．函数f〔x〕=，那么关于方程f〔|x|〕=a，〔a∈R〕实根个数不可能为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得求函数y=f〔|x|〕的图象和直线y=a的交点个数．作出函数y=f〔|x|〕的图象，平移直线y=a，即可得到所求交点个数，进而得到结论．【解答】解：方程f〔|x|〕=a，〔a∈R〕实根个数即为函数y=f〔|x|〕和直线y=a的交点个数．由y=f〔|x|〕为偶函数，可得图象关于y轴对称．作出函数y=f〔|x|〕的图象，如图，平移直线y=a，可得它们有2个、3个、4个交点．不可能有5个交点，即不可能有5个实根．应选：D．12．函数f〔x〕=Asin〔2x+φ〕〔|φ|≤，A＞0〕局部图象如下图，且f〔a〕=f〔b〕=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，假设f〔x1〕=f〔x2〕，有f〔x1+x2〕=，那么〔〕A．f〔x〕在〔﹣，〕上是减函数B．f〔x〕在〔﹣，〕上是增函数C．f〔x〕在〔，〕上是减函数D．f〔x〕在〔，〕上是增函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出函数f〔x〕的最小正周期，且b﹣a为半周期，再根据f〔x1〕=f 〔x2〕时f〔x1+x2〕的值求出φ的值，从而写出f〔x〕的解析式，判断f〔x〕的单调性．【解答】解：∵f〔x〕=Asin〔2x+φ〕，∴函数最小正周期为T=π；由图象得A=2，且f〔a〕=f〔b〕=0，∴•=b﹣a，解得b﹣a=；又x1，x2∈[a，b]，且f〔x1〕=f〔x2〕时，有f〔x1+x2〕=，∴sin[2〔x1+x2〕+φ]=，即2〔x1+x2〕+φ=，且sin〔2•+φ〕=1，即2•+φ=，解得φ=，∴f〔x〕=2sin〔2x+〕；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f〔x〕在区间[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z上是单调增函数，∴f〔x〕在区间〔﹣，〕上是单调增函数．应选：B．二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，总分值20分〕13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为12．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故答案为：12．14．x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，那么+的最小值是4．【考点】根本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=〔x+3y〕lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合根本不等式求解即可．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=〔x+3y〕lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，那么x+3y=1，进而由根本不等式的性质可得，=〔x+3y〕〔〕=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．15．抛物线y2=2px〔p＞0〕上一点M〔1，m〕到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，假设双曲线一条渐近线与直线AM垂直，那么实数a=．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M〔1，4〕，由AM的斜率可求出a的值．【解答】解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M〔1，4〕，那么AM的斜率为2，由得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．16．设函数f〔x〕=，g〔x〕=，对任意x1，x2∈〔0，+∞〕，不等式≤恒成立，那么正数k的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用参数别离法将不等式恒成立进行转化，利用根本不等式求出函数f〔x〕的最小值，利用导数法求出函数g〔x〕的最大值，利用最值关系进行求解即可．【解答】解：对任意x1，x2∈〔0，+∞〕，不等式≤恒成立，那么等价为≤恒成立，f〔x〕==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f〔x〕的最小值是2，由g〔x〕=，那么g′〔x〕==，由g′〔x〕＞0得0＜x＜1，此时函数g〔x〕为增函数，由g′〔x〕＜0得x＞1，此时函数g〔x〕为减函数，即当x=1时，g〔x〕取得极大值同时也是最大值g〔1〕=，那么的最大值为=，那么由≥，得2ek≥k+1，即k〔2e﹣1〕≥1，那么，故答案为：．三、解答题〔本大题共5小题，共70分．〕17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．〔1〕求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；〔2〕设a n b n=，S n为数列{b n}的前n项和，假设不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】〔1〕设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意可知，解得即可，〔2〕求出数列b n的通项公式，根据裂项求和求出S n，即可求出t的范围．【解答】解：〔1〕设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S9=90，S15=240，得，解得a1=d=2，∴a n=2+2〔n﹣1〕=2n，S n=2n+=n〔n+1〕，〔2〕∵a n b n=，∴b n==〔﹣〕，∴S n=〔1﹣+…+﹣〕=〔1﹣〕＜，∴不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，∴t≥18．国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n〔单位：百人〕的关系有如下规定：当n∈[0，100〕时，拥挤等级为“优〞；当n∈[100，200〕时，拥挤等级为“良〞；当n∈[200，300〕时，拥挤等级为“拥挤〞；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤〞．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：〔Ⅰ〕下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；游客数量[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400]〔单位：百人〕天数 a 10 4 1频率 b〔Ⅱ〕某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率．【分析】〔Ⅰ〕游客人数在[0，100〕范围内的天数共有15天，由此能求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．〔Ⅱ〕利用列举法求出从5天中任选两天的选择方法的种数和其中游客等级均为“优〞的有多少种，由此能求出他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率．【解答】解：〔Ⅰ〕游客人数在[0，100〕范围内的天数共有15天，故a=15，b=，…游客人数的平均数为=120〔百人〕．…〔Ⅱ〕从5天中任选两天的选择方法有：〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔1，5〕，〔2，4〕，〔2，5〕，〔3，4〕，〔3，5〕，〔4，5〕，共10种，…其中游客等级均为“优〞的有〔1，4〕，〔1，5〕，〔4，5〕，共3种，故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率为．…19．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH〔1〕求证：平面AGH⊥平面EFG〔2〕假设a=4，求三棱锥G﹣ADE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】〔1〕连接FH，由题意，知CD⊥平面BCFG，从而CD⊥GH．再求出GH⊥FG，由此能证明平面AGH⊥平面EFG．〔2〕由V G﹣ADE =V E﹣ADE，能求出三棱锥G﹣ADE的体积．【解答】证明：〔1〕连接FH，由题意，知CD⊥BC，CD⊥CF，∴CD⊥平面BCFG．又∵GH⊂平面BCFG，∴CD⊥GH．又∵EF∥CD，∴EF⊥GH，…由题意，得BH=，CH=，BG=，∴GH2=BG2+BH2=，FG2=〔CF﹣BG〕2+BC2=，FH2=CF2+CH2=，那么FH2=FG2+GH2，∴GH⊥FG．…又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG．…∵GH⊂平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．…解：〔2〕∵CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，∴CF∥BG，又∵ED∥CF，∴BG∥ED，∴BG∥平面ADE，∴V G﹣ADE =V E﹣ADE，∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE，∴三棱锥G﹣ADE的体积V G﹣ADE =V E﹣ADE=．20．椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+〔y﹣b〕2=a2相切．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；〔3〕在〔2〕的条件下求△AMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕根据椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+〔y﹣b〕2=a2相切，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；〔2〕由得〔m2+4〕y2﹣4my=0，求出M的坐标，同理可得N的坐标，分类讨论，即可证明结论；〔3〕求出三角形的面积，变形，利用根本不等式求△AMN面积的最大值．【解答】解：〔1〕由题意即…〔2〕∵A〔﹣2，0〕设l1：x=my﹣2，由得〔m2+4〕y2﹣4my=0∴同理∴i〕m≠±1时，过定点ii〕m=±1时过点∴l MN过定点〔3〕由〔2〕知=令时取等号，∴时去等号，∴21．函数f〔x〕=a〔x﹣1〕〔e x﹣a〕〔常数a∈R且a≠0〕．〔Ⅰ〕证明：当a＞0时，函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕存在两个极值点x1，x2，证明：0＜f〔x1〕＜且0＜f〔x2〕＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】〔Ⅰ〕证明：当a＞0时，f′〔x〕=0只有一个根，即可证明函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕求出函数f〔x〕存在两个极值的等价条件，求出a的取值范围，结合不等式的性质进行求解即可．【解答】〔Ⅰ〕证明：函数的导数f′〔x〕=a[e x﹣a+〔x﹣1〕e x]=a〔xe x﹣a〕，当a＞0时，由f′〔x〕=0，得xe x=a，即e x=，作出函数y=e x和y=的图象，那么两个函数的图象有且只有1个交点，即函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当a＞0时，函数f〔x〕有且只有一个极值点；不满足条件，那么a＜0，∵f〔x〕存在两个极值点x1，x2，∴x1，x2，是h〔x〕=f′〔x〕=a〔xe x﹣a〕的两个零点，令h′〔x〕=a〔x+1〕e x=0，得x=﹣1，令h′〔x〕＞0得x＜﹣1，令h′〔x〕＜0得x＞﹣1，∴h〔x〕在〔﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞〕上是减函数，∵h〔0〕=f′〔0〕=﹣a2＜0，∴必有x1＜﹣1＜x2＜0．令f′〔t〕=a〔te t﹣a〕=0，得a=te t，此时f〔t〕=a〔t﹣1〕〔e t﹣a〕=te t〔t﹣1〕〔e t﹣te t〕=﹣e2t t〔t﹣1〕2=﹣e2t〔t3﹣2t2+t〕，∵x1，x2，是h〔x〕=f′〔x〕=a〔xe x﹣a〕的两个零点，∴f〔x1〕=﹣e〔x13﹣2x12+x1〕，f〔x2〕=﹣e〔x23﹣2x22+x2〕，将代数式﹣e2t〔t3﹣2t2+t〕看作以t为变量的函数g〔t〕=﹣e2t〔t3﹣2t2+t〕．g′〔t〕=﹣e2t〔t2﹣1〕〔2t﹣1〕，当t＜﹣1时，g′〔t〕=﹣e2t〔t2﹣1〕〔2t﹣1〕＞0，那么g′〔t〕在〔﹣∞，﹣1〕上单调递增，∵x1＜﹣1，∴f〔x1〕=g〔x1〕＜g〔﹣1〕=，∵f〔x1〕=﹣e x1〔x1﹣1〕2＞0，∴0＜f〔x1〕＜，当﹣1＜t＜0时，g′〔t〕=﹣e2t〔t2﹣1〕〔2t﹣1〕＜0，那么g′〔t〕在〔﹣1，0〕上单调递减，∵﹣1＜x2＜0，∴0=g〔0〕=g〔x2〕=f〔x2〕＜g〔﹣1〕=综上，0＜f〔x1〕＜且0＜f〔x2〕＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：〔t为参数〕，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．〔1〕写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；〔2〕设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】〔1〕利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；〔2〕把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算|PQ|．【解答】解：〔1〕∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为〔x﹣2〕2+y2=4，由〔t为参数〕消去t得：．所以直线l的普通方程为．〔2〕把代入x2+y2=4x得：t2﹣3t+5=0．设其两根分别为t1，t2，那么t1+t2=3，t1t2=5．所以|PQ|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|2x﹣a|+|2x+3|，g〔x〕=|x﹣1|+2．〔1〕解不等式|g〔x〕|＜5；〔2〕假设对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】〔1〕利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．〔2〕利用条件说明{y|y=f〔x〕}⊆{y|y=g〔x〕}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：〔1〕由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…〔2〕因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，所以{y|y=f〔x〕}⊆{y|y=g〔x〕}，又f〔x〕=|2x﹣a|+|2x+3|≥|〔2x﹣a〕﹣〔2x+3〕|=|a+3|，g〔x〕=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…2021年1月6日。
广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考数学试题
广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A Z =，(){}2ln 9B x y x ==-，则AB 为（ ）A ．{}2,1,0--B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}0,1,2D ．1,0,1,22．已知向量(cos ,2)a α=-， ()sin ,1b α=，且//a b ，则 2sin cos αα等于（ ） A ．45-B ．-3C ．3D ．453．若命题“0x R ∃∈，使得200x mx 2m 30++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[]2,6B ．[]6,2--C ．()2,6D ．()6,2--4． 设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知i 为虚数单位，复数z 满足121ii z-=++，则z =（ ）A ．1B C D ．56．设函数()32tan 21f x ax b x c x =+⋅++，如果()210f =，则()2f -的值是（ ） A ．-10B ．8C ．-8D ．-77．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．68．已知点P 为函数()ln f x x =的图象上任意一点，点Q 为圆2211x e y e ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦上任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ）A ．e e B ．e e - C ．e e- D ．11e e+- 9．设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知k 0<或4k >时，()0f x k -=只有一个实根，当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，给出下列命题： ①()40f x -=和'()0f x =有一个相同的实根； ②()0f x =和'()0f x =有一个相同的实根；③()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根； ④()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根． 其中正确命题的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．010．已知偶函数()y f x =对于任意的[0,)2x π∈满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（ ）A ()()34f ππ-<B ()()34f ππ-<-C ．(0)()4f π>-D ．()()63f ππ<二、多选题11．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 是其三内角，则下列一定成立的有（ ） A ．()sin sin sin A B A B +>+ B ．sin cos A B >C ．sin cos B A >D ．sin sin 2cos A B C +<12．下列指定的函数()f x 中，一定有()00f =的有（ ） A ．指定的函数()f x 是奇函数；B ．指定的函数()f x 满足：,x y R ∀∈，都有()()()1()()f x f y f x y f x f y --=+；C ．指定的函数()f x 满足：,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=且当0x >时，()1f x >；D ．设())lgh x x =，指定的函数()f x 满足：,x y R ∀∈都有()()()f x h x y h x y =++-.三、双空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2321n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式是_______，1359a a a a +++⋅⋅⋅+=_______.四、填空题14．已知ABC 的内角3A π=，3AB =，2AC =，O 为ABC 所在平面上一点，且满足OA OB OC ==，AO mAB nAC =+，则96m n +的值为_______. 15．若函数()f x 为R 上的单调递增函数，且对任意实数x ∈R ，都有()1xf f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦（e 是自然对数的底数），则()ln 2f =_______. 16．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知274sin 2cos 222A B C +-=，且5a b +=，c =ABC 的面积为_______.五、解答题17．已知()3,2a =-，()2,1b =，O 为坐标原点.（1）若ma b +与2a b -的夹角为钝角，求实数m 的取值范围； （2）设OA a =，OB b =，求OAB 的面积.18．已知函数()24sin 214πf x x x ⎛⎫=+--⎪⎝⎭，且给定条件p ：“42ππx ≤≤”.（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若又给条件q ：“()2f x m -<”，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围. 19．已知函数2()2f x x x x a =+-，其中a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式4()16f x ≤≤在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围． 20．如图，在ABC 中，3B π∠=，D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，AC =4CED π∠=.（1）求CE 的长；（2）若5CD =，求cos DAB ∠的值.21．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果N n *∀∈都有112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nb a =， 数列{}n b 的前n 项的和为n T ，试证明：22n T n <. 22．已知关于x 的函数()()()()22ln ,g x a x x R f x x g x x=-∈=+ ， （I ）试求函数()g x 的单调区间；（II ）若()f x 在区间()0,1 内有极值，试求a 的取值范围；（III ）0a > 时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x .（注：[]0x 为取整函数，表示不超过0x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42,==-=- ；以下数据供参考：()ln20.6931,ln3 1.099,ln5 1.609,ln7 1.946====参考答案1．B 【分析】根据对数函数的性质，求得{}33B x x =-<<，再结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由不等式290->x ，解得33x -<<，即集合(){}{}2ln 933B x y x x x ==-=-<<，又由A Z =，所以{}2,1,0,1,2A B =--.故选：B. 【点睛】本题主要考查集合交集的概念及运算，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中根据对数函数的图象与性质，正确求解集合B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．A 【解析】试题分析：由已知，，又，故，所以2sin cos αα.考点：向量平行等价条件、三角函数同角关系式． 3．A 【详解】试题分析：因命题“0x ∃∈R ，使得x 02+mx 0+2m-3<0”为假命题，故 “,x R ∀∈x 2+mx+2m-3≥0恒成立”为真命题，由二次函数开口向上，故24(23)0,[2,6]m m m ∆=--≤∴∈考点：特称命题. 4．B 【分析】只需举出反例说明不充分即可，利用等比数列的性质论证必要性 【详解】当14,1,1,4a b c d ====时，a b c d ,,,不成等比数列，所以不是充分条件； 当a b c d ,,,成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件.综上所述，“ad bc =”是“a b c d ,,,成等比数列”的必要不充分条件 故选B. 【点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“p q ⇒”以及“q p ⇒”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题. 5．A 【分析】先利用复数的除法运算求解z,再求模长即可 【详解】由题可得1(2)(1)i i z -=++,则z=12111222i i iii i4355i --，||1z ==故选A . 【点睛】本题考查复数的运算，模长公式，熟记运算及公式准确计算是关键，是基础题 6．B 【分析】令()3tan g x ax b x c =+⋅+()()g x g x -=-，化简计算可求得结果. 【详解】令()3tan g x ax b x c =+⋅+则()()g x g x -=-，所以()()221f x g x x =++，由()210f =可知，()()224=2110f g =+⨯+，即()12=g ，()()()2=929=1298f g g --+=-+-+=，故选：B. 【点睛】本题考查奇函数性质，考查计算能力，属于基础题.7．A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-， 可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=- 两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-，所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123n n n S ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--， 所以211(2)123k k S ⎡⎤<=---<⎣⎦， 所以5(219)2k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题. 8．A 【分析】将PQ 的最小值，转化为P 到圆心的最小距离再减去半径来求得PQ 的最小值.设出函数ln x 上任意一点的坐标，求得圆心C 的坐标，利用两点间的距离公式求得PC 的表达式，利用导数求得这个表达式的最小值，再减去1求得PQ 的最小值. 【详解】依题意，圆心为1,0C e e ⎛⎫+⎪⎝⎭，设P 点的坐标为(),ln x x ，由两点间距离公式得()222222111ln 2ln PC x e x x e x e x e e e ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，设()222112ln f x x e x e x e e ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12ln 22x f x x e e x ⎛⎫=-++⎪⎝'⎭()ln 122x x e xe ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，令'0f x解得x e =，由于'2ln 1ln x xx x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知当()0,x e ∈时，ln x x 递增，(),x e ∈+∞时，'ln 0x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，ln x x 递减，故当x e =时取得极大值也是最大值为1e，故ln 10x x e -≤，故()0,x e ∈时，0x e -<且ln 10x x e -<，所以()'0f x <，函数单调递减.当(),x e ∈+∞时，()()2'22ln 1x x f x x -+⎡⎤=⎣'⎦，()2'2121ln 12x x x x x x--+=-=，当x e >时，()'2ln 10x x -+>，即2ln 1x x -+单调递增，且22ln 10e e e -+=>，即()'0f x ⎡⎤⎦'>⎣，()'fx 单调递增，而()0f e '=，故当(),x e ∈+∞时，()'0f x >函数单调递增，故函数在x e =处取得极小值也是最小值为()211f e e =+，故PC e=，此时1e PQ e e =-=.故选A.【点睛】本小题主要考查圆的方程，考查导数在研究函数中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9．A 【解析】根据三次函数()32f x x bx cx d =+++，满足对k 是一个常数，当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根，当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根这样的条件，满足画出函数()f x 的模拟图象如图：()32f x x bx cx d =+++,当04k k 或时，()0f x k -=只有一个实数根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极小值为0，极大值为4，故()40f x -= 与()0f x '=有一个相同的实数根，即极大值点，故（1）正确.()0f x =与()0f x '= 有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确； ()30f x +=有一实根且函数最小的零点，()10f x -=有3个实根均大于函数的最小零点，故（3）错误； ()50f x +=有一实根且小于函数最小零点，()20f x -=有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；所以A 选项正确.【点睛】三次函数图象时，要关注三次函数的极值点个数，三次函数的三次项系数为正，如果有两个极值点，那么函数为先再减最后增，满足对k 是一个常数，当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根，当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根这样的条件，说明有极小值为0，极大值为4，据此可画出函数的模拟图像，数形结合，逐一验证. 10．D 【解析】 试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以()3()63f f ππ<,故应选D.考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解. 11．BC 【分析】由正弦定理可判断A ；由90A B +>︒结合正弦函数的单调性、诱导公式可判断BC ；由BC 结论可判断D. 【详解】对于A ，在三角形中，两边之和大于第三边，则a b c +>，由正弦定理得()sin sin sin sin A B C A B +>=+，故A 错误.因为ABC 是锐角三角形，所以()90sin sin 90cos A B A B B +>︒⇒>︒-=所以B 对，同理C 对；对于D ，由于sin cos A C >，sin cos sin sin 2cos B C A B C >⇒+>，所以D 错.故选：BC. 【点睛】本题考查三角形中角对应的正弦余弦大小关系，属于基础题. 12．BD 【分析】由()f x 在0x =处可能没有意义可判断A ；令x y =可判断B ；令0,2x y ==可判断C ；直接可计算()0f ，即可判断D. 【详解】对于A ，函数()f x 在0x =处可能没有意义，所以A 错； 对于B ，令()f x 中x y =得()00f =，所以B 对；对于C ，令0x =，()()()2202y f f f =⇒=因为有()21f >，∴()20f ≠，()010f =≠，所以C 错；对于D ，由()22(0)()()lg 10f h y h y y y =+-=+-=，所以D 对.故选：BD. 【点睛】本题考查抽象函数的相关计算，属于基础题.13．()()61612n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩146【分析】根据已知n 与n S 的关系式，利用11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩求数列{}n a 的通项公式；由所得通项公式有奇数项通项公式为21125n a n +=+，求前9项中奇数项的和即可. 【详解】由2321n S n n =++，当1n =时，211312116a S ==⨯+⨯+=，当2n ≥时，2213213(1)2(1)161n n n a S S n n n n n -=-=++-----=-，∴()()61612n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩， ∴奇数项通项为21125n a n +=+，*n N ∈，39135914()...62(12151245)1462a a a a a a a ⨯+++++=+=+⨯⨯++⨯+=.故答案为：()()61612n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩；146.【点睛】本题考查了利用n a 与n S 的关系求数列通项公式，求前n 项中奇数项的和，注意奇数项构成等差数列，属于基础题. 14．5 【分析】由题意可知，O 为ABC 外接圆的圆心，在圆O 中，延长AO 交BC 于点D ，已知等式两边同乘以AB 得：623m n +=，同理得：342m n +=，从而有：965m n +=. 【详解】由题意可知，O 为ABC 外接圆的圆心，设半径为r ，在圆O 中，过O 作,OD AB OE AC ⊥⊥，AO mAB nAC =+，两边乘AB ，2AO AB mAB nAC AB ⋅=∴+⋅，31239232r m n r ∴⨯⨯=+⨯⨯⨯，得623m n +=，同理两边乘AC ，2AO AC mAB AC nAC ⋅=⋅+∴,1123242r m n r ∴⨯⨯=⨯⨯⨯+，得342m n +=，从而有：965m n +=. 故答案为：5. 【点睛】本题考查向量数量积的运算，属于中档题. 15．3 【分析】先利用换元法求出函数()f x 的表达式，然后求解()ln 2f 的值. 【详解】设()xt f x e =-，则()xf x e t =+，则条件等价为()1f t e +=，令x t =，则()1tf t e t e =+=+，因为函数()f x 为单调递增函数， 所以t 只有唯一解，1t =， 所以()1xf x e =+，即()ln2ln 21213f e=+=+=.故答案为：3. 【点睛】本题考查函数解析式的求解及应用问题，较简单，确定出函数解析式是关键.16【分析】 首先根据274sin2cos 222A B C +-=得到1cos 2C =，根据余弦定理得到6ab =，再计算ABC 的面积即可.【详解】 因为274sincos 222A B C +-=，所以()2721cos 2cos 12A B C -+-+=⎡⎤⎣⎦，2722cos 2cos 12C C +-+=，21cos cos 04C C -+=，解得1cos 2C =， 根据余弦定理有2222cos c a b ab C =+-，即()222727ab a b a b ab =+-=+--，解得6ab =.又因为sin C =，所以11sin 622S ab C ==⨯=【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，同时考查了正弦定理的面积公式和三角函数的恒等变换，属于简单题. 17．（1）116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）72S =. 【分析】（1）由题意，求得,2ma b a b +-的坐标，令()()20ma b a b +⋅-<，解得65m <，再由当12m =-时，得到2a b -与ma b +方向相反，求得12m ≠-，即可求解； （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意，向量()3,2a =-，()2,1b =，可得()32,21ma b m m +=+-+，()21,4a b -=--， 令()()20ma b a b +⋅-<，即32840m m --+-<，解得65m <， 当12m =-时，12ma b a b +=-+， 此时2a b -与ma b +方向相反，夹角为π，不合题意，∴12m ≠-，综上可得，实数m 的取值范围为116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅， 因为222sin 1cos 1a ba b θθ⎛⎫⋅⎪=-=- ⎪⋅⎝⎭， 又由()3,2a =-，()2,1b =，可得()22222224sin 651649S a b a b a b θ=⋅=-⋅=-=，解得72S =， 即OAB 的面积为72OABS =. 【点睛】本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．（1）()max 5f x =，()min 3f x =；（2）35m <<. 【分析】（1）首先根据降幂公式化简24sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，再根据辅助角公式化简函数()f x ，最后根据函数的定义域求函数的最值；（2）先解不等式得()f x 取值范围，再因为p 是q 的充分条件，得值域之间包含关系，解得m 的取值范围. 【详解】（1）()1cos 224212x f x x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⨯--，2sin 2214sin 213x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，42x ππ≤≤∴22633x πππ≤-≤，1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤∴-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴ ()[]3,5f x ∈()max 5f x =，()min 3f x =.（2）()22m f x m -<<+，p 是q 的充分条件，[]()3,52,2m m ∴⊆-+ 2325m m -<⎧⎨+>⎩，得35m <<. 【点睛】本题考查三角函数的化简和性质，以及与充分条件结合的子集问题求参数取值范围，意在考查转化和变形，计算求解能力，本题的第二问的关键是根据p 是q 的充分条件转化为()f x 取值范围的包含关系.19．（Ⅰ）当0a ≥时，()f x 在R 上递增；当0a <时，()f x 在(,)a -∞和(,)3a+∞上递增，在在(,)3a a 上递减；（Ⅱ）113a -≤≤-或535a ≤≤． 【详解】试题分析：（1）首先分类讨论将()f x 的表达式中的绝对值号去掉，可知其为两个二次函数构成的分段函数，利用二次函数的性质再对a 的分类讨论即可求解；（2）分析题意可知问题等价于min ()4f x ≥，max ()16f x ≤，从而问题等价转化为求函数()f x 的最值，而根据（1）中的结论可知()f x 在[1,2]上递增，建立关于a 的不等式，即可求解．试题解析：（1）∵2()2f x x x x a =+-，∴2222()()(){3()()33x a a x a f x a a x x a --+≤=-->，∴当0a ≥时，()f x 在(,)a -∞和(,)a +∞上均递增，又∵2()f a a =，∴()f x 在R 上递增 当0a <时，()f x 在(,)a -∞和(,)3a+∞上递增，在(,)3a a 上递减；（2）由题意只需min ()4f x ≥，max ()16f x ≤即可，由（1）可知，()f x 在[1,2]x ∈上恒递增，则min ()(1)1214f x f a ==+-≥⇒13a ≤-或53a ≥， max ()(2)4421615f x f a a ==+-≤⇒-≤≤，综上，实数a 的取值范围是15[1,][,5]33--⋃． 考点：1．函数的单调性；2．分类讨论的数学思想． 【方法点睛】关于恒成立问题可通过参变分离将其转化为函数最值问题来考虑，常见的重要结论有： 1．设()f x 在某个集合D 上有最小值，m 为常数，则()f x m ≥在D 上恒成立的充要条件是min ()f x m ≥；2．设()f x 在某个集合D 上有最大值，m 为常数，则()f x m ≤在D 上恒成立的充要条件是max ()f x m ≤．20．（1）CE =（2. 【分析】（1）在AEC ∆中可得AEC ∠的大小，运用余弦定理得到关于CE 的一元二次方程，通过解方程可得CE 的值；（2）中先在CDE ∆中由正弦定理得4sin 5CDE ∠=，并根据题意判断出CDE ∠为钝角，根据3DAB CDE π∠=∠-，求出cos DAB ∠．【详解】（1）因为344AEC πππ∠=-=，在AEC 中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，所以216064CE =++，所以2960CE +-=，所以CE =（2）在CDE △中，由正弦定理得sin sin CE CD CDE CED =∠∠，所以5sin 2CDE ∠=，所以4sin 5CDE ∠=.因为点D 在边BC 上，所以3CDE B π∠>∠=，而45<，所以CDE ∠只能为钝角，所以3cos 5CDE ∠=-， 所以cos cos cos cos sin sin 333DAB CDE CDE CDE πππ⎛⎫∠=∠-=∠+∠ ⎪⎝⎭314525=-⨯+=. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题 21．（1）=n a （2）证明见解析 【分析】（1）将()12n n n a S S n -=-≥代入112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得到2211n n S S --=，从而可知数列{}2nS 是等差数列，即可求出2nS的表达式，进而可得到n S 的表达式，再结合()12n n n a S S n -=-≥，可求出n a 的表达式；（2）由（1）可得nb 21n =-+22>+，可得42n b n <-，从而2610(42)n T n <++++-，通过计算可证明结论.【详解】（1）当1n =时，1111112S a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 整理得211a =，因为0n a >，所以11a =，当2n ≥时，11112n n n n n S S S S S --⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭，可得111n n n n S S S S --+=-，所以2211n n S S --=，即数列{}2n S 是一个以1为首项，1为公差的等差数列，所以21(1)n S n n =+-=，由0n a >，可得0n S >，则n S >所以，当2n ≥时，1-=-=n n n a S S经验证，11a =符合=n a所以正项数列{}n a的通项公式是=n a （2）由（1）得2221n n b a ===21n =-+因为20>，所以22>+，所以21n -+2221n +<-+42n =-， 即42n b n <-，从而122610(42)n n T b b b n =+++<++++-2(242)22n nn +-==.【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查数列不等式的证明，考查转化思想、放缩法的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 22．（I ）单调递减区间20,a ⎛⎫-⎪⎝⎭；单调递增区间2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（II ）f(x)在区间(0,1)内有极值，则a 的取值范围为(),0-∞.（III ）[]02x =. 【分析】（I ）由题意()g x 的定义域为()0,+∞ ()22ax g x x =-'+，对a 分类讨论：当a≥0时，当a ＜0时，即可得出单调性；（II ）()()2f x xg x =+ , 所以()f x 的定义域也为()0,+∞，且()3222x ax f x x--'=， 令h （x ）=2x 3-ax-2，x ∈[0，+∞），h′（x ）=6x 2-a ，当a ＜0时，可得：函数h （x ）在（0，1）内至少存在一个变号零点x 0，且x 0也是f′（x ）的变号零点，此时f （x ）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，由于函数f （x ）单调，因此函数f （x ）无极值．（III ）a ＞0时，由（II ）可知：f （1）=3知x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，因此x 0＞1．又f′（x ）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x 1，由题意可知：x 1即为x 0．得到()()0000f x f x ⎪⎩'⎧⎪⎨＝＝ ，即200030020220x alnx x x ax ⎧+-⎪⎨⎪--⎩＝＝ ，消去a 可得：3002131lnx x +-＝ ，a ＞0，令()()123321101t x lnx x t x x x =+-（）（＞），＝＞， 分别研究单调性即可得出x 0的取值范围． 【详解】（I ）由题意()g x 的定义域为()0,+∞ ()2222-a ax g x x x x +=-=-' （i ）若0a ≥，则()0g x '<在()0,+∞上恒成立，()0,+∞为其单调递减区间； （ii ）若0a <，则由()0g x '=得2x a=-， 20,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，2,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为其单调递减区间；2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭为其单调递增区间；（II ）()()2f x x g x =+ 所以()f x 的定义域也为()0,+∞，且()()()3'2222222ax x ax f x xg x x x x +--=+=-='' 令()()322,0,h x x ax x =--∈+∞ (*)则()26-h x x a =' (**)（i ）当0a <时, ()0h x '≥恒成立,所以为()0,+∞上的单调递增函数， 又，所以在区间内存在唯一一个零点，由于为()0,+∞上的单调递增函数，所以在区间内()()()()00000,001h x f x x x h x f x x x <⇔<⇔⇔⇔<'<'，从而在()000,,1x x 单调递减在区间（，）单调递增，所以此时在区间内有唯一极值且为极小值()0f x ，0a <适合题意, （ii ）当时,即在区间(0,1)上恒成立,此时, 无极值.综上所述,若在区间内有极值，则a 的取值范围为. (III) ,由（II ）且知时, .由(**)式知，()0h x +∞在区间（）单调递增．由于()020h =-<，所以()0,0x h x ∀∈<（，又由于0h <，()()()332121122550h a a a a a a a +=+-+-=++>所以()110,1h x x x a +∞∈+在区间（，）内有唯一零点设为且） 亦即()f x ' 10x +∞在区间（，）内有唯一零点，由()h x +∞）单调递增 从而得()()()()()()110,,0,0,0,0x x h x f x x x h x f x ∀∈∀'+'∈∞即；，即 所以，()()()110,f x x x +∞在递减；在，递增, 从而()()1f x f x 有最小值，又因为()f x 有唯一的零点0x ，所以 即为,消去a ,得 时令, 则在区间上为单调递增函数, 为单调递减函数, 且【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法，考查了分析问题与解决问题的方法，考查了零点存在但是求不出准确值的情况下的解决方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
广东省四校(佛山一中、广州六中、金山中学、中山一中)2024届高三上学期11月联考数学试题(解析版)
2024届高三级11月四校联考数学试题 佛山市第一中学、广州市第六中学 汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分 选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （ ）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=， 所以{|01}A B x x =< ≤=A ， 故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（ ）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（ ）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数， 根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ． 故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为 （ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（ ） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（ ）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥， 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==， 又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（ ）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>， 可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增， 又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−， 可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<， 注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ， 可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ， 所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=， 则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<， 所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ， 即4652S S S +=，故C 错误； 对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确； 故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（ ）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确； 故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（ ）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误； 且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误； 由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =， 令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ， 令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立， 可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=， 所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−， 由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−， 是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −， 则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−， 则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确； 对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −， 则112247−=f f f ， 因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ， 即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解． 【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△， 所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=． 所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=， 若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++， 对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−， 因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <， 即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增， 所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈． 故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值． 【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式． （2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值． 【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】 将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象， 因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ， 因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=， 所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】 因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−， 的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =， 此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =， 当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点， 又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=， 又201e e F =− <，()2e e 1F =， 作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<， 所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围； （2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2） 【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥， 当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ， 当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增， 当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ， 可知()g x ′在π0,2内单调递增， 因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =， 当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>； 所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减； 综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增， 所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−， 又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ， 因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥， 则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=， 即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立， 即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ， 当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立； 当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ， 即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ， 相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ， 为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ； 综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试题 理
广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期中试题 理一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则等于（ ）A. B. C.D.2．已知复数12z i =+，且复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则12z z =( ) A ．1i +B ．3455i + C ．3455i - D ．413i +3．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 4．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称5．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 6．如果'()f x 是二次函数，且'()f x 的图象开口向上，顶点坐标为3)，那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A ．(0,]3πB ．[,)32ππC ．2(,]23ππD ．[,)3ππ7．已知()()sin (0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈在一个周期内的图像如图所示，则()y f x =的图像可由函数cos y x =的图像（纵坐标不变）（ ）得到．A ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移6π单位 B ．先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π单位C ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π单位D ．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，，再向左平移12π单位 8．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）A.与的定义域都是B.为奇函数，为偶函数C.的值域为，的值域为 D.与都不是周期函数9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=（ ）A ．2B ．3C ．23D ．410．如图，可导函数()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，)'(h x 为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极大值点B ．0'()0h x =，0x 是()h x 的极小值点C ．0'()0h x ≠，0x 不是()h x 的极值点D ．0'()0h x ≠，0x 是()h x 是的极值点11．已知函数()()f x x ∈R 满足，若函数与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则1()miii x y =+=∑ （ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 12．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =--，给出以下结论：（1）若2a e -=，则()f x 存在唯一零点 （2）若1a >，则()0f x < （3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e-<-其中正确结论的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知一个扇形的周长为，则当该扇形的半径__________时，面积最大.14．如图，在直角三角形ABC 中，2AB =，60B ∠=，AD BC ⊥，垂足为D ，则 AB AD ⋅的值为_____ 15．已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________． 16．下列是有关ABC ∆的几个命题，①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形；②若sin2sin2A B =，则ABC ∆是等腰三角形；③若()0AB AC BC +⋅=，则ABC ∆是等腰三角形；④若 cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形； 其中所有正确命题的序号是_______三、解答题（共70分。
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A．1030 人
B．97 人
C．950 人
D．970 人
5．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首
创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上
下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分
成三组，经 90。榫卯起来，若正四棱柱的高为 6，底面正方
形的边长为 l，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的
22．(12 分)
已知点 F1(2,0) ，点 P 是圆 F2 : (x 2)2 y2 36 上的任意一点，线段 PF1 的垂直平分 线与直线 PF2 交于点 Q ，记动点 Q 的轨迹为曲线 C．
(I)求曲线 C 的方程；
(Ⅱ)设 l1. , l2 是分别过点 F1, F2 的两条平行直线，l1 交曲线 C 于 A,B 两个不同的点，l2 交
均收入为 6
万元，故 D 错误。
11. ABC 由 题 意 可 得 a 2a 3a 4a 5a 1 ， 所 以 a 1 ， 故 15a 1 ， 故 A 正 15
确 ; P(0.5 0.8) p( 0.6) 1 3 0.2 ， 故 B 正 确 ； 15
P(0.1 0.5) p( 0.2) p( 0.4) 1 1 1 2 3 0.2 ， 故 C 正 15 15 15
5 3 D． 2
1
8．已知双曲线 E 的中心为原点，F (3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点， 且 AB 的中点为 N (12,15) ,则 E 的离心率为( )
3 A． 2
3 B． 2
5 C． 2
35 D． 5
二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 20 分）
曲线 C 于 M,N 两个不同的点，求四边形 ABNM 面积的最大值．
5
数学参考答案
1．C 依题意得 A B {0,1,2} ，故选 C．
2．A
复数
z
满 足 (2 i) z 1 i5, 则
z
1 i5 2i
1i 2i
(1 i)(2 i)
2 i2 i
3 5
1 i, 5
所以
z 3 1 i,
15 12
0 3
12 b 2 15 a 2
4b 2 5a 2
,
4b2
5a2
，即
4(c2
a2)
5a 2 , 4c 2
9a 2 ,
得
e
c a
3 2
.
故选：B.
9 ． AB
椭圆
x2 y2 1 16 m 的 焦 距 为
2
7
，即
2c 2
7 得c
7. 依 题 意 得
16 m 7或m 16 7, 解得 m 9 或 m 23 ，m 的值为 9 或 23
确; P( 1) 1 1 0.3 ，故 D 不正确． 15
12．AD 对于 A，由指数函数的单调性可得 f (x) 在 R 上递增，即有 m 0 ，则 A 正确；对
于
B，由二次函数的单调性可得
面问题中并作答.
18．(12 分)
已知等差数列 an 满足 a5 4, 2a6 a9 18 ，等比数列 {bn} 的各项均为正数，且
b2 2, b3 b4 a4a5 . (I)求{an} 和{bn} 的通项公式；
(Ⅱ)设 Tn 为数列 anbn的前 n 项和，求满足 Tn 2020 的最大正整数 n ．
厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( )
A．41
B．42
C ． 43
D．44
6． Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立
了某地区新冠肺炎累计确诊病例数， I （t）（t 的单位：天）的 Logistic 模型：
I t
K 1 e 0.23(t53)
时，函数取得最小值为
5 a 1
2
2
，解得
a3
.所以
f (x) 2(sin x 1 )2 5 3 2(sin x 1 )2 1
22
22
由
于
sin
x
1
,
2
3
,
2
所
以
当
sin x
3 2
时，函数取得最大值为
2( 3 1 )2 1 5 3. 2 2 22
6
8．B
设双曲线的标准方程为
三、填空题（本大题共 4 小题，20 分）
13．在数列 a
n
中，
a1
1,
an 1
an
2
，则
a6
的值为＿＿＿.
14．已知二项式 ( 5x 1)3 a0 a1x a2x2 a3x3 ，则 a0 a2 2 a1 a3 2 =＿＿＿＿＿
15．正四棱锥 S-ABCD 底面边长为 2，高为 l，E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥表面上
m f (x1 ) f (x2 ) n g(x1 ) g(x2 )
x1 x2
，
x1 x2 下列说法正确的是（ ）
A．对于任意不相等的实数 x1, x2 都有 m 0 ;
2
B．对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1, x2 ，都有 n 0 ； C．对于任意的 a ，存在不相等的实数 x1, x2 ，使得 m n ； D．对于任意的 a ，存在不相等的实数 x1, x2 ，使得 m n .
,其中 K 为最大确诊病例数．当 I (t*) 0.95K 时，标志着已初步遏制
疫情，则 t*约为( ) (In19 3)
A．60
B．63
C．66
D．69
7．若函数
f
(x)
2 cos2
x
2 sin
x
a
[
在
6
,]
3 上的最小值为
1 2
，则
f
(x)
[
在
6
,
3
]
上的最大值为( )
A．4
B．5
3 3 C． 2
总分
[75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100]
KN90
6
14
42
31
7
KN95
4
6
47
35
8
(1)试分别估计两种口罩的合格率； (2)假设生产一个 KN90 口罩，若质量合格，则盈利 3 元，若为次品则亏损 1 元；生产 一个 KN95 口罩，若质量合格，则盈利 8 元，若为次品则亏损 2 元，在(1)的前提下， ①设 X 为生产一个 KN90 口罩和生产一个 KN95 口罩所得利润的和，求随机变量 X 的 分布列和数学期望； ②求生产 4 个 KN90 口罩所得的利)
5 5 复数 z 在复平面内对应的点 5 5 位于为第一象限.
3．D 先从 4 名学生中选择两名组成一个复合元素，然后再将 3 个元素（包含复合元素）安
排到甲、乙，丙三地，不同的安排方案共有 C42 A33 36 种．
1 4．D 中学共有学生 2000 人，抽取了一个容量为 200 的样本，抽取比例为 10 ，样本中男生
x2 a2
y2 b2
1 (a
0, b
0)
，设
A( x1 ,
y1)
， B(x2,
y2 ) ，则有：
x12 a2
y12 b2
1,
x22 a2
y22 b2
1
x12
，两式作差得：
a2
x22
y12 y22 b2
，即
y1 y2 x1 x2
b2 (x1 x2 ) a 2 ( y1 y2 )
，
F (3, 0) ，AB 的中点为 N ( 12 , 15 ),
恰为{an} 中的奇数项，
则所有正整数 m 组成的集合为＿＿＿＿.
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17．(10 分)
b sin A a cos(B )
在△ABC 中，
6
(1)求 B；
(2)若 c=5，＿＿＿＿.
求 a ，从① b 7 ，② C
4
这两个条件中任选一个，补充在上
103 人，样本中女生 97 人，中学共有女生 970 人．
1 36 4 1 41
5．A 由题意，该球形容器的半径的最小值为： 2
2 ，该球形容器的表面
4 41 41 . 积的最小值为 4
6．C
K 由题可知 1 e0.23(t 53)
0.95K , 1
所以
e 0.23 ( t 53 )
x2 y2 1 9．椭圆 16 m 的焦距为 2 7 ，则 m 的值为( )
A． 9
B． 23
C．16 7
D．16 7
10．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是( )
（注：结余=收入－支出） A．收入最高值与收入最低值的比是 3：l B．结余最高的月份是 7 月 C．1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D．前 6 个月的平均收入为 40 万元
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．将 4 名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生，
则不同的安排方案共有( )
A．12
B．18
C．24
D．36
4．某防疫站对学生进行健康调查，采用分层抽样的方法抽取样本．某中学共有学生 2000
人，抽取了一个容量为 200 的样本，样本中男生 103 人，则该中学共有女生( )人．
汕头市金山中学 2021 届高三年级上学期联考
数学
一、选择题（本大题共 8 小题，共 40 分）