高等数学-初等函数
高等数学上 函数 教案 初等函数
教师：接下来，我们学习第一节映射与函数中的函数。
一、函数 （板书）1. 函数的概念 （板书） 定义 设数集D ⊂R , 则称映射f : D →R 为定义在D 上的函数, 通常简记为y =f (x ), x ∈D ,其中x 称为自变量， y 称为因变量, D 称为定义域， 记作D f ， 即D f =D 。
函数值f (x )的全体构成的集合称为函数f 的值域，记作R f = f (D )={y| y =f (x ), x ∈D }.2. 函数的两要素 （板书）构成函数的两个重要因素：定义域及对应法则 .如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.（熟记）3. 常见函数 （板书）（1） 函数 2y = 定义域D =(-∞, +∞)，值域W ={2}（2） 绝对值函数：⎩⎨⎧<-≥==00 ||x x x x x y 其定义域为D =(-∞, +∞)， 值域为R f =[0, +∞)。
（3） 符号函数：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y 其定义域为D =(-∞, +∞)， 值域为R f ={-1, 0, 1}。
（4） 取整函数：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数，称为x 的整数部 分, 记作[ x ]，例如0]75[=, 1]2[=, [π]=3。
把x 看作变量，函数y = [ x ]即为取整函数。
其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z 。
（5） 分段函数:老师：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
符号函数和取整函数都是分段函数。
例：狄利克雷函数1()0x y D x x ⎧==⎨⎩当是有理数时当是无理数时 4. 函数的几种特性 （板书）（1） 函数的有界性设函数f (x )的定义域为D , 数集X ⊂D . 如果存在数K 1, 使得f (x )≤K 1对任一x ∈X 都成立, 那么称函数f (x )在X 上有上界，K 1称为函数f (x )在X 上的一个上界。
初等函数
第一章 函数、极限与连续§1.1 初等函数在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，而函数的概念是变量间依赖关系在数学中的反映，函数的概念是微积分研究的主要对象。
下面我们首先复习和归纳中学数学中关于函数的知识，然后引入初等函数的相关概念。
一 邻域邻域是一个经常用到的概念，以前我们学习过区间，那么什么是邻域呢？下面我们用区间来说明邻域的概念。
设有两个数,a δ∈且0δ>，则称实数集{}x x a δ-<为点a 的δ邻域。
记为(,)U a δ，即{}(,)U a x x a δδ=-<，a —(,)U a δ的中心，δ—(,)U a δ的半径。
用图形表示为如果再把这邻域的中心a去掉,就称它为a 的去心δ邻域,记作(,)U a οδ,即 {} 0 ),(δδο<-<=a x x a U 。
为了方便起见，称开区间(),a a δ-为点a 的左δ邻域，称(),a a δ+点a 的右δ邻域。
这里邻域的半径δ虽然没有规定其大小,但在使用中一般总是取为很小的正数．并且大多数情形下并不一定要指明δ的大小,这时我们往往把a 的邻域和a 的去心邻域分别简化为()U a 和()U a ο。
二 函数的概念在具体研究某一自然现象或实际问题的过程中,我们还会发现问题中的变量并不是独立变化的,它们之间往往存在着相互依赖关系．为了说明函数的概念，我们首先看两个例子;例1 自由落体问题一个自由落体,从开始下落时算起经过的时间设为t (秒),在这段时间中落体的路程设为s (米)．由于只考虑重力对落体的作用,而忽略空气阻力等其它外力的影响,故从物理学知道s 与t 之间有如下的依赖关系212s gt = (1) 其中g 为重力加速度(在地面附近它近似于常数,通常取9.8g =米/秒2)． 如果落体从开始到着地所需的时间为T ,则变量t 的变化范围(或称变域)为 0t T ≤≤．当t 在变域内任取一值时,由(1)可求出s 的对应值．例如 x a a a δδ+-1t =(秒)时,219.81 4.92s =⨯⨯=(米); 2t =(秒)时,219.8219.62s =⨯⨯=(米)． 例2 圆的面积S 和半径r 之间存在这样的依赖关系：2r S π=不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。
高等数学第一章公式
高等数学公式与定理（第六版上册）第一章 函数与极限第一节：初等函数幂函数：a x y =(是常数）R a ∈ 指数函数：x a y =（a >0且)1≠a对数函数：y=x a log (a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数: 如y=x sin 等 反三角函数：如y=arctan x 等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1 (极限的唯一性)如果数列{x n }收敛，那么它的极限唯一。
定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。
定理3 (收敛数列的保号性)如果,lima x n n =∞→且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有.n x >0(.n x <0)定理 4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.n x }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节 函数的极限函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(limx f xx →存在，那么这极限唯一.定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(limx f xx →=A 存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0x x - }<δ时，有)(x f M≤.定理 3 （函数极限的局部保号性）如果)(limx f xx →=A ，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）定理3′ 如果)0()(lim 0≠=→A A x f xx ,那么就存在着n x 的某一去心邻域),(00x U 当)(00x U x ∈时，就有2)(0A x f >.推论 如果在0x 的某去心邻域内)0)x 0)(0≤≥（或（f x f ，而且A x f x x =→)(lim 0，那么）或（00≤≥A A定理4 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限)(limx f xx →存在，{n x }为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：)(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列)(n x f 必收敛，且).(lim )(lim 0x f x f x x n →∞→=第四节 无穷小与无穷大定理 1 在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a是无穷小。
初等函数
(
x0
,
),
U
0 δ
(
x0
).
U( x0 , ) { x 0 x x0 δ} 练习：U (2, δ)
o
(x0 δ, x0 ) (x0, x0 δ) U(2, δ)
4
注: 若不强调δ的。大小，点a的邻域记为U(a)； 点a的去 心邻域记为U (a).
5、函数的表示法
列表法； 解析法； 图形法； 描述法.
式、定义域、值域.
(1) y f (u) u, u g( x) x x2; (2)y f (u) lnu, u g( x) sin x 1.
思考题解答
(1)y f [g(x)] x x2 , x D {x | 0 x 1}, f (D) [0, 1].
2
(2)不能． Q g( x) sin x 1 0,
值域W {0,1,2, },
1
-4 –3 -2 -1o -1 1 2 3 4 x
-2
图形称为阶梯曲线，而且在
-3
-4
x的整数值处，图形发生跳跃，跳度为１.
9
6、分段函数：自变量在不同的范围内用不同的式子
来表示的函数，叫分段函数.
如： 高斯函数 f ( x) x
y
4 3 2
1
-4 –3 -2 -1o -1 1 2 3 4 x
函数值的全体组成的集合称为函数的值域.
1
说明：（1）函数两要素：定义域 和 对应关系
如： y x 与 y x2 是同一函数. y 2lg x与 y lg x2 不是同一函数.
两个函数是否相同，主要看：
定义域和对应关系是否相同. （2）定义域的定义：能使式子有意义的自变量的取值范围.
高等数学初等函数
初等函数的分类
幂函数：形如y=x^n的函数， 具有指数幂的形式
指数函数：形如y=a^x的函 数，其中a>0且a≠1
对数函数：形如y=log_a(x) 的函数，其中a>0且a≠1
三角函数：包括正弦函数、 余弦函数、正切函数等，具 有周期性和对称性
函数在计算机 科学中的应用： 实现算法，处
理数据
常见问题的数学模型建立
线性回归模型：用于预测两个或 多个变量之间的关系
三角函数模型：用于解决周期性 问题
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
指数模型：描述增长或衰减过程
分段函数模型：处理离散数据或 分段连续数据
利用初等函数解决实际问题的方法
建立数学模型：将实际问题转化为数学问题，利用初等函数表达实际问题中的变量关系。 求解方程：通过求解方程来找到实际问题的解决方案。 函数图像分析：利用函数图像来直观地理解实际问题，通过观察图像的变化趋势来解决问题。 数值计算：利用初等函数的性质和计算方法，对实际问题进行数值计算，得到近似解或精确解。
反三角函数：包括反正弦函 数、反余弦函数、反正切函 数等，是三角函数的反函数
初等函数的运算方
03
法
函数的四则运算
定义：函数加法、减法、 乘法、除法的运算规则
性质：函数四则运算的性 质和定理
运算顺序：先乘除后加减 的顺序
应用：函数四则运算在数 学和其他领域中的应用
复合函数和反函数
复合函数的定义和性质
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
计算方法：比较法、导数法、 不等式法
高等数学初等函数
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec x
余割函数 y csc x
y csc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
一般来说，分段函数不是初等函数，但下例所示 的分段函数是初等函数。
例 1 y=∣x∣= x, x 0 是由 y= u 和 u= x 2 复合而成的复合函数,
x, x 0
那就是说，原函数与 x2 是同一个函数，因此它也是初等函数。
小结
函数的分类:
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)
一般地，若函数 y=f(u)的定义域为 D1，u=φ (x)的定义域
为 D2,值域 w2={u│u= φ (x),x∈D2}且 W2∩D1≠φ这样得到的
以 x 为自变量，y 为因变量的函数，称为由函数y=f(u)和 u= φ(x) 复合而成的复合函数,记作 y=f[φ (x)],其中 u 称为中 间变量。
初 等
函 数
函
无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
例：
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
高等数学第二节初等函数
余弦函数： y=cos x
函数图象关于 y 轴对称，是偶函数；
是周期函数，周期为2 ；
cos x 1，是有界函数。
正切函数： y=tan x
y
y=tan x
-
2
O
2
函数图象关于原点对称，是奇函数；
是周期函数，周期为 ；
当 x (k - , k ), k Z 时，
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义， 所以 它们不能构成复合函数
例3. 指出下列复合函数的结构
（1） y cos2 x
（2） y
反正切函数 y arctan x
反正切函数图象关于原点对称， 是奇函数； 是单调增函数； arctan x ， 是有界函数。
2
反余切函数 y arccot x
是单调减函数； 0 arccot x ，是有界函数。
二、复合函数
在实际问题中，因变量与自变量的关系不是直接的，
y 1- x2
定义: 设函数 y f (u),其中u ( x)， 且(x) 的
值的全部或部分落在 f(u)的定义域内, 则称函数
y f [( x)]为 x的复合函数，而 u 为中间变量
x u f y
自变量
中间变量 因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
解
y y 设通话x分钟，中国联通收费 1 元，中国移动收费 2 元
则
y1 36 0.4x, y2 0.6x
高等数学第二节初等函数
x u f y
自变量
中间变量 因变量
例1.设y=f (u)=lgu, 而u=(x)=sinx.
则它们构成的复合函数为 y=f [(x)] = lgsinx.
例2.设y=f (u)=lg(u–2), u=(x)=sinx，能否构成
复合函数？
因u=sinx的值中,不能使y=lg(u-2)有意义， 所以 它们不能构成复合函数
税率（%） 3 10 20
写出个人月收入x （不大于12500元）元与应缴纳税款y元 之间的关系，当某人月收入为6500元时，应缴纳多少税款？
解： 依此可以列出下面的函数关系：
0,
0 x 3500
y
(x (x
-
3500) 3500)
都是初等函数。
y
3 3x tan 5x x3 sin x - 2-x
今后我们所讨论的函数，绝大多数都是初等函数。
四、函数关系举例
1.如何选择通信公司
小王买部手机想入网，他得知：中国联通130网的收费标准 是：月租费30元，每月来电显示6元，本地通话每分钟0.4元； 中国移动“神州行”储值卡的收费标准是：本地通话每分钟 0.6元，月租费和来电显示费全免，小王相拥有来电服务，请 问他如何选择？
第二节初等函数
一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 四、建立函数关系举例
一、基本初等函数
1 、常数函数 y C y
O
yc
x
函数定义域为R，只有一个函数值
1.1 函数
2、幂函数
y x y
y x2
1
(是常数)
y x y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
随着而不同，但在(0, )中都有定义；经过点 (1,1)， 在(0, )内当 0时，x为增函数； 0时，x为减函数