5-3 高斯定理及其应用(1)
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大学物理学(上册)第5章 静电场
q ne (n 1,2,3, )
e 1.6021019C 量子性
电荷量e的数值最早由美国 科学家密立根用实验测得．
量子性始终不变
强子理论研究中提出所谓夸克模型,以四味夸克为例
夸克 U quark (上)
带电量 2/3 |e|
D quark(下) S quark(奇) C quark(粲)
-1/3 |e| -1/3 |e|
电量为Q
电量为Q
+
v
X′
X
⑵ 库仑定律
库仑（1736～1806)
库仑扭秤
① 库仑定律的内容主要内容 在真空中处于静止状态的两个点电荷的相互作用力的大 小,与每个点电荷的电量成正比，与两个点电荷间距离的 平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线. 当 两个点电荷带同号电荷时，它们之间是排斥力，带异号 电荷时，它们之间是吸引力．
例1 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 ,求它在空
解 d间q一点dPx产生d的E电场4强1度0 （rd2Px点到杆的垂直dy距Ey离为dEa).
dEx dE cos dEy dE sin
P
dEx
由图上的几何关系
x a tan(θ ) acotθ 2
r
1
a
2
dq O
x
dx a csc2θ dθ
dq
讨论
E
qx
q
4 0 (x2 R2 )3/ 2
R
1)环心处：x=0 E=0 表明环心处的电场强度为零
o
xP
Ex
2)当 x >> R，则
(x2 R2 )3/2 x3
E
1
4 0
q x2
dq '
e 1.6021019C 量子性
电荷量e的数值最早由美国 科学家密立根用实验测得．
量子性始终不变
强子理论研究中提出所谓夸克模型,以四味夸克为例
夸克 U quark (上)
带电量 2/3 |e|
D quark(下) S quark(奇) C quark(粲)
-1/3 |e| -1/3 |e|
电量为Q
电量为Q
+
v
X′
X
⑵ 库仑定律
库仑（1736～1806)
库仑扭秤
① 库仑定律的内容主要内容 在真空中处于静止状态的两个点电荷的相互作用力的大 小,与每个点电荷的电量成正比，与两个点电荷间距离的 平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线. 当 两个点电荷带同号电荷时，它们之间是排斥力，带异号 电荷时，它们之间是吸引力．
例1 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 ,求它在空
解 d间q一点dPx产生d的E电场4强1度0 （rd2Px点到杆的垂直dy距Ey离为dEa).
dEx dE cos dEy dE sin
P
dEx
由图上的几何关系
x a tan(θ ) acotθ 2
r
1
a
2
dq O
x
dx a csc2θ dθ
dq
讨论
E
qx
q
4 0 (x2 R2 )3/ 2
R
1)环心处：x=0 E=0 表明环心处的电场强度为零
o
xP
Ex
2)当 x >> R，则
(x2 R2 )3/2 x3
E
1
4 0
q x2
dq '
静电场中的高斯定理及其应用
静电场中的高斯定理及其应用1高斯定理高斯定理（Gauss’s Law）是物理学中最重要的电荷定律之一，由19世纪哥本哈根学家卡尔·马克斯·高斯于18日本宣言1877年提出。
高斯定理对于理解静电场非常重要，它实际上是一条关系电荷密度和电场的定律，用一般的话来说，它可以用来计算电荷分布情况下的电场外部空间的分布情况。
它可以被表达为：“定积分表示的电荷密度的体积积分等于其相应的电场大小的表面积积分”关于高斯定理的精确表达可以表达为：（$\vec{E}·da=\rho·dv$）2应用电荷分布情况下的静电场等电势及电荷等强场的计算应用高斯定理。
其中，电荷分布情况下的静电场的计算是最常见的应用，用来计算空间电场的大小和方向。
具体的做法是选择一个闭合的表面，在此表面上应用高斯定理：（$\oint\vec{E}.da=\frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$）其中，q enclosed是这个表面内封闭的电荷，而$\epsilon_0$是真空介电常数。
由此可以求出该表面上电场的大小及方向。
除此之外，高斯定理也可以用来计算电荷等强场，亦即电荷密度。
由高斯定理，可以得到：（$\oint\vec{E}·da=\frac{1}{\epsilon_0}\int\rho·dv$）可以从该等式中看出，积分的表面的表面积积分是由内部的体积积分而产生的，这也就是所谓的电荷等强场原理。
因此，如果电荷的分布情况已经确定，则可以依据上述的高斯定理来求出电荷密度的大小和方向分布情况。
3结论总而言之，高斯定理是物理学中最重要的电荷定律之一，对于理解静电场非常重要。
它可以用来计算电荷分布情况下的电场外部空间的分布情况，也可以用来计算电荷等强场，亦即电荷密度。
因此，高斯定理有着重要的应用价值。
9.2 电通量 高斯定理及其应用
例: 求无限长均匀带电直线的场强分布。设棒上 的线电荷密度为 。 解:该电场分布具有轴对称性。所以， 以直线为轴做一闭合圆柱面，上下底 面垂直直线，点P 位于圆柱侧面上， 根据高斯定理得: 则:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则:
方向: 垂直 于带电直线
9.2 电通量
高斯定理
作业：
9.2 电通量
1、9.1（2）
高斯定理
例: 求无限大均匀带电平板的场强分布。设电荷 面密度为。 解: 由电荷对称性分析，可知:平面两 侧距平板等距离的点，场强大小相 等，方向垂直于平面，取高斯面如图， 则:
9.2 电通量
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
四、高斯定理的应用 1. 分析给定问题中场强分布的对称性，判断 能否应用高斯定理求解场强。 2. 选择适当的闭合曲面作为高斯面，使它 通过拟求场强的点，电通量的计算应当简便，高 斯面本身是简单的几何面。 3. 计算电通量及高斯面包含的电量的代数 和，求解场强。
24.02.2016
9.2 电通量
库仑定律:
高斯定理
电场强度：
9.2 电通量
高斯定理
点电荷电场：
一、电场线 为了形象地描绘电场的分布，可以在电场中 做出一系列曲线，使这些曲线上每一点的切线方 向都与该点处的电场强度的方向一致，这些曲线 叫做电场线。
9.2 电通量
正点电荷
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
点电荷的电场线
负点电荷
一对等量异号点电荷的电场线
+
+
9.2 电通量
高斯定理
9.2 电通量
高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
一对不等量异号点电荷的电场线
大学物理第五章汇总
内外半径分别为R1，R2。 求：1. 静电平衡后，球壳内表面和外表面 的电荷量；
2.球壳内的场强；
3. 球壳外的场强；
解：（1）由静电感应知识知 球壳内表面带电量为－q, 球壳内表面带电量为q
（2）由分析知空间电场具有球对称性，选半径为r的同心球 面为高斯面，由高斯定理
ÒS
rr EgdS
q内
0
r E
5-6 长 l =15cm的直导线AB上均匀地
分布着线密度为 l = 5×10-9 C/m：的电荷
（如图） 。求：
（1）在导线的延长线上与导线一端 B 相 距 d = 5cm处P 点的场强；
（2）在导线的垂直平分线上与导线中点 相距 d =5cm处Q点的场强。
.Q
A
d l
B .P d
题号 结束
已知：l =15cm， l = 5×10-9 C/m,
0
a.rR时，高斯面内电荷 q
d
V
4 3
r
3
R
E r 3 0
b.rR时，高斯面内电荷
q 4 R3
3
E
R3 3 0
1 r2
高斯定理的应用
均匀带电球体的电场分布
r
rR
E
3 0 R3 1 3 0 r 2
rR
R
E Er 关系曲线
R
3 0
r 2
O
R
r
例. 点电荷q ，处在导体球壳的中心，壳的
q内
4 0 r 2
eˆr
r R1时
r E
q
4r0 r 2
e)r
R1 r R2 时 E 0
r R2时
r E
q
4 0 r 2
2.球壳内的场强；
3. 球壳外的场强；
解：（1）由静电感应知识知 球壳内表面带电量为－q, 球壳内表面带电量为q
（2）由分析知空间电场具有球对称性，选半径为r的同心球 面为高斯面，由高斯定理
ÒS
rr EgdS
q内
0
r E
5-6 长 l =15cm的直导线AB上均匀地
分布着线密度为 l = 5×10-9 C/m：的电荷
（如图） 。求：
（1）在导线的延长线上与导线一端 B 相 距 d = 5cm处P 点的场强；
（2）在导线的垂直平分线上与导线中点 相距 d =5cm处Q点的场强。
.Q
A
d l
B .P d
题号 结束
已知：l =15cm， l = 5×10-9 C/m,
0
a.rR时，高斯面内电荷 q
d
V
4 3
r
3
R
E r 3 0
b.rR时，高斯面内电荷
q 4 R3
3
E
R3 3 0
1 r2
高斯定理的应用
均匀带电球体的电场分布
r
rR
E
3 0 R3 1 3 0 r 2
rR
R
E Er 关系曲线
R
3 0
r 2
O
R
r
例. 点电荷q ，处在导体球壳的中心，壳的
q内
4 0 r 2
eˆr
r R1时
r E
q
4r0 r 2
e)r
R1 r R2 时 E 0
r R2时
r E
q
4 0 r 2
5-1-3 电荷的量子化 电荷守恒定律
物理学
第五版
结构框图
电荷相互作 用（第五章） 静 电 场
力
库仑定律 电场 强度 电势 电通量
静电力叠加原理 高斯定理 环路定理 静电场 的基本 性质 电 容 电 场 能
功
与带电粒子 的相互作用
（第六章）
导体的静电平衡 电介质 极化 电位移矢量 介质中高斯定理
物理学
第五版
5-1
电荷的量子化 电荷守恒定律
第五版
重申学习要求
1、请大家课前认真预习，课后及时复习课本相应章节内容（高等数学知识在大 学物理学习中非常重要，请大家注意及时复习）； 2、遵照有关规定，期末成绩的考核方法是： 课程考核说明及要求：本课程期末考试，考试形式闭卷。 其成绩评定方法：期末考试占80%，平时成绩占20%。 考试题型：选择题、填空题、计算题。 考试时间：120分钟。 平时成绩来源于：第一，必须按时完成布置的习题； 第二，平时的考勤； 3、纪律要求： 1） 2） 3） 4） 上课不旷课、不迟到、不早退、坚持做笔记 ； 旷课达总课时1/3的学生取消考试资格。 下课认真阅读教材；独立完成作业，按时交作业 ； 作业缺1/3的学生取消考试资格。
求
两带电直杆间的电场力。
解 dq dx
dq
O
dq
L
2L
dq dx
x
x 3L x
dxdx dF x) 2 4 0 ( x
2 4 F dx ln 2 2L 0 4 ( x x ) 4 0 3 0
3L L
2dx
5-3 电场强度 一. 静电场
2 1
1 q1q2 er 2 4πε0 r
2
ε0 8.8510 C N m 为真空电容率
普通物理5-3 电场强度53 电场强度
- O. +
r0 2 r0 2
x
A.
E
x
第五章 静电场
11
物理学
第五版
5-3 电场强度
（2）轴线中垂线上一点的电场强度
y
E
E
.B
E
. qre y er q
-
O
+
x
r0
E E
1 q 4π4επ10ε0rr2qe2 e
r E
y
rEr0rEEy244π1π1(εεr0200
)2 p r3 p y3
5-3 电场强度
电荷连续分布的电场
dE
1 4πε0
dq r2
er
E
dE
1 4πε0
er r2
dq
电荷体密度 dq ρdV
E
1 V 4πε0
ρer r2
dV
dq
+
r
dE
P
第五章 静电场
6
物理学
第五版
5-3 电场强度
电荷连续分布的电场
dE
1 4πε0
dq r2
er
E
dE
5-7 电势
第五章 静电场
19
讨论
x R
E x ( 1 1 )
2ε0 x2 x2 R2
E
2ε0
x R
R
q E 4 π ε0x2
o xPx
第五章 静电场
18
物理学
第五版
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本章目录
5-2 库仑定律
5-3 电场强度
5-4 电场强度通量 高斯定理
*5-5 密立根测定电子电荷的实验
5-6 静电场的环路定理 电势能
3-5有介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r
R2
R1
（３）由（１）可知
U
E dr
R2
E
2π dr
0
r
r
(R1 r R2 ) ln R2
R1 2π 0 r r 2π 0 r R1
C Q 2π U
单位长度电容
0
C l
rl
ln R2 R1
2π 0
r
ln
r C0
R2 R1
真空圆柱形 电容器电容
r 又叫电容率
D2 2R2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
1 -P1 D1 0E1
2 -P2 D2 0E2
1
-
2R1
1
1
r
2
2R2
1
1
r
思索：可否由其他途 径求极化强度大小？
P 0E 0r 1E
1 P1 0 r 1E1 2 P2 0 r 1E2
3 – 5 有电介质时的高斯定理
-+
-+ -
-+E-1+ E2
-+--+-
-+ +-
0
1' 2'
2'
3 – 5 有电介质时的高斯定理
E1
D
0 r1
0 0 r1
E2
D
0
r2
0 0 r2
U
E dl
l
E1d1 E2d2
Q ( d1 d2 )
0S r1 r2
C Q0 0 r1 r2S U r1d2 r2d1
0
E
P) ds
q0
3-5有介质时的高斯定理
s
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
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点电荷在任意封闭曲面内
dΦe
=
4
q
πε 0r 2
dS
cosθ
=
q
4 πε 0
d S＇ r2
其中立体角
d
S
＇ =
r2
dΩ
Φe
=
4
q
πε 0
∫ dΩ
=
q
ε0
第五章 静电场
dSv＇
v dS
+
r
dSv＇
θv
dS
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
点电荷在封闭曲面之外
dΦm1
=
r E1
⋅
v dS1
>
0
dΦm2
=
v E2
⋅
v dS2
<
0
q
v E2
dΦm1 + dΦm2 = 0
v dS2
∫S
v E
⋅
v dS
=
0
v dS1
v
E1
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
由多个点电荷产生的电场
v E
=
v E1
+
v E2
+L
q1
q2
v Ev
dS
∫ ∫ ∑ Φe =
v E
⋅ dSv
=
S
S
v Ei
⋅
v dS
应用高斯定理计算。
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
例1 均匀带电球壳的电场强度
半径为R，均匀带电 Q的薄球
r 壳，求球壳内、外任意点的场强。
r 解（1）0 < r <
∫ s S1
v E1
⋅
v dS
（2）
=
r
0
>
R
Rv
E1
=
0
+ +
+ S+1 +
O+
+
+R +
+++
2
∫S2
v E2
⋅
v dS
第五章 静电场
电场线特性
1） 始于正电荷，止于负电荷（或来自无穷远， 去向无穷远），即有首有尾。
2） 没有电荷处电场线不中断。 3） 没有电荷处电场线不相交。 4） 静电场电场线不闭合。 5） 电场线较密集处，场强较强。
5
–
3
高斯定理及其应用
v
二 电场强度通量（即 E 的通量）
第五章 静电场
通过电场中某一个面的电场线条数叫做通过这个
=
S
E cosθdS
Sv E
⋅
v dS
S 为封闭曲面
θ1
<
π 2
,
dΦe1 > 0
θ2
>
π 2
,
dΦe2 < 0
v dS2
v E
evn
第五章 静电场
v
dS v θE
Ev
v dS1
v θ2 E2
θ1 v E1
5 – 3 高斯定理及其应用
∫ ∫ Φe
=闭合d曲EvΦ面⋅ ed的S=v 电=Ev场⋅ d强SEv度co通s量θ dS
面均的匀电电场场强，度Ev通垂量直. 平面
Φe = ES
均匀电场 ，Ev 与平面夹角θ
Φe Φe =
= ES
v E
⋅
v S
cosθ
面元的方向！
v
S
E
evn
θS θ v
E
5 – 3 高斯定理及其应用
非均匀电场强度电通量
v dS
=
dS
dΦe
=
v E
⋅ ⋅
evnv dS
∫ ∫ ∫ Φe
=
dΦe Φe =
四 高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性） 其步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面——求解的关键； 选择高斯面的原则：
1） 高斯面上场强处处相等，方向与曲面正交。
交向分高；与2）斯其 该面余 处部对部 面分分 元高Ev的高 的斯斯法通面面矢量的场的场evn贡强垂强献与处直为曲处，c面相零o平。等s 9行，0o，方=即向0使与，曲则Ev的面该正方部
s qi
∑ ∫ ∑ = ∫ i (内) ∑∑∫∫ ∑ ∴
S
v Ei
⋅
v dS
i
+
i
Q
i(外)
Φe =
（i 内）
v (外) S
S Ei
S
v Ei
⋅
v Ei
⋅
v dS
⋅
v dS
=
0
v dS
=
1
ε0
qi
i (内）
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
∫ ∑ 高斯定理 Φe =
S
v E
⋅
v dS
=
1
ε0
点 P 电场强度是否变化？
s 穿过高斯面 的ΨE有否变化？
s
q2 B
q1
在点电荷 + q 和 − q 的静电场中，做如下的三
∫ 个闭合面
Φe1 =
SEv1 ,⋅SdS2v,
S
S
=
3,
q
ε0
求通过各闭合面的电通量。
+q
−q
Φe2 = 0
Φe3
=
−q
ε0
S1
S2 S3
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
o
30o
S1 x
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
三 高斯定理
在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量，
等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 ε 0 。
（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
∫ ∑ Φe =
S
v E
⋅
v dS
=
1
ε0
n i=1( S内)
qi
请思考：1）高斯面上的
v E
与那些电荷有关？
第五章 静电场
一对等量异号点电荷的电场线
+
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
一对等量正点电荷的电场线
+
+
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
−q
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
5 – 3 高斯定理及其应用
qi
i (内)
总结
1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面. 3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正. 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 5）静电场是有源场.
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
讨论
将q2 从 A 移到 B q2 A P*
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
一 电场线 （电场的图示法）
规定
1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向；
2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线条数为
该点电场强度的大小 .
v E
=
E
= dN
/ dS
v
S
E
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
5 – 3 高斯定理及其应用
S
S
例1 如图所示 ，有一半
ห้องสมุดไป่ตู้
径 度为 为ERv
半球面放置在电场强 的匀强电场中。求通
过此半球面的电场强度通量 .
Ev ⋅dSv =
Ev ⋅dSv +
v E
⋅dSv
=
0
∫ ∫ ∫ S ∫S2
v E
⋅
v dS
=
−S1Ev
⋅
v S1
=
π
S2
R2E
cos
30o
第五章 静电场
Ev
v dS
S
θv E
S2
v E
R
=
Q
ε0
4
πr 2 E2
=
Q
ε0
QE
4π ε0R2
E2
=
4
Q
πε 0 r 2
∴E
=
⎪⎧ ⎨
0 Q
⎪⎩4 πε0r2
r≤R r>R
o Rr
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
例2 均匀带电球体的电场强度
一半径为 R，均匀带电Q的球
体，求球体内、外任意点的场强。
解（1）0 < r < R
s 2）哪些电荷对闭合曲面 的 Φe 有贡献？
5 – 3 高斯定理及其应用
第五章 静电场
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
∫ Φe
E
=
=
S
q
4v
E
⋅πdεSv0
r
2
∫=
S
4
q
πε 0 r 2
evr
⋅
evrdS
v
r
dS
+
∴Φe = q / ε 0
5 – 3 高斯定理及其应用