工程中的数学方法
工程技术中常用的数学建模方法概述
工程技术中常用的数学建模方法概述摘要对目前工程和管理研究领域所涉及的数学建模方法作了简要分析，指出不同的问题所需用到的建模方法，并通过举例说明建模的方法和步骤。
关键词数学建模；建模方法；模型；建模；数学应用在现实社会生产实践中，随着科学研究的进步，多学科交叉运用越来越多。
数学建模就是一种解决实际应用问题的有效方法，当然要在充分了解问题的实际背景的基础上，把实际问题抽象成数学问题，建立起数学模型，利用数学知识对数学模型进行分析探求，得到数学结果，得出应用问题的解。
即通过对问题的数学化，模型构建和求解检验[1]。
其一般步骤可分成如下几点：（1）模型准备：了解问题的实际背景，搜集建模必需的各种信息，明确建模目的。
（2）建模：对问题进行必要合理的简化和假设，根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量（变量和常量）之间的关系或其他数学结构。
（3）求模：根据数学知识和方法，求解数学模型，得到数学问题的结果。
求模时要注意灵活运用各种数学方法，包括matlab等工程软件[2]。
（4）回归：把数学问题的结果回归到实际问题中，通過分析，判断，验证，得到实际问题的结果。
下面谈谈几种常用的数学建模法，限于篇幅，不便举太多例子。
（1）建立函数模型法有关成本最低，效益最大，用料或费用最省等应用问题，可考虑建立相应函数关系式，并把实际问题转化为求最值的问题。
（2）建立三角形模型法有关涉及几何、测量、航海等应用问题可考虑转化为三角问题来解决[3]。
（3）建立数列模型法对于一些产量增长，细菌繁殖，存款利率，物价调节，人口探测等应用问题，往往需要通过观察分析，归纳抽象，建立出数列模型，然后用数列的有关知识加以解决。
举例：某一信托投资公司，考虑投资1600万元，建造一座星际饭店，经预测，该饭店建成后每年可获利600万元，试问三年内能否把全部投资收回？假设银行每年复利计息，利率为15%，若需要三年内收回全部投资，每年至少应获利多少？建模分析：本例可以建立数列模型，设每年投资额为A，年利率为R，当年投资额为Q，则n年后这笔投资额的实际额为，n年收益的总额为=A，若n年恰好还清投资额，则有数列模型：解：当n=3，A=600，R=15%代入上式，有Q=1370万元，所以三年之后不能全部把投资收回。
工程中的数学方法
工程中的数学方法在工程中，数学方法是一种非常重要的工具，可以用来解决许多复杂的问题。
本文将介绍一些常见的数学方法和其在工程中的应用。
1.微积分微积分是一种最重要，最基本的数学工具，在工程中有着广泛的应用。
它可以用来求解问题的极值、变化率、曲线的斜率等等。
微积分还可以用来求解复杂的方程和微分方程，如质点运动问题、电路问题等。
在工程中，微积分被广泛应用于计算机科学、物理学、电子工程、机械工程、化学工程等方面。
例如，在机械工程中，微积分可以用来检验高速运动物体的力学特性和稳定性。
在化学工程中，微积分可以用来解决流动问题，如流体力学和质量传递问题。
在电子工程中，微积分是电路分析和设计中的基本工具。
2.线性代数线性代数是一种处理线性方程组的数学工具。
它与微积分一样，是在工程中非常常见的工具。
线性代数被广泛应用于电子学、机械学、数学模型和计算机科学中。
在机械工程中，线性代数用于解决刚体动力学问题和弹性力学问题。
在电子工程中，它用于解决电路分析和设计问题。
在数学模型和计算机科学中，线性代数用于构造和解决矩阵和向量问题。
3.离散数学离散数学是一种使用离散结构来解决问题的数学。
它适用于计算机科学、网络通信、数学模型和金融工程等领域。
在网络通信中，离散数学用于建立和分析网络拓扑结构和网络协议。
在计算机科学中，离散数学可以用于算法设计和分析、数据库设计和安全性分析。
在金融工程中，它可以用于解决金融市场的价格变化、风险管理和投资组合问题。
4.概率论与统计学概率论与统计学是以概率为基础的数学。
它在工程中的应用非常广泛。
它可以用来测量和分析数据，预测未来的趋势和结果，还可以用于决策和优化等方面。
在工业制造中，概率论与统计学可以用于测量和优化制造过程的效率和质量。
在财务管理中，它可以用于预测投资的风险和收益，制定投资策略。
在市场营销中，它可以用于分析消费者行为和市场趋势，帮助企业做出正确的营销决策。
总之，数学方法在工程中有着广泛的应用。
工程问题数学解题方法分析及例题答案
工程问题数学解题方法分析及例题答案【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
这类问题在条件中，常常不给出工作量的详细数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。
【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。
例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成?
答：两队合做需要6天完成。
例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。
现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?
答：这批零件共有168个。
例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。
现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?
答：还需要5小时才能完成。
例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有假设干个同样粗细的进水管。
当翻开4个进水管时，需要5小时才能注满
水池;当翻开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要翻开多少个进水管?
答：至少需要9个进水管。
八年级数学工程问题解题技巧
八年级数学工程问题解题技巧工程问题是一个经典的数学问题，主要涉及到工作量、工作效率和工作时间的计算。
在八年级数学中，工程问题是一个重要的知识点，需要掌握一些解题技巧。
解题技巧1. 理解基本概念：首先要明确工作量、工作效率和工作时间的基本概念。
工作量通常用单位“件”表示，工作效率用单位时间内完成的工作量表示，工作时间是完成一项工作所需的总时间。
2. 建立数学模型：对于一个工程问题，通常可以通过建立数学方程来求解。
常用的方程有：工作量 = 效率× 时间，或者时间 = 工作量 / 效率。
根据题目信息，可以建立相应的方程。
3. 分析比例关系：在某些工程问题中，工作效率和工作时间之间存在一定的比例关系。
通过分析这种比例关系，可以简化问题并找到解决方案。
4. 利用代数方法求解：一旦建立了数学方程，就可以使用代数方法求解。
这可能涉及到方程的移项、合并同类项、解方程等步骤。
5. 检验答案：最后一步是检验答案的正确性。
可以通过将答案代入原方程或进行一些简单的计算来验证答案是否正确。
示例题目：一项工程，甲单独做需要15天完成，乙单独做需要10天完成。
如果甲先单独做4天，然后乙加入合作，那么完成这个工程还需要多少天？解题思路：1. 首先确定甲和乙的工作效率：甲单独做需要15天完成，所以甲的工作效率是1/15；乙单独做需要10天完成，所以乙的工作效率是1/10。
2. 接下来分析甲和乙的工作时间：甲单独工作了4天，所以完成了4/15的工作量。
剩下的工作量是1 - 4/15 = 11/15。
3. 然后计算甲和乙合作完成剩余工作量所需的时间：由于甲和乙的工作效率分别是1/15和1/10，所以他们合作的工作效率是1/15 + 1/10 = 1/6。
设他们合作完成剩余工作量所需的时间为x天，则有方程：(1/6) × x = 11/15。
4. 最后解方程求出x的值：解方程得到x = 。
由于时间不能是小数，所以需要向上取整为3天。
工程优化中的数学方法
2
y
x
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明 参数值就选择得越好，从而我们的问题就转 化为5维无约束最优化问题。即：
∑x
i=0
n
ij
= 1; j = 1, 2,...n
z
目标—总费用最小
∑∑c x
i =0 j =0
n
n
ij ij
min
∑∑c x
i =0 j =0
n
n
ij ij
n ∑ xij = 1; i = 1, 2,..., n j =0 n s.t. ∑ xij = 1; j = 1, 2,..., n i =0 xij = 1, 0, i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., n
第一章 基础知识
z 背景知识 z 最优化问题举例 z 优化问题的数学模型及其分类 z 最优解与极值点 z 常用的数学软件
§1 背景知识
最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本 世纪五十年代初在电子计算机广泛应用的推动下才 得到迅速发展，并成为一门直到目前仍然十分活跃 的新兴学科。最优化所研究的问题是在众多的可行 方案中怎样选择最合理的一种以达到最优目标。 将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决 策，搜寻最优方案的方法称为最优化方法，关于最 优化方法的数学理论称为最优化理论。
z
旅行团从 v0 出发要遍游城市 v1 , v2 ,..., vn ， 已知从 vi 到 v j 的旅费为 cij ，问应如何安排行 程使总费用最小？ 模型：
数学技术在工程设计中的应用实例
数学技术在工程设计中的应用实例工程设计是一门复杂而精密的学科，它要求工程师们在设计过程中运用各种数学技术来解决问题。
数学技术在工程设计中的应用可以帮助工程师们更好地理解和分析问题，并提供有效的解决方案。
以下是一些数学技术在工程设计中的实际应用实例。
一、结构分析与优化在工程设计中，结构的分析和优化是非常重要的一环。
通过数学技术，工程师们可以对结构进行力学分析，以确定结构的强度和稳定性。
例如，在桥梁设计中，工程师们可以使用有限元分析方法，将桥梁结构划分为许多小的单元，然后通过求解线性方程组来计算每个单元的应力和位移。
这样的分析可以帮助工程师们确定桥梁的最佳结构参数，以确保其在使用过程中的安全性和稳定性。
此外，数学优化技术也广泛应用于工程设计中。
通过建立数学模型和运用优化算法，工程师们可以在满足一定约束条件的前提下，寻找到最优的设计方案。
例如，在飞机设计中，工程师们可以使用多目标优化算法来平衡飞机的性能指标，如速度、载荷和燃料消耗等。
这些数学技术的应用可以帮助工程师们在设计过程中找到最佳的平衡点，实现性能和经济的最优化。
二、电路设计与信号处理电路设计是工程设计中的另一个重要领域，数学技术在其中起着关键作用。
通过数学建模和分析，工程师们可以对电路的性能进行预测和优化。
例如，在集成电路设计中，工程师们可以使用电路模拟软件来模拟电路的行为，并通过数学方法求解电路中的电流和电压分布。
这样的分析可以帮助工程师们优化电路的性能，提高其工作效率和稳定性。
另外，数学技术在信号处理中也有广泛的应用。
在通信系统设计中，工程师们可以使用傅里叶变换等数学方法来分析和处理信号。
例如，在音频信号处理中，工程师们可以使用数字滤波器来去除噪声和干扰，提高音频质量。
这些数学技术的应用可以帮助工程师们实现信号的高效传输和处理，提升通信系统的性能。
三、流体力学与仿真模拟流体力学是工程设计中的重要分支，数学技术在其中发挥着重要作用。
通过建立数学模型和求解流体力学方程，工程师们可以对流体运动进行分析和预测。
高等工程数学数值分析重点方法_doc
高等工程数学数值分析重点方法_doc迭代法 1、证明矩阵 A=111aaa aa a 对于-1/2<a<a<="" 2是收敛的。
="" 2是正定的，而雅可比迭代只对-1="" p="" 证明：当-1="">11det aa =1-a 2>0，det(A)=(1-a)2(1+2a)>0 故A 是正定的。
又雅可比法迭代矩阵B J =------000aaa aa a det(λI-B J )=λλλaaa aaa =λ3-3λa 2+2a 2=(λ-a)2(λ+2a)故)(J B ρ=a 2，故当-1/2<a<="" p="">2、求证lim k k A A →∞=的充要条件是对任何向量x ，都有lim k k A x Ax →∞=。
证明：必要条件由lim k k A A →∞=，知()lim k ij ij k a a →∞=，从而有k A A -→0（k →∞）。
故对任意的x ，有0k k A x Ax A A x -≤-→（k →∞）则k A x Ax →，lim k k A x Ax →∞=。
充分条件对任意的nx R ∈，有k A x Ax →（k →∞），取(0,,0,1,0,,0)T i x = (1,2,,)i n =()()()12(,,,)k k k Tk i i i ni i A x a a a Ax =→ （k →∞） 12(,,,,)Ti i i ni Ax a a a =故()k ji ji a a →(1,2,,;1,2,,)j n i n == 即k A A →，lim k k A A →∞=。
3、设求解方程组Ax=b 的雅可比迭代格式为(1)()k k x Bxf +=+，(0,1,2,)k = 。
工程中的数学方法冯卡门
工程中的数学方法冯卡门导言工程是一门应用科学，数学在工程中扮演着重要的角色。
工程中的数学方法有很多种，其中一种就是冯卡门(FEM，Finite Element Method)。
冯卡门是一种解决工程问题的数值分析方法，通过将实际的问题离散化为有限个小元素，再对这些小元素进行计算和处理，最后得到问题的解决方案。
一、冯卡门的基本原理冯卡门的基本原理是将连续问题离散化为有限个小元素，然后对每个小元素进行计算和处理，最后将这些计算结果合并起来得到整个问题的解决方案。
具体来说，冯卡门首先将实际的工程问题划分为若干个有限元素，每个小元素都有一组自由度和状态参数。
然后，通过建立小元素之间的关联关系，将整个问题转化为一个矩阵方程。
最后，通过对矩阵方程进行求解，得到问题的解决方案。
二、冯卡门的步骤冯卡门的求解过程一般可以分为以下几个步骤：1.划分网格：将实际的工程问题划分为若干个有限元素。
通常情况下，这些小元素需要满足一些几何和物理性质方面的要求。
2.建立节点和单元：对于每个小元素，需要建立节点和单元。
节点是指小元素的顶点，而单元是指相邻节点之间的连接关系。
3.建立节点和单元矩阵：对于每个小元素，需要计算其节点和单元矩阵。
节点矩阵是指描述节点数值变化的矩阵，而单元矩阵是指描述单元内部物理性质变化的矩阵。
4.建立全局矩阵：将所有小元素的节点和单元矩阵合并起来，建立全局矩阵。
全局矩阵描述了整个问题的状态参数变化。
5.施加边界条件：根据实际的工程问题，施加相应的边界条件。
边界条件可以是位移、力、温度等物理量。
6.求解矩阵方程：根据施加的边界条件，求解全局矩阵方程。
通常情况下，可以使用数值方法，如高斯消元法或迭代法，来求解矩阵方程。
7.分析结果：根据求解得到的全局矩阵方程，分析结果并得出问题的解决方案。
可以根据需要，对结果进行后处理和分析。
三、冯卡门的应用领域冯卡门广泛应用于各个领域的工程问题，特别是材料力学、结构力学、流体力学等领域。
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齐次变换矩阵法（Homogeneous Transformation Matrix Method）基 于TTRS模型，利用矩阵求解公差 范围。 用户定义法（User-Defined Tolerance Zones Using Parametric Curves)利用B样条曲线，进行公差 范围求解。
Summary of various approaches for the construction of tolerance zones
蒙特卡罗方法的精度正 比于样本量的平方根， 因此为保证计算的正确 如果装配函数中各分量 性，需要大量的统计样 的均值或方差发生改变， 本进行多次重复运算， 需要重新进行运算。 计算次 数一般 在 2 0 万 次以上，导致计算时间 过长。
线性规划
公 差 综 合
公 差 综 合 的 优 化 方 法
装配函数 具有明确 的表达式
实际配合 与性能
公差分析的应用 与分析难点
Tolerance information utilization and transfer in a manufacturing enterprise
CAPP：Computer Aided Process Planning 计算机辅助工艺过程设计
> >
公差分析的应用 与分析难点
建立公差模型的 数学方法研究
漂移公差带模型
此方法是由Requicha提出的， 最早的一种用于建立公差带的 数学方法。它基于闵科夫斯基 和（Minkowski sum）的方法， 对实体进行漂移操作。对于表 面特征和相关公差信息则运用 偏差图（VGraph）来表示。 VGraph主要是作为一种分解 实体表面特征的手段，将实体 的边界部分定义为特征，公差 信息则封装在特征属性中。
⑤将步骤 ③、 ④ 重复 N 次 , 即可得到封闭环尺寸的 N 个子样 , 构成一个样本
⑥对求解的封闭环或组成环样本进行统计处理 , 从而确定封闭环 尺寸的平均值、 标准差和公差等
Monte Carlo 模拟法的计算机流程
Monte Carlo方法虽然能够处理 由装配关系或零件的弹性变形 所引起的非线性装配函数，但 该方法仍存在以下缺陷。
>
公差分析的应用 与分析难点
Singularities
PROBLEM
计算机辅助公差设计(Computer Aided Tolerancing,简称CAT) 技术是指在机械产品的设计、加工、装配、检测等过程中,利用计 算机对产品及其零部件的尺寸和公差进行并行优化和监控,力图用 最低的成本设计并制造出满足用户精度要求的产品。
非线性规划 Langrage 乘子法 遗传算法 模拟退火算法 Monte Carlo 仿真方法
非线性装 配函数
展望
考虑到零件公差的多样性及产品装配过程的 复杂性等因素的影响，今后需要在以下几个 方面进行深入研究。
（1）当前的公差 模型较多，而且各 有其应用层面上的 优势和不足，应尽 快建立一种适用于 所有刚性零件、能 够较为科学全面地 描述尺寸和形位公 差、面向装配公差 分析的公差模型。 （2）实际装配过 程大多都是非线性 的，Monte Carlo模 拟法可较好地处理 非线性装配函数， 但其计算量过大， 计算时间过长，因 此应考虑在公差分 析过程中运用更高 效的优化算法。 3）柔性件的公差 分析方法是目前研 究的难点和热点， 其不同于刚性零件 的装配过程和偏差 传播机理，所以应 研究适用于柔性件 的公差模型和分析 方法。
用 Monte Carlo 模拟法进行公差分析的具体步骤 :
Monte Carlo模拟法
①明确各组成环的分布规律 用蒙特卡洛模拟法 (Monte Carlo
Simulation) 进行公差分析 , 就是把 ②根据计算精度要求确定随机模拟次数 N, 当作 求封闭环尺寸及其公差的问题 求一个随机变量的统计问题来处理。 ③根据各组成环尺寸的分布规律和分布范围 ,分别对其进行随机 因此封闭环尺寸及公差的确定 , 完全( X 1 , 抽样 , 从而得到一组已知组成环和封闭环尺寸的随机抽样 X 2 , ...... , X n) 采用随机模拟和统计实验的方法 ,在 一定条件下 用这种方法得到的结果 ④将随机抽样 ( X1 , X 2 , , ...... , X n ) 代入公差函数 ,计算未知的封闭 环或组成环尺寸 , 得到该尺寸的一个子样 比较符合实际情况。
极值法
公差分析方法简介
公差分析是公差设计中的 一个重要环节，常用的方 法主要包括极值法、统计 公差分析法和MonteCarlo模拟法
极值法是原理最简单、计算量 最小、应用范围最广泛的公差 分析方法。该方法无须考虑零 件尺寸在公差带内的分布，且 能保证装配成功率和零件互换 性为 100% 。
实际生产中不会出现加工出的零件尺寸同时处于极值状态的 现象，因而利用此法进行设计过于保守， 使加工成本增加
设计变量由设计者确定，用以表示最 终装配体的多目标优化函数。
模型变量是控制零件各个公差的独立 变量。
这种理论适用于公差分析和合成的场 合，是公差自动化分析系统GEOT的基 础。但是对于不同零件的定义，就有 不同的模型变量类型和数目，因此不 可能存在通用的矢量空间。因此相对 较为麻烦。
建立公差模型的 数学方法研究
A Survey of Mathematical Methods for the Construction of Geometric Tolerance Zones
曹原菲 14721380 施 侃 14721381
机械装配过程中，在保证各组成零件适当功能的前提下， 各组成零件所定义的、允许的几何和位置上的误差称为公差。 公差的大小不仅关系到制造和装配过程，还极大影响着产品的 质量、功能、生产效率以及制造成本。 公差分析或称偏差分析，即通过已知零部件的尺寸分布和 公差，考虑偏差的累积和传播，以计算装配体的尺寸分布和装 配公差的过程。公差分析的目的在于判断零部件的公差分布是 否满足装配功能要求，进而评价整个装配的可行性。
计算机辅助公差设计
· 设计阶段 · 制造阶段 · 检测阶段 · 性能相关
公差分析 Tolerance Analysis
公差综合 Tolerance Synthesis
制造阶段——CAPP 包括选择机床和加工过程 检测阶段——测量偏差与规范一致性 性能相关——与偏差相关的性能
公差分析是指己知尺寸链中各组成环公差， 公差综合是指在保证产品装配技术要求下， 确定最终装配后所要保证的封闭环公差，是 规定各组成环尺寸的经济合理的公差,可以看 设计与制造高质量产品的关键一步。 成是从制造和检测的角度对公差设计进行优 化和补充。 公差分析的方法主要有两种:极值法和统计法 蒙特卡罗法（Monte Carlo simulation method）
虚拟边界实际上是满足公差定义的零 件偏差的极值边界，所以虚拟边界模 型可用于极值公差分析，但不适用于 尺寸链复杂的装配体。
矢量空间模型首先需要定义公差变 量、设计变量和模型变量。 公差变量表示零件名义尺寸的偏差。
建立公差模型的 数学方法研究
矢量空间模型
在数学上，矢量的操作比代数 的操作要方便，而且随着计量 技术的进一步发展， 出现 CMM (三坐标测量机)。CMM 主要是进行点测量，因此，为 了适应CMM 测量技术，可将 实际零件看作空间上的点来处 理，提出了矢量公差法。 Hoffmann提出了矢量空间模 型，Turner扩展了这一模型。
齐次变换矩阵法 用户定义法
Desrocher等从研究建立独立于造型系统的 公差信息表示模型的角度出发,提出了基于 TTRS(Topologically and Technologically RelatedSurface, TTRS)的公差信息表示方法。 它首先从CAD系统中提取必需的信息,将零 件的各表面以二叉树的形式组织,形成零件 的TTRS二叉树结构;然后构造此TTRS的最小 几何基准元(MinimumGeometric DatumElement,MGDE)。
闵科夫斯基和（Minkowski sum）是两个 欧几里得空间的点集的和，以德国数学 家闵可夫斯基命名。点集A与B的闵可夫 斯基和就是A+B={a+b|a∈A,b∈B}。例如， 平面上有两个三角形，其坐标分别为A = {(1, 0), (0, 1), (0, −1)}及B = {(0, 0), (1, 1), (1, −1)}，则其闵可夫斯基和为A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (rial Condition 最大材料条件 LMC：Least Material Condition 最小材料条件 Parratt提出最大实体(MMP)的概念，用以 定义在指定公差允许的条件下零件的最 大实体。 MMP：Maximum Material Parts LMP：Least Material Parts
引言
当前的公差分析多采 用计算机辅助的形式，在 此基础上，有多种数学建 模方式被应用。
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> 公差分析的应用与分析难点 > 计算机辅助公差设计 > 建立公差模型的数学方法研究
目录
> 漂移公差带模型 > 虚拟边界模型
> 矢量空间模型
> 齐次变换矩阵法
> 用户定义法
可互换性 理论几何 公差选择 生产制造 质量 检查 形状与尺 要求和规 CAPP 经济效益 寸 范
MMC solid=（S t）
在CAD中，利用半空间、布尔运算， 可以得到综合公差结果。 漂移公差带模型很好地表达了 轮廓公差，轮廓公差包含了所有实 际制造过程中的偏差。该模型提供 了公差的通用理论且易于实现，但 是不能区分不同类型的形状公差。
建立公差模型的 数学方法研究
虚拟边界模型