2015数值分析试卷(New)
数值分析试题与答案
一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。
数值分析试题集
..数值分析试题集（试卷一）一（ 10 分）已知 x 1* 1.3409 ，x 2* 1.0125 都是由四舍五入产生的近似值， 判断 x 1*x 2* 及 x 1* x 2*有几位有效数字。
二（ 10 分）由下表求插值多项式x 01 2 y2 34 y1－ 1三（ 15 分）设 f ( x)C 4 [a,b] ， H （ x ）是满足下列条件的三次多项式H (a) f (a) , H (b) f (b) , H (c)f (c) , H (c) f (c)( a c b )求 f (x)H ( x) ，并证明之。
12四（ 15 分）计算13 dx ，10 2。
x五（ 15 分）在 [0，2]上取 x 0 0 , x 1 1 , x 22 ，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代数精度。
六（ 10 分）证明改进的尢拉法的精度是 2 阶的。
七（ 10 分）对模型 yy , 0 ，讨论改进的尢拉法的稳定性。
八（ 15分）求方程 x 34x 2 7x 1 0 在 -1.2 附近的近似值，10 3。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（试卷二）一填空（ 4*2 分）1 {k ( x) } k 0 是区间 [0， 1]上的权函数为( x) x 2 的最高项系数为 1 的正交多项式族，其中10 (x)1，则x0 ( x) dx ------------------- ， 1 ( x) ------------------。
2 12 A，则 A1 4----------- ，( A) ----------------- 。
a 1 2 时， A 可作 LU 分解。
3 设 A，当 a 满足条件 ---------------- 14..4 设非线性方程 f ( x) (x33x23x1)( x 3) 0 ，其根 x1* 3 ， x2*1，则求 x1* 的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是--------------------------- 。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数值分析试题-15年-C
华南理工大学研究生课程考试《数值分析》试卷C （2015年1月9日）1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；所有答案请按要求填写在本试卷上；课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生；本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。
一、（12分）解答下列问题：x>，x的相对误差为δ，试证明ln x的绝对误差近似为δ。
1）设近似值02）利用秦九韶算法求多项式542=-+-+p x x x x x()681x=时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。
在3（1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。
（2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞=0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。
（2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合：四、（14分）对积分()10I f x dx =⎰，试 （1）构造一个以012113,,424x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度；（3）用所得数值求积公式计算积分1203x dx ⎰的精确值；（4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
五、（12分）解答下列问题：（1）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。
（2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦六、（13分）对2阶线性方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩ （11220a a ≠） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散；（2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
(完整)数值分析试题库与答案解析,推荐文档
模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设，，则=.，= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C ＝ .)4(3C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法；0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=，.(2)57p =(2)72p '=2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.； 4. ； 5. 二； 911516456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷
吉林大学《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷一、 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 以下误差限公式不正确的是（ ） A ．()()(1212)x x x εεε−=−x B. ()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εε=+ε D. ()()22x x x εε=2. 步长为的等距节点的插值型求积公式，当h 2n =时的牛顿－科茨求积公式为（ ） A ．()()()2bahf x dx f a f b ≈+⎡⎤⎣⎦∫B ．()()()432bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ C ．()()()32bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ D ．()()3442bah b a a b f x dx f a f a f f a ⎡−+⎛⎞⎛⎞⎛≈+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎣⎦∫4b a −⎤⎞⎟⎠3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．＝0， B ． ()00l x ()110l x =()00l x ＝0，()111l x = C ．＝1，()00l x ()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 用二分法求方程在区间()0f x =[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是（ ） n ≥ A ．ln()ln 1ln 2b a ε−++ B.ln()ln 1ln 2b a ε−+− C. ln()ln 1ln 2b a ε−−+ D.ln()ln 1ln 2b a ε−−− 5. 若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ ）A ． B.123123123104025261x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩123123123315226x x x x x x x x x −+=⎧⎪01−−+=⎨⎪++=−⎩ C. D.12312312322526x x x x x x x x x −+=⎧⎪−−+=⎨⎪++=⎩01012312312310402501x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩二、 填空题（每小题3分，共15分）6. 数x ∗＝2.1972246···的六位有效数字的近似数的绝对误差限是 。
北航2010-2015年研究生数值分析报告期末模拟试卷与真题
北航2010-2015年研究生数值分析报告期末模拟试卷与真题数值分析模拟卷A一、填空（共30分，每空3分）1 设-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则?=10)(dx x xq k ________，=)(2x q ________.5 设=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1）证明R x ∈?0均有?∞→=x x n x lim （?x 为方程的根）；（2）取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分）设有常微分方程的初值问题=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知方程组b Ax ＝，其中= ??=21,13.021b A ，（1）试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性.（2）若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定一个的取值围，在这个围任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明 .其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟卷B填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知???? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：?-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(30f f dx x f +≈?是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
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河海大学2015-2016学年硕士生
《数值分析》试题(A)
任课教师姓名
姓名
专业
学号
成绩
一、填空题(每空2分,共20分)1、若1>>x ，改变计算式(
)
=
--
1ln 2x x ，使计算结果更为准确。
2、设⎩⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,121
0,)(2
323x cx bx x x x x x s ，是以2,1,0为节点的三次样条函数，则=
b ，=
c 。
3、已知契比雪夫多项式x x x T 34)(3
3-=，则122)(2
3
-++=x x x x f 在]1,1[-上的二次最佳一致逼近多项式是。
4、已知离散数据()),,2,1(,n k y x k k =，用直线bx a y +=拟合这n 个点，则参数a 、b
满足的法方程组是。
5、给定矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=3121A ，
则A 的谱半径=)(A ρ，A 的条件数=
∞)(A Cond 。
6、设0)133)(2()(2
3
=-+-+=x x x x x f ，用牛顿迭代法解此方程的根21-=x 具有二阶收敛的迭代格式为
，求根12=x 具有二阶收敛的迭代格式为。
7、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是
()()4111h O y x y T n n n =-=+++，则称此单步法具有
阶精度。
《数值分析》2015级(A)第1页共6页
已知数据表
i x 0123)
(i x f 0
-5
-6
3
(1)求f (x )的三次Lagrange （拉格朗日）插值多项式；
(2)计算差商表，并写出三次Newton （牛顿）插值多项式。
三、(本题8分)
在区间]1,1[-上给定函数14)(3
+=x x f ，求其在},,1{2
x x Span =Φ中关于权函数
1)(=x ρ的二次最佳平方逼近多项式。
(可用勒让德多项式1)(0=x p ，x x p =)(1，
)
)
13(2
1
)(22-=x x P 《数值分析》2015级(A)第2页共6页
用下列方法计算积分
⎰
3
1
y
dy 。
（1）龙贝格求积公式（要求二分三次）；（2）已知三次勒让德多项式)35(2
1
)(33x x x p -=
，用三点高斯-勒让德公式计算上述积分。
五、（本题8分）
知方阵⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-315122*********x x x ，
试用Doolittle （杜利特尔）分解法解此线性方程组。
《数值分析》2015级(A)第3页共6页
把下面的线性方程组化为等价的线性方程组，使之应用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式（分量形式），并说明收敛的理由。
⎪⎩⎪
⎨⎧=--=+-=+-7
9897832
13121x x x x x x x 七、(本题10分)
已知方程01)1()(=--=x
e x x
f 。
分析方程存在几个实根；用迭代法求出这些根；证明所用的迭代法是收敛的。
《数值分析》2015级(A)第4页共6页
写出规范化的幂法公式，并用此公式求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=20101350144A 的主特征值及对应的特征向量，取初始向量⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡111，写出迭代两步的结果（计算结果保留到小数后第四位）。
九、(本题8分)
给定常微分方程初值问题
()⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=2
0102
y x y dx dy 写出改进欧拉公式，并用此公式计算)(x y 在1.0=x 和2.0处的近似值，取步长1.0=h ，计算结果保留5位有效数字。
《数值分析》2015级(A)第5页共6页
给定线性方程组b Ax =，其中⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=2123A ，⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=13b ，用迭代公式),2,1,0()()()()1( =-+=+k Ax b x x k k k ω求解b Ax =，试证明2
1
0<
<ω时迭代公式收敛。
《数值分析》2015级(A)第6页共6页
河海大学2015-2016学年硕士生
《数值分析》试题(B)
任课教师姓名
姓名
专业
学号
成绩
一、填空题(每空2分,共20分)
1、如果求解常微分方程初值问题的显式单步法局部截断误差是
()()4111h O y x y T n n n =-=+++，则称此单步法具有
阶精度。
2、若1>>x ，改变计算式(
)
=
--
1ln 2x x ，使计算结果更为准确。
3、设⎩⎨⎧≤≤-++≤≤+=21,121
0,)(2
323x cx bx x x x x x s ，是以2,1,0为节点的三次样条函数，则=
b ，=
c 。
4、设0)133)(2()(2
3
=-+-+=x x x x x f ，用牛顿迭代法解此方程的根21-=x 具有二阶收敛的迭代格式为
，求根12=x 具有二阶收敛的迭代格式为。
5、已知契比雪夫多项式x x x T 34)(33-=，则122)(2
3-++=x x x x f 在]1,1[-上的二次最佳一致逼近多项式是。
6、给定矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=3121A ，
则A 的谱半径=)(A ρ，A 的条件数=
∞)(A Cond 。
7、已知离散数据()),,2,1(,n k y x k k =，用直线bx a y +=拟合这n 个点，则参数a 、b
满足的法方程组是。
《数值分析》2015级(B)第1页共6页
知方阵⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-315122*********x x x ，
试用Doolittle （杜利特尔）分解法解此线性方程组。
三、(本题10分)
把下面的线性方程组化为等价的线性方程组，使之应用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式（分量形式），并说明收敛的理由，并取初始向量T x
)0,0,0()
0(=,分别计算出迭代2次后的结果
x (2)（计算过程保留小数点后四位小数）。
⎪⎩⎪
⎨⎧=--=+-=+-7
9897832
13121x x x x x x x 《数值分析》2015级(B)第2页共6页
在区间]1,1[-上给定函数14)(3
+=x x f ，求其在},,1{2
x x Span =Φ中关于权函数
1)(=x ρ的二次最佳平方逼近多项式。
(可用勒让德多项式1)(0=x p ，x x p =)(1，
)
)
13(2
1
)(22-=x x P 五、(本题10分)用下列方法计算积分
⎰
3
1
y
dy 。
（1）龙贝格求积公式（要求二分三次）；（2）已知三次勒让德多项式)35(2
1
)(33x x x p -=
，用三点高斯-勒让德公式计算上述积分。
《数值分析》2015级(B)第3页共6页
已知数据表
i x 0123)
(i x f 0
-5
-6
3
(1)求f (x )的三次Lagrange （拉格朗日）插值多项式；
(2)计算差商表，并写出三次Newton （牛顿）插值多项式。
七、(本题8分)
给定常微分方程初值问题
()⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=2
0102
y x y dy 写出改进欧拉公式，并用此公式计算)(x y 在1.0=x 和2.0处的近似值，取步长1.0=h ，计算结果保留5位有效数字。
《数值分析》2015级(B)第4页共6页
写出规范化的幂法公式，并用此公式求矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=20101350144A 的主特征值及对应的特征向量，取初始向量⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡111，写出迭代两步的结果（计算结果保留到小数后第四位）。
九、(本题10分)
已知方程01)1()(=--=x
e x x
f 。
分析方程存在几个实根；用迭代法求出这些根；证明所用的迭代法是收敛的。
《数值分析》2015级(B)第5页共6页
给定线性方程组b Ax =，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2123A ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=13b ，用迭代公式),2,1,0()()()()1( =-+=+k Ax b x x k k k ω求解b Ax =，试证明210<
<ω时迭代公式收敛。
《数值分析》2015级(B)第6页共6页。