7.4 拉氏变换的应用举例
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
数学物理方法 拉氏变换
1 c j st (1)利用公式 f (t ) F (s)e ds c j 2 πj
(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合
F ( s ) F1 ( s ) F2 ( s ) Fn ( s )
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f n (t )
K2 Kn ( s p1 ) F (s) K1 ( s p1 ) s p s p 2 n
令 s = p1 方法2
求极限的方法
N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
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N (s)(s pi ) K i lim s pi D(s)
2. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
简写 F (s) L f (t ) ， f (t ) L F (s)
-1
F ( s ) f (t )e st dt 0 1 c j st F ( s ) e d s f (t ) c j 2 πj
s 1
3
d K 21 [( s 1) 2 F ( s )] s 1 d [ s 4 ] 4 s 1 ds ds s
f (t ) 4 4e 3te
t
t
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小结 由F(s)求f(t) 的步骤： n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 N 0 (s) F (s) A D(s)
(2) f (t ) δ ( t )的象函数
1 L[ (t )] s d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s 2 d f ( t ) ' 推广：L[ ] s[ sF ( s) f (0 )] f (0 ) 2 dt 2 ' s F ( s) sf (0 ) f (0 )
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
7.4 z变换
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
积分变换 拉氏变换
dx(t ) st lim e dt limsX ( s ) x(0) s s dt 0 0 lim sX ( s) lim x(0)
s s
lim x(t ) lim sX ( s)
t 0 s
lim x ( t ) lim sX ( s ) 6）终值定理 t s 0
6 (0) 5sY ( s) y (0) 6Y ( s) s Y ( s) sy (0) y s 2s 2 12s 6 1 5 4 Y ( s) s( s 2)(s 3) 5e 2t 4e 3t
st e Lx(t ) x(t )e st dt x(t )d s 0 0 st e st e x(t ) dx(t ) s 0 0 s
x(0) 1 dx(t ) st e dt s s 0 dt x ( 0) 1 d L x(t ) s s dt d L x(t ) sX ( s ) x(0) dt
(t ) 8 y (t ) 32y(t ) 4 (t ) y 例：解方程 解：将方程两边取拉氏变换，得
(0) y(0) 0 y
8s 32 Y ( s ) 4 4 4 Y (s) 2 s 8s 32 s 4 2 4 2 4 Lsin(4t ) 2 s 42 y (t ) e 4t sin(4t )
0
t 0
1
t 0
0 0
F (t ) (t )e jwt dt e jwt
0
1
x(t ) (t )dt lim
拉氏变换
拉氏变换的基本性质及其应用举例
一、拉氏变换的性质
(1)线性定理：拉氏变换是线性变换，即：
(2)卷积定理：
称为、的卷积，记为
(3)乘积定理：设、的拉氏变换为、，则：的拉氏变换为：
(4)导数定理：
如果：
则：
(5)不定积分定理：
(6)象的导数定理：
(7)象的积分定理：设的象为,且积分收敛，则：
(8)相似定理：设，则：
(9)位移定理：
(10)延迟定理：设，则：
二、用拉氏变换求解常微分方程及积分方程举例
例1、求解初值问题：
解：对方程两端作拉普拉斯变换：
即：
将上式两端反演，即：
从例1中可得出运用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可归纳为：
(1)对方程施行拉普拉斯变换，这变换把初始条件一同考虑。
(2)从变换后的方程中解出象函数。
(3)对求出的象函数进行反演，原函数就是原方程的解。
例2 求解交流RL电路的方程：
解：对方程两边作拉普拉斯变换
将上式两端反演得：
由卷积定理得：
所得结果第一部分代表一个稳定的(幅度不变的)振荡，第二部分则是随时间而衰减的．例3 求解
解：对该方程施行拉普拉斯变换后得：
记
将上式反演，设：
则
则由卷积定理得：
而：
例4 求解方程组：
解：对方程组施行拉氏变换得：
记：
两式相加减得：
将上方程组反演：
例5 求解积分方程
解：对方程两端施行拉氏变换
即：
进行反演：
例6 用拉普拉斯变换求积分：
解：当
进：对积分进行拉普拉斯变换
反演得：
当
时，作变换。
拉氏变换详解课件
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 f (2) (0) s
若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0
则有
L[
f
(t)dtn ]
1 sn
F (s)
即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其
象
sn
函数除以
。
6
（4）终值定理 lim f (t) lim sF(s)
t
直接按上式求原函数太复杂，一般都用 查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)12 必须是一种能直接查到的原函数的形式。
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这 些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。
例1： F(s)
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
F(s)
M (s) D(s)
b0sm b1sm1 bm1s bm sn a1sn1 an1s an
(m
n)
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s)
总能展开成如下简单的部分分式之和
F (s) c1 c2 cn
s p1 s p2
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。
F (s) Ae st dt
A e st
A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
拉氏变换及应用
§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
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由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性
微分方程的方法的运算过程如图7-6：
常系数线性 微分方程 作拉氏变换 象函数的 代数方程 解代数方程 象原函数 求拉氏逆变 （微分方程的解） 换 图7-6 象函数
例7-20 求微分方程 y 3 y 2 y 2e
t
满足初值条件 y(0) 2，y(0) 1 的解． 解 对所给微分方程的两边分别作拉氏变
第4节 拉氏变换应用举例
下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中
的应用．
例7-19 求微分方程 x(t ) 2 x(t ) 0 满足 初值条件x(0)=3的解． 解 第一步 ,对方程两边取拉氏变换,并设 L[x(t)]=X(p).
L[ x' ( t ) 2 x(t )] L[0]
L[ x(t )] 2 L[ x(t )] 0 pX( p) x(0) 2 X ( p) 0
将初始条件x(0)=3代入上式，得
( p 2) X ( p) 3
这样，原来的微分方程经过拉氏变换 后，就得到了一个像函数的代数方程．
第二步
3 . 解出X(p): X ( p) p2
第三步 求象函数的拉氏逆变换： 3 1 1 x( t ) L [ X ( p)] L [ ] 3e 2 t p2 这样就得到了微分方程的解 x(t ) 3e
1 t 7 2t t y( t ) e 4e e 3 3
用拉氏变换还可以解常系数线性微分 方程组．
2 2 p 5p5 2 即( p 3 p 2)Y p1
解出 Y ，得
2 p2 5 p 5 Y ( p 1)( p 2)( p 1)
将上式分解为部分分式
1 7 4 3 Y 3 p1 p1 p 2
再取拉氏逆变换，就得到满足所给初
值条件的方程的特解为
换．设 L[ y(t )] Y ( p) Y ，则得
2 [ p Y py(0) y(0)] 3[ pY y(0)] 2Y p1 将初值条件 y(0) 2，y(0) 1 代入,得到
2
Y 的代数方程
2
2 ( p