正方形的性质课件.ppt
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正方形的性质与判定ppt课件
A
D
P
B
C
巩固训练
3. 如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓 库P和Q分别位于AD和DC上，且PD= QC．证明两条直路BP=AQ且 BP⊥AQ．
巩固训练
4.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小 路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽 度）．你有几种方法？（至少说出三种）
如图所示即为所求（答案不唯一）.
BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
D
O
B
C
任务二
正方形的性质
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
韦恩图：
四边形 平行四边形
菱形 正方形 矩形
巩固训练
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 边
四边相等
√
√√ √
√√
角
四个角都是直角
对角线相互平分
√
对 角
对角线相互垂直
线
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
√
√√ √
√√
√
√
√√
巩固训练
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线 上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
A
D
E
B
CF
小结
正方形 的性质
定义 性质
3.正方形的性质与判定第1课时正方形的性质PPT课件(北师大版)
第一章
特殊平行四边形 3．正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
1 …知…识…回…顾…. 2 …新…知…导…航…. 3 …轻…松…过…招….
第1课时 正方形的性质
知识回顾
正方是轴对称图形，它有 4 条对称轴，即经 过对边中点的直线或两对角线所在直线：正方形又 是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心 （也是对边中点的直线的交点）。 .
第1课时 正方形的性质
新知导航
变式训练
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O. （1）若周长为8，则对角线长为 2 2 ， 面积为 4 ； （2）图中共有 8 个等腰直角三角形．
第1课时 正方形的性质
新知导航
2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C 作l的垂线，垂足分别为E，F，若 AE＝1，CF＝3.求AB的长．
第1课时 正方形的性质
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为 BC延长线上一点，且CE＝CF. （1）求证：△BCE≌△DCF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°
CE＝CF
在△BCE和△DCF中， ∠BCE＝∠DCF ，
∴△BCE≌△DCF.
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3， ∴AB＝ AE2＋BE2 ＝ 1＋9 ＝ 10 .
第1课ห้องสมุดไป่ตู้ 正方形的性质
轻松过招
《认识正方形》PPT课件(2024)
正方形特点
四边等长，四角均为90度。
2024/1/30
4
正方形与长方形关系
正方形是长方形的特例
当长方形的长和宽相等时，即为正方 形。
长方形与正方形的区别
长方形长和宽不等，而正方形四边等 长。
2024/1/30
5
正方形对称性
正方形的轴对称性
正方形有两条对称轴，分别是两条对角线。
正方形的中心对称性
正方形关于其中心点对称，即任意一点关于中心点的对称点仍在正方形上。
19
05
正方形相关数学问题探 讨
2024/1/30
20
正方形内角和问题
正方形内角和定理
正方形四个内角之和等于360度 。
证明方法
通过划分正方形为两个三角形， 利用三角形内角和定理进行证明
。
应用举例
解决与正方形内角相关的几何问 题，如角度计算、形状判断等。
2024/1/30
21
正方形对角线性质
2024/1/30
2024/1/30
11
03
正方形在生活中的应用
2024/1/30
12
建筑设计中应用
正方形作为建筑的基本形状之一，在建筑设计中广泛应用，如房屋、大厦、广场等 。
正方形的平面布局可以使得空间更加均衡、稳定，符合建筑美学的要求。
2024/1/30
正方形的建筑结构具有良好的承重性和稳定性，能够保证建筑的安全性和耐久性。
• 实例2：已知正方形周长为24m，求其边长和面积。 • 边长计算：a = C / 4 = 24m / 4 = 6m。 • 面积计算：S = a² = 6m × 6m = 36m²。 • 应用场景：正方形周长与面积计算在建筑设计、土地测量、
正方形的性质与判定ppt课件
①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形
归纳总结
2. 四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关
(1)当对角线不相等不垂直时，中点四边形是平行四边形 (2)当对角线相等时，中点四边形是菱形 (3)当对角线垂直时，中点四边形是矩形 (4)当对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形
D
结论1 有一组邻边相等的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB四=B边C形ABCD是正方形
O
B
C
结论2 对角线互相垂直的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形
探究一：正方形的判定
D
问题2：满足怎样条件的菱形是正方形？ A
结论3 有一个角是直角的菱形是正方形
第一章 特殊平行四边形
1.3.2 正方形的性质与判定 第二课时
温故知新
菱形
平行四边形
① 有一组邻边相等 ②对角线互相垂直
矩形
①有一个角是直角 ②对角线相等
探索新知
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
探究一：正方形的判定
A
问题1：满足怎样条件的矩形是正方形？
B
E
C
基础练习
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是
A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2).
求证：四边形ABCD是正方形.
y D(0，2)
A(－2，0)
C(2，0) x
B(0，－2)
能力提升
1. 在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是 正方形，还需添加一组条件. 下面给出了五组条件： ①AB=AD，且AC=BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD； ③AB⊥AD，且AB=AD；④AB=BD，且AB⊥BD； ⑤OB=OC，且OB⊥OC. 其中符合条件的有
八年级数学下册教学课件《正方形的性质》
情境导入
仔细观察下列实际生活中的图片,你会发现这些都 是正方形的形象．
正方形是我们熟悉的图形,你还能列举出正方形在 生活中应用的其他例子吗?
情境导入
结合已有经验,类比菱形与矩形,正方形的概念是怎 样的呢?
正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角 是直角的平行四边形．
下面我们一起来探讨一下正方形的性质吧!
解：有多种方法：只要两条小路 交于正方形对角线的交点且两条 小路互相垂直，则满足条件.
课后作业
5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方
形，点G在对角线BD上，GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,
小敏行走的路线为B A G E,小聪行走的路线为B A
D E F,若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程
∴C(b,d)
课后作业
2.（2）如图，四边形ABCD是菱形，C，D两点的
坐标分别是(c,0),(0,d).点A , B的在坐标轴上.求A ,
B两点的坐标.【选自教材P61，习题18.2第12题】
y
（2）∵四边形ABCD是菱形，
D
∴AO=CO,BO=DO.
A
O
Cx
Hale Waihona Puke ∵C(c,0),∴A(-c,0)
B
∵D(0,d),∴B(0,-d)
由勾股定理得BC= EC2 EB2 900 100 20 2 (m).
在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=BC= 20 2 m，
A
D
由勾股定理得AC= AB2 BC 2 800 800 40(m).
2
S正方形ABCD BC 2 20 2 800
E
∴这块场地的面积为800m2，对角线长40m.
仔细观察下列实际生活中的图片,你会发现这些都 是正方形的形象．
正方形是我们熟悉的图形,你还能列举出正方形在 生活中应用的其他例子吗?
情境导入
结合已有经验,类比菱形与矩形,正方形的概念是怎 样的呢?
正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角 是直角的平行四边形．
下面我们一起来探讨一下正方形的性质吧!
解：有多种方法：只要两条小路 交于正方形对角线的交点且两条 小路互相垂直，则满足条件.
课后作业
5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方
形，点G在对角线BD上，GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,
小敏行走的路线为B A G E,小聪行走的路线为B A
D E F,若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程
∴C(b,d)
课后作业
2.（2）如图，四边形ABCD是菱形，C，D两点的
坐标分别是(c,0),(0,d).点A , B的在坐标轴上.求A ,
B两点的坐标.【选自教材P61，习题18.2第12题】
y
（2）∵四边形ABCD是菱形，
D
∴AO=CO,BO=DO.
A
O
Cx
Hale Waihona Puke ∵C(c,0),∴A(-c,0)
B
∵D(0,d),∴B(0,-d)
由勾股定理得BC= EC2 EB2 900 100 20 2 (m).
在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=BC= 20 2 m，
A
D
由勾股定理得AC= AB2 BC 2 800 800 40(m).
2
S正方形ABCD BC 2 20 2 800
E
∴这块场地的面积为800m2，对角线长40m.
正方形的性质课件
学一学
例1. 如图，在正方例A题BC解D中析，对角线AC、
BD相交于O，
1)图中有多少个等腰直角三角形
2)说出图中相等的线段、相等的角。
3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.正方形ABCD，对角线交于0， 1)若AB=2㎝，则AC=_____,OA=_____,周长____，面积_____。 2)若OB=2㎝，则AC=_____,AB=_____,周长____，面积_____。 3)若AC+BD=8㎝，则AC=_____,AB=_____,正方形面积_____。 2.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _______________.
3.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了__________.
A
D
O
B
C
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直. C、对角互补. D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
对角线: 分别平分两组对角
创设情景一
┓90°
问题: 从这个图形中你能得到什么？ 你是怎样想到的？
当 =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊 的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.
情景二
A
D
A
D
B
C
问题:
B
C
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （CD在移动的过程中始终保持与AB平行）
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
正方体的认识ppt课件
得正方体成为一个完善的几何模型。
04
正方体的应用
建筑领域中的应用
建筑设计
正方体在建筑设计中常被 用作基本单元，通过组合 和排列可以构建出各种建 筑结构和外观。
空间利用
正方体的空间利用率高， 能够有效地利用建筑空间 ，提供更大的使用面积。
结构稳定性
正方体结构稳定，能够承 受较大的重量和压力，合 适用于高层建筑和大型结 构。
正方体的拓展性质和定理
总结词
除了基本的体积和表面积计算，正方体 还有许多有趣的性质和定理，这些是深 入学习几何学的重要内容。
VS
详细描写
正方体的十二条棱分别两两平行且相等， 相对的两个面完全相等且互相平行。此外 ，正方体的体对角线是其最长的线段，长 度为√3a。
谢谢观看
正方体的认识
汇报人： 202X-12-31
目录
• 正方体的定义与性质 • 正方体的平面展开图 • 正方体的立体结构 • 正方体的应用 • 正方体的拓展知识
01
正方体的定义与性质
正方体的定义
总结词
正方体是一种特殊的长方体，其六个 面都是正方形。
详细描写
正方体是一种三维几何图形，由六个 完全相同的正方形面组成，每个面都 是正方形。所有面的边长都相等，并 且所有面的角度都是直角。
详细描写
正方体的特点是其六个面都是正方形，所有面的边长相等，并且所有面的角度都是直角。此外，正方体的体积和 表面积都可以通过其棱长的平方来计算。由于其规则和对称的特性，正方体在几何学、建筑学、艺术等领域都有 广泛的应用。
02
正方体的平面展开图
正方体展开图的种类
01
02
03
04
1-4-1型
一个面为长方形，其余四个面 为平行四边形。
04
正方体的应用
建筑领域中的应用
建筑设计
正方体在建筑设计中常被 用作基本单元，通过组合 和排列可以构建出各种建 筑结构和外观。
空间利用
正方体的空间利用率高， 能够有效地利用建筑空间 ，提供更大的使用面积。
结构稳定性
正方体结构稳定，能够承 受较大的重量和压力，合 适用于高层建筑和大型结 构。
正方体的拓展性质和定理
总结词
除了基本的体积和表面积计算，正方体 还有许多有趣的性质和定理，这些是深 入学习几何学的重要内容。
VS
详细描写
正方体的十二条棱分别两两平行且相等， 相对的两个面完全相等且互相平行。此外 ，正方体的体对角线是其最长的线段，长 度为√3a。
谢谢观看
正方体的认识
汇报人： 202X-12-31
目录
• 正方体的定义与性质 • 正方体的平面展开图 • 正方体的立体结构 • 正方体的应用 • 正方体的拓展知识
01
正方体的定义与性质
正方体的定义
总结词
正方体是一种特殊的长方体，其六个 面都是正方形。
详细描写
正方体是一种三维几何图形，由六个 完全相同的正方形面组成，每个面都 是正方形。所有面的边长都相等，并 且所有面的角度都是直角。
详细描写
正方体的特点是其六个面都是正方形，所有面的边长相等，并且所有面的角度都是直角。此外，正方体的体积和 表面积都可以通过其棱长的平方来计算。由于其规则和对称的特性，正方体在几何学、建筑学、艺术等领域都有 广泛的应用。
02
正方体的平面展开图
正方体展开图的种类
01
02
03
04
1-4-1型
一个面为长方形，其余四个面 为平行四边形。
正方形的性质与判定-ppt课件
∵AF＝5，∴在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．
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证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS) ∴∠CEA＝∠ABG
7.求证：矩形的四个角的平分线 所围成的四边形是正方形．
对角线互相垂直 四 个 角 平分且相等，每
中 心 对
语 相等
都是直角 条对角线平分一 称
言
组对角
图 形
符 ∵四边形ABCD ∵四边形ABCD ∵四边形ABCD是正方形
号 是正方形
是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
语 言
∴AB∥CD AD∥BC,
AB=BC=CD=AD
∴∠A=∠B=∠C =∠D=90°
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角
的平行四边形是正方形
2、正方形的性质 正方形具有平行四
正
边 对边平行 四边相等
边形、矩形、菱形 的一切性质。
方 形
角
四个角相等且都是直角
性
对角线相等
质 对角线 互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
补充习题：
1、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC
边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求
OA=OB=OC=OD, ∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8
例 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形
分成四个全等的等腰直角三角形.
已这是知一:如道图文,字四证边明形题A,该B怎CD么 A
D
是交正于做?方点第你形O一会.步,做对:根吗角据?线题意A画C出、图B形D相 △C求D证第O二、:△步△A:写BD出OA已、O知是、△求全B证等CO的、等 B 腰直角第三三步角：形进.行证明
A
∟D
E
∟
B
C
2、如图，正方形ABCD的边长为
4cm，则图中阴影部分的面积为多
少平方厘米？
A
D
B
C
3、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°， 正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F 在边AB上，点G在边BC上. （1）求证AE=BF；
（2）若BC= 2cm，求正方形DEFG的边
长.
小结
A E
D
H
F
G
B
C
PE+PB的最小值.
2、在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分
∠BAC,试猜想AB、AC、BE A
D
之间的关系，并证明
你的猜想．
F
B EC
G
3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD
相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、 OB于M、N，
求证：BM＝CN
4.已知：如图(4)在正方形ABCD中，F 为CD延长线上一点，CE⊥AF于E， 交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
5.如图(5)，在AB上取一点C，以AC、 BC为正方形的一边在同一侧作正方形 AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交 AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
6.如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和 ACFG，连结BG、CE，交点为N. 求证：∠CEA＝∠ABG
平行四边形（矩形）
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
一个角是直角
一组邻边相等
特有性质：
一个矩角形是的直四角个，角一组都邻是边直相角等
矩形的对角线相等
性质一：组邻边相等
一个角是直角
平行四边形的对边
正方形有哪些性质呢？
平行且相等
特有性质：
平行四边形的对角相等 菱形的四条边都相等
正 方 形 做正方学实踏
人正方习实踏
知识回顾: 几种特殊四边形的定义及性质
定义
边
角
对 角 线 对称性
平行 两组对边 对边平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对角相等，对角线
四边 形
分别平行 行且相 的四边形 等
邻角互补 互相平分
中心对 称图形
矩
有一个角 对边平 是直角的 行且相
四个角 都是直
形 平行四边 等
形
角
对角线相 轴对称
等且互相 平分
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多 少个等腰直角三角形？
A
D
O
结论：
B
C
分成八个等腰直角三角形，分别是
△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ；
△AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之 间有什么关系？
平行四边形
矩 正菱
形
方 形
形
1、ABCD是一块正方形场地，小 华和小芳在AB边上取一点E，测量 知，EC=30m，EB=10m，这块场 地的面积和对角线长分别是多少？
平行四边形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直，并
平行四边形的对角线 互相平分
且每一条对角线平分一组对角
:正方形有那些性质?
观察思考：正方形是中心对称图形吗?
正方形性质
边
角
对角线
对称性
图A 形 语
DA
∟
∟D
A
12
5D
6
轴 对
O
称 图
言B
CB
∟
∟
7
C B8
4
3C
形 ，
文 对边平行， 字 四条边都
图形、 中心对 称图形
菱 形
有一组邻 对边平
边相等的 行，四
平行四边 边都相
形
等
对 邻角角相互等补，对垂每角直条线 平 对互 分 角相 ， 线
平分一组对
轴对称 图形、 中心对称 图形
角
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是 直角的平行四边形
⑴有一组邻边相等的平行 两层 四边形（菱形）
正 方
含义 ⑵并且有一个角是直角的 形
O C
证分明析::利∵用四正边方形形A的BC性D质是,正对方角形线,互相垂
直平∴分A且C相=B等D,,每AC条⊥对B角D线,A平O=分B一O=组C对O=DO.
角.平∴分△可A以BO产、生△线B段C等O量、关△系C,D垂O直、可
△以D产A生O直都角是,等于腰是直可角以三得角到形四,个并全且等的
等△腰A直B角O三≌角△形B.CO ≌ △CDO ≌ △DAO
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS) ∴∠CEA＝∠ABG
7.求证：矩形的四个角的平分线 所围成的四边形是正方形．
对角线互相垂直 四 个 角 平分且相等，每
中 心 对
语 相等
都是直角 条对角线平分一 称
言
组对角
图 形
符 ∵四边形ABCD ∵四边形ABCD ∵四边形ABCD是正方形
号 是正方形
是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
语 言
∴AB∥CD AD∥BC,
AB=BC=CD=AD
∴∠A=∠B=∠C =∠D=90°
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角
的平行四边形是正方形
2、正方形的性质 正方形具有平行四
正
边 对边平行 四边相等
边形、矩形、菱形 的一切性质。
方 形
角
四个角相等且都是直角
性
对角线相等
质 对角线 互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
补充习题：
1、已知正方形ABCD的边长为4，E为BC
边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求
OA=OB=OC=OD, ∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8
例 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形
分成四个全等的等腰直角三角形.
已这是知一:如道图文,字四证边明形题A,该B怎CD么 A
D
是交正于做?方点第你形O一会.步,做对:根吗角据?线题意A画C出、图B形D相 △C求D证第O二、:△步△A:写BD出OA已、O知是、△求全B证等CO的、等 B 腰直角第三三步角：形进.行证明
A
∟D
E
∟
B
C
2、如图，正方形ABCD的边长为
4cm，则图中阴影部分的面积为多
少平方厘米？
A
D
B
C
3、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°， 正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F 在边AB上，点G在边BC上. （1）求证AE=BF；
（2）若BC= 2cm，求正方形DEFG的边
长.
小结
A E
D
H
F
G
B
C
PE+PB的最小值.
2、在正方形ABCD中,AC是对角线,AE平分
∠BAC,试猜想AB、AC、BE A
D
之间的关系，并证明
你的猜想．
F
B EC
G
3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD
相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、 OB于M、N，
求证：BM＝CN
4.已知：如图(4)在正方形ABCD中，F 为CD延长线上一点，CE⊥AF于E， 交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
5.如图(5)，在AB上取一点C，以AC、 BC为正方形的一边在同一侧作正方形 AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交 AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF
6.如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和 ACFG，连结BG、CE，交点为N. 求证：∠CEA＝∠ABG
平行四边形（矩形）
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
一个角是直角
一组邻边相等
特有性质：
一个矩角形是的直四角个，角一组都邻是边直相角等
矩形的对角线相等
性质一：组邻边相等
一个角是直角
平行四边形的对边
正方形有哪些性质呢？
平行且相等
特有性质：
平行四边形的对角相等 菱形的四条边都相等
正 方 形 做正方学实踏
人正方习实踏
知识回顾: 几种特殊四边形的定义及性质
定义
边
角
对 角 线 对称性
平行 两组对边 对边平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对角相等，对角线
四边 形
分别平行 行且相 的四边形 等
邻角互补 互相平分
中心对 称图形
矩
有一个角 对边平 是直角的 行且相
四个角 都是直
形 平行四边 等
形
角
对角线相 轴对称
等且互相 平分
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多 少个等腰直角三角形？
A
D
O
结论：
B
C
分成八个等腰直角三角形，分别是
△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ；
△AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之 间有什么关系？
平行四边形
矩 正菱
形
方 形
形
1、ABCD是一块正方形场地，小 华和小芳在AB边上取一点E，测量 知，EC=30m，EB=10m，这块场 地的面积和对角线长分别是多少？
平行四边形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直，并
平行四边形的对角线 互相平分
且每一条对角线平分一组对角
:正方形有那些性质?
观察思考：正方形是中心对称图形吗?
正方形性质
边
角
对角线
对称性
图A 形 语
DA
∟
∟D
A
12
5D
6
轴 对
O
称 图
言B
CB
∟
∟
7
C B8
4
3C
形 ，
文 对边平行， 字 四条边都
图形、 中心对 称图形
菱 形
有一组邻 对边平
边相等的 行，四
平行四边 边都相
形
等
对 邻角角相互等补，对垂每角直条线 平 对互 分 角相 ， 线
平分一组对
轴对称 图形、 中心对称 图形
角
正方形定义:
有一组邻边相等并且有一个角是 直角的平行四边形
⑴有一组邻边相等的平行 两层 四边形（菱形）
正 方
含义 ⑵并且有一个角是直角的 形
O C
证分明析::利∵用四正边方形形A的BC性D质是,正对方角形线,互相垂
直平∴分A且C相=B等D,,每AC条⊥对B角D线,A平O=分B一O=组C对O=DO.
角.平∴分△可A以BO产、生△线B段C等O量、关△系C,D垂O直、可
△以D产A生O直都角是,等于腰是直可角以三得角到形四,个并全且等的
等△腰A直B角O三≌角△形B.CO ≌ △CDO ≌ △DAO