立体几何中三角形的四心问题

立体几何中三角形的四心问题一、外心问题（若PA=PB=PC,则O 为三角形ABC 的 外心）例1．设P 是ΔABC 所在平面α外一点，若PA ，PB ，PC 与平面α所成的角都相等，那么P 在平面α内的射影是ΔABC 的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心如图所示，作PO ⊥平面α于O ，连OA 、OB 、OC ，那么∠PAO 、∠PBO 、∠PCO 分别是PA 、PB 、PC 与平面α所成的角，且已知它们都相等.∴Rt ΔPAO ≌Rt ΔPBO ≌Rt ΔPCO. ∴OA ＝OB ＝OC ∴应选B.例2． Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离为８０，M 为AC 的中点．（１）求证：PM ⊥AC ；（２）求P 到直线AC 的距离；（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．证明 （１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC解 （２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０，∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２； （３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心，∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。

∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影，则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝9401880==MH PH 例3．斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。

解析：∵A 1A=A 1B=A 1C∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156取AB 中点E ，连A 1E∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB∴ 12)2AB (AA E A 2211=-= ∴ 1111120AA C C AA B B S S ==∴ S 侧=396二、内心问题（若P 点到三边AB,BC,CA 的距离相等，则O 是三角形ABC 的 内心）例4．如果三棱锥S —ABC 的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S 在底面的射影O 在ΔABC 内，那么O 是ΔABC 的( )A.垂心B.重心C.外心D.内心解 (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O 到ΔABC 的三边的距离相等，因而O 是ΔABC 的内心，因此选 D.说明三角形的内心、外心、垂心、旁心、重心，它们的定义和性质必须掌握. 三．重心问题（若PA 垂直PB ，PB 垂直PC,PC 垂直PA,则O 是三角形ABC 的 重心 ）例6．如图2－24：B 为∆ACD 所在平面外一点，M 、N 、G 分别为∆ABC 、∆ABD 、∆BCD 的重心，（1）求证：平面MNG //平面ACD ；（2）求ADC MNG S S ∆∆:解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD ，由于M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。

证明:连结BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H 。

∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有：2GHBG NF BN MP BM === 连结PF 、FH 、PH 有MN ∥PF ，又PF ⊂平面ACD ，∴MN ∥平面ACD 。

同理：MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD（2）分析：因为△MNG 所在的平面与△ACD 所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。

A B D C P H F M G N 图2－24解：由（1）可知32BH BG PH MG ==， ∴MG ＝32PH ，又PH ＝21AD ，∴MG ＝31AD 同理：NG ＝31AC ，MN ＝31CD ， ∴∆MNG ∽∆ACD ，其相似比为1：3，∴ADC MNG S :S ∆∆＝1：9 点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。

比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。

例7． 如图9－26，P 为△ABC 所在平面外一点，点M 、N 分别是△P AB 和△PBC 的重心．求证：MN ∥平面ABC ．（三角形的三条中线交于一点，称为重心，重心到一个顶点的距离是该点到对边中点距离的2倍）解析：如图9－16，连结PM 并延长交AB 于D ，连结PN 并延长交BC 于E ，连结DE ．在ΔP AB 中，∵ M 是ΔP AB 的重心，∴ 2=MDPM ，同理在△PBC 中有2=NEN P ，在△PDE 中，∵ NE PN MD PM =，∴ MN ∥DE ，∵ MN ⊄平面ABC ，DE 平面ABC ，∴ MN ∥平面ABC ．例9． 如图，在三棱锥S —ABC 中，A 1、B 1、C 1分别是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB的重心，(1)求证：平面A 1B 1C 1∥平面ABC ；(2)求三棱锥S —A 1B 1C 1与S —ABC 体积之比.解析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”，至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了.证：(1)：∵ A 1、B 1、C 1是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB 的重心，连SA 1、SC 1并延长交BC 、AB 于N 、M ，则N 、M 必是BC 和AB 的中点.连MN ∵SMSC 1＝SN SA 1＝32， ∴A 1C 1∥MN.∵MN ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC.同理可证 A 1B 1∥平面ABC. ∴ 平面A 1B 1C 1∥平面ABC.(2)由(1)MN C A 11＝32，MN ∥21AC ， ∴A 1C 1∥1AC. 同理可证：A 1B 1∥1AB ，B 1C 1∥1BC. ∴ ΔA 1B 1C 1≌ΔABC ， S 111C B A △＝91S ΔABC . 设三棱锥S —ABC 的高为h ，S —A 1B 1C 1的高为h 1则有：h h 1＝SN SA 1＝32,∴h 1＝32h. ∴ABC S C B A S V V --111＝h S h S ABC ABC ⋅⋅⋅⋅△△91313231＝272. 评析：要掌握线面平行的相互转化的思想方法外，还要有扎实的相似形和线段成比例的基础.四垂心问题(若PA=PB=PC,AB=AC,则O 点在 BC 的中垂线上)例10．已知四面体S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，△ABC 是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影．求证：H 不可能是△SBC 的垂心．分析：本题因不易直接证明，故采用反证法．证明：假设H 是△SBC 的垂心，连结BH ，并延长交SC 于D 点，则BH ⊥SC∵ AH ⊥平面SBC ，∴ BH 是AB 在平面SBC 内的射影 ∴ SC ⊥AB （三垂线定理） AB CHDS又∵ SA ⊥底面ABC ，AC 是SC 在面内的射影 ∴ AB ⊥AC （三垂线定理的逆定理）∴ △ABC 是Rt △与已知△ABC 是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立． 故H 不可能是△SBC 的垂心．例11． 如图2－40：P 是△ABC 所在平面外的一点，PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，PH ⊥平面ABC ，H 是垂足。

求证：H 是ABC 的垂心。

证明：∵PA ⊥PB ，PB ⊥PC ， ∴PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC∴BC ⊥PA∵PH ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC∴BC ⊥PH∴BC ⊥平面PAH ，AH ⊂平面PAH∴AH ⊥BC ，同理BH ⊥AC ，CH ⊥AB ，因此H 是△ABC 的垂心。

例14． 如图9-32，△ABD 和△ACD 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD =BD =CD ，∠BAC =60°．求证：（6）图9-32（1）BD ⊥平面ADC ；（2）若H 是△ABC 的垂心，则H 为D 在平面ABC 内的射影．解析：（1）设AD =BD =CD =a ，则a AC AB 2==．∵ ∠BAC =60°，∴ a BC 2=．由勾股定理可知，∠BDC =90°．即BD ⊥DC ，又∵ BD ⊥AD ，AD ∩DC =D ，∴ BD ⊥平面ADC ．（2）如图答9-21，要证H 是D 在平面ABC 上的射影，只需证DH ⊥平面ABD ．连结HA 、HB 、HC ．∵ H 是△ABC 的垂心，∴ CH ⊥AB ．∵ CD ⊥DA ，CD ⊥BD ，∴ CD ⊥平面ABD ，∴ CD ⊥AB ．∵ CH ∩CD =C ，∴ AB ⊥平面DCH ． ∵ DH 平面DCH ，∴ AB ⊥DH ，即DH ⊥AB ，A BD C H P同理DH⊥BC．∵AB∩BC=B，∴DH⊥平面ABC．五、四心综合比较考查例15．P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影．（1）若P A = PB = PC，则O是△ABC的____________心．（2）若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心．（3）若P A、PB、PC两两垂直，则O是△ABC_________心．（4）若△ABC是直角三角形，且P A = PB = PC则O是△ABC的_______心．（5）若△ABC是等腰三角形，且P A = PB = PC，则O是△ABC的_____心．（6）若P A、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的____心；解析：（1）外心．∵P A=PB=PC∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心．（2）内心（或旁心）．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵PO⊥平面ABC，∴OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴O是△ABC的内心．（如图答9-23）（3）垂心．（4）外心．（5）外心（6）外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∴△PAO ≌△PBO≌△PCO，∴OA=OB=OC，∴O为△ABC的外心．（此外心又在三角形的底边高上）。