高三数学 二次函数
二次函数所有公式
二次函数所有公式二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是一种简单而常用的函数形式。
它的标准形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。
在这篇文章中，我将介绍二次函数的一些重要公式和性质。
一、基本概念和定义1. 定义：二次函数是一种具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。
2.顶点：二次函数的图像是一个抛物线，它的顶点是图像的最低点（如果a>0）或最高点（如果a<0）。
（h，k）表示顶点的坐标，其中h=-b/（2a），k=f(h)。
3.轴对称：二次函数的图像是关于顶点所在的直线x=h对称的。
4.开口方向：如果a>0，则图像开口向上；如果a<0，则图像开口向下。
二、常用公式1. 零点：二次函数的零点是函数值为0时对应的x值。
可以使用求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 来求解二次方程ax² + bx + c = 0的根。
2. 判别式：判别式是二次方程的求解公式中的一部分，其定义为D = b² - 4ac。
判别式可以判断二次方程的根的性质：a)如果D>0，则方程有两个不相等的实数根。
b)如果D=0，则方程有两个相等的实数根。
c)如果D<0，则方程没有实数根。
3. 平移公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若向左平移h个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c；若向右平移h个单位，得到函数y = a(x + h)² + bx + c；若向上平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c + k；若向下平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² +bx + c - k。
4. 拉伸和压缩公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若a > 1，则函数的图像在x轴方向上被缩短；若0 < a < 1，则函数的图像在x轴方向上被拉长；若a < 0，则函数的图像上下翻转。
《高三数学二次函数》课件
3 二次函数的单调性
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
4 二次函数的极值
二次函数的一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。二次函数的开口方向由系数$a$决定，当 $a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 0)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递减，求$a$的取值范围。
提高习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的图象经过点$(0, 1)$和$(1, -1)$ ，且在区间$( - infty, - frac{b}{2a})$ 上单调递增，求$a$的取值范围。
04
下一步学习计划
01
深入学习其他类型的函数，如 三角函数、指数函数等，进一 步拓展数学知识面。
02
加强数学练习，通过大量的习பைடு நூலகம்题训练提高自己的解题能力和 数学思维能力。
03
学习数学中的其他重要概念和 定理，如导数、积分等，为后 续的学习打下坚实的基础。
04
参加数学竞赛或课外活动，与 其他同学一起探讨数学问题， 共同进步。
基础习题2
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$在$x = 2$处取得最小值，求$a$的取值范围。
基础习题3
高三数学二次函数
-3
0
x
ymin=4.25
ymax=f(1)=2
( 2)
1 2 y = − x − 2 x + 1 x ∈ [−3 , 1] 5
26 y max = 5 6 ymin = − 5
x = −5
∴ 当 x = − 3时 当 x = 1时
y
1 -3 0
x
( 3)
1 2 y = x + 2 x − 1 x ∈ [−1 , 2] x = −2 2
【题型二 二次函数在区间上的最值问题 】
【双基自测】 双基自测】
1、求下列二次函数的最大值 、 或最小值
x=1 4
y
y
x=1
1
0
(1) y = − x + 2 x + 3
2
1
x
0 -2
x=− 3 2
x
( 2) y = 2 x 2 − 4 x ２、求下列二次函数的最大值 或最小值
y
1
( 1) y = x + 3 x − 2 (−3 ≤ x ≤ 1)
1 的图象与x轴的左右两个 (c > ) 的图象与 轴的左右两个 8
交点的横坐标分别为x 的取值范围是（ 交点的横坐标分别为 1，x2，则x2-x1的取值范围是（ A
）
（0,1）
2 ) B (0, 2
1 2 2 ) D ( ,1) C ( , 2 2 2
4 已知 ，b，c，d成等比数列，且曲线 已知a， ， ， 成等比数列 且曲线y=x2-2x+3的顶 成等比数列， 的顶 点是（ ， ）， ），则 点是（b，c），则ad=（ ） （ A1 B2 C3 D4
ymin 5 =− 2
高考数学中的二次函数基本概念及相关性质
高考数学中的二次函数基本概念及相关性质高考数学中，二次函数是一个非常基础、重要的概念。
本文将从基本概念和相关性质两个方面，详细介绍二次函数的相关知识点。
一、基本概念二次函数，也叫做二次多项式函数，是指一个以x为自变量，x的二次多项式为函数值的函数，通常可以表示为y=ax²+bx+c。
其中，a、b、c分别是常数，a≠0。
1. 函数图像：二次函数的图像通常是一条开口朝上或开口朝下的抛物线。
如果a>0，则抛物线开口朝上；如果a<0，则抛物线开口朝下。
图像中的对称轴为x=-b/2a，抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点。
求二次函数的零点有两种方法：一种是利用求根公式，即x=[-b±√(b²-4ac)]/2a；另一种是将二次函数化为标准的完全平方公式，即y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标，直接利用完全平方公式求零点。
3. 对称性：二次函数具有轴对称性，即对于任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。
二、相关性质除了基本概念外，二次函数还有一些重要的性质，这些性质通常在高考中频繁出现，需要认真掌握：1. 二次函数的最值：由于二次函数的函数图像是一条抛物线，因此其最值一定发生在抛物线的顶点处。
当a>0时，二次函数的最小值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)；当a<0时，二次函数的最大值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)。
2. 二次函数的单调性：当a>0时，二次函数在其零点左右是单调递减和单调递增的；当a<0时，二次函数在其零点左右是单调递增和单调递减的。
3. 二次函数的导数：二次函数的导数f'(x)=2ax+b，是一个一次函数。
二次函数知识点总结图高三
二次函数知识点总结图高三高三学习阶段，数学中的二次函数知识是必不可少的。
本文将对二次函数的相关知识进行总结和图解，帮助高三学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、基本概念二次函数是数学中一个重要的函数类型，其一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
该函数的图像通常为一个开口向上或向下的抛物线，具有以下特征：对称轴、顶点、判别式、零点等。
1. 对称轴二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，过抛物线的顶点，由x = -b/2a确定。
2. 顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点（a>0，开口向上）或最低点（a<0，开口向下），由坐标(-b/2a, f(-b/2a))确定。
3. 判别式二次函数的判别式D = b^2 - 4ac，用来判断函数的图像与x轴的交点情况：- 当D > 0时，函数与x轴有两个不同的交点，即抛物线与x轴交于两个不同的实数解；- 当D = 0时，函数与x轴有一个交点，即抛物线与x轴交于一个重根（重复解）；- 当D < 0时，函数与x轴没有交点，即抛物线与x轴不相交。
4. 零点二次函数的零点是函数与x轴相交的点，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。
二、图像特征与性质了解二次函数的图像特征和性质，可以更好地分析问题和解决实际应用题。
1. 开口方向二次函数的开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 最值二次函数的最值即为顶点的纵坐标，当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
3. 函数值对于给定的x值，可以通过函数的表达式计算得到相应的y值。
当x在对称轴两侧时，函数值相等。
4. 对称性二次函数具有对称性，以对称轴为轴线，左右两侧的图像是关于对称轴对称的。
三、常见问题分析学好二次函数的知识，需要能够灵活运用，解决与实际问题相关的应用题。
二次函数高三知识点
二次函数高三知识点二次函数是高中数学中的一个重要知识点，也是高三学习中会详细探讨的内容之一。
本文将就二次函数的定义、图像特征、性质以及应用等方面进行详细介绍。
一、定义二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
其中，a称为二次函数的二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
二次函数的定义域为全体实数。
二、图像特征1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
若a > 0，则图像开口向上；若a < 0，则图像开口向下。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过平移法或公式法求得。
公式法给出的顶点坐标为：(h, k)，其中h = -b／(2a)，k = f(h)。
3. 对称轴：对称轴是二次函数图像的一条对称线。
对称轴的方程为x = h，其中h为顶点的横坐标。
4. 最值：若二次函数开口向上，则最值为最小值，即在顶点处取得；若二次函数开口向下，则最值为最大值，即在顶点处取得。
三、性质1. 单调性：二次函数的单调性与二次项系数a的正负有关。
若a > 0，则函数在对称轴两侧递增；若a < 0，则函数在对称轴两侧递减。
2. 零点与方程解：二次函数的零点为使得f(x) = 0的x值。
可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法求解二次方程。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，判别式Δ = b^2 - 4ac可用于判断方程的解的情况。
四、应用1. 最值问题：二次函数的最值常在实际问题中得到应用，如求解最大面积、最短时间等问题。
2. 抛物线运动：抛体的运动轨迹往往满足二次函数的特点，通过二次函数可以分析抛体的运动规律。
3. 物体抛射问题：物体从一定高度抛射出去后，其高度随时间变化的关系常用二次函数来表示。
总结：本文介绍了二次函数的定义、图像特征、性质以及应用等知识点。
二次函数在高三阶段的数学学习中占有较为重要的地位，掌握好这些知识点对于进一步拓展数学理解和解题能力非常有帮助，希望本文能对高三学生的学习有所帮助。
高中二次函数 课件ppt课件ppt课件ppt
当函数图像关于x轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = -f(x)$；关 于y轴进行翻折时，对应的函数表达式变为$y = f(-x)$。
在翻折变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性 不变。
伸缩变换
伸缩变换是指将二次函数的图像在x轴或y轴上进行缩放。
详细描述
二次函数在代数中可以用来解决方程的根的问题，在几何 中可以用来研究图形的性质和关系，在概率统计中可以用 来描述随机变量的分布等。
THANK YOU
当函数图像在x轴方向上缩小a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(frac{1}{a}x)$； 在x轴方向上扩大a倍时，对应的函数表达式变为$y = f(ax)$。
在伸缩变换过程中，函数的值域和定义域会发生改变，但函数的奇偶性和周期性不 变。
04
二次函数的解法
配方法
总结词
通过配方将二次函数转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
顶点式二次函数解析式
总结词
顶点式二次函数解析式是 $y = a(x h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是抛物线 的顶点。
详细描述
顶点式二次函数解析式表示一个以 $(h, k)$ 为顶点的开口抛物线，其开 口方向同样由系数 $a$ 决定。顶点坐 标 $(h, k)$ 可以用来确定抛物线的位 置和形状。
详细描述
公式法适用于求解一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$。根据判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值，可以 将二次方程的解表示为 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a}$。当 $Delta > 0$ 时，方程有两个实根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相同的实根；当 $Delta < 0$ 时，方程没有实根。
二次函数知识梳理
二次函数知识梳理二次函数是高中数学中的一个重要概念，广泛应用于数学和物理学等领域。
它的基本形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
本文将从二次函数的定义、性质、图像、应用等方面进行梳理，帮助读者更好地理解和掌握二次函数知识。
一、二次函数的定义二次函数是指以自变量的二次方作为最高次幂的函数。
一般表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a。
c为常数，决定了二次函数的纵向平移。
二、二次函数的性质1. 零点：二次函数的零点是使函数值等于零的x值。
零点可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0得到。
若Δ=b²-4ac>0，则有两个不同的实数根；若Δ=0，则有两个相等的实数根；若Δ<0，则无实数根。
2. 极值点：二次函数的极值点是函数曲线的最高点（最大值）或最低点（最小值）。
对于开口向上的二次函数，极值点为最小值点；对于开口向下的二次函数，极值点为最大值点。
极值点的纵坐标为c-Δ/4a，横坐标为-b/2a。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的对称轴，对称轴方程为x=-b/2a。
对称轴将函数图像分为两个对称的部分。
4. 单调性：对于开口向上的二次函数，当a>0时，函数单调递增；对于开口向下的二次函数，当a<0时，函数单调递减。
5. 函数图像：二次函数的图像为抛物线，开口方向和形状由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，其形状和位置由a、b、c确定。
当a>0时，抛物线开口向上，最低点在对称轴上方；当a<0时，抛物线开口向下，最高点在对称轴下方。
对称轴是抛物线的对称轴，抛物线关于对称轴对称。
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y
图中的(
y
D
)
0
x
y
y
A
0
x
C
0
x
D
0
x
B
2、在区间[-4，-1]上函数
f(x)=-x2+px+q与g(x)=x+4/x同时取 到一样的最大值，求在该区间上函 数f(x)的最小值____
• 3、函数f(x)=4x2－mx+5在区间 [－2,+∞)上是增函数，则f(1)的取 值范围是( A)
• A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
c 2
)2+
3 4
c2]
∵a>b>c a+b+c=0 ∴a>0 c<0
∴△>0 ∴两函数图象交于两个不
同点。
（2）设方程两个根分别为x1,x2 则|A1Bx11|+2==x((2-x=21a-+b)x22a2-b)42a-c4=x1x4b2x21ax242a=c
c a
[( = 4(ac)2 4ac a2
③若a2-b≤0则f(x)在区间[a,+∞)上是 增 函数
④f(x)的最大值|a2-b|其中正确的序号是 _____
4.已知二次函数f(x)同时满足条件： • ⑴f(1+x)=f(1－x)； • ⑵f(x)的最大值为15； • ⑶f(x)=0的两根立方和等于17， • 求f(x)的解析式。
待定系数法
5.已知二次函数f(x)的定义域为R， f(1)=2，在x=t处取得最值， 若y=g(x)为一次函数，且 f(x)+g(x)=x2+2x－3。
• ⑴求f(x)的解析式； • ⑵若x∈［－1,2］时f(x)≥－1恒成立，
求t的取值范围。
6、老师给出一个函数f(x)，四个学生 甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个 性质： 甲：对于x∈R，都有f(1+x)=f(1－x)； 乙：在（－∞，1］上函数递减； 丙：在（－∞，1）上函数递增； 丁：f(0)不是函数的最小值。 如果其中恰有三个说的正确，请写出一 个这样的函数_______________。
ax2+bx+c>0(a> 0)的解集
x<x1或x>x2 x≠－b/2a
R
一元二次不等式
ax2+bx+c<0(a> 0)的解集
x1<x<ຫໍສະໝຸດ 2ΦΦ• 1.y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0)的图
象只可能是( )D
y
y
0
x
y
y
A
0
x
B
0
x
0
x
C
D
• 变：两个二次函数f(x)=ax2+bx+c
与(x)=bx2+ax+c的图象只可能是
=4
a>b>c a+b+c=0
c a
1 2
)
变：若二次函数f1(x)=a1x2+b1x+c1 和f2(x)=a2x2+b2x+c2，使得f1(x)－ f2(x)在［1,2］上是单调减函数， 且在［1,2］上有最大值5和最小值 3。请写出一组满足上述要求的二 次函数：
f1(x)=_________,f2(x)=_______
• 7.已知实数a、b、c，函数 f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b，当
• ⑴求证：两个函数的图象交于不同的 两点A、B；
• ⑵求线段AB在x轴上的射影A1B1之长
的取值范a 围b。 c a b c
0
2
c a
1 2
解： (1) y=ax2+bx+c
∴ax2+bx+c=-3x
y=-bx
ax2+2bx+c=0①
△=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac
=4[(a+
• －1≤x≤1时|f(x)|≤1. • ⑴证明：|c|≤1； • ⑵证明：当－1≤x≤1时|g(x)|≤2； • ⑶设a＞0，当－1≤x≤1时g(x)的最大
值为2，求f(x)。
二次函数在区间上的最值
• 例1求函数y＝x2―2ax―1在 ［0,2］上的值域。 分类讨论
• 变：已知函数f(x)=x2+ax+3－a， 若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立， 求实数a的取值范围。
高考数学复习 强化双基系列课件
08《二次函数》
基础知识
• 1、二次函数的解析式（待定系数法） • ①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)
• ②顶点式：y=a(x－h)2+k,a≠0，其中 (h,k)为抛物线的顶点坐标。
• ③零点式(两根式)：y=a(x－x1)(x－ x2)，a≠0其中x1、x2是抛物线与x轴两 交点的横坐标。
2、二次函数研究的四元素：
开口a；对称轴-b/2a；顶点；与
坐标轴的交点
1、配方法 2、顶点公式
(
b
, 4ac b2 )
3、对称代入法 2a 4a
1、与y轴的交点:(0,c) 2、与x轴的交点：y=0时， 转化成一元二次方程
3、二次函数的相关量 1）单调性的相关量：开口；对称轴 2）最值注相：关以量静制：动 10定义域R： 20定义域[m,n]： 3）对称轴相关量： 10:对称轴x=-b/2a 20:f(a)=f(b)(a≠b)对称轴x=(a+b)/2
注：方程、不等式问题等价转化 图形问题 等价转化简单不等式组
Δ= b2－4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 f(x)=ax2+bx+c
(a>0) 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0
(a≠0)的根
有相异两
实根x1,x2 (x1<x2)
有相等两实 根x1＝ x2 没有实根 ＝－b/2a
一元二次不等式
变1：函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1对 任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立， 若当x∈[-1，1]时，f(x)>0,则b的 范围？
变2：函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出 下列命题：
①f(x)必是偶函数
②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于x=1 对称
4）二次方程、二次不等式 10与x轴的交点坐标是方程f(x)=0的 实根，它在x轴上的线段长为
| x1 x2 |
(x1
x2 )2
4x1x2
|a|
20突现函数图象，研究二次方程 ax2+bx+c=0的根的分布问题：
①二次项系数a的符号； ②判别式的符号； ③区间端点函数值的正负； ④对称轴x=－b/2a与区间端点的关系
等价于f(x)在[-2,2]的最值大于等于0
• 若x≥0,y≥0,且x + 2y＝1，则2x + 3y2的最小值为（ ）B
• A.2
B.3/4
• C.2/3
D.0
• 例2、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和 一次函数g(x)= －bx,其中a、b、c满 足a>b>c，a+b+c=0(a、b、c∈R).