第4章 二元函数的偏导数及其应用 总结
二元函数的偏导数
二元函数的偏导数偏导数是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在某一点上对于其中一个变量的变化率。
在二元函数中，我们需要考虑两个自变量，并求解它们的偏导数。
本文将简要介绍二元函数的偏导数的概念、计算方法以及相关性质。
一、二元函数的偏导数概念在二元函数中，我们使用两个自变量来描述函数的变化情况。
设函数为f(x, y)，其中x和y分别表示两个自变量。
在某一点(x0, y0)，我们可以固定其中一个自变量，而考察另一个自变量对函数值的影响。
定义：1. 对于二元函数f(x, y)，以x为自变量，y为常数，求得的导数称为对x的偏导数，记作∂f/∂x。
2. 对于二元函数f(x, y)，以y为自变量，x为常数，求得的导数称为对y的偏导数，记作∂f/∂y。
二、二元函数的偏导数计算方法为了求解二元函数的偏导数，我们可以使用偏导数定义进行计算。
对于∂f/∂x，我们将y视为常数，将x作为自变量，利用求导法则进行计算。
对于∂f/∂y，我们将x视为常数，将y作为自变量，同样利用求导法则进行计算。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^3，我们可以依次计算∂f/∂x和∂f/∂y：1. ∂f/∂x = 2x2. ∂f/∂y = 3y^2计算结果表明，在任意一点(x, y)处，∂f/∂x的值等于2x，∂f/∂y的值等于3y^2。
三、偏导数的几何意义偏导数可以用来描述函数在某一点上的切线斜率，从而进一步研究函数的变化趋势和极值情况。
对于二元函数f(x, y)，在点(x0, y0)处的偏导数：1. ∂f/∂x表示过点(x0, y0)处曲面在x方向上的切线斜率。
2. ∂f/∂y表示过点(x0, y0)处曲面在y方向上的切线斜率。
通过计算偏导数，我们可以得到在某一点的切线斜率，从而了解函数在该点附近的变化情况。
四、偏导数的相关性质1. 交换性：∂^2f/∂x∂y = ∂^2f/∂y∂x，即混合偏导数的求导顺序可以交换。
2. 连续性：如果函数f(x, y)在某一点处的偏导数连续，则该点的偏导数存在且连续。
二元函数的偏导数和极值的应用
L40 ，24 2 402 64 40 4 40 24 4 242 32 24 14
1 650. 即该企业生产甲、乙两种商品的产量分别为40和24单位时，利润最大，最大利润为1650单位.
结论:
如果在区域D上的连续函数z f (x，y)，在D去掉边界的开区域D0内偏导数存在，而且
二元函数的偏导数和极值的应用
3.边际需求
设有A、B两种相关的商品，它们的价格分别为p1和p2，而需求量分别为q1和q2. 需求量
q1和q2随着价格p1和p2的变动而变动，因此需求函数可表示为
q1 q1 p1，p2 ，q2 q2 p1，p2
则A、B两种商品的边际需求即为需求量q1和q2关于价格p1和p2的偏导数.
Cx (x，y)
300
1 2
x2
4 xy
3 2
y2
x
x
4 y，
总成本C对产量y的边际成本函数为
Cy (x，y)
300
1 2
x2
4xy
3 2
y
2
y
4x
3y；
二元函数的偏导数和极值的应用
（2）当x 50，y 40时，C(x，y)对x的边际成本为
Cx50 ，40 50 4 40 210.
偏导数Cx (x，y)表示总成本C(x，y)对产量x的边际成本，它近似等于在两种产品的产 量为( x，y )的基础上，再多生产一个单位的A产品所需增加的成本.
偏导数Cy (x，y)表示总成本C(x，y)对产量y的边际成本，它近似等于在两种产品的产 量为( x，y )的基础上，再多生产一个单位的B产品所需增加的成本.
其余的49万元用于电视广告费用时可使收入最大.
经济数学
二元函数的偏导数求解及其相关性分析
二元函数的偏导数求解及其相关性分析二元函数是指具有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)，其中x和y分别是自变量，而f(x,y)则是对应的函数值。
对于这种函数，我们可以通过求偏导数来研究其性质和变化规律，这对于很多与数学及物理相关的领域都非常重要。
本文将介绍二元函数的偏导数的基础概念和求解方法，并且分析偏导数与函数相关性的一些特征。
一、偏导数的基础概念偏导数指的是在一个多元函数中，对于一个自变量求导数时，将其他变量视为常数进行求导。
在二元函数中，如果我们想要求f(x,y)关于x的偏导数，可以将其它的自变量y视为常数，从而得到以下求导方式：∂f/∂x = lim Δx → 0 [ f(x+Δx,y) - f(x,y) ] / Δx其中，左边的符号∂表示对于x的偏导数，右边的分数等于根据函数在横坐标方向上的斜率求得。
类似的，我们也可以对于y方向求导，得到：∂f/∂y = lim Δy → 0 [ f(x,y+Δy) - f(x,y) ] / Δy这样，我们就得到了关于x和y的两个偏导数。
二、偏导数的求解方法有些二元函数可能比较简单，求导也比较容易。
但是，有些函数可能很复杂或者不易用解析式表示，这时候就需要一些不同的求导方法。
1. 分步求导法：即将一个多元函数看做由多个一元函数组合而成的，将每个一元函数都求偏导数，最后在将结果组合起来。
2. 隐函数求导法：此方法是用于确定变量之间存在某种特定的关系时。
首先，将这个关系用方程形式，然后用求导法得出对应的偏导数。
3. 参数方程法：当无法使用简单的方程描述函数时，我们可以使用参数方程替代，并且可以将一个变量的变化看做另一个变量的函数关系。
这时可以使用链式法则、乘积法则和商法则等方法求偏导数。
三、偏导数和相关性的分析偏导数可以体现出二元函数某些值或属性的变化趋势，这对于分析函数性质及其相关性是非常有用的。
下面将介绍一些关于偏导数和相关性的分析方法。
1. 偏导数符号的意义：如果偏导数为正值，意味着函数值随着变量的增长而增长；如果偏导数为负值，意味着函数值随着变量的增长而减少；如果偏导数为0，说明函数在这一点斜率为0，表查函数在这一点上取得了局部最大值或局部最小值。
偏导公式法
偏导公式法一、偏导数的定义1. 二元函数- 设函数z = f(x,y)在点(x_{0},y_{0})的某一邻域内有定义，当y = y_{0}固定不变，而x在x_{0}处有增量Δ x时，相应地函数有增量f(x_{0}+Δ x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})。
- 如果limlimits_{Δ x→0}frac{f(x_{0}+Δ x,y_{0}) - f(x_{0},y_{0})}{Δ x}存在，则称此极限为函数z = f(x,y)在点(x_{0},y_{0})处对x的偏导数，记作f_{x}(x_{0},y_{0})，即f_{x}(x_{0},y_{0})=limlimits_{Δ x→0}frac{f(x_{0}+Δ x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{Δ x}。
- 同理，当x = x_{0}固定不变，而y在y_{0}处有增量Δ y时，若limlimits_{Δy→0}frac{f(x_{0},y_{0}+Δ y)-f(x_{0},y_{0})}{Δ y}存在，则称此极限为函数z = f(x,y)在点(x_{0},y_{0})处对y的偏导数，记作f_{y}(x_{0},y_{0})，即f_{y}(x_{0},y_{0})=limlimits_{Δ y→0}frac{f(x_{0},y_{0}+Δ y)-f(x_{0},y_{0})}{Δ y}。
2. 多元函数（以三元函数u = f(x,y,z)为例）- 对x的偏导数f_{x}(x,y,z)=limlimits_{Δ x→0}(f(x +Δ x,y,z)-f(x,y,z))/(Δ x) - 对y的偏导数f_{y}(x,y,z)=limlimits_{Δ y→0}(f(x,y+Δ y,z)-f(x,y,z))/(Δ y) - 对z的偏导数f_{z}(x,y,z)=limlimits_{Δ z→0}(f(x,y,z+Δ z)-f(x,y,z))/(Δ z)二、偏导数的计算（公式法）1. 对于显式函数- 若z = f(x,y)=x^2+3xy + y^2- 求f_{x}：把y看作常数，对x求导。
二元函数的偏导数与最值问题
二元函数的偏导数与最值问题偏导数是多元函数在某一变量上求导的一种方法，它在最优化问题中起着重要的作用。
本文将探讨二元函数的偏导数与最值问题，包括求偏导数的方法和应用偏导数解最值问题的步骤。
一、二元函数的偏导数偏导数是多元函数在某一个变量上的导数，可以将其他变量视为常数进行求导。
对于二元函数f(x, y)，若只对其中一个变量求导，则可以得到偏导数。
1. 偏导数的定义设函数f(x, y)在点(x0, y0)的某个邻域内有定义，如果极限∂f(x0, y0) = lim（f(x0 + △x, y0 + △y) - f(x0, y0)）/△x当△y=0时，称为f(x,y)对x的偏导数，记为∂f/∂x或fx(x,y)；当△x=0时，称为f(x,y)对y的偏导数，记为∂f/∂y或fy(x,y)。
2. 求偏导数的方法根据偏导数的定义，可以通过极限的计算来求偏导数。
以f(x, y)对x的偏导数为例，可以先将y视为常数，再求关于x的导数。
同理，求f(x, y)对y的偏导数可以先将x视为常数，再求关于y的导数。
二、二元函数的最值问题二元函数的最值问题是指求解函数在一定范围内取得最大或最小值的问题。
利用偏导数可以解决许多最值问题，并确定最优解的位置。
1. 求解最值的步骤（1）求出函数的一阶偏导数。
根据前面的介绍，可以求得f(x, y)对x和y的偏导数，即fx和fy。
（2）令偏导数为零，解方程组。
将得到的偏导数函数fx和fy分别等于零，求解方程组fx=0和fy=0。
解方程组可以得到驻点，即候选解。
（3）求得二阶偏导数。
对方程求二阶偏导数，即求f(x, y)对x的二阶偏导数fxx和f(x, y)的交叉偏导数fxy，以及f(x, y)对y的二阶偏导数fyy和f(x, y)的交叉偏导数fyx。
（4）判别驻点类型。
利用二阶偏导数判断驻点的类型，有以下三种可能：极小值、极大值或鞍点。
若fxx>0且fxx*fyy-fxy*fyx>0，则为极小值；若fxx<0且fxx*fyy-fxy*fyx>0，则为极大值；若fxx*fyy-fxy*fyx<0，则为鞍点。
二元函数的偏导数与方向导数
二元函数的偏导数与方向导数在微积分学中，偏导数和方向导数是研究多元函数的重要工具。
本文将详细介绍二元函数的偏导数和方向导数的概念、计算方法以及其在几何和物理问题中的应用。
一、偏导数的概念与计算方法偏导数是多元函数在某个指定变量上求导的结果，而将其他变量视作常数。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数可以用以下记号表示：∂f/∂x 或 f_x 表示对x的偏导数∂f/∂y 或 f_y 表示对y的偏导数计算偏导数时，将函数中的一个变量视作待求导的变量，将其他变量视作常数，然后按照一元函数求导的规则进行求导。
例如，对于函数f(x,y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以分别计算其关于x和y的偏导数：∂f/∂x = 2x + 2y (对x求偏导)∂f/∂y = 2x + 2y (对y求偏导)二、方向导数的概念与计算方法方向导数是多元函数在某个给定方向上的变化率。
对于二元函数f(x,y)，其在点P(x0,y0)处沿着单位向量u=(cosθ,sinθ)的方向上的方向导数可以用以下记号表示：Duf(x0,y0) 或 Duf 表示f(x,y)在P点上沿着u方向的方向导数方向导数的计算方法如下：1. 将单位向量u表示为u=(cosθ,sinθ)2. 计算向量v=(∂f/∂x,∂f/∂y)3. 计算向量v和u的点积：v·u = ∂f/∂x * cosθ + ∂f/∂y * sinθ4. 方向导数Duf = v·u三、偏导数与方向导数的应用偏导数和方向导数在几何和物理问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的例子：1. 切线与法线：偏导数可以用来求函数图像上某一点的切线斜率，进而推导出该点的切线方程。
方向导数可以用来求函数图像上某一点的法线斜率。
2. 最优化问题：在求解最大值或最小值的过程中，偏导数的概念可以帮助我们找到函数的驻点、拐点和极值点。
3. 流体力学：方向导数可以用来描述流体在给定方向上的运动速率，进而分析流体的流动性质。
叙述二元函数偏导,可微,连续的关系
叙述二元函数偏导,可微,连续的关系二元函数是指一个含有两个自变量的函数，例如f(x,y)，其中x和y是独立变量，而f(x,y)是它们的函数值。
在数学上，二元函数的偏导数、连续性和可微性是重要的性质，它们直接影响到函数的性质和应用。
一、二元函数的偏导数偏导数是指多元函数中对某一变量求导数时，将其他变量看做常数而求出的导数。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数可以分为两种类型：偏导数和混合偏导数。
1. 偏导数：偏导数常用∂来表示，表示函数f(x,y)对x或y中的其中一个变量求导的结果。
例如，f(x,y)对x 求导得到的偏导数为：∂f(x,y)/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx,y) - f(x,y)] / Δx同理，f(x,y)对y求导得到的偏导数为：∂f(x,y)/∂y = lim(Δy→0) [f(x,y+Δy) - f(x,y)] / Δy2. 混合偏导数：混合偏导数是指对一个二元函数f(x,y)的某个变量求偏导数之后，再对其余变量求偏导数，也就是先后求导数的结果。
例如，对f(x,y)先对x求偏导之后再对y求偏导的结果为：∂²f(x,y) / (∂x ∂y)同理，对f(x,y)先对y求偏导之后再对x求偏导的结果为：∂²f(x,y) / (∂y ∂x)如果∂²f(x,y) / (∂x ∂y) = ∂²f(x,y) / (∂y ∂x)，则称混合偏导数存在且相等。
二、二元函数的可微性可微性是指一个函数在某个点可导且导数存在，则称该函数在该点可微。
对于二元函数f(x,y)，其可微与单变量函数类似，需要同时满足以下两个条件：1. 偏导数存在：即f(x,y)对x、y的偏导数都存在；2. 偏导数连续：即f(x,y)对x、y的偏导数都是连续函数。
如果一个函数在某一点可微，则在该点的局部变化可以近似于一个线性变化，其近似表达式为：Δf(x,y) = ∂f(x,y)/∂x Δx + ∂f(x,y)/∂y Δy其中Δx 和Δy 分别表示自变量 x 和 y 的微小变化量，Δf(x,y) 表示函数在 (x,y) 点处的局部变化量。
偏导数知识点总结
偏导数知识点总结一、偏导数的定义1.1 偏导数的定义在一元函数的导数中，我们知道函数在某一点上的导数是该点上切线的斜率，表示函数的变化速率。
而对于多元函数而言，其变量不再只有一个，而是有多个自变量。
因此，多元函数的变化速率也需要沿着各个自变量方向来进行分析。
这就引出了偏导数的概念。
设函数z=f(x,y)表示一个二元函数，如果z在点(x0,y0)处的偏导数存在，那么这个偏导数就表示函数z在点(x0,y0)处对自变量x或y的变化率。
1.2 偏导数的符号表示一般来说，对于函数z=f(x,y)而言，其偏导数有以下表示方法：∂f/∂x 表示f对x的偏导数∂f/∂y 表示f对y的偏导数其中，∂代表“偏”，表示“对于某一变量的偏导数”。
1.3 偏导数的几何意义对于二元函数z=f(x,y)而言，其偏导数在点(x0,y0)处有着直观的几何意义。
对于∂f/∂x来说，其表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处，对于x的变化率。
换句话说，就是当x在点(x0,y0)处做微小的增量Δx时，函数z在这一点的斜率。
这也为我们理解偏导数提供了直观的图形化方式。
二、偏导数的计算方法2.1 偏导数的计算步骤在计算偏导数时，需要按照以下步骤进行：（1）首先确定函数的变量和导数所对应的自变量。
（2）对于多元函数z=f(x,y)来说，在计算偏导数时，只需将其他自变量视为常数进行计算。
（3）分别对每一个自变量进行求偏导数，从而得出偏导数的值。
2.2 偏导数的计算规则在计算偏导数时，有以下几个基本的计算规则：（1）常数求导规则：对于常数c，其偏导数为0，即∂c/∂x=0，∂c/∂y=0。
（2）一元函数求导规则：对于多元函数f(x,y)=g(x)h(y)，其偏导数可用一元函数求导法则计算。
（3）和差积商的偏导数计算：对于以上引用的复合函数，其偏导数的计算可利用和差积商的法则计算，具体可参考一元函数的求导法则。
（4）高阶偏导数的计算：与一元函数的高阶导数一样，多元函数的高阶偏导数也可以递归地计算，即先求一阶偏导数，然后再计算其偏导数的偏导数，直至得出所求的高阶偏导数。
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Fx 2( y z) yz 0
解联立方程组
Fy
2(x
z)
xz
0
消去
，解得 x y z 3 1000
10
Fz
2(
y
x)
xy
0
xyz 1000 0
所以，根据问题的实际意义，当长方体的长、宽、高都等于10米时
（正方体），箱子所用的材料最省。
注：体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。
2
2
即有
f (x, y) 2xy x2 y2
例3 求函数 z x2 3xy y 2 3x 5y 在点(1, 2 ) 处的偏导数。
解： 把 y 看作常数，对x 求导，得到
f x(x, y) 2x 3y 3
把 x 看作常数，对 y 求导，得到
f y(x, y) 3x 2 y 5
cos y ( y cos x) (x cos y) ( y sin x) ( y cos x)2
cos y(cos x x sin x)
y cos2 x
z y
(
x y
cos cos
y x
)y
(x
cos
y)y
(y
cos x) (x cos ( y cos x)2
y) ( y
cos
x)y
例6 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y 2 9x 的极值。
解：先解方程组 f x(x, y) 3x2 6x 9 0
f y(x,
y)
3y 2
6y
0
，
得驻点 (1, 0) (1, 2) (3, 0) (3, 2) 又f xx (x, y) 6x 6 f xy (x, y) 0 f yy (x, y) 6 y 6 在点 (1, 0)处， B2 AC 12 6 0 ，又 A 0 ，故点 (1, 0) 是极小 值点，极小值为 f (1,0) 5 在点(1, 2)，(3, 0) 处， B2 AC 12 6 0，故函数在这两点处没有极值。 在点(3, 2) 处， B2 AC (12) (6) 0 ，又 A 0 ，故函数
在该点处有极大值 f (3,2) 31 。
例7 要造一个容量为1000立方米的长方体箱子，问选择怎样的尺寸，
才能使所用的材料最省？
解： 设箱子的长、宽、高分别为x ，y ，z ，由已知xyz 1000 ，
设箱子的表面积为S ， 则 S 2(xy yz xz)
本题即求函数 S 2(xy yz xz) 在约束条件 xyz 1000 0 下的最小值。令 F(x, y, z) 2(xy yz xz) (xyz 1000)
所求偏导数为
f x(1,2) 2 1 3 2 3 5
f y(1,2) 31 2 2 5 12
例4
设函数 z x cos y ，求偏导数 z ，z
y cos x
x y
。
解：
z x
(
x y
cos cos
y x
)x
(x cos y)x ( y cos x) (x cos y) ( y cos x)x ( y cos x)2
2.求二元函数偏导数实际上是将其中的一个变量看成常数,对另一个 求导数。学好偏导数是掌握求二元函数条件极值的基础。因此，要 变量熟练掌握求二元函数的一阶和二阶偏导数。
3.经济问题中经常是多元函数优化的问题,要熟练掌握二元函数求极 值方法。
三、重点和难点 重点：
1.二元函数偏导数的求法 2.二元函数的极值及在经济中的应用。
第元函数的定义，二元函数极限与连续的概念，二元函数偏导数的 概念与基本运算法则，边际与偏弹性的概念及应用。
2．二元函数极值，二元函数条件极值的概念与求法，极值在经济中的应用。
3．二元函数极值模型的实际案例。
二、学习方法
1．本章的知识体系及结构与一元函数相似。一元函数的相关知识 （极限、连续、导数等）都可相应地推广到二元函数（极限、连续、 偏导数等）中。
难点： 1.二元函数极限、连续、偏导数的概念 2.二元函数条件极值
四、例题分析
例1
求函数
y
ln(x
y) arcsin x 4
的定义域，并在平面上画出定义域的图形。
解：要使函数有意义，必须满足
x y 0
1
x 4
1
x y 4 x 4
所以 定义域为： (x, y) x y,4 x 4
定义域的图形如图中的阴影部分。
y y x
4
o
4x
例2
已知函数
f (x y, x y)
x2 y2 x2 y2
，求 f (x, y)
。
解：设 u x y ，v x y ，则 x u v ，y u v
2
2
故得
(u v)2 (u v)2
f (u, v) 2
2
2uv
(u v)2 (u v)2 u2 v2
所以 2 z 2e y y 4 sin(xy 2 )
x 2 2 z x2e y 2x cos(xy2 ) 4x2 y 2 sin(xy2 ) y 2 2 z 2xe y 2 y cos(xy 2 ) 2xy3 sin(xy 2 ) xy
2 z 2xe y 2 y cos(xy 2 ) 2xy3 sin(xy 2 ) yx
课堂练习： 自测题A（基础层次）
(x sin y) ( y cos x) (x cos y) cos x ( y cos x)2
x( y sin y cos y)
y 2 cos x
例5 设函数 z x2e y sin(xy2 ) 1 ,求它的二阶偏导数。
解：z
x
2xe y
y2
cos(xy 2 )
z
，y
x2e y
2xy cos(xy 2 )