大学物理第六章恒定电流

第6章 恒定电流

前面讨论了静电现象及其规律。从本章开始将研究与电荷运动有关的一些现象和规律。本章主要讨论恒定电流，

6.1 电流 电流密度

6.1.1 电流

1、电流的产生 我们知道，导体中存在着大量的自由电子，在静电平衡条件下，导体内部的场强为零，自由电子没有宏观的定向运动。若导体内的场强不为零，自由电子将会在电场力的作用下，逆着电场方向运动。我们把导体中电荷的定向运动称为电流。

2、产生电流的条件：①导体中要有可以自由运动的带电粒子(电子或离子)；②导体内电场强度不为零。若导体内部的电场不随时间变化时，驱动电荷的电场力不随时间变化，因而导体中所形成的电流将不随时间变化，这种电流称为恒定电流（或稳恒电流）。

3、电流强度 电流的强弱用电流强度来描述。设在时间t ?内，通过任一横截面的电量是q ?，则通过该截面的电流强度(简称电流)为

q I t

?=? （6–1) 式（6–1)表示电流强度等于单位时间内通过导体任—截面的电量。如果I 不随时间变化，这种电流称为恒定电流，又叫直流电。

如果加在导体两端的电势差随时间变化，电流强度也随时间变化，这时需用瞬时电流(0t ?→时的电流强度)来表示：

0lim t q dq I t dt

?→?==? （6–2） 对于恒定电流，式(6–1)和式(6–2)是等价的。

在国际单位制中，电流强度的单位是安培(符号A)其大小为每秒钟内通过导体任一截面的电量为1库仑，即 111=库仑安培秒

。它是一个基本量。 电流强度是标量，所谓电流的方向只表示电荷在导体内移动的去向。通常规定正电荷宏观定向运动的方向为电流的方向。

6.1.2 电流密度

在粗细相同和材料均匀的导体两端加上恒定电势差后，；导体内存在恒定电场，从而形

成恒定电流。电流在导体任一截面上各点的分布是相同的。如果在导体各处粗细不同，或材料不均匀(或是大块导体)，电流在导体截面上各点的分布将是不均匀的。电流在导体截面上各点的分布情况可用电流密度j 来描述。电流密度是矢量。

为方便起见，选定正电荷的运动来讨论。我们对电流密度的大小和方向作如下规定：导体中任一点电流密度j 的方向为该点正电荷的运动方向(场强E 的方向)，j 的大小等于单位时间内通过该点附近垂直于该点正电荷运动方向的单位面积上的电量，用公式表示为，

dq dI j dtds ds

== （6–3) 式中，ds 为在导体中某点附近取的面积元，dq 为d t 时间内通过ds 的电量。

式(6–3)表明，电流密度的大小等于通过垂

直正电荷运动方向单位面积上的电流。若以

0n 表示面积元的正法线方向，且0n 与该点

的E 一致。如图6–l(a)示。式(6–3)可用矢

量式表示，即 0dI ds

=j n (6–4) 如果面积元ds 的法线方向0n 不和场强

E 同方向,如图6–1(b)所示，则有

cos dI j ds θ

= 或写成 dI d =?j s (6–5)

通过任意面积S 的电流强度应为：

cos S S I d j ds θ=?=??j s (6–6)

式(6–6)表明， 通过某一面积的电流强度，等于该面积上的电流密度的通量。

在国际单位制中，电流密度的单位为2-?安培米；符号2A m -?)，量纲为2

IL -。 6.2 电阻 欧姆定律

6.2.1 电阻 电阻率 欧姆定律

在电流恒定和温度一定的条件下，通过一段导体的电流强度I 和加在导体两端的电势差12U U -成正比，即 12U U I R

-=或 12U U IR -= (6–7) 这就是部分电路的欧姆定律，或称一段均匀电路的欧姆定律。R 是比例系数，它的数值是由

导体自身性质和尺寸决定的，称为导体的电阻。电阻R 的倒数称为电导，即 1G R =

在国际单位制中，电阻的单位为欧姆(符号Ω)，量纲为 223I

L MT --；电导的单位为

西门子(符号S)，量纲为2213I L M T --。 导体电阻的大小与导体的材料、几何尺寸和温度等因素有关。对于一定材料、横截面积均匀的导体，实验证明，它的电阻R 与其长度l ，横截面积S 的关系为

l R S

ρ= (6–8) 式中，比例常数ρ称为电阻率。它是一个仅由导体材料性质和导体所处的条件(如温度)决定的物理量。电阻率的倒数称为电导率，即 1

γρ= (6–9)

在国际单位制中，电阻率的单位为欧姆·米（符号m Ω?)，电导率的单位为?-1西门子米 (符号1S m -?)。

实验证明，各种材料的电阻率都随温度变化，纯金属的电阻率随温度的变化比较规则，在o ℃附近，温度变化不大的范围内，电阻率与温度有线性关系，表示为

0(1)t ρρα=+ (6–10)

式中，0ρ为o ℃时的电阻率，α称为电阻温度系数，单位是1／℃。不同材料的α值也不同。表6-1为几种常用材料的电阻率和电阻温度系数

6.2.2 电流的功和功率 焦耳定律

电流的功和功率 电流通过一段电路时，电场力移动电荷要作功。在稳恒电流的情况下，所作的功A 可表示为

1212()()A q U U It U U =-=- (6–11)

式中，q 为在时间t 内通过电路的电量，12U U 、分别为电路两端的电势，I 为电路中的电流强度。这个功称为电流I 的功，简称电功，其相应的功率为

12()A P I U U t

==- (6–12) 称为电流的功率，简称电功率。

在国际单位制中，电流功的单位为焦耳(J)， 1焦耳=1安培·伏特·秒；电功率的单

位为瓦特(W)，1瓦特=l 焦耳·秒–1=1伏·安。

应该指出，若电路中是一阻值为R 的纯电阻，根据欧姆定律，式(6–12)可改写为

2

2

12()U U P I R R -== (6–13) 这时的电功率又称为热功率。当电路是纯电阻时， 式(6-12)和式(6-]3)是等效的， 当电路中除有电阻外，还有电动机，充电的蓄电池等转换能量的电器时，式(6-12)和式(6-13)所表示的意义就各不相同了。式(6-12)适应于计算任何性电路的电功率，它具有更普遍的意义。

焦耳定律 在某一电路中，用电器是一纯电阻R ，由能量转换与守恒定律可知，从电源输给电路的电能将全部转化为热能。因此，电流流过这段电路时所产生的热量(通常称为焦耳热)应等于电流的功。用Q 表示电流产生的热量，则有

2

2

12()U U Q I Rt t R -== (6-14) 这一关系称为焦耳定律。它表明，当电流通过导体时，所产生的热量等于导体内电流的平方、导体的电阻以及通电时间三者的乘积。

焦耳热产生的原因，从微观上可以这样理解：自由电子在金属导体内运动时，电场力对它作功，使之动能增加，当电子与点阵相碰时，电子不断地把这部分能量传给点阵。致使点阵的热运动加剧，引起导体的温度升高，点阵将得到的这部分能量以热的形式释放出来。

6.3 电动势

6.3.1 电源的电动势

若用导线将一个带正电的导体与另一个带负电的导体连接起来，形成一电路，如图6-4所示。在此电路中，由于电场的存在，在静电力的作用下，正电荷从高电势流向低电

势，负电荷从低电势流向高电势，形成电流。随着两导体上正负电荷的逐渐中和，导线内的电场强度逐渐减弱，两导体的电势将趋于平衡，电荷的定向流动也随之停止。由此可见，仅有静电力的作用，不可能长时间维持电荷的定向流动。要在导体中维持稳恒电流，必须在导体的两端保持恒定的电势差。为此，必须在电路中接上一种装置，把正电荷由低电势移向高电势，使电路两端保持一定电势差，这种装置称为电源。电源的种类很多，如各种电池、发

电机等。

电源为什么能保持电路两端的电势差呢?电源本身具有与静电力本质上不同的非静电力，如化学力(如电池)，电磁力(如发电机)等。

图6-2 (a)表示一电源内部的电路，称为内电路。假设在电源内部非静电力F k 使正电荷由B 向A 运动，于是A 端带正电，B 端带负电，随之电源内产生一方向从A 到B 的静电场，因此电源内的正电荷除受到非静电力F k 的作用外，还受到静电力F e 的作用，两者方向相反。开始时A 、B 两端电荷积累不多，k e F F >，正电荷继续由B 向A 迁移，随着A 、B 两端

正负电荷的积累增加，F e 逐渐增大，直到k

e F F =时，A 、B 两端的正负电荷不再增加，A 、B 间的电势差达到了一定值，这就是电源的开路电压。

用导线将电源A 、B 两端接通，形成外电路，内、外电路构成闭合电路，如图6-2(b)所示。A 、B 两端的电势差在外电路的导体中产生电场，于是在外电路中出现了从A 到B 的电流。随着电荷在外电路中的流动，A 、B 两端积累的电荷减少，电源内部的电荷受到的F e 又小于F k ，于是电源内重新出现正电荷从B 向A 的运动。可见外电路接通后，电源内部也出现了电流，但方向是从低电势流向高电势，这正是非静电力不同于静电力的特殊作用。 在电源内部和电源外部，形成稳恒电流的起因是不同的。在电源内部，正电荷在非静电力作用下从负极流向正极形成电流，在外电路，正电荷在静电力作用下从正极流向负极形成电流。电源中的非静电力是在闭合电路中形成稳恒电流的根本原因。在电源内部、非静电力移送正电荷的过程中要克服静电力作功，从而将电源本身所具有的能量(化学能、机械能、热能等)转换为电能；因此，从能量观点看，电源就是将其它形式的能量转变成电能的装置。 电源电动势 为了表述不同电源转化能量的能力，人们引入了电动势这一物理量．我们用电动势来描述电源内部非静电力作功的特性。

我们定义把单位正电荷绕闭台回路一周时，非静电力所作的功为电源的电动势．如 以k E 表示非静电电场强度（仿照静电场的方法，将电荷q 在电源内所受到的非静电力 k F 和q 的比，用k E 来表示，即 k k q

=F E ）W 为非静电力所作的功，ε表示电源电动势，那么由上述电动势的定义，有 k W d q

ε==?? E l (6-15) 考虑到在闭合回路中，外电路的导线中只存在静电场，没有非静电场；非静电电场强度k E

只存在于电源内部，故在外电路上有

0k d ?=?外E l 这样，式(6-15)可改写为

k k l d d ε=?=??? 内

E l E l (6-16) 式(6-16)表示电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移至正极时非静电力所作的功．

电动势虽不是矢量，但为了便于判断在电流流过时非静电力是作正功还是作负功(也就是电源是放电，还是被充电)，通常把电源内部电势升高的

方向，即从负极经电源内部到正极的方向，规定为电动势

的方向．电动势的单位和电势的单位相同．

电源电动势的大小只取决于电源本身的性质。一定的

电源具有一定的电动势，而与外电路无关．

6.3.2

电动势源的内阻

应该指出，电源内部也有电阻，叫做电源的内阻，一

般用符号i R 表示．为简明起见，在作电路图时常将电源的电动势ε和内阻i R 表述为如图6-3所示．

一般家用铜导线的电阻，每米约为0.03Ω，而常用的电池，内阻约为1Ω．所以，一般电路中导线的电阻常常是略去不计的．但是对远距离的电力传输线来说，其导线的电阻则是要计算的．

6.4 全电路欧姆定律

前面我们讨论了电流通过一

段均匀电路时的欧姆定律，但实际

上我们经常会遇到包含电源在内

的各种电路．下面我们先讨论含有

电源的简单全电路的欧姆定律。

考虑如图6-4所示的一个最

简单的闭合回路，图中电源的电动

势和内阻分别为ε和i R ，外电路

电阻(或称外电路负载电阻)为

R ．由电流连续性可知，在这个电

路中每个部分通过的电流相同，均为I ．设电流的流向如图中所示，为顺时针方向．若从图中的点A 出发，沿闭合电路顺时针绕行一周回到点A ，各部分电势降落(常称电势降)的总和应当为零，即

0l dU =? 有 0A C C D D B B E E A U U U U U ++++= (6-17) 其中AC U 为导线AC 上的电势降落，CD U 为外电阻R 上的电势降落，DB U 为导线DB

上的电势降落，BE U 为电源内电阻i R 上的电势降落，EA U 为点E 和点A 之间的电势降落．考

虑到导线AC 和DB 的电阻均可略去不计，故有 0AC DB U U ==

又考虑到电流的流向和所选定的回路绕行方向一致，各部分电势降应为

,,CD BE i EA U IR U IR U ε===-

把以上结果代入式(6-17)，有

0i I R I R ε+-= 或写成 i I R R ε

=+ (6-18)

上式表示，闭合电路中电源的电动势与总电阻之比等于电路中的电流，这就是全电路的欧姆定律．

由式(6-18)可得外电路的电势降(或称电源的端电压)为

AB A B i U V V IR IR ε=-==-

因为对于确定的电源来说，电动势和内阻是一定的，从上式可以看出，端电压随负载电流的减小而增大．当外电路断开(即开路)时，电流I 为零，则 AB U ε=

即在开路时，电源的端电压等于电源的电动势．

在一个闭合电路中，怎样确定回路中各部分的电势降是取正值，还是取负值呢?我们可以规定如下：首先选定回路的绕行方向和电流流向；如果通过电阻的电流方向和绕行方向相同，那么此电阻的电势降取正值，反之则取负值；若由电源的正极经电源内部到负极的指向与绕行方向相同时，电动势取正值，反之取负值．

6.5 电动势源所供给的功率

现在还是考虑图6-4中的闭合回路，根据全电路的欧姆定律 i I R R ε

=+

外电阻越小，则I 越大。再结合式i U IR ε=-考虑，则I 越大，内阻电位降越大，路端电压就越小。外电阻短路时0,0,i R U I R ε

→→=。一般电源的内阻是很小的，因此短路

时电流I 很大，而且电源提供的全部功率消耗在内阻上，产生大量的热，可能把电源烧毁。所以实际中应切实注意防止电源短路。在相反的情形里，当外电路的R 很大时，I 很小，内阻电位降也很小，U ε≈。断路时,0R I →∞→，则U 严格地等于ε。

电源向负载提供的输出功率为

22()i P IU I R R R R ε===+出 (6-19)

R 很大或R 很小时， P 出

都不大，只有R 的阻值选择得当，才能使输出功率达到最大

值。取式(6-19)对R 的微分，并令它等于0： 230()

i i dP R R dR R R ε-==+出 由此得P 出

达到极大值的条件为 i R R = (6-20) 式(6-20)叫做负载电阻与电源的匹配条件。应当强调指出，“匹配”的概念只是在电子电路(如多级晶体管放大电路)中才使用，因为在那里电源的内阻一般是较高的，且输出讯号的功率本来就很弱，所以才需要使负载与电源匹配，以提高输出功率、通常在低内阻大功率的电路中不但不需考虑匹配，而且这样做会导致电流过大，容易引起事故，是很危险的。

本章小结

1、几个重要物理量

电流密度矢量 dq dI j dtds ds

== 电流强度(电流) q I t ?=

?S d =??j s 导体电阻 l R S

ρ= 电流的功和功率 12()A P I U U t ==-，对纯电阻电路2212()U U P I R R

-== 2、直流电的两条基本规律

焦耳定律 2

2

12()U U Q I Rt t R -== 全电路的欧姆定律 i I R R ε

=+

3、电源的电动势——电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移至正极

时非静电力所作的功．

k W d q

ε==?? E l k d =??内E l 电源向负载提供的输出功率为 22()i P IU I R R R R ε===+出

习 题

6-1、有两个同轴导体圆柱面；它们的长度均为20 m ，内圆柱面的半径为3．0 mm ，外圆柱面的半径为9.0mm ，若两圆柱面之间有10μA 电流沿径向流过，求通过半径为6．0mm

的圆柱面上的电流密度．

6-2、四个电阻均为6．0欧的灯泡，工作电压为12伏，把它们并联起来接到一个电动势为12伏，内阻为0．20欧的电源上。问：

(1)开一盏灯时，此灯两端的电压多大?

(2)四盏灯全开时，灯两端的电压多大?

6-3、有一适用于电压为110伏的电烙铁；允许通过的电流为0．7安，今准备按入电压为220伏的电路中，问应串联多大的电阻．

6-4、如图6-5所示，12 2.0V εε==，

内阻12120.1, 5.0, 4.8i i R R R R ==Ω=Ω=Ω．试求：

(1)电路中的电流；

(2)电路中消耗的功率；

(3)两电源的端电压．

6-5、一简单串联电路中的电流为5安，当我们把另外一个2欧的电阻插入时，电流减小为4安，问原来电路中的电阻是多少、8Ω

6-6、在图6-6中，11221224, 2.0,6, 1.0, 2.0, 1.0i i V R V R R R εε==Ω==Ω=Ω=Ω 3 3.0R =Ω，求：(1)电路中的电流：(2)a 、b 、c 和d 各点的电位；