电路 第五章 一阶电路分析3
合集下载
第五章 一阶电路分析
代表积聚电荷、储存电场能的元件
符号和特性曲线：
q
斜率为C
i(t)+ q(t) + u(t) -
u
线性时不变电容的特性
线性电容——特性曲线是通过坐标原 点一条直线，否则为非线性电容。时 不变——特性曲线不随时间变化，否 则为时变电容元件。
线性非时变电容元件的数学表达式：
q(t) Cu(t)
系数 C 为常量，为直线的斜率，称 为电容，表征积聚电荷的能力。 单位是法[拉],用F表示。
形。
+ iC
1 iS
iS
uC C -
0 1t (b)
解：
1 0 t 1
iC(t ) iS (t ) 0
( A) t 1
0t 1
uC
(t)
uC
(0)
1 C
t
0 iC ()d
0.5 0.5t (V )
t 1
uC
(t
)
uC
(1)
1 C
t
1 iC ()d
1 (V )
1 uC 0.5
0
1
t
2. 电感是惯性元件
di
u 有限时，电流变化率 dt 必然有限； 电流只能连续变化而不能跳变。
3.电感是记忆元件
i(t) 1
t
u( )d
L
电感电流i有“记忆”电压全部历史
的作用。取决于电压(, t )的值。
i(t) 1
t
u( )d
L
1
t0 u()d 1
t
u( )d
L
L t0
例５ 开关闭合已久,求电容初始值uC(0+)
解：由于开关闭合已久，由直流电源驱 动的电路中，各电压电流均为不随时间 变化的恒定值，造成电容电流等于零， 电容相当于开路。得t=0－等效图
符号和特性曲线：
q
斜率为C
i(t)+ q(t) + u(t) -
u
线性时不变电容的特性
线性电容——特性曲线是通过坐标原 点一条直线，否则为非线性电容。时 不变——特性曲线不随时间变化，否 则为时变电容元件。
线性非时变电容元件的数学表达式：
q(t) Cu(t)
系数 C 为常量，为直线的斜率，称 为电容，表征积聚电荷的能力。 单位是法[拉],用F表示。
形。
+ iC
1 iS
iS
uC C -
0 1t (b)
解：
1 0 t 1
iC(t ) iS (t ) 0
( A) t 1
0t 1
uC
(t)
uC
(0)
1 C
t
0 iC ()d
0.5 0.5t (V )
t 1
uC
(t
)
uC
(1)
1 C
t
1 iC ()d
1 (V )
1 uC 0.5
0
1
t
2. 电感是惯性元件
di
u 有限时，电流变化率 dt 必然有限； 电流只能连续变化而不能跳变。
3.电感是记忆元件
i(t) 1
t
u( )d
L
电感电流i有“记忆”电压全部历史
的作用。取决于电压(, t )的值。
i(t) 1
t
u( )d
L
1
t0 u()d 1
t
u( )d
L
L t0
例５ 开关闭合已久,求电容初始值uC(0+)
解：由于开关闭合已久，由直流电源驱 动的电路中，各电压电流均为不随时间 变化的恒定值，造成电容电流等于零， 电容相当于开路。得t=0－等效图
第5章一阶电路的暂态分析
i (0 ) iC (0 ) i L (0 ) 8 2i (0 ) 4iC (0 ) 4 i ( 0 ) iC ( 0 ) 1
例2： 换路前电路处稳态。 试求图示电路中各个电压和电流的初始值。 R i R
+ _
2 U 8V t =0 R1
iC
R2
4
设：t=0 — 表示换路瞬间 (定为计时起点) t=0-— 表示换路前的终了瞬间 t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）
L (0 ) L (0 ) 电感电路：
电容电路： uC (0 ) uC (0 )
注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。
3. 初始值的确定
dt
duC pt (2) 解方程： RC uC 0 通解 : uC A e dt 1 特征方程 RCP 1 0 \ P
齐次微分方程的通解：
由初始值确定积分常数 A
uC A e RC
RC t
根据换路定则 ，t (0 )时，uC (0 ) U , 可得 AU
初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。 求解要点： (1) 先求 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 1) 由t =0-的电路（换路前稳态）求uC ( 0– ) 、iL ( 0– )；
2) 根据换路定律求 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 (2) 再求其它电量初始值。
1) 由t =0+的电路求其它电量的初始值；
1 1 4 4 41 1 V 3 3
计算结果：
+ _
R
2 U 8V t =0 R1
iC
(电路分析)一阶电路的零输入响应
一阶电路的零输入响应第 3 节一阶电路的零输入响应零输入响应：电路无外加激励，仅由动态元件的初始储能作用所产生的响应，称为零输入响应（ zero-input response ）。
一、 RC 电路的零输入响应图 5.3-1 （ a ）电路， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 ，讨论换路后时的电容电压、电容电流等响应的变化规律。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电压源 Us 对电容 C 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图5.3-1 （ b ）所示。
时刻，电容电压等于直流电压源的电压 Us ，即时刻，电容与电压源断开，与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图 5.3-1 （ c ）所示。
由换路定则得换路后电容电压的初始值电容电流的初始值为图 5.3-1 （ c ）电路，由 KVL ，可得用积分变量分离法进行求解，得式中，为 RC 电路的时间常数（ time constant ），当 R 的单位为Ω， C 的单位为 F 时，τ的单位是秒（ s ）。
时间常数：时间常数是反映一阶电路过渡过程进展快慢的一个重要的参数，其大小仅取决于电路的结构和参数。
τ越大，响应衰减的速度就越慢；τ越小，响应衰减的速度就越快。
用表示电路换路后的响应，用表示该响应的初始值，则 RC 一阶电路的零输入响应可表示为RC 电路零输入响应的规律RC 电路换路后，各处的零输入响应都是从初始值开始，按指数规律衰减。
衰减得快慢由时间常数τ决定。
二、 RL 电路的零输入响应图 5.3-3 （ a ）是 RL 动态电路。
电路换路之前开关 S 处于位置 1 ， t=0 时开关 S 由位置 1 拨到位置 2 。
下面讨论换路后时的电感电流、电感电压等响应的变化规律。
时刻，电路换路之前开关 S 处于位置 1 ，直流电流源 Is 对电感 L 充电，电路已处于稳定状态，换路前的等效电路如图 5.3-3 （ b ）所示。
t=0 时，开关 S 拨到位置 2 ，时，电感与电流源断开，而与电阻 R 形成新的回路，这时的等效电路如图5.3-3 （ c ）所示。
电路分析路基础一阶电路的三要素法
三要素法可用于求解在直流激励下，一阶动态电路 中任一支路的电压和电流。
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1Leabharlann ＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1Leabharlann ＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
第五章 一阶动态电路
(c)、t=0+时， 若uc(0+)=0，用短路线置换电容； iL(0+)＝0， 则用开路置换电感； uc(0+)=U0， 则用电压为U0的电压源置换电容； iL(0+)＝I0，则用电流为I0的电流源置换电感。 2、求f()：
换路后的稳态值，此时C开路，L短路，得 到t＝∞时的等效电路，求出u(∞)、i(∞)。
3、已知1v电压源在t=0时作用于电路，
iL (t ) 0.001 0.005e
t
A t 0
若将1v电压源改为2v电压源作用，则iL(t)=?
+ 1v －
1k
iL 1H
1k
§5－6
三要素法
一、三要素法 三要素：初值f(0+)、稳态值f()、 时间常数τ
f (t ) [ f (0 ) f ()]e
1A t=0
2 4
＋ u1 －
＋ 2F u c 1.5 u1 －
4、t<0时电路已经稳定，求u0(t) t≥0。
C
பைடு நூலகம்
t=0 R1 － uc+ + R2 + u1 ib ib u0 － －
+ u2 －
5.开关闭合前电路已稳定，求uab
30
a
t=0 20 0.05F
＋ 4v －
20 10
b
3、时间常数τ: 同一个电路只有一个τ; τ＝RC或τ=L/R; R为从动态元件两端看进去的等效电阻。
1、求i(t) i(t) ＋ ＋ 1A 10v uc 1F － － 1
2、求ik。
5 i1 i2 1A ＋ u 0.2F c － 3 t=0 6 ik iL
1H
电工电子技术基础 第2版 第5章 一阶电路暂态分析
i(0 )
S +
U -
+
u0 (0 ) R2
-
uC (0 )＝uC (0－)＝0V
iC
(0
)＝Biblioteka U R26V 20k0.3 mA
u0 (0 )＝6V
章目录 节首页 上一页 下一页
第5章 一阶电路暂态分析——暂态过程与换路定则
3.t 等效电路
i
S
U
C uC
R1
u0 R2
L短路 C开路
i() U 6V 0.2mA R1 R2 30kΩ
L短路
t 0 C开路
L短路
t
C开路
L电感
C电容
返回
章目录 节首页 上一页 下一页
第5章 一阶电路暂态分析——暂态过程与换路定则
L恒流源如电流为0，则将恒流源断开处理
t 0＋ C恒压源如电压为0，则将恒压源短路处理
iL(0_)
＋
uC(0_)
－
iL(0+)
电感的等效变换
iL(0+)=0A时
＋
uC(0+)
分析瞬态过程产生条件和原因，引伸确定储能元
件的初始值换路定律，用经典分析方法导出RC一阶
电路的零输入响应、零状态响应及全响应。分析三要
素法组成，利用三要素法分析RL一阶电路的零输入响
应、零状态响应及全响应，强化三要素法具体应用。 理解瞬态过程中电压和电流随时间变化的规律和
物理意义以及时间常数对瞬态过程的影响，充分利用 瞬态过程的特性为人类服务，避免它造成危害和损失。
+ uC () –
i()
S
U
R1 +
u0 () R2
电路原理5.3.3一阶电路的动态响应 - 一阶电路的动态响应2
解的构成：
dt
y = y' + y''
对应的齐次方程的通解
非齐次方程的特解
方法一：从数学方程形式求解
（1）先求对应齐次方程的通解y’’
dy + py = 0 dt
-t
y'' = Ae
动态电路的时域分析
（2）求非齐次方程的特解y’——待定系数法
a.形如
dy dt
+
py
=
K
（K为常数——直流）
则设 y' = （常数），代入非齐次方程，求得y’。
b.形如
dy + py = Kt dt
则设 y' = t + ，代入非齐次方程，求得y’。
c.形如 dy + py = Ksint （交流）
dt
则设 y' = sint + cost ，代入非齐次方程，求得y’。
（或者 y' = Am sin(t + ) ）
动态电路的时域分析
方法二：从电路的角度分析 y = y' + y''
i2 (t )
=
-
R1
+
R R2
+
R3
i(t)
=
-2e-t A
动态电路的时域分析
二、一阶电路的零状态响应 1、零状态响应：电路在储能元件零初始条件下(电容电压
值uC和电感电流值iL为零），而由外施激励引 起的电路响应。
2、RC电路的零状态响应
S(t = 0) R iC(t)
+ US
2
1
+
uR C
第5章 一阶、二阶电路的暂态分析
方向同原假定的 电容电压、电感 电流方向。
5.2 用三要素法计算 一阶电路的响应 1. 初始值的计算 f(0+)
独立的初始值：uC (0+) = uC (0–)； iL(0+) = iL(0–)
非独立的初始值：由0+ 等效电路方法计算
2. 时间常数的计算 RC ；动态元件为电容 = L/R ；动态元件为电感 R：换路后，移去动态元件所得一端口的戴维南等效电阻。 3. 稳态值的计算 4. 将三要素代入总计算公式中：
(2) 振荡电路（欠阻尼）：
(3) 临界振荡（临界阻尼）：
（4）无阻尼：
R0
t 解：由三要素法 iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e
i +
R
S( t =0 )
a iL
L
Is (a) b
iL(0+)=iL(0-)= – Is= –2A Req= R= 2 , τ =L/Req= 2s i'L= Us /R Is = 5 2 = 3A 所以
i
+ – C Us
i
R
uC
uC
–
+
C
S未动作前, 电路处于一个稳定状态，有i = 0 , uc = 0 S接通 后，电源向电容充电，经一段时间充电完毕，电路 达到一个新的稳定状态，此时有i = 0 , uc= Us 暂态： 电路由一个稳态转变到另一个稳态需要经历的过程, 称
为过渡过程，相对于稳态而言，该过程又称为暂态。
u L (0 ) 0 u L ( 0 )
求初始值的步骤
1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0–) 和 iL(0–)。 2. 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等效电路。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
后迭加。 u(t) uC(t) uL (t)
RC部分： t=0
1A
+ 1A 1
2
uC
0.5F -
0.5F +u- C +
1H uL -
+
2
u(t)
2 _
uC (0 ) uC (0 ) 1V
uC () 2 V
C RC 1s
所以 uC (t) 2 et V
t 0
RL部分： t=0
1A
U0
uC(t) US <U0
US
US
uCp(t)
uCzS(t)
U0 -US
uCh(t)
uCzi(t)
t
t
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
5-6 一阶电路的三要素法
R
+
+
RC
duC (t dt
)
uC
(t
)
uS
(t 0)
uS -
C
uC -
uC (0 ) U0
直流激励下一阶电路的全响应取决于
r(0+)，r()和 这三个要素。只要分
别计算出这三个要素，就能够确定全响 应，而不必建立和求解微分方程。这种 方法称为三要素法。
三要素法求直流激励下响应的步骤：
1.初始值r(0+)的计算（换路前电路已稳 定）(1) 画t=0-图，求初始状态：电容 电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。
t=0+
2
+ 3
-
2V
-
0.5F u- C
解：求初始状态 uC (0 ) 3 V iL (0 ) 1A
换路后，电路可分成两部分
1 0.1H iL
6
+
+ + 2
10V
2V 2V
+ 3
-
-
- 0.5F u- C
iL (0 ) iL (0 ) 1A uC (0 ) uC (0 ) 3V
iL () 8 A uC () 2 / 3 V
L L / R 0.1 s C RC 2 s
所以 iL (t) 8 7e10t V t 0
uC (t)
2 3
7 e0.5t 3
V
t 0
5-7 一阶电路的特殊情况分析
1.R＝0或G＝0的情况；
2.特殊情况——电路含全电容回路 或全电感割集； 电容电压和电感电流不连续，即跳 变——换路定则失效。 求初试值依据——瞬间电荷守恒， 磁链守恒
例19 开关在a时电路已稳定。t=0倒向
b,t=R1C倒向c，求t0的iC(t)并画波形
解 ： t<0 时 ， c
R1
uC(0-)=0 。 第 一次换路后由 换路定则得：
R2
+
Us
-
b
a
iC(t)
C
+
Us
R1
iC(t)
C
uC (0 ) uC (0 ) 0 uC () US
-
1 R1C
R1
2
2
2，计算稳态值uC()、i()
换路后，经一 2A 段时间，重新 达到稳定，电 4 容开路，终值
+
uC
() -
2 i()
+
4 10V
-
图如右，运用
叠加定理得
uC() (4 // 4
//
2)
2
2
4
// 4
4i() 10 uC() 10 7 1.5A
2
2
3，计算时间常数
取极限，得
L
R0 iL(t) 2 A
最后，得 i(t) 2 课件2 0 A
39
可见，采取极限的方法，三要素公式仍然 是成立的。
对偶地，储存电场能电容的情况。
+
－2V
R0
1t
uC (t) 2e RC 2 V
课件
40
例21 已知:uC1(0-)=U1, uC2 (0-)=U2 ，试求uC1(0+), uC2(0+)
uC (0
1t
)e
uC ()(1
1t
e )
uC
()
[uC
(0
)
uC
1
()]e
t
就推广到一般，得出结论，所有的响应
课件
14
rzi
(t
)
r
(0
)e
1
t
1t
rzs (t) r()(1 e )
应该是：
rzi (t)
rzi
(0
1t
)e
rzs
(t
)
r()
[rzs
(0
)
r
()]e
1
t
课件
15
如求全响应iC (t)。
0 图
+ U－S
R
uC (0
)
U+0
iC (t) C
－
+ U－S
R
+ iC (0 )
U0
－
r(0 ) iC (0 ) iCzi (0 ) iCzs (0 )
内激励引起
外激励引起
课件
16
从另一个角度说：
只有 电容电压 和 电感电流 ，只要知道全 响应表达式，就可以把它分成零输入响应 (分量)和零状态响应(分量) 。
33
iC (t)
US R1
1t
e R1C A
iC US/R1
1
0 t R1C
US (1 e1)
1
R1 R2
2 t
iC
(t)
US (1 e1) R1 R课2件
e(
t R1C R1 R2 )C
t R1C
34
例20 原电路已稳定。求t0的iL(t)和
uC(t)。
1 0.1H iL 6
+
10V
-
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+)
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4电阻中，
uC (0 ) 4 2 8V
由于开关转换时，电容电流有界，电容
电压不能跃变，故
uC (0 ) uC (0 ) 8V
画0+图如右2A
4
2 i(0+)
+
+
8V 4
-
10V
-
i(0 ) 10 uC (0 ) 10 8 1A
r(0+) r()<r(0+)
r()>r(0+)
r(0+)
r()
t
t
可见，直流激励下一阶电路中任一响应
总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规
律增长或衰减到稳态值r()，响应的快
慢取决于的时间常数 。
课件
10
注意：（1） 直流激励； （2）一阶电 路任一支路的电压或电流的（全）响应 ； （3）适合于求零输入响应和零状 态响应。
uC
US
(t 0)
其解为
t
uC (t) uCh (t) uCp (t) Ae RC US
代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可
得
uC (0 ) U0 A US
求得
A U0 US
则：uC (t)
uCh (t)
uCp (t)
(U 0
U S )e
t RC
US
t
uC (t) (U0 US )e US 全响应 固有响应 强制响应
电流源的电流is。其通解为
t
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae rp (t )
t=0+代入，得： A r(0 ) rp (0 )
因而得到
r(t)
rp (t )
[r(0
)
rp (0
)]e
t
,
t
0
一阶电路任意激励下uC(t)和iL(t)响
应的公式
推广应用于任意激励下任一响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
画0+图如右, 用节点法
a + u (0+) -
2A 4
4
uab
(0
)(
1 4
1) 4
2
2i(0 4
)
4i(0 ) uab (0 )
i(0+)+ 2i (0+) -
b
解得： i(0 ) 0.8A uab (0 ) 3.2V
则：
u(0 ) 4.8 V
2，计算稳态值u()、i()
2
1H
+ 1A
uL
1
-
0.5F +u- C +
1H uL -
+
2
u(t)
2 _
iL (0 ) iL (0 ) 2A
所以
uL (0 ) 2 V
uL (t) 2e2t V t 0
uL () 0
u(t) uC (t) uL (t)
L L / R 0.5s 2 et 2e2t V t 0
3.所谓“陷阱”。
例如：电路原已稳定，求开关动作后的电
流i。
解： t 0 , iL (0 ) 2 A
1H 5
5 + 由换路定则：
iL
t=0 i
10V
-
t 0 , iL(0 ) 2 A
如果认为 R0 0
得 R0 0
用三要素公式，得 iL () 0
RC部分： t=0
1A
+ 1A 1
2
uC
0.5F -
0.5F +u- C +
1H uL -
+
2
u(t)
2 _
uC (0 ) uC (0 ) 1V
uC () 2 V
C RC 1s
所以 uC (t) 2 et V
t 0
RL部分： t=0
1A
U0
uC(t) US <U0
US
US
uCp(t)
uCzS(t)
U0 -US
uCh(t)
uCzi(t)
t
t
uC(t)=uCh(t)+uCp(t) uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
5-6 一阶电路的三要素法
R
+
+
RC
duC (t dt
)
uC
(t
)
uS
(t 0)
uS -
C
uC -
uC (0 ) U0
直流激励下一阶电路的全响应取决于
r(0+)，r()和 这三个要素。只要分
别计算出这三个要素，就能够确定全响 应，而不必建立和求解微分方程。这种 方法称为三要素法。
三要素法求直流激励下响应的步骤：
1.初始值r(0+)的计算（换路前电路已稳 定）(1) 画t=0-图，求初始状态：电容 电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。
t=0+
2
+ 3
-
2V
-
0.5F u- C
解：求初始状态 uC (0 ) 3 V iL (0 ) 1A
换路后，电路可分成两部分
1 0.1H iL
6
+
+ + 2
10V
2V 2V
+ 3
-
-
- 0.5F u- C
iL (0 ) iL (0 ) 1A uC (0 ) uC (0 ) 3V
iL () 8 A uC () 2 / 3 V
L L / R 0.1 s C RC 2 s
所以 iL (t) 8 7e10t V t 0
uC (t)
2 3
7 e0.5t 3
V
t 0
5-7 一阶电路的特殊情况分析
1.R＝0或G＝0的情况；
2.特殊情况——电路含全电容回路 或全电感割集； 电容电压和电感电流不连续，即跳 变——换路定则失效。 求初试值依据——瞬间电荷守恒， 磁链守恒
例19 开关在a时电路已稳定。t=0倒向
b,t=R1C倒向c，求t0的iC(t)并画波形
解 ： t<0 时 ， c
R1
uC(0-)=0 。 第 一次换路后由 换路定则得：
R2
+
Us
-
b
a
iC(t)
C
+
Us
R1
iC(t)
C
uC (0 ) uC (0 ) 0 uC () US
-
1 R1C
R1
2
2
2，计算稳态值uC()、i()
换路后，经一 2A 段时间，重新 达到稳定，电 4 容开路，终值
+
uC
() -
2 i()
+
4 10V
-
图如右，运用
叠加定理得
uC() (4 // 4
//
2)
2
2
4
// 4
4i() 10 uC() 10 7 1.5A
2
2
3，计算时间常数
取极限，得
L
R0 iL(t) 2 A
最后，得 i(t) 2 课件2 0 A
39
可见，采取极限的方法，三要素公式仍然 是成立的。
对偶地，储存电场能电容的情况。
+
－2V
R0
1t
uC (t) 2e RC 2 V
课件
40
例21 已知:uC1(0-)=U1, uC2 (0-)=U2 ，试求uC1(0+), uC2(0+)
uC (0
1t
)e
uC ()(1
1t
e )
uC
()
[uC
(0
)
uC
1
()]e
t
就推广到一般，得出结论，所有的响应
课件
14
rzi
(t
)
r
(0
)e
1
t
1t
rzs (t) r()(1 e )
应该是：
rzi (t)
rzi
(0
1t
)e
rzs
(t
)
r()
[rzs
(0
)
r
()]e
1
t
课件
15
如求全响应iC (t)。
0 图
+ U－S
R
uC (0
)
U+0
iC (t) C
－
+ U－S
R
+ iC (0 )
U0
－
r(0 ) iC (0 ) iCzi (0 ) iCzs (0 )
内激励引起
外激励引起
课件
16
从另一个角度说：
只有 电容电压 和 电感电流 ，只要知道全 响应表达式，就可以把它分成零输入响应 (分量)和零状态响应(分量) 。
33
iC (t)
US R1
1t
e R1C A
iC US/R1
1
0 t R1C
US (1 e1)
1
R1 R2
2 t
iC
(t)
US (1 e1) R1 R课2件
e(
t R1C R1 R2 )C
t R1C
34
例20 原电路已稳定。求t0的iL(t)和
uC(t)。
1 0.1H iL 6
+
10V
-
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+)
开关闭合前，电路已稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4电阻中，
uC (0 ) 4 2 8V
由于开关转换时，电容电流有界，电容
电压不能跃变，故
uC (0 ) uC (0 ) 8V
画0+图如右2A
4
2 i(0+)
+
+
8V 4
-
10V
-
i(0 ) 10 uC (0 ) 10 8 1A
r(0+) r()<r(0+)
r()>r(0+)
r(0+)
r()
t
t
可见，直流激励下一阶电路中任一响应
总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数规
律增长或衰减到稳态值r()，响应的快
慢取决于的时间常数 。
课件
10
注意：（1） 直流激励； （2）一阶电 路任一支路的电压或电流的（全）响应 ； （3）适合于求零输入响应和零状 态响应。
uC
US
(t 0)
其解为
t
uC (t) uCh (t) uCp (t) Ae RC US
代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可
得
uC (0 ) U0 A US
求得
A U0 US
则：uC (t)
uCh (t)
uCp (t)
(U 0
U S )e
t RC
US
t
uC (t) (U0 US )e US 全响应 固有响应 强制响应
电流源的电流is。其通解为
t
r(t ) rh (t ) rp (t ) Ae rp (t )
t=0+代入，得： A r(0 ) rp (0 )
因而得到
r(t)
rp (t )
[r(0
)
rp (0
)]e
t
,
t
0
一阶电路任意激励下uC(t)和iL(t)响
应的公式
推广应用于任意激励下任一响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
画0+图如右, 用节点法
a + u (0+) -
2A 4
4
uab
(0
)(
1 4
1) 4
2
2i(0 4
)
4i(0 ) uab (0 )
i(0+)+ 2i (0+) -
b
解得： i(0 ) 0.8A uab (0 ) 3.2V
则：
u(0 ) 4.8 V
2，计算稳态值u()、i()
2
1H
+ 1A
uL
1
-
0.5F +u- C +
1H uL -
+
2
u(t)
2 _
iL (0 ) iL (0 ) 2A
所以
uL (0 ) 2 V
uL (t) 2e2t V t 0
uL () 0
u(t) uC (t) uL (t)
L L / R 0.5s 2 et 2e2t V t 0
3.所谓“陷阱”。
例如：电路原已稳定，求开关动作后的电
流i。
解： t 0 , iL (0 ) 2 A
1H 5
5 + 由换路定则：
iL
t=0 i
10V
-
t 0 , iL(0 ) 2 A
如果认为 R0 0
得 R0 0
用三要素公式，得 iL () 0